2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案中衛(wèi)市中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.在保險精算中，用于描述損失分布的常見連續(xù)分布不包括以下哪種？（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.伽馬分布D.對數(shù)正態(tài)分布答案：B。泊松分布是離散分布，常用于描述單位時間或空間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)，而正態(tài)分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布是常見的用于描述損失的連續(xù)分布。2.已知某風(fēng)險的損失額\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的指數(shù)分布，則\(E(X)\)和\(Var(X)\)分別為（）A.\(0.5\)，\(0.25\)B.\(2\)，\(4\)C.\(0.5\)，\(0.5\)D.\(2\)，\(2\)答案：A。對于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)，方差\(Var(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}\)。已知\(\lambda=2\)，則\(E(X)=\frac{1}{2}=0.5\)，\(Var(X)=\frac{1}{2^{2}}=0.25\)。3.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)是樣本均值，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是樣本方差。若總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，則以下說法錯誤的是（）A.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)C.\(\overline{X}\)與\(S^{2}\)相互獨立D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n)\)答案：D。根據(jù)正態(tài)總體的抽樣分布性質(zhì)，\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)，\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)，且\(\overline{X}\)與\(S^{2}\)相互獨立。而\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)，不是\(t(n)\)，所以選項D錯誤。4.以下關(guān)于線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon\)（其中\(zhòng)(\epsilon\simN(0,\sigma^{2})\)）的說法，正確的是（）A.最小二乘法估計的\(\hat{\beta}_0\)和\(\hat{\beta}_1\)是無偏估計B.殘差平方和\(SSE=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2\)越大，模型擬合效果越好C.決定系數(shù)\(R^{2}\)越接近\(0\)，模型擬合效果越好D.回歸系數(shù)\(\beta_1\)的\(t\)檢驗統(tǒng)計量\(t=\frac{\hat{\beta}_1}{S_{\hat{\beta}_1}}\)服從自由度為\(n\)的\(t\)分布答案：A。最小二乘法估計的\(\hat{\beta}_0\)和\(\hat{\beta}_1\)是無偏估計，即\(E(\hat{\beta}_0)=\beta_0\)，\(E(\hat{\beta}_1)=\beta_1\)。殘差平方和\(SSE\)越大，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合誤差越大，擬合效果越差；決定系數(shù)\(R^{2}\)越接近\(1\)，模型擬合效果越好；回歸系數(shù)\(\beta_1\)的\(t\)檢驗統(tǒng)計量\(t=\frac{\hat{\beta}_1}{S_{\hat{\beta}_1}}\)服從自由度為\(n-2\)的\(t\)分布，所以選項B、C、D錯誤。5.在時間序列分析中，自回歸模型\(AR(p)\)的形式為（）A.\(X_t=\sum_{i=1}^{p}\varphi_iX_{t-i}+\epsilon_t\)B.