2025年河北高考數(shù)學(xué)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合\(A=\{x\midx^2-5x+6\leq0\}\)，集合\(B=\{x\mid2^{x-1}>4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\((2,3]\)B.\([2,3]\)C.\((3,+\infty)\)D.\((2,+\infty)\)2.復(fù)數(shù)\(z=\frac{3+4i}{1-2i}\)（其中\(zhòng)(i\)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.函數(shù)\(f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})\)（\(\omega>0\)）的圖像向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位長(zhǎng)度后，與原函數(shù)圖像重合，則\(\omega\)的最小值為（）A.2B.4C.6D.84.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_3+a_7=10\)，則\(S_9=\)（）A.45B.50C.55D.605.如圖，在長(zhǎng)方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(AA_1=3\)，則異面直線\(A_1B\)與\(B_1D\)所成角的余弦值為（）（注：圖中長(zhǎng)方體底面為\(ABCD\)，\(A\)在左前下，\(B\)在右前下，\(D\)在左后下，\(A_1\)在左前上）A.\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)C.\(\frac{\sqrt{15}}{15}\)D.\(\frac{\sqrt{30}}{30}\)6.拋物線\(C:y^2=4x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，過(guò)\(F\)且斜率為\(\sqrt{3}\)的直線與\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)（\(A\)在第一象限），則\(|AF|-|BF|=\)（）A.\(\frac{8}{3}\)B.\(\frac{10}{3}\)C.\(\frac{16}{3}\)D.\(\frac{20}{3}\)7.某地區(qū)連續(xù)7天的最高氣溫（單位：℃）分別為：28,30,32,29,31,33,30。若隨機(jī)選取其中2天，這2天最高氣溫均不低于30℃的概率為（）A.\(\frac{2}{7}\)B.\(\frac{3}{7}\)C.\(\frac{4}{7}\)D.\(\frac{5}{7}\)8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3ax+b\)（\(a>0\)）在區(qū)間\([-1,1]\)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((0,1)\)B.\((0,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知函數(shù)\(f(x)=\ln(x^2+1)-\frac{1}{2}x^2\)，則（）A.\(f(x)\)是偶函數(shù)B.\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上先增后減C.\(f(x)\)的最大值為\(\ln2-\frac{1}{2}\)D.\(f(x)=0\)有3個(gè)實(shí)數(shù)解10.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1,F_2\)，離心率\(e=\frac{1}{2}\)，過(guò)\(F_2\)的直線\(l\)與\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，且\(|AF_1|+|BF_1|=8\)，則（）A.橢圓\(C\)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.\(|AB|=4\)C.當(dāng)\(l\)垂直于\(x\)軸時(shí)，\(|AB|=3\)D.直線\(l\)的斜率可能為\(\sqrt{3}\)11.某班級(jí)50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿(mǎn)分150分）統(tǒng)計(jì)如下：成績(jī)?cè)赱80,100)的有10人，[100,120)的有20人，[120,140)的有15人，[140,160]的有5人。若用分層抽樣的方法從這50人中抽取10人，則（）A.從[80,100)中抽取2人B.樣本成績(jī)的中位數(shù)一定在[100,120)內(nèi)C.樣本成績(jī)的平均數(shù)可能為115D.樣本方差一定小于總體方差12.已知平面向量\(\boldsymbol{a},\boldsymbol\)滿(mǎn)足\(|\boldsymbol{a}|=2\)，\(|\boldsymbol|=1\)，且\((\boldsymbol{a}+2\boldsymbol)\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)\)，則（）A.\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=-2\)B.\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|=\sqrt{3}\)C.向量\(\boldsymbol{a}\)與\(\boldsymbol\)的夾角為\(120^\circ\)D.若\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol\)（\(t\in\mathbb{R}\)），則\(|\boldsymbol{c}|\)的最小值為\(\sqrt{3}\)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.二項(xiàng)式\(\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^5\)展開(kāi)式中\(zhòng)(x^4\)項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______。14.已知三棱錐\(P-ABC\)的底面\(ABC\)是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱\(PA\perp\)底面\(ABC\)，且\(PA=3\)，則該三棱錐的外接球表面積為_(kāi)_______。15.已知\(x>0\)，\(y>0\)，且\(2x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)的最小值為_(kāi)_______。16.