綜合訓練10平面解析幾何（24種題型60題專練）一．直線的傾斜角（共1小題）1．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知直線l的一個方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A． B． C． D．二．直線的斜率（共2小題）（多選）2．（2023?定遠縣校級模擬）如圖所示，邊長為2的等邊△OAB從起始位置（OA1與y軸重合）繞著O點順時針旋轉至OB與x軸重合得到△OA2B2，在旋轉的過程中，下列說法正確的是（）A．邊AB所在直線的斜率的取值范圍是 B．邊AB所在直線在y軸上截距的取值范圍是[2，4] C．邊A1B1與邊A2B2所在直線的交點為 D．當AB的中垂線為x﹣y＝0時，（多選）3．（2023?廣東二模）在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），則正方形ABCD四邊所在直線中過點（0，0）的直線的斜率可以是（）A．2 B． C． D．三．直線的截距式方程（共1小題）4．（2023?武漢模擬）直線l1：y＝2x和l2：y＝kx+1與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：和．四．直線的一般式方程與直線的平行關系（共2小題）5．（2023?青島三模）瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3），若直線l：ax+（a2﹣3）y﹣9＝0與△ABC的歐拉線平行，則實數a的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或3 D．36．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知兩條直線ax+2y+4＝0與3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，則a＝．五．直線的一般式方程與直線的垂直關系（共3小題）（多選）7．（2023?安徽模擬）已知直線l1：（sinα）x﹣（cosα）y+1＝0，l2：（sinα）x+（cosα）y+1＝0，l3：（cosα）x﹣（sinα）y+1＝0，l4：（cosα）x+（sinα）y+1＝0．則（）A．存在實數α，使l1∥l2 B．存在實數α，使l2∥l3 C．對任意實數α，都有l(wèi)1⊥l4 D．存在點到四條直線距離相等8．（2023?湖北模擬）已知動直線l的方程為（1﹣a2）x+2ay﹣3a2﹣3＝0，a∈R，，O為坐標原點，過點O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長度的取值范圍為（）A．（0，5] B．[1，5] C．[5，+∞） D．（0，3]9．（2023?長寧區(qū)校級三模）已知直線l1：x+y＝0和l2：2x﹣ay+3＝0（a∈R），若l1⊥l2，則a＝．六．兩條直線的交點坐標（共2小題）10．（2023?東城區(qū)二模）已知三條直線l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0將平面分為六個部分，則滿足條件的k的值共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個（多選）11．（2023?江寧區(qū)校級模擬）已知直線l1：2x+y﹣6＝0和點A（1，﹣1），過點A作直線l2與直線l1相交于點B，且AB＝5，則直線l2的方程為（）A．x＝1 B．y＝﹣1 C．3x+4y+1＝0 D．4x+3y﹣1＝0七．恒過定點的直線（共2小題）（多選）12．（2023?深圳模擬）設直線系M：xcosθ+ysinθ＝1+2sinθ（0≤θ≤2π），下列命題中的真命題有（）A．M中所有直線均經過一個定點 B．存在定點P不在M中的任一條直線上 C．對于任意整數n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上 D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等13．（2023?江蘇模擬）設k∈R，直線l1：kx+y﹣k＝0，I直線l2：x﹣ky+2k﹣3＝0，記l1，l2分別過定點A，B，l1與l2的交點為C，則|AC|+|BC|的最大值為．八．與直線關于點、直線對稱的直線方程（共3小題）14．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知：A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），E（﹣1，0），F(xiàn)（1，0），一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上（不含端點）．則FD斜率的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）15．（2023?思明區(qū)校級四模）已知直線l1：3x﹣4y﹣4＝0關于直線l2的對稱直線為y軸，則l2的方程為．16．（2023?麒麟區(qū)校級模擬）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為x2+（y+2）2≤3，若將軍從點A（﹣4，0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y﹣1＝0，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為．九．兩點間的距離公式（共2小題）17．（2023?江西模擬）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點．當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°．根據以上性質，則的最小值為（）A．4 B． C． D．18．（2023?海淀區(qū)校級三模）如圖所示，在8×6的長方形區(qū)域（含邊界）中有A，B兩點，對于該區(qū)域中的點P，若其到A的距離不超過到B距離的一半，則稱P處于A的控制下，例如原點O滿足，即有O點處于A的控制下．同理可定義P處于B的控制下．給出下列四個結論：①點（4，2）處于A的控制下；②若點P不處于A的控制下，則其必處于B的控制下；③若P處于A的控制下，則；④圖中所有處于A的控制下的點構成的區(qū)域面積為8+5π．其中所有正確結論的序號是．一十．點到直線的距離公式（共2小題）19．（2023?