福建2025自考[計算機科學(xué)與技術(shù)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計（二）主觀題專練一、填空題（每空2分，共10分）1.在一組相互獨立的隨機變量中，若每個隨機變量的方差相等，則它們的總和的方差等于這些隨機變量方差的__________倍。2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，樣本均值為x?，樣本方差為S2，當(dāng)樣本量n≥30時，統(tǒng)計量__________近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。3.在假設(shè)檢驗中，若原假設(shè)H?為真，但拒絕了H?，這種錯誤稱為__________。4.若隨機變量X的分布律為P(X=k)=p^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n，則X服從__________分布。5.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=2x(0≤x≤1)，則X的樣本均值x?的期望為__________。二、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述樣本均值和樣本方差的計算公式及其統(tǒng)計意義。2.解釋假設(shè)檢驗中“顯著性水平”α的含義及其取值范圍。3.說明獨立重復(fù)試驗中二項分布的應(yīng)用場景。4.描述矩估計法的基本思想及其局限性。三、計算題（每題10分，共30分）1.（某電商企業(yè)訂單數(shù)據(jù)分析）某電商平臺每日訂單量X服從泊松分布，參數(shù)λ=15?，F(xiàn)隨機抽取3天，求這3天訂單總量超過50的概率。解：設(shè)Y為3天訂單總量，則Y～P(3λ)=P(45)，利用泊松分布性質(zhì)計算P(Y>50)。2.（福建省某IT企業(yè)薪資調(diào)查）某IT企業(yè)隨機抽取50名員工的月薪資數(shù)據(jù)，樣本均值為8000元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1200元。假設(shè)月薪資服從正態(tài)分布，求該企業(yè)員工月薪資均值的95%置信區(qū)間。解：利用t分布計算置信區(qū)間，公式為x?±t_(α/2,n-1)×S/√n，查表得t_(0.025,49)≈2.0096。3.（廈門軟件園項目風(fēng)險評估）某軟件項目開發(fā)過程中，模塊A、B、C的失敗概率分別為0.1、0.2、0.15，且相互獨立。求整個項目（三個模塊全部成功）成功的概率。解：P(成功)=1-P(失敗)=1-(0.1×0.2×0.15)=0.997。四、證明題（每題15分，共30分）1.（正態(tài)分布樣本均值的性質(zhì)）證明：若總體X～N(μ,σ2)，樣本均值為x?，則x?～N(μ,σ2/n)。證明：利用正態(tài)分布的可加性和獨立性，推導(dǎo)x?的期望和方差。2.（卡方分布性質(zhì)證明）證明：若X～χ2(k)，則E(X)=k，Var(X)=2k。證明：利用卡方分布的定義（獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量的平方和），計算期望和方差。五、綜合應(yīng)用題（每題20分，共40分）1.（福建省某銀行貸款違約率研究）某銀行隨機抽取200名貸款客戶，其中有20名違約。假設(shè)總體違約率服從二項分布，求總體違約率的95%置信區(qū)間，并判斷該銀行是否需要調(diào)整風(fēng)控策略（α=0.05）。解：用二項分布置信區(qū)間公式或正態(tài)近似計算，若置信區(qū)間包含0.05，則無需調(diào)整；否則需加強風(fēng)控。2.（福州某科技公司產(chǎn)品壽命測試）某科技公司測試一批電子元件的壽命X（單位：小時），樣本數(shù)據(jù)如下（n=30）：1200,1250,1300,1280,1220,...,1350。假設(shè)壽命X服從指數(shù)分布，求參數(shù)λ的極大似然估計，并計算平均壽命的95%置信區(qū)間。解：極大似然估計λ=1/樣本均值，用指數(shù)分布置信區(qū)間公式計算。答案與解析一、填空題1.和（n個隨機變量方差之和）2.(x?-μ)/(σ/√n)（中心極限定理近似）3.第二類錯誤（β錯誤）4.二項（n次獨立伯努利試驗）5.1/2（期望計算：∫[0,1]2xf(x)dx=1）二、簡答題1.樣本均值x?=∑x_i/n，反映樣本集中趨勢；樣本方差S2=∑(x_i-x?)2/(n-1)，反映樣本離散程度。2.顯著性水平α是拒絕原假設(shè)的臨界概率，α越小，檢驗越嚴(yán)格。3.二項分布適用于n次獨立試驗中事件A發(fā)生k次的概率，如抽樣檢測次品率。4.矩估計用樣本矩代替總體矩，但可能忽略分布特例（如偏態(tài)分布）。三、計算題1.泊松分布：P(Y>50)=1-F(50)=1-∑[50]k=0(15^k/e^15)/k!≈0.0136。2.正態(tài)分布置信區(qū)間：8000±2.0096×1200/√50≈[7468,8532]。3.獨立事件概率：P(成功)=1-0.1×0.2×0.15=0.997。四、證明題1.正態(tài)分布性質(zhì)：設(shè)X_i～N(μ,σ2)，x?=∑X_i/n，則x?～N(μ,σ2/n)（線性組合仍為正態(tài)分布，方差按比例縮?。?.卡方分布性質(zhì)：若X_i～N(0,1)，X2～χ2(1)，E(X2)=1，Var(X2)=2（歸納推廣至k）。五、綜合應(yīng)用題1.二項分布置信區(qū)間：p?=0.1，置信區(qū)間≈[0.06