已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a>0\)），若\(f(x)\)在區(qū)間\((-1,1)\)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則\(a\)的取值范圍是________。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（10分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的對(duì)邊分別為\(a,b,c\)，已知\(\sin^2A+\sin^2C-\sin^2B=\sinA\sinC\)，且\(b=2\)。（1）求角\(B\)；（2）若\(\triangleABC\)的面積為\(\sqrt{3}\)，求\(a+c\)。18.（12分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿(mǎn)足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+n-1\)（\(n\geq1\)）。（1）證明：數(shù)列\(zhòng)(\{a_n+n\}\)是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。19.（12分）如圖，在半圓柱\(OO_1-ABCD\)中，底面\(OO_1\)為直徑，\(AB\)和\(CD\)為母線，且\(AB\perpOO_1\)，\(CD\perpOO_1\)，\(OO_1=2\)，\(AB=CD=3\)。（1）證明：平面\(ACD\)與平面\(OO_1B\)垂直；（2）求直線\(AC\)與平面\(BCD\)所成角的正弦值。20.（12分）某城市為推廣新能源汽車(chē)，對(duì)公共充電樁的使用情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。隨機(jī)選取100個(gè)充電樁，記錄其某周日的充電次數(shù)（次數(shù)為整數(shù)），得到如下頻率分布表：|充電次數(shù)|[0,2)|[2,4)|[4,6)|[6,8)|[8,10]||-|-|-|-|-|--||頻率|0.10|0.25|0.35|0.20|0.10|（1）用頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)選取一個(gè)充電樁，其充電次數(shù)不小于4次的概率；（2）若從充電次數(shù)在[0,2)和[8,10]的充電樁中用分層抽樣的方法抽取5個(gè)，再?gòu)闹须S機(jī)選取2個(gè)，求這2個(gè)充電樁充電次數(shù)均在[8,10]的概率；（3）假設(shè)每個(gè)充電樁的充電次數(shù)\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(zhòng)(\mu\)近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），求\(P(2.6<X<7.4)\)（參考數(shù)據(jù)：\(\Phi(1.2)=0.8849\)，\(\Phi(0.8)=0.7881\)）。21.（12分）已知雙曲線\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的左頂點(diǎn)為\(A\)，右焦點(diǎn)為\(F\)，過(guò)\(F\)且垂直于\(x\)軸的直線與\(C\)交于\(M,N\)兩點(diǎn)，且\(|AM|=\sqrt{13}\)，\(\triangleAMN\)的面積為6。（1）求雙曲線\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)\(P\)是\(C\)右支上一點(diǎn)，直線\(PA\)與\(C\)的另一交點(diǎn)為\(Q\)，直線\(PF\)與\(C\)的另一交點(diǎn)為\(R\)，證明：\(Q,R,F\)三點(diǎn)共線。22.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=xe^x-a(x+\lnx)\)（\(a>0\)）。（1）討論\(f(x)\)的單調(diào)性；（2）若\(f(x)\geq0\)對(duì)任意\(x>0\)恒成立，求\(a\)的取值范圍；（3）證明：\(e^x+x\lnx\geqx+1\)（\(x>0\)）。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.D3.C4.A5.D6.A7.B8.D二、多項(xiàng)選擇題9.ABC10.BCD11.AC12.ACD三、填空題13.1014.\(16\pi\)15.816.\(\left(\frac{e-1}{e},e-1\right)\)四、解答題17.（1）由正弦定理得\(a^2+c^2-b^2=ac\)，由余弦定理得\(\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{1}{2}\)，故\(B=\frac{\pi}{3}\)。（2）面積\(S=\frac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3}\)，得\(ac=4\)。又\(a^2+c^2-4=ac\)，即\((a+c)^2-3ac=4\)，代入\(ac=4\)得\(a+c=4\)。18.（1）由\(a_{n+1}+n+1=2(a_n+n)\)，且\(a_1+1=2\)，故\(\{a_n+n\}\)是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。（2）由（1）得\(a_n+n=2^n\)，即\(a_n=2^n-n\)，則\(S_n=(2^{n+1}-2)-\frac{n(n+1)}{2}\)。19.（1）取\(OO_1\)中點(diǎn)\(M\)，連接\(AM,CM\)，可證\(AM\perp\)平面\(OO_1B\)，故平面\(ACD\perp\)平面\(OO_1B\)。（2）以\(O\)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求得平面\(BCD\)的法向量\(\boldsymbol{n}=(1,0,-1)\)，直線\(AC\)的方向向量\(\boldsymbol{v}=(1,0,3)\)，則正弦值為\(\frac{|\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{v}|\cdot|\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{51}}{17}\)。20.（1）概率為\(0.35+0.20+0.10=0.65\)。（2）分層抽樣抽取[0,2)中1個(gè)，[8,10]中4個(gè)，所求概率為\(\frac{C_4^2}{C_5^2}=\frac{3}{5}\)。（3）樣本平均數(shù)\(\mu=1\times0.1+3\times0.25+5\times0.35+7\times0.2+9\times0.1=5\)，\(\sigma=2\)，則\(P(2.6<X<7.4)=\Phi(1.2)-\Phi(-1.2)=2\times0.8849-1=0.7698\)。21.（1）由題意得\(M(c,\frac{b^2}{a})\)，\(|AM|=\sqrt{(c+a)^2+\l