2025年統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策聚類分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分）1.聚類分析的主要目標是（）。A.發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的線性關系B.對數(shù)據(jù)進行降維C.將數(shù)據(jù)劃分為具有相似性的不同組別D.擬合數(shù)據(jù)到預定義的模型2.下列哪種距離度量適用于具有負值的數(shù)據(jù)？（）A.歐氏距離B.曼哈頓距離C.閔可夫斯基距離（p=1）D.皮爾遜相關系數(shù)3.K-Means聚類算法屬于哪種類型的聚類方法？（）A.層次聚類B.基于密度的聚類C.劃分聚類D.基于模型的聚類4.在層次聚類分析中，以下哪種方法需要預先指定聚類數(shù)目？（）A.系統(tǒng)聚類法B.簡單聚合聚類法C.譜聚類法D.divisive聚類法5.輪廓系數(shù)（SilhouetteCoefficient）主要用于評估哪種聚類效果？（）A.聚類內部的緊密度B.聚類之間的分離度C.聚類數(shù)目是否合適D.聚類算法的收斂速度6.下列哪個指標屬于聚類分析的內部指標？（）A.調整蘭德指數(shù)（ARI）B.輪廓系數(shù)C.F-measureD.麥克馬洪系數(shù)（McCutcheon'sCoefficient）7.當數(shù)據(jù)集中存在噪聲點或異常點時，哪種聚類方法通常表現(xiàn)較好？（）A.K-MeansB.DBSCANC.層次聚類（使用單一鏈接）D.高斯混合模型8.在進行聚類分析之前，對數(shù)據(jù)進行標準化處理通常是為了（）。A.縮小數(shù)據(jù)范圍B.消除不同變量量綱的影響C.增加數(shù)據(jù)隨機性D.減少數(shù)據(jù)維度9.如果一個數(shù)據(jù)點被聚類算法歸入一個規(guī)模遠小于其他聚類的組別，這可能意味著（）。A.該點是一個異常值B.聚類數(shù)目選擇過多C.該點屬于一個獨特的子群體D.距離度量的選擇不合適10.聚類分析是一種（）方法。A.判別分析B.分類分析C.降維分析D.無監(jiān)督學習二、填空題（每空2分，共20分）1.聚類分析是一種探索性數(shù)據(jù)分析技術，其目的在于將相似的對象分組。2.在劃分聚類中，K-Means算法需要預先指定要生成的________數(shù)量。3.層次聚類可以得到一棵樹狀結構，稱為________圖，用于幫助確定聚類數(shù)目。4.評估聚類效果時，如果真實類別標簽未知，通常使用________指標。5.距離度量的選擇應考慮數(shù)據(jù)的________和聚類的________。6.對于高維數(shù)據(jù)，常用的降維方法如主成分分析（PCA）可以與聚類分析________使用。7.聚類分析結果的解釋需要結合具體的________背景。8.DBSCAN算法通過參數(shù)________和________來識別核心點、邊界點和噪聲點。9.聚類分析的適用性受限于其假設，例如K-Means假設數(shù)據(jù)呈________分布。10.在統(tǒng)計軟件中，聚類分析的結果通常包含________和________等信息。三、名詞解釋（每題3分，共15分）1.聚類2.距離矩陣3.輪廓系數(shù)4.劃分聚類5.基于密度的聚類四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述K-Means聚類算法的基本步驟。2.解釋什么是聚類分析的內部有效性指標，并舉例說明一個常用的內部指標及其含義。3.簡述層次聚類和K-Means聚類兩種方法的主要區(qū)別。4.在進行聚類分析時，選擇合適的距離度量需要考慮哪些因素？五、計算題（共25分）1.（10分）考慮以下數(shù)據(jù)點及其歐氏距離：A(1,2),B(3,4),C(5,7),D(8,8),E(2,5)假設我們要使用K-Means算法對這些點進行聚類，選擇K=2。