安慶模擬）已知點A（﹣4，1）在直線l：（2m+1）x﹣（m﹣1）y﹣m﹣5＝0（m∈R）上的射影為點B，則點B到點P（3，﹣1）距離的最大值為（）A． B．5 C． D．20．（2023?南關區(qū)校級二模）直線l的方程為（λ+2）x+（λ﹣1）y﹣3λ＝0（λ∈R），當原點O到直線l的距離最大時，λ的值為（）A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5一十一．兩直線的夾角與到角問題（共1小題）21．（2023?睢寧縣校級模擬）在△ABC中，∠A的內角平分線方程為y＝x，B（1，4），C（4，3），則角C的正切值為．一十二．與直線有關的動點軌跡方程（共1小題）22．（2023?固鎮(zhèn)縣三模）如圖，在平行四邊形OABC中，點O是原點，點A和點C的坐標分別是（3，0）、（1，3），點D是線段AB上的動點．（1）求AB所在直線的一般式方程；（2）當D在線段AB上運動時，求線段CD的中點M的軌跡方程．一十三．軌跡方程（共2小題）23．（2023?銅陵三模）已知平面上兩定點A、B，則所有滿足（λ＞0且λ≠1）的點P的軌跡是一個圓心在AB上，半徑為的圓．這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓．已知棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1表面上動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡長度為（）A．2π B． C． D．（多選）24．（2023?香坊區(qū)校級三模）在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（0，1），B（3，1），動點P滿足|PA|＝2|PB|，記動點P的軌跡為曲線C，直線l：kx﹣y+2﹣3k＝0（k∈R），則下列結論中正確的是（）A．曲線C的方程為（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4 B．直線l與曲線C相交 C．若直線l被曲線C截得的弦長為，則k＝﹣2 D．|BP|的最大值為3一十四．點與圓的位置關系（共1小題）25．（2023?定西模擬）若點（2，1）在圓x2+y2﹣x+y+a＝0的外部，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．一十五．直線與圓的位置關系（共5小題）26．（2023?海淀區(qū)校級模擬）直線l：3x+4y﹣1＝0被圓C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦長為（）A． B．4 C． D．27．（2023?閬中市校級二模）若點M是圓C：x2+y2﹣4x＝0上的任一點，直線l：x+y+2＝0與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，則∠MAB的最小值為（）A． B． C． D．（多選）28．（2023?泉州模擬）已知AB為圓C：x2+y2＝4的直徑，直線l：y＝kx+1與y軸交于點M，則（）A．l與C恒有公共點 B．△ABM是鈍角三角形 C．△ABM的面積的最大值為1 D．l被C截得的弦的長度的最小值為29．（2023?武功縣校級模擬）已知圓O：x2+y2＝4，M（x0，y0）為圓O上位于第一象限的一點，過點M作圓O的切線l．當l的橫縱截距相等時，l的方程為（）A． B． C． D．30．（2023?天津模擬）設直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0（a＞0）相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則a＝．一十六．圓與圓的位置關系及其判定（共1小題）31．（2023?河南模擬）若圓與圓的公共弦AB的長為1，則直線AB的方程為（）A．2ax+by﹣1＝0 B．2ax+by﹣3＝0 C．2ax+2by﹣1＝0 D．2ax+2by﹣3＝0一十七．橢圓的性質（共4小題）32．（2023?淄博模擬）古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線必經過橢圓的另一焦點．設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若從橢圓右焦點F2發(fā)出的光線經過橢圓上的點A和點B反射后，滿足AB⊥AD，且cos∠ABC＝，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．33．（2023??？谀M）已知F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點且|PF1|＝2|PF2|，則△PF1F2的面積為（）A． B． C．4 D．34．（2023?銅仁市模擬）法國數學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓?！洌海?（a＞b＞0）的蒙日圓為C：x2+y2＝a2，過C上的動點M作Γ的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點，直線PQ交F于A，B兩點，則下列結論不正確的是（）A．橢圓Γ的離心率為 B．△MPQ面積的最大值為 C．M到Γ的左焦點的距離的最小值為 D．若動點D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2，則k1k2＝﹣（多選）35．（2023?衡水模擬）已知橢圓C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為它的左右焦點，A，B分別為它的左右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（）A．存在P使得 B．cos∠F1PF2的最小值為 C．若PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積為9 D．直線PA與直線PB斜率乘積為定值一十八．直線與橢圓的綜合（共5小題）36．（2023?全國模擬）已知橢圓E：，的右焦點F（1，0），過F作直線AB交E于A，B兩點，E上有兩點M，N滿足：MF，NF分別為∠AMB，∠ANB的角平分線．當直線AB斜率為時，△MNF的外接圓面積為9π（1）求E的標準方程；（2）設直線MN：y＝kx+b，求k和b的代數關系．37．（2023?四川模擬）已知橢圓的短軸長為，左頂點A到右焦點F的距離為3．（1）求橢圓C的方程及離心率；（2）設直線l與橢圓C交于不同兩點M，N（不同于A），且直線AM和AN的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數，求F在l上的射影H的軌跡方程．