2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)——模型優(yōu)化與決策模擬試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分）1.在模型評(píng)估中，AIC和BIC這兩個(gè)信息準(zhǔn)則的主要區(qū)別在于（）。A.AIC適用于大樣本，BIC適用于小樣本B.AIC傾向于選擇更復(fù)雜的模型，BIC傾向于選擇更簡(jiǎn)單的模型C.AIC計(jì)算更簡(jiǎn)單，BIC計(jì)算更復(fù)雜D.AIC主要用于回歸模型，BIC主要用于分類模型2.對(duì)于一個(gè)線性回歸模型，如果增加了一個(gè)與因變量高度相關(guān)的自變量，可能會(huì)導(dǎo)致（）。A.模型擬合優(yōu)度（R2）顯著下降B.模型參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差增大C.模型出現(xiàn)明顯的異方差性D.模型出現(xiàn)明顯的多重共線性3.在進(jìn)行邏輯回歸模型估計(jì)時(shí)，常用的優(yōu)化目標(biāo)是（）。A.最小二乘法B.最大似然估計(jì)C.K最近鄰法D.灰色預(yù)測(cè)法4.若一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出明顯的趨勢(shì)性和季節(jié)性，不適合直接使用的模型是（）。A.ARIMA模型B.指數(shù)平滑模型C.線性回歸模型D.季節(jié)性分解模型5.在決策分析中，期望收益矩陣中的元素代表（）。A.概率B.決策后果C.風(fēng)險(xiǎn)值D.狀態(tài)值6.梯度下降法是一種常用的模型參數(shù)優(yōu)化算法，其基本思想是（）。A.基于最大似然函數(shù)直接求解參數(shù)B.沿著目標(biāo)函數(shù)梯度的反方向更新參數(shù)，以減小目標(biāo)函數(shù)值C.基于最小二乘法直接求解參數(shù)D.隨機(jī)選擇參數(shù)更新方向7.在模型診斷中，如果殘差圖顯示殘差存在明顯的系統(tǒng)性模式，則可能表明（）。A.模型擬合良好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在異常值8.蒙特卡洛模擬在決策分析中的應(yīng)用主要是為了（）。A.精確計(jì)算最優(yōu)決策方案B.估計(jì)復(fù)雜決策方案在不同狀態(tài)下的期望收益及其不確定性C.選擇最優(yōu)的模型評(píng)估指標(biāo)D.優(yōu)化模型參數(shù)9.對(duì)于一個(gè)分類模型，如果將一個(gè)實(shí)際屬于正類的樣本錯(cuò)誤地預(yù)測(cè)為負(fù)類，這被稱為（）。A.真陽(yáng)性（TP）B.假陽(yáng)性（FP）C.真陰性（TN）D.假陰性（FN）10.決策樹(shù)模型在優(yōu)化時(shí)，常用的剪枝方法有（）。A.基于信息增益B.回歸剪枝C.預(yù)剪枝和后剪枝D.Lasso回歸二、填空題（每空2分，共20分）1.在模型選擇中，R2衡量的是模型對(duì)________的解釋能力。2.邏輯回歸模型適用于預(yù)測(cè)________變量。3.時(shí)間序列分析中的ARIMA模型，其中p代表________階自回歸，d代表差分次數(shù)，q代表________階移動(dòng)平均。4.貝葉斯決策理論中，決策規(guī)則通常是選擇使________最大的行動(dòng)方案。5.模型過(guò)擬合是指模型對(duì)________學(xué)習(xí)得過(guò)于好，而泛化能力________。6.交叉驗(yàn)證是一種常用的模型評(píng)估方法，目的是減少________帶來(lái)的偏差。7.決策樹(shù)中的節(jié)點(diǎn)分裂通?；谀撤N________來(lái)進(jìn)行。8.在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，最大似然估計(jì)的原理是尋找使________最大化的參數(shù)值。9.模擬實(shí)驗(yàn)可以通過(guò)________來(lái)生成符合特定分布的隨機(jī)樣本。10.風(fēng)險(xiǎn)決策分析中，風(fēng)險(xiǎn)是指行動(dòng)方案在不同狀態(tài)下的________期望。三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述線性回歸模型中多重共線性的問(wèn)題及其可能產(chǎn)生的影響。2.