請描述算法的執(zhí)行過程（至少包含迭代1和迭代2的中心點更新和聚類分配），并最終給出聚類結果（哪個點屬于哪個類）。2.（15分）假設對一組樣本進行了層次聚類（使用組內平方和作為鏈接準則），得到了如下部分樹狀圖（僅顯示部分分支）：```/---G3|F---||---G2/E--||A--||B--||\---G1```其中，節(jié)點上的數(shù)字表示該組內樣本的平方和。請根據(jù)此樹狀圖：(1)如果希望得到3個聚類，應如何切割樹狀圖？請標出切割位置。(2)如果希望得到4個聚類，應如何切割樹狀圖？請標出切割位置。(3)簡要說明選擇切割位置時需要考慮的原則。六、論述題（15分）結合具體應用場景，論述選擇聚類數(shù)目（K值）的重要性，并介紹至少兩種常用的確定K值的方法，并比較其優(yōu)缺點。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.B6.B7.B8.B9.C10.D二、填空題1.相似性2.K3.樹狀（或譜系）4.內部5.特征、聚類目標6.結合（或串聯(lián)）7.業(yè)務8.eps,MinPts9.球形（或類球體）10.聚類成員、聚類中心三、名詞解釋1.聚類：將數(shù)據(jù)集中的樣本劃分為若干個組（類），使得組內的樣本相似度較高，而組間的樣本相似度較低。2.距離矩陣：一個方陣，其元素表示數(shù)據(jù)集中所有樣本點之間兩兩的距離或相似度。3.輪廓系數(shù)：用于評估聚類結果好壞的內部指標，取值范圍在-1到1之間，值越大表示聚類效果越好，即類內緊密度高且類間分離度好。4.劃分聚類：一類聚類方法，其目標是將數(shù)據(jù)集劃分為預先設定的K個互不相交的子集（簇），每個子集包含一個或多個樣本點。5.基于密度的聚類：一類聚類方法，其核心思想是將密度較大的區(qū)域劃分為簇，能夠發(fā)現(xiàn)任意形狀的簇，并能識別噪聲點。四、簡答題1.K-Means聚類算法的基本步驟：(1)隨機選擇K個數(shù)據(jù)點作為初始聚類中心。(2)將每個數(shù)據(jù)點分配給距離其最近的聚類中心，形成K個聚類。(3)對每個聚類，計算其所有成員的均值，并將該均值作為新的聚類中心。(4)重復步驟(2)和(3)，直到聚類中心不再發(fā)生顯著變化或達到預設的最大迭代次數(shù)。最終結果為每個數(shù)據(jù)點所屬的聚類及其對應的聚類中心。2.聚類分析的內部有效性指標：指僅根據(jù)聚類結果本身（無需知道樣本的真實類別標簽）來評估聚類質量好壞的指標。它們衡量聚類結構是否具有可接受的緊密度（類內相似度高）和分離度（類間相似度低）。常用的內部指標包括輪廓系數(shù)、戴維斯-布爾丁指數(shù)（DBI）等。輪廓系數(shù)的含義是衡量一個樣本點與其自身所在簇的緊密度以及與最近非所在簇的分離度的綜合指標。3.層次聚類和K-Means聚類的主要區(qū)別：(1)聚類過程：層次聚類不需要預先指定聚類數(shù)目，通過構建樹狀圖（譜系圖）逐步合并或分裂簇；K-Means需要預先指定聚類數(shù)目K，通過迭代分配樣本到最近的中心點并更新中心點來收斂。(2)聚類形狀假設：K-Means假設數(shù)據(jù)自然形成的簇是球狀且大小相似的；層次聚類可以發(fā)現(xiàn)更任意的形狀。(3)可擴展性：K-Means對于大數(shù)據(jù)集效率較高；層次聚類在樣本量非常大時可能計算量巨大。(4)結果解釋：層次聚類結果提供了一種層次化的結構，易于可視化；K-Means結果直接給出每個樣本的簇標簽和簇中心。4.選擇合適的距離度量需要考慮的因素：(1)數(shù)據(jù)的類型：對于連續(xù)數(shù)據(jù)常用歐氏距離、曼哈頓距離；對于分類數(shù)據(jù)可用卡方距離、漢明距離；對于混合類型數(shù)據(jù)可用Gower距離。(2)變量的量綱：歐氏距離等受量綱影響大，通常需要先進行數(shù)據(jù)標準化；曼哈頓距離對量綱不敏感。(3)數(shù)據(jù)的分布：歐氏距離假設數(shù)據(jù)呈球狀分布；閔可夫斯基距離（p>2）可以調整對異常值的敏感度。(4)聚類目標：根據(jù)希望強調樣本的哪些方面來選擇，例如，希望強調方向差異可選馬氏距離。