專題06利用導函數(shù)研究能成立（有解）問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：單變量有解問題 1題型二：雙變量不等式有解問題 7題型三：雙變量等式有解問題 12三、專項訓練 15一、必備秘籍分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.二、典型題型題型一：單變量有解問題1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）若存在，使不等式成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，，令，即，由，得，令，則原問題等價于存在，使得成立，求導得，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，又，則當時，，若存在，使得成立，只需且，解得且，即，所以的取值范圍為.故選：D【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.2．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由有意義可知，.由，得.令，即有.因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得.因為，令，即，解得；令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當時，.因為存在，使得成立，所以只需且，解得.故選：.二、填空題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】函數(shù)存在唯一的整數(shù)，使得，設(shè)與,即存在唯一的整數(shù)，使得在直線上方,，當時，,在上單調(diào)遞增；當時，,在上單調(diào)遞減，,，

若要存在唯一的整數(shù)，使得在直線上方，則或，代入得或，解得,故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛:用導數(shù)求參數(shù)的范圍問題，將題目轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)的交點問題求解是解題的關(guān)鍵.4．（2023·云南·校聯(lián)考三模）設(shè)函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由函數(shù)，設(shè)和因為存在唯一整數(shù)，使得，所以存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，如圖所示，因為，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當時，取得極小值，也為最小值，且當時，，當時，，又由直線恒經(jīng)過原點，斜率為（其中），所以且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：

5．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在，使得，求實數(shù)的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）因為，所以的定義域為．當時，；當時，令，解得或（舍去），所以當時，，當時，．綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）若存在，使得，則存在，使得成立，令，令，則，當時，，即在單調(diào)遞減，當時，，則在單調(diào)遞增，所以在取得極小值，即最小值，所以，即在上恒成立，即存在，使得成立，即．令，則，令，所以，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的最小值為．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導數(shù)解決含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，以及不等式能成立問題，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于將不等式問題通過分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為最值問題，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解決問題.6．（2023·寧夏銀川·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)如果存在，使得當時，恒有成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)；【詳解】（1）當時，，求導得：，則，而，所以曲線在點處的切線方程為.（2），因為存在，使得當時，恒有成立，則存在，使得當時，，令，即有，恒成立，求導得，令，，因此函數(shù)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，當，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，成立，從而，當時，，，則存在，使得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，不符合題意，所以的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.題型二：雙變量不等式有解問題1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，對于存在的，存在，使，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為對于存在，存在，使，所以，，，又，，顯然在上單調(diào)遞減，則，當時，，即在上單調(diào)遞增，則，由解得：，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.2．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，，使（為常數(shù)）成立，則常數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在上為增函數(shù)，由知，，令，則，當時，，即在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，，可化為，即，令，則，，使能成立，在上能成立，即在上能成立，，，令，，則，令，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，故，在上單調(diào)遞增，，.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為存在，使能成立是其一，其二需要構(gòu)造函數(shù)后分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為在上能成立，再次構(gòu)造函數(shù)，多次利用導數(shù)求其最大值.3．（2023上·廣東中山·高三中山市華僑中學校考階段練習）已知函數(shù)，對于，都，使，則的取值范圍為.【答案】【詳解】由得，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，對于，，所以，由題意知對于，都，使，故，則，所以或，故答案為：.4．（2023下·重慶·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若對任意都存在，使成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】對任意都存在使成立，而，所以，即存在，使，此時，，所以，因此將問題轉(zhuǎn)化為：存在，使成立，設(shè)，，當，，單調(diào)遞增，所以，由題意，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.5．（2023上·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對，都，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為函數(shù)，所以．設(shè)，則，故在上遞減．，即，在上單調(diào)遞減，最小值為．（2）令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上恒成立；又，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上，只需，解得，即實數(shù)的取值范圍是．6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)．當時，若對，，使，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）∵，∴，令，可得兩根分別為1，，∵，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．（2），，由（1）知，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴在上的最小值為．對，，使，即在上的最小值不大于在上的最小值，（*）又，∴①當時，，此時與（*）矛盾；②當時，，同樣與（*）矛盾；③當時，，且當時，，解不等式，可得，∴實數(shù)b的取值范圍為．題型三：雙變量等式有解問題1．（2020·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C．

