二次函數(shù)實際應(yīng)用題專項練習(xí)在數(shù)學(xué)的廣闊天地中，二次函數(shù)無疑是一塊舉足輕重的基石。它不僅在理論層面展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的精妙，更在解決實際問題時發(fā)揮著無可替代的作用。從最優(yōu)化生產(chǎn)到物理運動軌跡，從幾何圖形計算到經(jīng)濟(jì)利潤分析，二次函數(shù)的身影無處不在。掌握二次函數(shù)實際應(yīng)用題的求解方法，不僅能夠深化對函數(shù)概念的理解，更能顯著提升運用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的能力。本專項練習(xí)旨在通過系統(tǒng)梳理與實戰(zhàn)演練，幫助同學(xué)們攻克這一重點與難點。一、解題策略與要點剖析解決二次函數(shù)實際應(yīng)用題，如同在現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)模型之間搭建橋梁，需要清晰的思路與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟襟E。首先，審題建模是前提。面對一道實際應(yīng)用題，首要任務(wù)是仔細(xì)閱讀題目，逐字逐句理解題意，明確問題的核心是什么，需要我們求解什么。在此基礎(chǔ)上，要準(zhǔn)確識別題目中的已知量、未知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。關(guān)鍵在于將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，特別是找出其中蘊含的等量關(guān)系，進(jìn)而設(shè)出合適的自變量與因變量，建立起二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。這一步考驗的是抽象概括能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。其次，求解函數(shù)解析式是核心。建立模型后，通常需要確定二次函數(shù)的解析式。這就需要根據(jù)題目所給的條件，選擇恰當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)表達(dá)式形式，如一般式、頂點式或交點式。通過代入已知點的坐標(biāo)、利用頂點坐標(biāo)信息、或者根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)等，求解出函數(shù)解析式中的各項系數(shù)。這一過程要求我們熟練掌握二次函數(shù)解析式的幾種形式及其相互轉(zhuǎn)化，并能靈活運用方程思想。再者，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵。得到二次函數(shù)解析式后，便可以利用其圖像與性質(zhì)來解決具體問題了。最常見的是求最值問題，這往往與二次函數(shù)圖像的頂點密切相關(guān)。需要注意的是，自變量的取值范圍必須受到實際問題的約束，因此在求最值時，不能僅僅依賴于頂點坐標(biāo)，還需結(jié)合自變量的取值區(qū)間進(jìn)行綜合判斷。此外，還可能涉及到根據(jù)函數(shù)值求自變量、判斷函數(shù)的增減性、以及函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點的實際意義等。最后，回歸實際，檢驗作答是保障。數(shù)學(xué)模型的解是否符合實際問題的情境，這是必須驗證的一步。例如，求得的時間、長度、數(shù)量等是否為非負(fù)數(shù)，是否在合理的范圍內(nèi)。同時，要用規(guī)范、簡潔的語言回答題目提出的問題，確保答案的完整性和準(zhǔn)確性。二、典型例題精析（一）最大利潤問題例題1：某商店經(jīng)營一種小商品，已知成批購進(jìn)時單價是2元。根據(jù)市場調(diào)查，銷售量與銷售單價滿足如下關(guān)系：在一段時間內(nèi)，單價是10元時，銷售量是100件，而單價每降低1元，就可多售出20件。設(shè)銷售單價為x元，銷售利潤為y元。（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？分析與解答：（1）我們知道，利潤=（售價-進(jìn)價）×銷售量。題目中，進(jìn)價為2元，售價為x元，所以每件的利潤為（x-2）元。關(guān)鍵在于表示銷售量。當(dāng)單價是10元時，銷售量是100件，單價每降低1元，多售出20件。那么，單價從10元降到x元，降低了（10-x）元，所以多售出的數(shù)量為20(10-x)件。因此，總銷售量為100+20(10-x)件。化簡銷售量表達(dá)式：100+200-20x=300-20x。所以，利潤y=(x-2)(300-20x)。展開并整理：y=300x-20x2-600+40x=-20x2+340x-600。這里需要注意x的取值范圍。單價x不能低于進(jìn)價2元，同時銷售量300-20x也不能為負(fù)數(shù)，即300-20x≥0，解得x≤15。所以x的取值范圍是2≤x≤15。（2）要求最大利潤，即求二次函數(shù)y=-20x2+340x-600在區(qū)間[2,15]上的最大值。由于二次項系數(shù)a=-20<0，拋物線開口向下，函數(shù)在頂點處取得最大值。對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其頂點的橫坐標(biāo)x=-b/(2a)。代入得x=-340/(2×(-20))=-340/(-40)=8.5。8.5在[2,15]范圍內(nèi)，所以當(dāng)x=8.5時，y有最大值。將x=8.5代入函數(shù)式：y=-20×(8.5)2+340×8.5-600。計算得：y=-20×72.25+2890-600=-1445+2890-600=845。所以，當(dāng)銷售單價定為8.5元時，能獲得最大利潤，最大利潤是845元。點評與反思：此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出“單價”、“銷售量”、“單件利潤”三者之間的關(guān)系，尤其是銷售量如何隨單價變化。