38．（2023?瀘州模擬）已知橢圓的焦點F（﹣1，0），點在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若過點F的直線l與C交于A，B兩點，過點F與l垂直的直線與C交于M，N兩點，求的取值范圍．39．（2023?河北模擬）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，三點，，中恰有兩個點在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若C的上頂點為E，右焦點為F，過點F的直線交C于A，B兩點（與橢圓頂點不重合），直線EA，EB分別交直線x﹣y﹣4＝0于P，Q兩點，求△EPQ面積的最小值．40．（2023?丹鳳縣校級模擬）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，長軸長為短軸長的2倍，點P在C上運動，且△ABP面積的最大值為8．（1）求C的方程；（2）若直線l經過點Q（1，0），交C于M，N兩點，直線AM，BN分別交直線x＝4于D，E兩點，試問△ABD與△AQE的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．一十九．拋物線的性質（共4小題）41．（2023?成都模擬）已知點F（0，4）是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點，點P（2，3），且點M為拋物線C上任意一點，則|MF|+|MP|的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．842．（2023?寶雞模擬）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點T在C上，且|FT|＝，若點M的坐標為（0，1），且MF⊥MT，則C的方程為（）A．y2＝2x或y2＝8x B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x43．（2023?巴中模擬）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，一條平行于x軸的光線從點A（5，4）射出，經過拋物線上的點B反射后，再經拋物線上的另一點C射出，則|BC|＝．44．（2023?浉河區(qū)校級三模）已知拋物線C1：y2＝2px（p＞0）上一點Q（1，a）到焦點的距離為3，（1）求a，p的值；（Ⅱ）設P為直線x＝﹣1上除（﹣1，﹣），（﹣1，）兩點外的任意一點，過P作圓C2：（x﹣2）2+y2＝3的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D，試判斷A，B，C，D四點縱坐標之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由．二十．直線與拋物線的綜合（共3小題）45．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過焦點F與C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點，且，則直線l的方程為（）A． B．x±y﹣1＝0 C．2x±y﹣2＝0 D．x±2y﹣1＝046．（2023?瀘縣校級模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），直線，過點P（1，2）作直線與C交于A，B兩點，當AB∥l時，P為AB中點．（1）求C的方程；（2）作AA'⊥l，BB'⊥l，垂足分別為A'，B'兩點，若BA'與AB'交于Q，求證：PQ∥AA'∥BB'．47．（2023?香坊區(qū)校級二模）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），F(xiàn)為其焦點，P（2，y）（y＞0），A，B三點都在拋物線C上，且|PF|＝4，直線AB，PA，PB的斜率分別為k，k1，k2．（1）求拋物線C的方程，并證明k1+k2﹣k1k2＝；（2）已知M（﹣1，﹣1），且A，B，M三點共線，若PA⊥PB且k1＞k2，求直線PA的方程．二十一．雙曲線的性質（共4小題）48．（2023?巴中模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1斜率為的直線與C的右支交于點P，若線段PF1恰被y軸平分，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．349．（2023?遼寧模擬）如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且cos∠BAC＝﹣，AB⊥BD，則E的離心率為（）A． B． C． D．50．（2023?紅山區(qū)模擬）如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，C的右支上存在一點B滿足BF1⊥BF2，BF1與C的左支的交點A滿足，則雙曲線C的離心率為（）A．3 B． C． D．51．（2023?山西模擬）已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為雙曲線C的右支上一點，點A關于原點O的對稱點為B，滿足∠F1AF2＝60°，且|BF2|＝2|AF2|，則雙曲線C的離心率為．二十二．直線與雙曲線的綜合（共2小題）52．（2023?武漢模擬）已知雙曲線C：的焦距為8．過左焦點F的直線與C的左半支交于A，B兩點，過A，B作直線l：x＝﹣1的垂線，垂足分別為M，N，且當AB垂直于x軸時，|MN|＝12．（1）求C的標準方程；（2）設點，判斷是否存在t＞0，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．53．（2023?梅河口市校級一模）已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），離心率為，點P（x1，2）是C右支上一點，△PF1F2的面積為4．（1）求C的方程；（2）點A是C在第一象限的漸近線上的一點，AF2⊥x軸，點Q是C右支在第一象限上的一點，且C在點Q處的切線l與直線AF2相交于點M，與直線x＝相交于點N．試判斷的值是否為定值？若為定值，求出它的值；若不為定值，請說明理由．二十三．曲線與方程（共2小題）54．（2023?江西模擬）關于曲線C：（x﹣m）2+（y﹣m）2＝（m﹣1）2，下列說法正確的是（）A．曲線C可能經過點（0，2） B．若m＞1，