/2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷03（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章橢圓。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．過點(diǎn)和點(diǎn)的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．直線與直線間的距離是（

）A． B． C． D．１3．“實(shí)數(shù)”是“方程表示橢圓”的（

）條件.A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要4．已知，，若，，且平面，則（）A．B．C． D．5．已知圓與圓外離，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．6．已知空間向量，，的長度分別為1，3，4，且兩兩夾角均為，點(diǎn)G為的重心，則（

）A． B． C． D．7．已知直線與直線垂直，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值是（）A． B． C． D．8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使圓關(guān)于直線對(duì)稱B．直線過定點(diǎn)C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線被圓所截弦長為210．已知點(diǎn)是橢圓：上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為4，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 B．C．的周長為 D．的內(nèi)切圓半徑為11．已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點(diǎn)，則（

）A．正四棱臺(tái)的體積為B．正四棱臺(tái)的外接球的表面積為104πC．AE∥平面D．到平面的距離為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量與的夾角為，，則在方向上的投影向量為.13．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，且滿足，求直線的方程是．14．如圖，在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，若為底面內(nèi)一點(diǎn)（不包含邊界），且滿足平面．設(shè)直線MN與直線所成的角為，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知.(1)求向量的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，求；(3)若，求的值.16．（15分）已知頂點(diǎn)、、.(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的2倍，求直線的方程.17．（15分）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求的軌跡方程；(2)若過定點(diǎn)的直線與的軌跡交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．18．（17分）如圖，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿著翻折，得到如右圖所示的四棱錐，記二面角的平面角為.(1)當(dāng)時(shí)，求證：平面；(2)當(dāng)時(shí)，（i）求點(diǎn)到底面的距離；（ii）設(shè)是側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得的余弦值為，若存在，求的值.19．（17分）已知，兩點(diǎn)在橢圓上，直線交橢圓于兩點(diǎn)（均不與點(diǎn)重合），過作直線的垂線，垂足為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，①求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；②求的最小值.

2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷03（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章橢圓。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．過點(diǎn)和點(diǎn)的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由兩點(diǎn)間斜率公式求出直線斜率，再結(jié)合斜率定義即可求傾斜角.【詳解】由題過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率為，設(shè)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的傾斜角為，則，且，所以.故選：C.2．直線與直線間的距離是（

）A． B． C． D．１【答案】B【分析】利用平行線間距離公式計(jì)算得解.【詳解】直線方程為，直線方程為，所以所求距離為.故選：B3．“實(shí)數(shù)”是“方程表示橢圓”的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】B【分析】利用方程表示橢圓，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】方程表示橢圓，則且，所以“實(shí)數(shù)”是“方程表示橢圓”的必要非充分條件.故選：B4．已知，，若，，且平面，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，可求得，進(jìn)而利用線面垂直可求得，的值.【詳解】因?yàn)?，，，所以，解得，所?因?yàn)?，且平面，所以，解得，，所?故選：D.5．已知圓與圓外離，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別求出兩圓的圓心和半徑，結(jié)合兩圓外離求解即可.【詳解】由，圓心為，半徑為，圓，即，則圓心，半徑為，，又，且兩圓外離，則，即，解得，所以，即的取值范圍是.故選：C6．已知空間向量，，的長度分別為1，3，4，且兩兩夾角均為，點(diǎn)G為的重心，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)G為的重心可得，再由向量的減法和模長結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可得.【詳解】∵點(diǎn)G為的重心，∴，∴..∴，∴，∴.故選：B7．已知直線與直線垂直，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由垂直求出，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求出點(diǎn)坐標(biāo)，由幾何關(guān)系易知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，由此可知的最大值.【詳解】直線,直線，因?yàn)榕c垂直，所以，解得，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的中點(diǎn)在直線上，且，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立的最大值為,故選：D.8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓的定義可得，，結(jié)合勾股定理列方程可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理可求得，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)椋O(shè)，如圖所示，由橢圓的定義可知，，則，同理，則，因?yàn)?，則，則，化簡可得，則，則（舍去）或，所以，所以為橢圓的上（或下）頂點(diǎn)，又，所以在中，，解得，即.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使圓關(guān)于直線對(duì)稱B．直線過定點(diǎn)C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線被圓所截弦長為2【答案】BCD【分析】根據(jù)直線是否過圓心判斷A的真假；把點(diǎn)代入方程判斷B的真假；根據(jù)B的結(jié)論可判斷C的真假；利用幾何法求弦長可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：因?yàn)閳A的圓心為，因?yàn)?，所以不存在，使得直線經(jīng)過圓心，即不存在實(shí)數(shù)，使圓關(guān)于直線對(duì)稱.故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)楹愠闪ⅲ灾本€過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓：內(nèi)部，又直線過定點(diǎn)，所以直線與圓必有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，直線：即.圓心到直線的距離為：，所以弦長為：，故D正確.故選：BCD10．已知點(diǎn)是橢圓：上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為4，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 B．C．的周長為 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】BC【分析】此題先算出橢圓的基本量，運(yùn)用三角形面積公式即得；再利用點(diǎn)的坐標(biāo)易于求得的邊長，運(yùn)用勾股定理逆定理即得；根據(jù)橢圓的定義式可得的周長；最后利用面積相等即得內(nèi)切圓半徑.【詳解】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)，由可得故，則的面積為解得：，對(duì)于A選項(xiàng)，由上分析知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由知，此時(shí)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)，故，又由知，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因點(diǎn)在橢圓上，故有于是的周長為故C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由三角形面積相等可得：，解之得：故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點(diǎn)，則（