解釋什么是模型泛化能力，并簡(jiǎn)述提高模型泛化能力的一般方法。3.在決策分析中，什么是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避決策？請(qǐng)舉例說(shuō)明。4.簡(jiǎn)述模型診斷的主要目的和常用方法。四、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.已知一個(gè)簡(jiǎn)單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，其中ε~N(0,σ2)。觀測(cè)得到樣本數(shù)據(jù)如下：n=5,Σ(xi)=15,Σ(xi2)=55,Σ(xiYi)=40,ΣYi=10。請(qǐng)計(jì)算回歸系數(shù)β?的最小二乘估計(jì)值。2.假設(shè)一個(gè)決策問(wèn)題有兩個(gè)行動(dòng)方案A和B，存在兩種狀態(tài)S?和S?。行動(dòng)方案A在狀態(tài)S?下的收益為20，在狀態(tài)S?下的收益為-10。行動(dòng)方案B在兩種狀態(tài)下的收益均為5。如果決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，請(qǐng)計(jì)算兩個(gè)行動(dòng)方案的期望收益，并判斷決策者會(huì)選擇哪個(gè)行動(dòng)方案。假設(shè)狀態(tài)S?發(fā)生的概率為0.7，狀態(tài)S?發(fā)生的概率為0.3。3.設(shè)有一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)點(diǎn){x?,x?,...,x?}，假設(shè)使用簡(jiǎn)單的指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)，初始平滑值S??=10。已知α=0.3，請(qǐng)寫(xiě)出第t+1期預(yù)測(cè)值S?<0xE2><0x82><0x99>?的計(jì)算公式，并解釋?duì)恋淖饔谩Ｎ?、綜合應(yīng)用題（20分）某公司計(jì)劃推出一款新產(chǎn)品，面臨兩種生產(chǎn)方案：方案A是采用自動(dòng)化生產(chǎn)線，初始投資高，但生產(chǎn)成本低；方案B是采用半自動(dòng)化生產(chǎn)線，初始投資低，但生產(chǎn)成本高。市場(chǎng)需求存在兩種可能：高需求（狀態(tài)1）和低需求（狀態(tài)2）。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，高需求發(fā)生的概率為0.6，低需求發(fā)生的概率為0.4。兩種方案在不同需求狀態(tài)下的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）如下表所示（正數(shù)為盈利，負(fù)數(shù)為虧損）：|方案/狀態(tài)|高需求(狀態(tài)1)|低需求(狀態(tài)2)||:-------|:-------------|:-------------||方案A|100|-20||方案B|60|10|公司決策者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的，他希望通過(guò)構(gòu)建合適的模型來(lái)輔助決策。(1)請(qǐng)計(jì)算采用方案A和方案B的期望利潤(rùn)。(2)假設(shè)公司可以收集更多市場(chǎng)信息來(lái)提高對(duì)需求狀態(tài)的判斷準(zhǔn)確性，簡(jiǎn)述這可能通過(guò)哪些統(tǒng)計(jì)模型或方法實(shí)現(xiàn)，并說(shuō)明其作用。(3)如果公司要求任何生產(chǎn)方案的期望虧損不超過(guò)15萬(wàn)元，請(qǐng)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，給出你的決策建議，并說(shuō)明理由。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.B4.C5.B6.B7.C8.B9.D10.C二、填空題1.因變量的變異2.二元（或分類）3.自回歸；移動(dòng)平均4.后驗(yàn)期望收益（或期望收益）5.訓(xùn)練數(shù)據(jù)；下降6.驗(yàn)證集選擇7.信息標(biāo)準(zhǔn)（或增益、基尼系數(shù)等）8.似然函數(shù)9.隨機(jī)數(shù)生成器10.效用（或期望值）三、簡(jiǎn)答題1.