\(X_t=\mu+\sum_{i=1}^{p}\varphi_i(X_{t-i}-\mu)+\epsilon_t\)C.\(X_t=\sum_{i=1}^{p}\theta_i\epsilon_{t-i}+\epsilon_t\)D.\(X_t=\mu+\sum_{i=1}^{p}\theta_i(\epsilon_{t-i}-\mu)+\epsilon_t\)答案：B。自回歸模型\(AR(p)\)的一般形式為\(X_t=\mu+\sum_{i=1}^{p}\varphi_i(X_{t-i}-\mu)+\epsilon_t\)，其中\(zhòng)(\mu\)是序列的均值，\(\varphi_i\)是自回歸系數(shù)，\(\epsilon_t\)是白噪聲序列。選項A沒有考慮均值；選項C和D是移動平均模型\(MA(q)\)的形式。6.對于一個二項分布\(X\simB(n,p)\)，當(dāng)\(n\)很大，\(p\)很小時，可近似用（）分布來計算概率。A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.伽馬分布答案：B。根據(jù)二項分布的近似，當(dāng)\(n\)很大，\(p\)很小時，二項分布\(B(n,p)\)可近似用泊松分布\(P(\lambda)\)來計算概率，其中\(zhòng)(\lambda=np\)。7.若兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0\)，則以下說法正確的是（）A.\(X\)和\(Y\)相互獨立B.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)C.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)一定不成立D.\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)一定不成立答案：B。相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0\)表示\(X\)和\(Y\)不相關(guān)，但不相關(guān)不一定相互獨立。當(dāng)\(X\)和\(Y\)不相關(guān)時，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)成立，且\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)成立。所以選項A、C、D錯誤，選項B正確。8.在風(fēng)險理論中，盈余過程\(U(t)=u+ct-S(t)\)，其中\(zhòng)(u\)是初始盈余，\(c\)是保費收入率，\(S(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}X_i\)是\(t\)時刻的總損失，\(N(t)\)是\(t\)時刻的索賠次數(shù)，\(X_i\)是第\(i\)次索賠的金額。若\(N(t)\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程，\(X_i\)相互獨立且同分布，均值為\(\mu\)，則\(E(S(t))\)為（）A.\(\lambdat\)B.\(\mu\)C.\(\lambdat\mu\)D.\(\lambda\mu\)答案：C。根據(jù)復(fù)合泊松過程的期望公式，若\(S(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}X_i\)，其中\(zhòng)(N(t)\)是參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程，\(X_i\)相互獨立且同分布，均值為\(\mu\)，則\(E(S(t))=E(N(t))E(X_i)\)。因為\(E(N(t))=\lambdat\)，\(E(X_i)=\mu\)，所以\(E(S(t))=\lambdat\mu\)。9.設(shè)\(X\)是一個隨機變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(P(0.2\ltX\lt0.5)\)為（）A.\(0.21\)B.\(0.25\)C.\(0.45\)D.\(0.75\)答案：A。\(P(0.2\ltX\lt0.5)=\int_{0.2}^{0.5}2xdx=x^{2}\big|_{0.2}^{0.5}=0.5^{2}-0.2^{2}=0.25-0.04=0.21\)。10.在多元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)中，若存在多重共線性，則以下說法錯誤的是（）A.回歸系數(shù)的估計值不穩(wěn)定B.回歸系數(shù)的\(t\)檢驗可能不顯著C.模型的預(yù)測精度會提高D.方差膨脹因子\(VIF_j\)會很大答案：C。