專題07數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：乘型 1題型二：除型 5三、專題07數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）專項(xiàng)訓(xùn)練 9一、必備秘籍錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．溫馨提示：1.兩個(gè)特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒有參與相減的項(xiàng)的保留.二、典型題型題型一：乘型例題1．（2023秋·陜西西安·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，兩式相減并化簡得：，所以，兩式相加得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，又當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，所以；?）由（1）知，則，，所以，所以.例題2．（2023秋·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，公差，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，（）．(1)求數(shù)列的公比q；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的n的最小值．【答案】(1)(2)13【詳解】（1）∵，，，又，，，，，∴，故，解得或（舍去），∴，∴，，∴．（2）由（1）知，，所以，，錯(cuò)位相減得：，∴，由，可得，令，則，令，故當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，而，而，故，，，滿足，∴滿足的n的最小值為13．例題3．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，又，，，是等差數(shù)列，；（2），（1），（2），由（1）-（2）得，化簡得，若為偶數(shù)時(shí)，，若為奇數(shù)時(shí)，因此.例題4．（2023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意知，則當(dāng)時(shí)，，故兩式相減得，即，又當(dāng)時(shí)，，，故，即也適合；所以當(dāng)時(shí)，，即，也適合，故；又?jǐn)?shù)列滿足，，則為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則，故，即；（2）由（1）可得，故，則，故，故.題型二：除型例題1．（2023秋·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，，，.(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，求非零常數(shù)的值；(2)在（1）的條件下，，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由為遞增的等差數(shù)列，，，故為方程的兩根，因?yàn)閿?shù)列為遞增的等差數(shù)列，解得，，故公差，所以，所以，所以，若為等差數(shù)列，設(shè)，則，整理得，即，故，又，解得，；（2）由（1）知，所以，因此，又，兩式相減得，所以.例題2．（2023秋·湖南長沙·高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)棰?，所以?②①兩得，即又因，所以；當(dāng)時(shí)，解得，所以.（2）由（1）知，則①，②，①②得，所以.例題3．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由，得，兩式相減得，即，所以，又因，所以，當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，則，則，，兩式相減得，所以.例題4．（2023春·河南周口·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）∵,,兩式作差得:,又，∴是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,則.設(shè)的公差為,由,可得,∴.（2）由(1)知:,的前n項(xiàng)和，所以,，兩式作差得:.所以.三、專題07數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)?，則，則有兩式相減得：，因此，有，所以數(shù)列的前100項(xiàng)之和為.故選：B2．（2023·全國·高三對口高考）數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，，所以，故，兩式相減可得，，所以..故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部為(

).A． B． C．1011 D．2022【答案】A【詳解】由題意得，所以，所以，所以，所以復(fù)數(shù)z的虛部為1012，故選：A4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得：，；設(shè)，則，，，，即，.故選：B.二、填空題5．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，數(shù)列前項(xiàng)和．【答案】【詳解】由已知得，，則，，兩式相減得，，所以，.故答案為：6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】【詳解】由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：，①則：，②①②：，即，即，即，即，即，即，所以，故答案為：.7．（2023秋·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)即為，且，若對任意，都有，則的取值范圍是.【答案】【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)即為，且，，兩式相減可得：，.，單調(diào)遞增，即.，，.又若對任意，都有，即，.故答案為：.8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則.【答案】【詳解】①，②，兩式相減得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.則，則③，④，③-④得：，所以故答案為：三、解答題9．（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意不妨設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的公差、公比分別為，所以有和，注意到，所以分別解得和，因此由定義可知與的通項(xiàng)公式分別為.（2）由（1）可知，所以由題意有，當(dāng)時(shí)，有，所以有，以上兩式作差得，當(dāng)時(shí)，有，綜上所述：的前項(xiàng)和為.10．（2023秋·福建三明·高三三明一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記和分別為和的前n項(xiàng)和，求和.【答案】(1)，；(2)，.【詳解】（1）設(shè)的公比為q，則，由，，成等差數(shù)列，得，則有，解得，所以和的通項(xiàng)公式是，.（2）由（1）知；，則，兩式相減得，所以.11．（2023秋·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式與；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析【詳解】（1）解：．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，則．因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以．故，．（2）證明：．記的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得．所以，所以．12．（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）得，，，所以.即，即.13．（2023秋·黑龍江哈爾濱