問(wèn)題：簡(jiǎn)述線性回歸模型中多重共線性的問(wèn)題及其可能產(chǎn)生的影響。解析思路：多重共線性指線性回歸模型中兩個(gè)或多個(gè)自變量之間存在高度線性相關(guān)關(guān)系。問(wèn)題在于：①參數(shù)估計(jì)值不穩(wěn)定，對(duì)數(shù)據(jù)的微小變動(dòng)非常敏感；②參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差增大，導(dǎo)致參數(shù)顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）結(jié)果不可靠，容易將不應(yīng)拒絕的系數(shù)誤判為不顯著；③難以準(zhǔn)確解釋單個(gè)自變量對(duì)因變量的影響，因?yàn)樗鼈兂３Ｏ嗷セ煜?.問(wèn)題：解釋什么是模型泛化能力，并簡(jiǎn)述提高模型泛化能力的一般方法。解析思路：模型泛化能力是指模型在未見(jiàn)過(guò)的新數(shù)據(jù)上的表現(xiàn)能力。它衡量的是模型學(xué)習(xí)到的潛在規(guī)律而非僅僅是訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的擬合程度。提高泛化能力的方法：①減少模型復(fù)雜度（如選擇更簡(jiǎn)單的模型、正則化）；②增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)量（如果可行）；③使用交叉驗(yàn)證等方法進(jìn)行模型選擇和評(píng)估，避免過(guò)擬合；④使用特征工程選擇更有效的特征。3.問(wèn)題：在決策分析中，什么是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避決策？請(qǐng)舉例說(shuō)明。解析思路：風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避決策是指決策者為了回避潛在的損失或不利后果，寧愿選擇一個(gè)期望收益較低的確定方案，而不愿選擇一個(gè)期望收益較高但結(jié)果不確定的方案。例如，有兩個(gè)投資方案：方案A有80%的概率獲利10元，20%的概率虧損5元，期望收益為8元；方案B有100%的概率獲利5元。一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者可能會(huì)選擇方案B，盡管其期望收益低于方案A，因?yàn)榉桨窤存在虧損的風(fēng)險(xiǎn)，而方案B是確定的5元收益。4.問(wèn)題：簡(jiǎn)述模型診斷的主要目的和常用方法。解析思路：模型診斷的主要目的是檢驗(yàn)所構(gòu)建的模型是否滿足其基本假設(shè)，評(píng)估模型的擬合優(yōu)度，以及識(shí)別模型中可能存在的問(wèn)題（如異方差、自相關(guān)、多重共線性、異常值等），從而判斷模型的有效性和適用性。常用方法：①殘差分析（檢查殘差是否獨(dú)立、同方差、呈正態(tài)分布）；②比較模型擬合指標(biāo)（如R2、AIC、BIC）；③利用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（如Breusch-Pagan檢驗(yàn)、Durbin-Watson檢驗(yàn)）；④檢查預(yù)測(cè)誤差；⑤可視化方法（如繪制殘差圖、散點(diǎn)圖）。四、計(jì)算題1.問(wèn)題：已知一個(gè)簡(jiǎn)單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，其中ε~N(0,σ2)。觀測(cè)得到樣本數(shù)據(jù)如下：n=5,Σ(xi)=15,Σ(xi2)=55,Σ(xiYi)=40,ΣYi=10。請(qǐng)計(jì)算回歸系數(shù)β?的最小二乘估計(jì)值。解析思路：最小二乘估計(jì)的原理是使得殘差平方和最小。回歸系數(shù)β?的最小二乘估計(jì)公式為β??=[nΣ(xiYi)-Σ(xi)Σ(Yi)]/[nΣ(xi2)-(Σ(xi))2]。將給定數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可。答案：β??=(5*40-15*10)/(5*55-152)=(200-150)/(275-225)=50/50=1。2.問(wèn)題：假設(shè)一個(gè)決策問(wèn)題有兩個(gè)行動(dòng)方案A和B，存在兩種狀態(tài)S?和S?。行動(dòng)方案A在狀態(tài)S?下的收益為20，在狀態(tài)S?下的收益為-10。行動(dòng)方案B在兩種狀態(tài)下的收益均為5。