建立函數(shù)關(guān)系式后，求最值時務(wù)必關(guān)注自變量的實際取值范圍，確保頂點橫坐標(biāo)在該范圍內(nèi)，若不在，則需考慮區(qū)間端點的函數(shù)值。（二）幾何圖形問題例題2：用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18米。設(shè)矩形的寬AB為x米，面積為S平方米。（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時，菜園的面積最大？最大面積是多少？分析與解答：（1）首先根據(jù)題意畫出示意圖（此處略），矩形菜園一邊靠墻，設(shè)寬AB為x米，那么與AB相鄰的邊BC的長度是多少呢？籬笆總長為30米，AB和CD是兩個寬，各為x米，所以BC的長度（即矩形的長）為30-2x米。面積S=長×寬=x(30-2x)=-2x2+30x。接下來考慮自變量x的取值范圍。矩形的長和寬都必須是正數(shù)。寬x>0；長30-2x>0，即x<15。同時，題目中墻長為18米，這意味著矩形的長（BC邊）不能超過墻的長度，否則無法靠墻圍成。所以30-2x≤18，解得x≥6。綜上，自變量x的取值范圍是6≤x<15。（2）求面積S的最大值，即求二次函數(shù)S=-2x2+30x在[6,15)上的最大值。a=-2<0，拋物線開口向下，對稱軸為x=-b/(2a)=-30/(2×(-2))=7.5。7.5在[6,15)范圍內(nèi)，所以當(dāng)x=7.5時，S取得最大值。S最大值=-2×(7.5)2+30×7.5=-2×56.25+225=-112.5+225=112.5（平方米）。所以，當(dāng)x為7.5米時，菜園面積最大，最大面積是112.5平方米。點評與反思：幾何圖形問題常常需要結(jié)合圖形的性質(zhì)，用含自變量的代數(shù)式表示出其他相關(guān)量（如周長、面積、體積等）。特別要注意題目中是否存在對圖形邊長的限制條件（如本例中的墻長），這些條件會共同決定自變量的取值范圍。對稱軸是否在取值范圍內(nèi)，是決定最值點的關(guān)鍵。（三）運動軌跡與物理現(xiàn)象問題例題3：一個小球從地面豎直向上拋出，它在上升過程中離地面的高度h（米）與拋出后經(jīng)過的時間t（秒）滿足關(guān)系：h=-5t2+20t。（1）經(jīng)過多少時間，小球達(dá)到最高點？最高點離地面多少米？（2）經(jīng)過多少時間，小球落到地面？分析與解答：（1）小球的高度h是時間t的二次函數(shù)，h=-5t2+20t。因為a=-5<0，拋物線開口向下，所以頂點即為最高點。對稱軸t=-b/(2a)=-20/(2×(-5))=2。即經(jīng)過2秒，小球達(dá)到最高點。將t=2代入h的表達(dá)式，得h最高點=-5×(2)2+20×2=-5×4+40=-20+40=20米。（2）小球落到地面時，高度h=0。令h=0，即-5t2+20t=0。解方程：t(-5t+20)=0，所以t=0或-5t+20=0。解得t?=0（拋出時刻），t?=4。所以，經(jīng)過4秒，小球落到地面。點評與反思：此類問題的函數(shù)關(guān)系式有時會直接給出（如本例），有時則需要根據(jù)物理規(guī)律（如自由落體、平拋運動）自行建立。求解時，要明確函數(shù)表達(dá)式中各變量的物理意義，以及所求問題對應(yīng)的函數(shù)值或自變量值。例如，最高點對應(yīng)二次函數(shù)的頂點，落地對應(yīng)函數(shù)值為零。三、鞏固提升練習(xí)1.利潤問題變形：某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152025...-------------------------y（件）252015...若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)。（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？2.幾何動態(tài)問題：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s；同時點Q從點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動，速度為2cm/s。設(shè)運動時間為t秒（0<t<4），△PCQ的面積為Scm2。（1）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在P、Q運動過程中，△PCQ的面積能否達(dá)到10cm2？若能，求出t的值；若不能，說明理由。（注：此處原題應(yīng)附圖，但文字描述已足夠。P在AC上，AP=tcm，所以PC=(6-t)cm；Q在BC上，CQ=2tcm。）3.拋物線形建筑或物體問題：一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面4米。（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中（設(shè)拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸），求出該拋物線的解析式；（2）當(dāng)水位上漲3米時，橋下水面寬度是多少米？（結(jié)果保留根號）4.運動中的最值問題：一個物體從點A出發(fā)，沿斜坡向上運動，其運動的豎直高度h（米）與水平距離s（米）之間滿足關(guān)系h=-0.1s2+0.6s+0.8。問：物體運動到離水平地面多高時，它離出發(fā)點A的水平距離最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？四、總結(jié)與展望二次函數(shù)的實際應(yīng)用是對我們綜合運用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題能力的有效檢驗。它要求我們不僅要熟練掌握二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，更要具備從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力。通過本專項練習(xí)，我們系統(tǒng)地梳理了解題步驟，分析了典型例題，并提供了鞏固練習(xí)。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，希望同