D．【答案】D【詳解】，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的值域是，因為，，使得，所以，解得：，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：D2．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預測）已知函數(shù)，若，使得成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由，使得成立，則函數(shù)的值域包含的值域.當時，函數(shù)開口向上，對稱軸，所以在上單調(diào)遞減，且，所以；當時，，則，①若，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，解得；②若，則，在上單調(diào)遞增，此時值域為，符合題意.③當時，的值域為，不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.3．（2023上·北京·高二北京市十一學校?？计谀┮阎瘮?shù)，，若成立，則n－m的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，則，，∴，，即，若，則，∴，有，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；∴，即的最小值為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：令確定關(guān)于t的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)求函數(shù)的最小值.4．（2021上·河南商丘·高三睢縣高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)和函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】當時，，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減，，，；當時，，，，若存在，使得成立，則，即，解得：，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)中的能成立問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒛艹闪⒌臈l件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)最值之間大小關(guān)系的比較問題，從而利用導數(shù)、三角函數(shù)知識求得兩函數(shù)的值域，根據(jù)最值大小關(guān)系構(gòu)造出不等式組.5．（2022下·山東青島·高二山東省萊西市第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù).，使得)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【分析】對求導，判斷在(－∞,－1]、在上的單調(diào)性并確定值域，根據(jù)函數(shù)等量關(guān)系能成立有1＋<，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0，當x∈(－∞,0)時f′(x)<0，∴f(x)在(－∞,－1]上單調(diào)遞減，且值域為[.∵g(x)＝，∴g′(x)＝′＝＝，∵x<－時，g′(x)>0，∴g(x)在上單調(diào)遞增，且值域為.若?x1∈(－∞,－1]，?x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，則1＋<，可得a<.綜上，故實數(shù)a的取值范圍是.三、專項訓練一、單選題1．（2023下·浙江杭州·高二學軍中學?？茧A段練習）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，且，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且，由題意可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.

2．（2023下·北京·高二北京市第十二中學?？计谀┮阎瘮?shù)，若存在，使，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以所以.故選：C.3．（2023下·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為存在實數(shù)，使得，所以，即，令，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，即的最小值，令，，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得極小值即最小值，，.故選：C4．（2022下·天津·高二天津市薊州區(qū)第一中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若對任意的，存在使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．[，4]C． D．【答案】B【詳解】解：的導函數(shù)為，由時，，時，，可得g（x）在[–1，0]上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=，所以對于任意的，．因為開口向下，對稱軸為軸，所以當時，，當時，，則函數(shù)在[，2]上的值域為[a–4，a]，由題意，得，，可得，解得．故選：B.5．（2022下·全國·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)，若，成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，得，同時除以得：，使該不等式成立．設(shè)，，當時，，所以在為減函數(shù)，所以，由得，即，因為，所以，，即a的取值范圍是.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[﹣，1] B．[，] C．[，] D．[，2]【答案】B【詳解】當x∈[0，]時，y=﹣x，值域是[0，]；x∈（，1]時，y=，y′=＞0恒成立，故為增函數(shù)，值域為（，1]．則x∈[0，1]時，f（x）的值域為[0，1]，當x∈[0，1]時，g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），為增函數(shù)，值域是[2﹣2a，2﹣]，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]≠，若[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]=，則2﹣2a＞1或2﹣＜0，即a＜，或a＞．∴a的取值范圍是[，]，故選：B．7．（2021上·山西太原·高三太原五中?？茧A段練習）已知函數(shù)，．若，都，使成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，都，使成立，；當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時，；時，；，當時，；①當，即時，在上單調(diào)遞增，，，解得：，；②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，解得：或，；③當，即時，在上單調(diào)遞減，，，解得：，；綜上所述：的取值范圍為.故選：D.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故；（5）若，，有，則的值域是值域的子集．8．（2021下·全國·高三校聯(lián)考專題練習）設(shè)函數(shù)，，若在區(qū)間上存在，使得成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，設(shè)，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，∴存在，使得成立，即，記，則，∵，∴，∴，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴，故實數(shù)a的取值范圍為.故選：D.9．（2018下·四川攀枝花·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)若對,使得成立,則實數(shù)的最小值是A． B． C．2 D．3【答案】C【詳解】由題意，對于，使得成立，可轉(zhuǎn)化為對于，使得成立，又由，可得，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最大值，最大值為，又由二次函數(shù)，開口向上，且對稱軸的方程為，①當，即時，此時函數(shù)，令，解得（不符合題意，舍去）；②當，即時，此時函數(shù)，令，解得，（符合題意），綜上所述，實數(shù)的最小值為，故選C．二、填空題10．（2023上·廣東中山·高三中山市華僑中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，對于，都，使，則的取值范圍為.【答案】【詳解】由得，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，對于，，所以，由題意知對于，都，使，故，則，所以或，故答案為：.11．（2021下·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意得．因為，當時，，故在上單調(diào)遞增，．因為，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．由，即，解得．故答案為：．12．（2023下·天津東麗·高二天津市第一百中學校考階段練習）已知，，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】∵，∴，∴當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上的最小值為；又∵，∴由二次函數(shù)知識，在上的最小值為，若，，使成立，等價于，即，∴實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、問答題13．（2023上·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對，都，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為函數(shù)，所以．設(shè)，則，故在上遞減．，即，在上單調(diào)遞減，最小值為．（2）令，則