(5)計算復雜度：某些距離度量的計算成本較高。五、計算題1.K-Means算法執(zhí)行過程(K=2):(迭代0)初始聚類中心隨機選擇：假設選擇A(1,2)和C(5,7)作為初始中心點。距離計算（省略過程）。(迭代0)分配：*D(8,8)到C(距離sqrt(17)<sqrt(37))*E(2,5)到A(距離sqrt(5)<sqrt(9))*B(3,4)到A(距離sqrt(5)<sqrt(13))*F(3,4)到C(距離sqrt(13)<sqrt(25))*所以，簇1:{A,B,E},簇2:{C,D,F}(迭代0)更新中心點：*簇1中心:((1+3+2)/3,(2+4+5)/3)=(2,3.33)*簇2中心:((5+8+3)/3,(7+8+4)/3)=(4.66,6)(迭代1)分配（基于新中心(2,3.33)和(4.66,6)）：*D(8,8)到C(距離sqrt(18.78)<sqrt(21.16))*E(2,5)到A(距離sqrt(5.11)<sqrt(6.25))*B(3,4)到A(距離sqrt(1.78)<sqrt(4.84))*F(3,4)到C(距離sqrt(6.78)<sqrt(12.25))*分配基本不變：簇1:{A,B,E},簇2:{C,D,F}(迭代1)更新中心點：*簇1中心:((1+3+2)/3,(2+4+5)/3)=(2,3.33)(未變)*簇2中心:((5+8+3)/3,(7+8+4)/3)=(4.66,6)(未變)算法收斂。最終聚類結果：*類1:{A(1,2),B(3,4),E(2,5)}*類2:{C(5,7),D(8,8),F(3,4)}*(注：實際運算中，第二次分配可能略有變動，如B和F可能交換類別，但最終結果可能相似，關鍵是過程和中心點更新邏輯)*2.層次聚類樹狀圖分析:(1)獲取3個聚類：*需要在樹狀圖上找到兩個距離較遠的節(jié)點進行水平切割，將樹分成三段。*例如，可以在連接點F和E的地方切割，或者更可能在連接點E和A的地方切割（假設譜系圖顯示E和A距離較近，且小于A與F的距離）。*假設選擇在E和A之間切割：*G1:{A}*G2:{B,E}*G3:{F,G2,G3'}(即{A,B,E,F,G2,G3'}，其中G2是{B,E}，G3'是{G3})*切割位置標示：在代表E的節(jié)點和代表A的節(jié)點之間畫一條水平線。(2)獲取4個聚類：*需要在樹狀圖上找到三個距離較遠的節(jié)點進行水平切割，將樹分成四段。*例如，可以在連接點G3和F的地方切割，在連接點F和E的地方切割，以及在連接點E和A的地方切割。*假設選擇按順序在E-A,A-G3,G3-F處切割：*G1:{A}*G2:{B,E}*G3:{F}*G4:{G3,G2,G1}(即{G3,B,E,A})*切割位置標示：在代表E和A的節(jié)點之間、代表A和G3的節(jié)點之間、代表G3和F的節(jié)點之間分別畫三條水平線。(3)選擇切割位置的原則：*距離閾值：通常選擇一個距離閾值（或根據(jù)特定距離值，如節(jié)點上的平方和值），在樹狀圖上切割。這個閾值可以基于經驗、輪廓系數(shù)等指標確定。*簇的緊密度與分離度：切割應使得得到的各個簇內部樣本較為緊密，簇間較為分離。*避免過小的簇：通常避免生成成員數(shù)過少的簇，除非有特定理由（如識別噪聲）。*一致性：切割應反映樹狀圖中自然的層級結構。六、論述題選擇聚類數(shù)目（K值）是聚類分析中的一個關鍵步驟，它直接影響最終的聚類結果和解釋價值。選擇不當?shù)腒值可能導致信息丟失或人為制造模式，影響分析的有效性。確定K值的重要性體現(xiàn)在：*影響聚類解釋：K值決定了劃分的粗細程度，不同的K值會揭示不同層次的群體結構。選擇合適的K值能使聚類結果更貼合實際應用場景或研究目的。*影響模型適用性：在某些應用中（如市場細分、客戶畫像），預設的K值可能對應特定的業(yè)務單元數(shù)量，K值選擇錯誤會導致模型與業(yè)務脫節(jié)。*影響分析結果的可比性：對于相同的數(shù)據(jù)集，不同的K值選擇可能導致截然不同的聚類結果，使得結果難以比較。常用的確定K值的方法包括：1.肘部法則（ElbowMethod）：*原理：計算不同K值（從1到某個最大值）下聚類算法的內部指標（如組內平方和SSE），繪制K值