多重共線性會導(dǎo)致回歸系數(shù)的估計值不穩(wěn)定，回歸系數(shù)的\(t\)檢驗可能不顯著，方差膨脹因子\(VIF_j\)會很大。而多重共線性會降低模型的預(yù)測精度，而不是提高，所以選項C錯誤。11.以下關(guān)于非參數(shù)檢驗的說法，錯誤的是（）A.非參數(shù)檢驗不依賴于總體的分布形式B.秩和檢驗是一種非參數(shù)檢驗方法C.非參數(shù)檢驗的效率通常比參數(shù)檢驗高D.符號檢驗是一種非參數(shù)檢驗方法答案：C。非參數(shù)檢驗不依賴于總體的分布形式，秩和檢驗、符號檢驗都是常見的非參數(shù)檢驗方法。一般情況下，當(dāng)總體分布滿足參數(shù)檢驗的條件時，參數(shù)檢驗的效率比非參數(shù)檢驗高，所以選項C錯誤。12.若一個隨機過程\(\{X(t),t\inT\}\)滿足\(E(X(t))=\mu\)（常數(shù)），\(Cov(X(t_1),X(t_2))=R(t_1-t_2)\)，則該隨機過程是（）A.平穩(wěn)隨機過程B.嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程C.獨立增量過程D.馬爾可夫過程答案：A。滿足\(E(X(t))=\mu\)（常數(shù)），\(Cov(X(t_1),X(t_2))=R(t_1-t_2)\)的隨機過程是寬平穩(wěn)隨機過程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程要求有限維分布函數(shù)不隨時間的平移而變化；獨立增量過程要求在不重疊的時間區(qū)間上的增量相互獨立；馬爾可夫過程具有無后效性。所以選項A正確。13.在決策分析中，風(fēng)險型決策的特點是（）A.自然狀態(tài)完全確定B.自然狀態(tài)不確定，但各自然狀態(tài)發(fā)生的概率已知C.自然狀態(tài)不確定，且各自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知D.決策結(jié)果不受自然狀態(tài)的影響答案：B。風(fēng)險型決策是指自然狀態(tài)不確定，但各自然狀態(tài)發(fā)生的概率已知的決策問題。確定型決策自然狀態(tài)完全確定；不確定型決策自然狀態(tài)不確定，且各自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知。所以選項B正確。14.對于一個離散型隨機變量\(X\)，其概率分布為\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)，則\(E(X^2)\)等于（）A.\(\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i\)B.\((\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i)^2\)C.\(\sum_{i=1}^{\infty}x_i^2p_i\)D.\(\sum_{i=1}^{\infty}(x_i-E(X))^2p_i\)答案：C。根據(jù)離散型隨機變量函數(shù)的期望公式，若\(Y=g(X)\)，則\(E(Y)=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i)p_i\)。對于\(Y=X^2\)，\(E(X^2)=\sum_{i=1}^{\infty}x_i^2p_i\)。選項A是\(E(X)\)；選項B沒有實際意義；選項D是\(Var(X)\)。15.在保險費率厘定中，以下哪種方法屬于經(jīng)驗費率法？（）A.純保費法B.損失率法C.案均賠款法D.信度理論方法答案：D。信度理論方法屬于經(jīng)驗費率法，它結(jié)合了個體風(fēng)險的經(jīng)驗數(shù)據(jù)和總體風(fēng)險的先驗信息來確定保險費率。純保費法、損失率法、案均賠款法是確定保險費率的其他常見方法，但不屬于經(jīng)驗費率法。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下屬于常見的離散型概率分布的有（）A.二項分布B.泊松分布C.均勻分布D.幾何分布E.超幾何分布答案：ABDE。二項分布、泊松分布、幾何分布、超幾何分布都是常見的離散型概率分布，而均勻分布有連續(xù)型均勻分布和離散型均勻分布，這里說的均勻分布如果沒有特別說明通常指連續(xù)型均勻分布，所以不選C，答案為ABDE。2.在多元線性回歸分析中，以下可以用于檢驗回歸方程顯著性的方法有（）A.\(F\)檢驗B.\(t\)檢驗C.決定系數(shù)\(R^{2}\)檢驗D.調(diào)整的決定系數(shù)\(\overline{R}^{2}\)檢驗E.方差分析答案：AE。\(F\)檢驗和方差分析都可以用于檢驗多元線性回歸方程的顯著性，判斷自變量整體對因變量是否有顯著影響。