小升初數(shù)學(xué)幾何專(zhuān)項(xiàng)輔導(dǎo)：夯實(shí)基礎(chǔ)，輕松邁入初中新階段同學(xué)們，大家好！告別小學(xué)，邁入初中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣度和深度都會(huì)有所增加。其中，幾何部分更是從直觀感知逐步走向邏輯推理和定量計(jì)算。這份專(zhuān)項(xiàng)輔導(dǎo)資料，希望能幫助大家系統(tǒng)梳理小學(xué)階段所學(xué)的幾何知識(shí)，查漏補(bǔ)缺，為初中幾何的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。幾何學(xué)習(xí)不僅僅是記住公式，更重要的是培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力，這將伴隨我們整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯。一、平面圖形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)我們的幾何學(xué)習(xí)，是從認(rèn)識(shí)身邊的基本圖形開(kāi)始的。平面圖形是構(gòu)成我們視覺(jué)世界的基本元素。（一）點(diǎn)、線、角——幾何世界的基石*點(diǎn)：點(diǎn)是構(gòu)成圖形的最基本單位，它沒(méi)有大小，只有位置。我們通常用一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示點(diǎn)，比如點(diǎn)A、點(diǎn)B。*線：*直線：直線沒(méi)有端點(diǎn)，可以向兩端無(wú)限延伸，無(wú)法度量長(zhǎng)度。經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，這是直線的一個(gè)基本性質(zhì)。*射線：射線有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一端無(wú)限延伸，同樣無(wú)法度量長(zhǎng)度。比如手電筒發(fā)出的光，我們可以近似看作射線。*線段：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不能延伸，可以度量長(zhǎng)度。兩點(diǎn)之間，線段最短。這是線段的重要性質(zhì)，在生活中應(yīng)用廣泛。*角：*定義：由一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。*度量：角的計(jì)量單位是“度”，用符號(hào)“°”表示。量角器是度量角的工具，使用時(shí)要注意“兩對(duì)齊”：頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊，一條邊與量角器的0刻度線對(duì)齊。*分類(lèi)：根據(jù)角的度數(shù)大小，我們可以把角分為：*銳角：大于0°而小于90°的角。*直角：等于90°的角。直角是幾何世界里非常重要的“參照標(biāo)準(zhǔn)”。*鈍角：大于90°而小于180°的角。*平角：等于180°的角，它的兩條邊在同一條直線上。*周角：等于360°的角，它的兩條邊重合在一起。*特殊關(guān)系的角：對(duì)頂角相等（兩條直線相交形成的相對(duì)的角）；在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行線間的距離處處相等。如果兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。（二）三角形——最穩(wěn)定的多邊形三角形是由三條線段首尾相連圍成的封閉圖形，它有三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊和三個(gè)角。*三角形的內(nèi)角和：三角形的三個(gè)內(nèi)角之和是180°。這是三角形非常重要的一個(gè)性質(zhì)，很多幾何問(wèn)題都會(huì)用到它。*三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。判斷三條線段能否組成三角形，就可以用這個(gè)關(guān)系。*三角形的分類(lèi)：*按角分：銳角三角形（三個(gè)角都是銳角）、直角三角形（有一個(gè)角是直角）、鈍角三角形（有一個(gè)角是鈍角）。*按邊分：不等邊三角形（三條邊都不相等）、等腰三角形（有兩條邊相等）、等邊三角形（三條邊都相等，也叫正三角形，等邊三角形的三個(gè)角都是60°）。*特殊三角形的特性：*等腰三角形：兩腰相等，兩底角相等。底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）。*直角三角形：有一個(gè)角是90°。直角三角形的兩個(gè)銳角之和是90°。斜邊（直角所對(duì)的邊）是直角三角形中最長(zhǎng)的邊。（三）四邊形——變化多樣的多邊形四邊形是由四條線段首尾相連圍成的封閉圖形。*一般四邊形：內(nèi)角和是360°。*特殊四邊形：*平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。特性：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相平分。*長(zhǎng)方形（矩形）：有一個(gè)角是直角的平行四邊形。它除了具有平行四邊形的所有特性外，還具有：四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等。*正方形：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形。它是特殊的長(zhǎng)方形，也是特殊的菱形。特性：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相垂直平分。*梯形：只有一組對(duì)邊平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底（上底、下底），不平行的兩邊叫做梯形的腰。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，對(duì)角線相等。（四）圓——完美的曲線圖形圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑。*圓的基本元素：圓心（O）、半徑（r）、直徑（d）。直徑是通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段，直徑等于半徑的2倍（d=2r）。*圓的特性：在同一個(gè)圓或等圓中，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。圓是軸對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，每條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。*圓周率（π）：圓的周長(zhǎng)與直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，叫做圓周率，用字母π表示。