第1頁(yè)/共1頁(yè)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題本試題考試時(shí)間：100分鐘；滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知直線與平行，則的值是（）A. B.或 C. D.或2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（）A. B.或C. D.或3.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切4.設(shè)，向量，且，則等于（）A2 B.C.3 D.45.已知橢圓的右焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.6.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A13 B.12 C.9 D.67.如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)．若，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.8.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓交雙曲線的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為()A. B. C. D.10.如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角余弦值為（）A. B. C. D.11.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)古從軍行開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.12.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，若橢圓與坐標(biāo)軸分別交于四點(diǎn)，且從這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則橢圓的離心率的可能取值為（）A. B. C. D.第II卷（非選擇題）二、填空題（每題5分，共20分）13.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為_(kāi)___．14.已知、分別是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，P是E上一點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓E的離心率為_(kāi)_________．15.已知雙曲線的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為_(kāi)_____．16.如圖，設(shè)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，直線PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，則點(diǎn)P到直線BD的距離為_(kāi)_____.三、解答題（共6題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）橢圓過(guò)點(diǎn)(3，0)，離心率e＝；（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，圓：.（1）過(guò)點(diǎn)M作圓C切線，求切線的方程；（2）判斷直線：與圓C是否相交；如果相交，求直線m被圓C截得的弦長(zhǎng).19.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20.已知分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，滿足且．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)恰為點(diǎn)，求直線l的方程．21.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.22.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，三角形面積的最大值為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的斜率的平方是直線、斜率之積，求三角形面積的取值范圍.

2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題本試題考試時(shí)間：100分鐘；滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知直線與平行，則的值是（）A. B.或 C. D.或【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時(shí)求出兩直線方程，檢驗(yàn)是否平行；當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)求出k的值并檢驗(yàn)，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由兩直線平行得，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，顯然兩直線平行；當(dāng)時(shí)，由，解得；而當(dāng)時(shí)兩直線重合.綜上所述，k的值為0.故選：C2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用截距相等，推出直線過(guò)原點(diǎn)，或者直線的斜率為，求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線，則直線滿足直線過(guò)原點(diǎn)，或者直線的斜率為，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)為，則，解得，所以直線方程為，即；當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線方程為，即，所以所求直線方程為：或．故選：D3.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】分別求出圓心和，求出圓心距與半徑之和半徑之差比較大小即可得正確選項(xiàng).【詳解】由圓：可得，所以圓心，半徑，由圓：可得，所以圓心，半徑，，因?yàn)?，所以圓與圓的位置關(guān)系為相交，故選：C.4.設(shè)，向量，且，則等于（）A.2 B.C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用空間向量共線和垂直求出，再利用模的坐標(biāo)表示計(jì)算得解.【詳解】向量，由，得，解得，由，得，解得，，所以.故選：C5.已知橢圓的右焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓半焦距公式，結(jié)合雙曲線的右頂點(diǎn)的定義、漸近線方程進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)闄E圓的半焦距為：，所以雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，因此該雙曲線的漸近線方程為，故選：C6.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】7.如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)．若，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算即得.【詳解】由圖知，.故選：A8.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓交雙曲線的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓的性質(zhì)可得△為直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)與雙曲線的定義可表示出每一邊，再利用雙曲線的離心率公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意，，又，，則，，由雙曲線定義，，則離心率.故選：D.9.若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知，曲線表示一個(gè)半圓，結(jié)合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出的取值范圍.【詳解】畫家曲線得，畫出圖像如圖：當(dāng)直線與半圓O相切時(shí)，直線與半圓O有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，，所以，由圖可知，此時(shí)，所以.當(dāng)直線如圖過(guò)點(diǎn)A、B時(shí)，直線與半圓O剛好有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí).由圖可知，當(dāng)直線介于與之間時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以.故選：D.10.如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.11.唐代詩(shī)人李頎詩(shī)古從軍行開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)距離最小問(wèn)題即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，，故，解得，要使從點(diǎn)到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短距離，由點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為點(diǎn)與圓心距離減去半徑知，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選：B12.