\(t\)檢驗用于檢驗單個回歸系數(shù)的顯著性；決定系數(shù)\(R^{2}\)和調(diào)整的決定系數(shù)\(\overline{R}^{2}\)主要用于衡量模型的擬合優(yōu)度，而不是檢驗方程的顯著性。所以答案為AE。3.在時間序列分析中，以下關(guān)于\(ARIMA(p,d,q)\)模型的說法正確的有（）A.\(p\)是自回歸階數(shù)B.\(d\)是差分階數(shù)C.\(q\)是移動平均階數(shù)D.該模型適用于非平穩(wěn)時間序列E.當(dāng)\(d=0\)時，\(ARIMA(p,d,q)\)模型退化為\(ARMA(p,q)\)模型答案：ABCDE。在\(ARIMA(p,d,q)\)模型中，\(p\)表示自回歸階數(shù)，\(d\)表示差分階數(shù)，\(q\)表示移動平均階數(shù)。該模型可以通過差分將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列后進(jìn)行建模，適用于非平穩(wěn)時間序列。當(dāng)\(d=0\)時，\(ARIMA(p,0,q)\)即\(ARMA(p,q)\)模型。所以答案為ABCDE。4.關(guān)于風(fēng)險度量指標(biāo)，以下說法正確的有（）A.方差\(Var(X)\)衡量了隨機變量\(X\)的波動程度B.標(biāo)準(zhǔn)差\(\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}\)與\(X\)具有相同的量綱C.風(fēng)險價值\(VaR_{\alpha}(X)\)表示在置信水平\(\alpha\)下，隨機變量\(X\)的最大可能損失D.條件風(fēng)險價值\(CVaR_{\alpha}(X)\)是在損失超過\(VaR_{\alpha}(X)\)的條件下的期望損失E.偏度\(Skew(X)\)衡量了隨機變量\(X\)分布的不對稱性答案：ABCDE。方差\(Var(X)\)反映了隨機變量取值相對于均值的離散程度，即波動程度；標(biāo)準(zhǔn)差\(\sigma(X)\)是方差的平方根，與隨機變量\(X\)具有相同的量綱。風(fēng)險價值\(VaR_{\alpha}(X)\)是在給定置信水平\(\alpha\)下，隨機變量\(X\)的最大可能損失；條件風(fēng)險價值\(CVaR_{\alpha}(X)\)是在損失超過\(VaR_{\alpha}(X)\)的條件下的期望損失。偏度\(Skew(X)\)用于衡量隨機變量分布的不對稱性。所以答案為ABCDE。5.在精算模型中，以下哪些因素會影響保險產(chǎn)品的定價？（）A.死亡率B.發(fā)病率C.利率D.費用率E.退保率答案：ABCDE。死亡率影響人壽保險的賠付概率，從而影響定價；發(fā)病率對健康保險的定價有重要影響；利率會影響保險資金的投資收益和未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值，進(jìn)而影響定價；費用率包括經(jīng)營管理費用等，會增加保險成本，影響定價；退保率會影響保險公司的現(xiàn)金流和風(fēng)險，也會對保險產(chǎn)品定價產(chǎn)生作用。所以答案為ABCDE。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述線性回歸模型的基本假設(shè)，并說明這些假設(shè)的作用。線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)通常有以下基本假設(shè)：（1）線性性：因變量\(Y\)與自變量\(X_1,X_2,\cdots,X_p\)之間存在線性關(guān)系，即\(E(Y|X_1,X_2,\cdots,X_p)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p\)。作用：這是構(gòu)建線性回歸模型的基礎(chǔ)，保證了模型的形式是線性的，使得我們可以用線性方程來描述變量之間的關(guān)系，便于進(jìn)行參數(shù)估計和模型分析。（2）獨立性：隨機誤差項\(\epsilon_i\)相互獨立，即\(Cov(\epsilon_i,\epsilon_j)=0\)，\(i\neqj\)。作用：獨立性假設(shè)保證了各個觀測值之間的誤差不會相互影響，使得我們在進(jìn)行參數(shù)估計和統(tǒng)計推斷時，能夠基于獨立的樣本數(shù)據(jù)，使用傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法，如最小二乘法等。（3）同方差性：隨機誤差項\(\epsilon_i\)具有相同的方差，即\(Var(\epsilon_i)=\sigma^{2}\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。