第1頁/共1頁2025－2026學(xué)年高二年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓的圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.已知點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（）A B. C.1 D.33.已知，若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.1 B.2 C.3 D.44.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A.3 B.4 C.5 D.65.已知直線和，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a等于（）A. B.9C.或9 D.7或7.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為A. B. C. D.8.如圖所示，在直三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9已知空間中三點(diǎn)，，，則（）A. B.C. D.A，B，C三點(diǎn)共線10.下列說法正確的是（）A.直線必過定點(diǎn)B.直線在y軸上的截距是C.過點(diǎn)且在軸截距相等的直線方程為D.已知直線與直線平行，則平行線間的距離是111.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說法正確的是（）A.橢圓的離心率為B.過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則的周長為C.橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最大值為12.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B，距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．人們將這個(gè)圓以他們名字命名為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓的方程為B.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為9C.在上存在使得D.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.過點(diǎn)（-1,3）且平行于直線的直線方程為_____________．14.點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是______．15.已知圓和圓，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為______.16.正四棱臺(tái)中，，，，，，若平面，則_________．四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求的面積．18.已知圓.（1）過點(diǎn)作圓的切線，求的方程；（2）若直線方程為與圓相交于兩點(diǎn)，求.19.如圖，在斜四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，，記．（1）證明：；（2）求側(cè)棱的長．20.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.21.如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E為AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點(diǎn)，N是BC上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B，C不重合).（1）求證：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在點(diǎn)N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，確定N點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.22.已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切．（1）求圓的方程．（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)任作一條直線與圓交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在定點(diǎn)（與不重合），使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

2025－2026學(xué)年高二年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得解.【詳解】圓即，則圓心為.故選：C2.已知點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?故選：C.3.已知，若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知存在，使得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，且，，三向量共面，可知存在，使得，即，則，解得.故選：A.4.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】確定關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)飲馬點(diǎn)為，利用求最短路程.【詳解】若是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，設(shè)飲馬點(diǎn)為，如下圖示，由圖知：，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C5.已知直線和，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由直線平行求參數(shù)m，根據(jù)充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.【詳解】由，則或，當(dāng)，，滿足平行；當(dāng)，，滿足平行；所以或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a等于（）A. B.9C.或9 D.7或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩圓半徑大小關(guān)系結(jié)合圓與圓位置關(guān)系判斷，即可列方程求解實(shí)數(shù)a的值.【詳解】圓整理得：圓心，半徑，圓的圓心，半徑由于兩圓半徑相同，故若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切所以，整理得，解得或.故選：D.7.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)，因?yàn)檩S，且，所以，又動(dòng)點(diǎn)在圓上，所以，化簡(jiǎn)，得，即點(diǎn)的軌跡方程為；故選B.8.如圖所示，在直三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等體積法即可求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】如圖，連接，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，且平面，則易知，則，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，即，解得．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間中三點(diǎn)，，，則（）A. B.C. D.A，B，C三點(diǎn)共線【答案】AB【解析】【詳解】易得，，，，A正確;因?yàn)?，所以，B正確，D錯(cuò)誤;而，C錯(cuò)誤.故選:AB.10.下列說法正確的是（）A.直線必過定點(diǎn)B.直線在y軸上的截距是C.過點(diǎn)且在軸截距相等的直線方程為D.已知直線與直線平行，則平行線間的距離是1【答案】ABD【解析】【分析】利用變換主元法確定直線過定點(diǎn)可判定A項(xiàng)；利用截距的定義可判定B項(xiàng)；分類討論截距是否為零結(jié)合截距式可判定C項(xiàng)；利用直線平行的充要條件及距離公式可判定D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由，顯然時(shí)，恒成立，即該直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)直線的斜截式定義可確定直線在y軸上的截距是，故B正確；對(duì)于C，若截距均為0，則該直線為；若截距不為0，可設(shè)該直線方程為，代入點(diǎn)可得，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由兩直線平行可知，此時(shí)方程可化為，故兩直線距離為，故D正確.故選：ABD11.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說法正確的是（）A.橢圓的離心率為B.