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，若橢圓與坐標(biāo)軸分別交于四點(diǎn)，且從這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則橢圓的離心率的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，只需要考慮三種情況：，，，分別計(jì)算每一種情況的離心率即可求解.【詳解】結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，只需要考慮三種情況：若以作為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則，由勾股定理可得：，將代入可得：，所以，因?yàn)?，所以，若以作為直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)，則，所以，則，若以作為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則，所以，，綜上所述：橢圓的離心率的可能取值為或，故選項(xiàng)A正確；故選：A第II卷（非選擇題）二、填空題（每題5分，共20分）13.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為_(kāi)___．【答案】【解析】【詳解】當(dāng)直線過(guò)B時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則當(dāng)直線過(guò)A時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則綜合：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)時(shí)，直線的傾斜角的取值范圍為14.已知、分別是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，P是E上一點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓E的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，結(jié)合橢圓的定義求解出，再根據(jù)三角形面積公式結(jié)合已知條件可求得之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合可求離心率.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以且，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為勾股定理形式并結(jié)合橢圓定義求得關(guān)系；本例中涉及求焦點(diǎn)三角形的面積，還可以使用如下結(jié)論進(jìn)行計(jì)算（橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)三角形的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，且)：（1）橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為：（為短軸長(zhǎng)度一半）；（2）雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積為：（為虛軸長(zhǎng)度一半）.15.已知雙曲線的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】畫出圖形，利用已知條件，結(jié)合梯形中位線性質(zhì)得b＝3，再利用a,b,c關(guān)系列出方程組轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由題意可得圖象如圖，CD是雙曲線的一條漸近線y，即bx﹣ay＝0，F(xiàn)（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，F(xiàn)E⊥CD，ACDB是梯形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，EF3，EFb，所以b＝3，雙曲線1（a＞0，b＞0）的離心率為2，可得，可得：，解得a．則雙曲線的方程為：1．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，注意梯形中位線的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．16.如圖，設(shè)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，直線PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，則點(diǎn)P到直線BD的距離為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】要求點(diǎn)P到直線BD的距離，需要作出P到直線BD的高，然后計(jì)算即可.【詳解】過(guò)作于，連接，直線PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，則面.為所求的距離，在中，,在中，,故答案為：三、解答題（共6題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）橢圓過(guò)點(diǎn)(3，0)，離心率e＝；（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）分類，按焦點(diǎn)在軸（）或在軸（）分類求解．（2）設(shè)橢圓方程為(a＞b＞0)．由已知得，從而再求得后可得方程．【詳解】（1）若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，∵e＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴橢圓的方程為.若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，∵e＝，解得a2＝27.∴橢圓的方程為.∴所求橢圓的方程為或；（2）設(shè)橢圓方程為(a＞b＞0)．如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求橢圓的方程為．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，圓：.（1）過(guò)點(diǎn)M作圓C的切線，求切線的方程；（2）判斷直線：與圓C是否相交；如果相交，求直線m被圓C截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）或（2）相交，【解析】【分析】（1）分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況即可求得切線方程；（2）由圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系即可確定直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)一步利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)的值.【小問(wèn)1詳解】解：很明顯，直線斜率不存在時(shí)，直線滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，即，圓心到直線的距離，滿足題意時(shí)有：，解得：，則此時(shí)的直線方程為：，即，綜上可得，直線方程為：或.【小問(wèn)2詳解】解：圓心到直線的距離：，則直線與圓相交，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為：.19.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由等腰三角形三線合一性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可證得，，由線面垂直的判定可證得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由棱柱的性質(zhì)知：，又為中點(diǎn)，；平面，平面平面，平面，又，平面，又平面，；又，平面，平面；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，；平面軸，平面的一個(gè)法向量為，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.20.已知分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，滿足且．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)恰為點(diǎn)，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由雙曲線定義求，結(jié)合求，寫出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，結(jié)合雙曲線方程得，根據(jù)中點(diǎn)M、直線斜率的坐標(biāo)表示得，即可寫出直線方程.【詳解】（1），得，在△中，∴，，則，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)，有，所以，又，，∴，得，∴直線方程為：，滿足，符合題意.點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1、由雙曲線定義：曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離差