π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，通常取近似值3.14。二、平面圖形的周長(zhǎng)與面積計(jì)算周長(zhǎng)是指封閉圖形一周的長(zhǎng)度，面積是指物體的表面或圍成的平面圖形的大小。掌握常見(jiàn)平面圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式，并能靈活運(yùn)用，是解決幾何問(wèn)題的關(guān)鍵。*長(zhǎng)方形：*周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，用字母表示為C=2(a+b)*面積=長(zhǎng)×寬，用字母表示為S=ab*正方形：*周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4，用字母表示為C=4a*面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，用字母表示為S=a2*平行四邊形：*面積=底×高，用字母表示為S=ah（這里的“高”是對(duì)應(yīng)底邊上的高）*三角形：*面積=底×高÷2，用字母表示為S=ah÷2（“高”是對(duì)應(yīng)底邊上的高）*【重要】為什么要除以2？因?yàn)閮蓚€(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。*梯形：*面積=（上底+下底）×高÷2，用字母表示為S=(a+b)h÷2*【重要】這個(gè)公式同樣可以通過(guò)將兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形來(lái)推導(dǎo)。*圓：*周長(zhǎng)（圓周）=π×直徑=2×π×半徑，用字母表示為C=πd或C=2πr*面積=π×半徑×半徑，用字母表示為S=πr2溫馨提示：1.在計(jì)算時(shí)，一定要注意單位的統(tǒng)一。2.對(duì)于組合圖形的面積，通常的方法是“分割法”或“添補(bǔ)法”，將其轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的基本圖形的面積之和或差。3.理解公式的推導(dǎo)過(guò)程比死記硬背公式更重要，這樣才能在不同情境下靈活運(yùn)用。三、立體圖形的初步認(rèn)識(shí)（表面積與體積）小學(xué)階段我們還學(xué)習(xí)了一些基本的立體圖形，主要是認(rèn)識(shí)它們的特征，并計(jì)算它們的表面積和體積。*長(zhǎng)方體和正方體：*特征：都有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)。正方體是特殊的長(zhǎng)方體，它的6個(gè)面都是正方形，12條棱長(zhǎng)度都相等。*表面積：長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積。*長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2，S=2(ab+ah+bh)*正方體表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，S=6a2*體積（容積）：物體所占空間的大小叫做體積，容器所能容納物體的體積叫做容積。*長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高，V=abh*正方體體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，V=a3*通用公式：長(zhǎng)方體（或正方體）體積=底面積×高，V=Sh*圓柱和圓錐（部分版本教材涉及）：*圓柱：由兩個(gè)大小相等、互相平行的圓形（底面）以及連接兩個(gè)底面的一個(gè)曲面（側(cè)面）圍成的幾何體。*側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高，S側(cè)=Ch=2πrh*表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積，S表=S側(cè)+2S底=2πrh+2πr2*體積=底面積×高，V=Sh=πr2h*圓錐：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的幾何體。*體積=底面積×高×1/3，V=(1/3)Sh=(1/3)πr2h*【重要】圓錐體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一。四、幾何解題策略與技巧1.仔細(xì)審題，明確目標(biāo)：拿到幾何題目，首先要仔細(xì)讀題，看清題目給出的條件（已知什么）和問(wèn)題（要求什么，是周長(zhǎng)、面積還是體積？是證明還是計(jì)算？）。2.巧用“轉(zhuǎn)化”思想：很多復(fù)雜的圖形都可以通過(guò)分割、平移、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)等方法轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本圖形。例如，求不規(guī)則圖形的面積，可以通過(guò)“割補(bǔ)法”轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積之和或差。3.注意“輔助線”的運(yùn)用：在解決一些較復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線往往能起到“橋梁”的作用，使隱蔽的條件顯現(xiàn)出來(lái)。比如，三角形中作高，梯形中作高或平移一腰等。4.多觀察，善總結(jié)：幾何圖形千變?nèi)f化，但很多基本模型和解題思路是相通的。要學(xué)會(huì)從題目中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法。例如，看到“中點(diǎn)”，可以聯(lián)想到中線、中位線等。5.動(dòng)手操作，培養(yǎng)空間觀念：對(duì)于立體圖形，可以通過(guò)制作模型、觀察實(shí)物等方式，幫助理解其構(gòu)成和特征，培養(yǎng)空間想象能力。畫(huà)圖也是一個(gè)非常重要的習(xí)慣，把文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，能更直觀地分析問(wèn)題。五、溫馨提示*重視基礎(chǔ)，吃透概念：幾何的邏輯性很強(qiáng)，基本概念和性質(zhì)是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，務(wù)必理解透徹，不要死記硬背。*勤于練習(xí)，善于思考：幾何能力的提升離不開(kāi)練習(xí)，但更要在練習(xí)中思考，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，避免重復(fù)犯錯(cuò)。錯(cuò)題本是個(gè)好幫手。*錯(cuò)題整理，查漏補(bǔ)缺：對(duì)于做錯(cuò)的題目，要認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因，是概念不清、公式記錯(cuò)還是