作用：同方差性保證了在不同的自變量取值下，誤差的波動程度是相同的。這樣在進(jìn)行參數(shù)估計時，估計量的方差是穩(wěn)定的，統(tǒng)計推斷的結(jié)果更加可靠。（4）正態(tài)性：隨機誤差項\(\epsilon_i\)服從正態(tài)分布，即\(\epsilon_i\simN(0,\sigma^{2})\)。作用：正態(tài)性假設(shè)使得我們可以使用基于正態(tài)分布的統(tǒng)計方法進(jìn)行參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗，如\(t\)檢驗、\(F\)檢驗等，從而對回歸系數(shù)的顯著性和回歸方程的整體顯著性進(jìn)行推斷。2.解釋什么是信度理論，并說明其在保險費率厘定中的應(yīng)用。信度理論是一種將先驗信息和經(jīng)驗數(shù)據(jù)相結(jié)合的統(tǒng)計方法，用于在信息不完全的情況下進(jìn)行估計和決策。在保險領(lǐng)域，由于保險風(fēng)險的復(fù)雜性和不確定性，僅依靠個體風(fēng)險的經(jīng)驗數(shù)據(jù)或總體風(fēng)險的先驗信息都可能存在不足，信度理論通過合理分配兩者的權(quán)重，得到更準(zhǔn)確的估計結(jié)果。在保險費率厘定中，信度理論的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下方面：（1）個體風(fēng)險與總體風(fēng)險的結(jié)合：對于新的保險業(yè)務(wù)或經(jīng)驗數(shù)據(jù)較少的風(fēng)險個體，直接使用其經(jīng)驗數(shù)據(jù)來確定費率可能不準(zhǔn)確。信度理論會考慮總體風(fēng)險的先驗費率，同時結(jié)合個體的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，通過賦予不同的信度權(quán)重，得到一個綜合的費率。例如，對于一個新成立的企業(yè)投保財產(chǎn)保險，其自身的損失數(shù)據(jù)很少，此時可以根據(jù)同行業(yè)的總體損失情況（先驗信息）和該企業(yè)短期的損失經(jīng)驗（經(jīng)驗數(shù)據(jù)）來確定費率。（2）費率調(diào)整：隨著保險業(yè)務(wù)的開展，個體風(fēng)險的經(jīng)驗數(shù)據(jù)會不斷積累。信度理論可以根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)的變化動態(tài)調(diào)整費率。當(dāng)個體的經(jīng)驗數(shù)據(jù)顯示其風(fēng)險狀況與總體風(fēng)險有差異時，通過調(diào)整信度權(quán)重，適當(dāng)提高或降低該個體的費率，以反映其真實的風(fēng)險水平。比如，某被保險人連續(xù)多年的索賠次數(shù)低于行業(yè)平均水平，根據(jù)信度理論可以適當(dāng)降低其保險費率。（3）風(fēng)險分類：信度理論有助于更準(zhǔn)確地進(jìn)行風(fēng)險分類。不同風(fēng)險類別的保險標(biāo)的具有不同的風(fēng)險特征，信度理論可以根據(jù)各類別標(biāo)的的經(jīng)驗數(shù)據(jù)和先驗信息，合理確定每個風(fēng)險類別的費率，提高費率的公平性和準(zhǔn)確性。例如，在車險中，根據(jù)車輛的使用性質(zhì)、駕駛員的年齡和駕駛記錄等因素進(jìn)行風(fēng)險分類，再利用信度理論確定不同類別車輛的保險費率。3.簡述時間序列分析中平穩(wěn)性的概念，并說明平穩(wěn)時間序列的重要性。平穩(wěn)性是時間序列分析中的一個重要概念，通常分為嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)：一個時間序列\(zhòng)(\{X(t),t\inT\}\)是嚴(yán)平穩(wěn)的，如果對于任意的正整數(shù)\(n\)和任意的\(t_1,t_2,\cdots,t_n\inT\)以及任意的實數(shù)\(h\)，當(dāng)\(t_1+h,t_2+h,\cdots,t_n+h\inT\)時，\((X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_n))\)和\((X(t_1+h),X(t_2+h),\cdots,X(t_n+h))\)具有相同的聯(lián)合分布。簡單來說，嚴(yán)平穩(wěn)要求時間序列的有限維分布不隨時間的平移而變化。