）

A．正四棱臺(tái)的體積為B．正四棱臺(tái)的外接球的表面積為104πC．AE∥平面D．到平面的距離為【答案】BCD【分析】利用正四棱臺(tái)的體積計(jì)算可判斷A；連接相交于，連接相交于，分外接球的球心在正四棱臺(tái)的內(nèi)部、內(nèi)部，根據(jù)、，求出可判斷B；取的中點(diǎn)，利用面面平行的判斷定理可判斷平面平面，從而可判斷C；以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的距離的向量求法可判斷D.【詳解】正四棱臺(tái)的體積為，，故A錯(cuò)誤；

連接相交于，連接相交于，如果外接球的球心在正四棱臺(tái)的內(nèi)部，則在上，，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L分別為4，6，所以，，設(shè)外接球的半徑為，所以，即，無解，所以外接球的球心在正四棱臺(tái)的外部，如下圖，

則在延長線上，，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L分別為4，6，所以，，設(shè)外接球的半徑為，所以，即，解得，所以正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，故B正確；

取的中點(diǎn)，連接，，連接，所以，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，又，所以，又因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故C正確；

以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令可得，到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量與的夾角為，，則在方向上的投影向量為.【答案】/【分析】根據(jù)投影向量的定義求解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在方向上的投影向量為．故答案為：?3．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，且滿足，求直線的方程是．【答案】【分析】先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出直線的傾斜角，從而得到其斜率，再由點(diǎn)斜式即可求得直線的方程．【詳解】由點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，則直線與軸的夾角相等，又，則直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，即直線的斜率為，又橢圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是，即，故答案為：．14．如圖，在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，若為底面內(nèi)一點(diǎn)（不包含邊界），且滿足平面．設(shè)直線MN與直線所成的角為，則的最小值為．

【答案】【分析】根據(jù)平面，過點(diǎn)構(gòu)造平行平面，找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為兩個(gè)平面交線，再建系求解余弦最值，最后轉(zhuǎn)化為正切最值即可.【詳解】分別取線段的中點(diǎn)Q，P，連接MQ，MP，PQ，如圖所示．

連接，易知，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，同理可得平面，又平面MPQ，故平面平面，故點(diǎn)在線段PQ上，且不與P，Q重合．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．令正方體棱長為2，設(shè)，則，，所以．當(dāng)時(shí)，取得最大值，為，此時(shí)取得最小值，故的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知.(1)求向量的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，求；(3)若，求的值.【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出.（2）求出的坐標(biāo)，再結(jié)合向量共線及模的坐標(biāo)表示求解.（3）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示及垂直關(guān)系的向量表示列式求出.【詳解】（1）由，得（2）由（1）得，而量，因此，所以.（3）由（1）知，，由，得，所以16．（15分）已知頂點(diǎn)、、.(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的2倍，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)，，即可得的中點(diǎn)及斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式可得其垂直平分線方程；（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)可直接求得直線方程；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可根據(jù)直線的截距式進(jìn)行求解.【詳解】（1）由、可知中點(diǎn)為，且，設(shè)邊的垂直平分線的斜率為，所以垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其斜率，此時(shí)直線方程為，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，由過點(diǎn)，則，解得，所以直線方程為，綜上所述，直線的方程為或.17．（15分）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求的軌跡方程；(2)若過定點(diǎn)的直線與的軌跡交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表達(dá)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入中，整理可得的軌跡方程；（2）考慮直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況，由點(diǎn)到直線距離和弦長公式進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，化簡得，故的軌跡方程為．（2）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離是，所以，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，化簡得，因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，由圓心到直線的距離公式得，所以，即，平方得，整理得，解得，故直線的方程為，即．綜上，直線的方程為或．18．（17分）如圖，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿著翻折，得到如右圖所示的四棱錐，記二面角的平面角為.(1)當(dāng)時(shí)，求證：平面；(2)當(dāng)時(shí)，（i）求點(diǎn)到底面的距離；（ii）設(shè)是側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得的余弦值為，若存在，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）翻折后由，，確定，得到平面，再結(jié)合勾股定理得到，即可求證；（2）（i）過點(diǎn)作，垂足為，確定平面，即可求解；（ii）建系，求得平面的法向量，通過向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榉矍埃苑酆?，，由二面角的定義可知，二面角的平面角，當(dāng)時(shí)，，即，又，且，平面，平面，平面，，又在三角形中，易知，