如果決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，請(qǐng)計(jì)算兩個(gè)行動(dòng)方案的期望收益，并判斷決策者會(huì)選擇哪個(gè)行動(dòng)方案。假設(shè)狀態(tài)S?發(fā)生的概率為0.7，狀態(tài)S?發(fā)生的概率為0.3。解析思路：風(fēng)險(xiǎn)中性決策者只考慮期望收益，選擇期望收益最大的行動(dòng)方案。期望收益計(jì)算公式為E(A)=P(S?)*收益(A|S?)+P(S?)*收益(A|S?)，E(B)=P(S?)*收益(B|S?)+P(S?)*收益(B|S?)。分別計(jì)算后比較大小。答案：E(A)=0.7*20+0.3*(-10)=14-3=11。E(B)=0.7*5+0.3*5=3.5+1.5=5。決策者會(huì)選擇行動(dòng)方案A，因?yàn)槠淦谕找妫?1）大于方案B的期望收益（5）。3.問(wèn)題：設(shè)有一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)點(diǎn){x?,x?,...,x?}，假設(shè)使用簡(jiǎn)單的指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)，初始平滑值S??=10。已知α=0.3，請(qǐng)寫(xiě)出第t+1期預(yù)測(cè)值S?<0xE2><0x82><0x99>?的計(jì)算公式，并解釋?duì)恋淖饔?。解析思路：?jiǎn)單指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)公式為S?<0xE2><0x82><0x99>+1=α*x<0xE2><0x82><0x99>+(1-α)*S?<0xE2><0x82><0x99>。將題目給定的α值代入即可。α的作用是平滑系數(shù)，它決定了新觀測(cè)值和上一期預(yù)測(cè)值在當(dāng)前預(yù)測(cè)中的權(quán)重。α值越大，近期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)的影響越大；α值越小，歷史數(shù)據(jù)的影響越大。五、綜合應(yīng)用題(1)問(wèn)題：請(qǐng)計(jì)算采用方案A和方案B的期望利潤(rùn)。解析思路：期望利潤(rùn)是每種方案在不同狀態(tài)下的利潤(rùn)與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和。計(jì)算E(A)和E(B)。答案：E(A)=0.6*100+0.4*(-20)=60-8=52萬(wàn)元。E(B)=0.6*60+0.4*10=36+4=40萬(wàn)元。(2)問(wèn)題：假設(shè)公司可以收集更多市場(chǎng)信息來(lái)提高對(duì)需求狀態(tài)的判斷準(zhǔn)確性，簡(jiǎn)述這可能通過(guò)哪些統(tǒng)計(jì)模型或方法實(shí)現(xiàn)，并說(shuō)明其作用。解析思路：提高需求狀態(tài)判斷準(zhǔn)確性的方法可以包括：①分類模型：使用歷史銷售數(shù)據(jù)、市場(chǎng)因素等作為特征，訓(xùn)練邏輯回歸、決策樹(shù)、支持向量機(jī)等分類模型來(lái)預(yù)測(cè)需求狀態(tài)（高/低）。作用是得到比0.6/0.4更準(zhǔn)確的狀態(tài)概率估計(jì)。②時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型：如果有足夠長(zhǎng)的歷史需求數(shù)據(jù)，可以使用ARIMA、Prophet等模型預(yù)測(cè)未來(lái)需求，從而判斷是偏向高需求還是低需求。作用是利用時(shí)間序列的規(guī)律性進(jìn)行更精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)。③回歸模型：如果目標(biāo)是預(yù)測(cè)具體的需求量，可以訓(xùn)練回歸模型，高需求量可能接近平均值（100+10）/2=55，低需求量接近（-20+10）/2=-5。作用是提供更具體的量級(jí)估計(jì)。(3)問(wèn)題：如果公司要求任何生產(chǎn)方案的期望虧損不超過(guò)15萬(wàn)元，請(qǐng)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，給出你的決策建議，并說(shuō)明理由。解析思路：首先計(jì)算每個(gè)方案的期望虧損（注意虧損是負(fù)收益）。期望