寬平穩(wěn)：一個時間序列\(zhòng)(\{X(t),t\inT\}\)是寬平穩(wěn)的，如果滿足以下三個條件：（1）\(E(X(t))=\mu\)，其中\(zhòng)(\mu\)為常數(shù)，即均值不隨時間變化；（2）\(Var(X(t))=\sigma^{2}\)，其中\(zhòng)(\sigma^{2}\)為常數(shù)，即方差不隨時間變化；（3）\(Cov(X(t_1),X(t_2))=R(t_1-t_2)\)，即協(xié)方差只與時間間隔\(t_1-t_2\)有關(guān)，而與具體的時間點\(t_1\)和\(t_2\)無關(guān)。平穩(wěn)時間序列的重要性主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）統(tǒng)計推斷的有效性：平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計特性不隨時間變化，使得我們可以基于有限的樣本數(shù)據(jù)對整個時間序列的性質(zhì)進(jìn)行推斷。例如，在平穩(wěn)條件下，可以使用樣本均值和樣本方差來估計總體的均值和方差，并且這些估計量具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)，如無偏性和一致性。（2）模型建立和預(yù)測：許多時間序列模型，如AR、MA、ARMA和ARIMA等，都是基于平穩(wěn)時間序列建立的。平穩(wěn)性保證了模型的參數(shù)具有穩(wěn)定性，使得模型能夠更好地捕捉時間序列的內(nèi)在規(guī)律，從而進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測。如果時間序列不平穩(wěn)，直接使用這些模型可能會導(dǎo)致模型的擬合效果不佳，預(yù)測結(jié)果不準(zhǔn)確。（3）比較和分析：平穩(wěn)時間序列便于不同時間序列之間的比較和分析。由于其統(tǒng)計特性的穩(wěn)定性，我們可以在相同的統(tǒng)計框架下對不同的平穩(wěn)時間序列進(jìn)行對比，研究它們之間的相關(guān)性、因果關(guān)系等，從而為決策提供依據(jù)。例如，在金融領(lǐng)域，可以比較不同股票價格的平穩(wěn)時間序列，分析它們的波動特征和相互關(guān)系。四、計算題（每題12.5分，共25分）1.某保險公司承保了1000份相同類型的保險合同，每份合同在一年內(nèi)發(fā)生索賠的概率為0.05，且各合同之間的索賠情況相互獨立。設(shè)\(X\)表示一年內(nèi)發(fā)生索賠的合同份數(shù)。（1）求\(X\)的分布，并計算\(E(X)\)和\(Var(X)\)。（2）利用正態(tài)近似計算\(P(40\leqX\leq60)\)。解：（1）因為各合同之間的索賠情況相互獨立，且每份合同發(fā)生索賠的概率\(p=0.05\)，承保合同數(shù)\(n=1000\)，所以\(X\simB(n=1000,p=0.05)\)。根據(jù)二項分布的期望和方差公式，\(E(X)=np=1000\times0.05=50\)，\(Var(X)=np(1-p)=1000\times0.05\times(1-0.05)=1000\times0.05\times0.95=47.5\)。（2）由于\(n\)很大，\(np=50\gt5\)，\(n(1-p)=1000\times0.95=950\gt5\)，根據(jù)中心極限定理，\(X\)近似服從正態(tài)分布\(N(np,np(1-p))\)，即\(X\approxN(50,47.5)\)。令\(Z=\frac{X-50}{\sqrt{47.5}}\approxN(0,1)\)。\(P(40\leqX\leq60)=P(\frac{40-50}{\sqrt{47.5}}\leq\frac{X-50}{\sqrt{47.5}}\leq\frac{60-50}{\sqrt{47.5}})\)\(=P(\frac{-10}{\sqrt{47.5}}\leqZ\leq\frac{10}{\sqrt{47.5}})\)\(\approx\varPhi(\frac{10}{\sqrt{47.5}})-\varPhi(\frac{-10}{\sqrt{47.5}})\)\(\approx\varPhi(1.45)-\varPhi(-1.45)\)因為\(\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)\)，所以\(\varPhi(1.45)-\varPhi(-1.45)=2\varPhi(1.45)-1\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得\(\varPhi(1.45)=0.9265\)，則\(P(40\leqX\leq60)=2\times0.9265-1=0.853\)。2.已知某線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon\)，其中\(zhòng)(\epsilon\simN(0,\sigma^{2})