過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則的周長為C.橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最大值為【答案】BD【解析】【分析】求出橢圓的離心率，可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的定義可判斷B選項(xiàng)；求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】在橢圓中，，，則，對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓的離心率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，的周長為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，所以，，故橢圓上不存在點(diǎn)，使得的面積為，B錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，該圓的半徑為，設(shè)點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且為線段上的點(diǎn)，以及點(diǎn)為橢圓的長軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，D對(duì).故選：BD.12.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．人們將這個(gè)圓以他們名字命名為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓的方程為B.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為9C.在上存在使得D.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線【答案】ABD【解析】【分析】由題意求出圓的方程，即可判斷A；求出圓心到直線的距離，從而可得直線與圓的位置關(guān)系，再求出圓上的點(diǎn)該直線的最大距離，即可判斷B；假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，即可判斷C；根據(jù)題意及角平分線的性質(zhì)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，，又因?yàn)?，所以，整理得，即，故A正確；對(duì)于B，由A可知圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以直線與圓相離，所以圓上點(diǎn)到直線的最大距離為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)上的點(diǎn)，則有，且，又因?yàn)椋?，平方得，即，整理得，解得，將代入，則無解，所以不存在滿足條件的點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則，所以射線是的平分線，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.過點(diǎn)（-1,3）且平行于直線的直線方程為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知直線的斜率及所過的點(diǎn)，由點(diǎn)斜式則所求直線為，整理即可得其一般式.【詳解】由直線的斜率為，結(jié)合題意，知：所求直線為，∴整理可得：.故答案為：.14.點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得，且，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)和，可得，且，所以點(diǎn)到直線的距離是.故答案為：.15.已知圓和圓，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用兩圓的方程相減，即可求得兩圓公共弦所在的直線方程.【詳解】由圓和圓，兩圓的方程相減，可得，即圓與圓的公共弦所在的直線方程為.故答案為：.16.在正四棱臺(tái)中，，，，，，若平面，則_________．【答案】##0.75【解析】【分析】畫出圖形，由題意平面，可以推理得出，再根據(jù)題目條件分別把這兩個(gè)向量表示為，，由向量共線的條件即可求解.【詳解】如圖所示：連接，設(shè)，平面平面，因?yàn)槠矫?，且平面，所以；因?yàn)樗睦馀_(tái)底面為正方形，且，，所以，，從而，又因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所?故答案為：.四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，進(jìn)而求出邊上的高所在直線的斜率及方程.（2）求出直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離求解三角形的高，進(jìn)而求出面積.【小問1詳解】直線的斜率為，因此邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為：.【小問2詳解】直線方程為，即，于是點(diǎn)到直線的距離為：，而，所以的面積.18.已知圓.（1）過點(diǎn)作圓切線，求的方程；（2）若直線方程為與圓相交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）討論切線l斜率是否存在設(shè)方程，利用相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑列關(guān)系計(jì)算即得結(jié)果；（2）計(jì)算到直線AB的距離d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦長.【小問1詳解】圓方程可化為，則圓心，半徑為1，由，可得點(diǎn)在圓外，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，即，則圓心到直線l的距離為，解得，的方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)與圓相切，的方程為或；【小問2詳解】直線方程為，則圓心到直線的距離，直線與圓相交，19.如圖，在斜四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，，記．（1）證明：；（2）求側(cè)棱的長．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由，，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知可得，即可證結(jié)論；（2）由，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律得方程求側(cè)棱的長．【小問1詳解】由圖，，所以又且底面是邊長為1的正方形，則，所以，即.【小問2詳解】由（1）知：，根據(jù)已知條件，所以，則.20.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由焦點(diǎn)和離心率即可求出，從而可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，由點(diǎn)直線的距離公式，結(jié)合韋達(dá)定理，把面積表示為的函數(shù)，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由已知得，又離心率，得到，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立，消得，，得到，由韋達(dá)定理得，，又因?yàn)?，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，滿足，所以，面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.21.如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E為AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點(diǎn)，N是BC上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B，C不重合).（1）求證：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在點(diǎn)N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，確定N點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，N為BC的中點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先證明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，證明結(jié)論；（2）以E為原點(diǎn)，EB，ED，EP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=EB=2，設(shè)N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夾角公式求出m，得到結(jié)論.【詳解】解：（1）證明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，所以PE⊥平面EBCD，又BC?平面EBCD，故PE⊥BC