2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)與決策案例分析試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______試卷內(nèi)容案例一：某電商平臺(tái)用戶購(gòu)買行為分析某電商平臺(tái)希望了解其注冊(cè)用戶的購(gòu)買行為特征，以優(yōu)化產(chǎn)品推薦和營(yíng)銷策略。隨機(jī)抽取了1000名注冊(cè)用戶在過(guò)去一年內(nèi)的購(gòu)買數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行分析。樣本數(shù)據(jù)顯示，用戶平均每年在該平臺(tái)消費(fèi)金額（記為X）的樣本均值為850元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為150元。同時(shí)，收集了用戶年齡（記為A）和每年購(gòu)買次數(shù)（記為F）的數(shù)據(jù)。部分樣本數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)整理后如下：*根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，平臺(tái)管理者認(rèn)為用戶平均每年消費(fèi)金額可能不低于800元?；诖?，他們希望利用樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)這一假設(shè)。*管理者想探究用戶年齡（A）與每年購(gòu)買次數(shù)（F）之間是否存在相關(guān)關(guān)系，并希望通過(guò)用戶年齡預(yù)測(cè)其每年購(gòu)買次數(shù)。*此外，平臺(tái)關(guān)注不同會(huì)員等級(jí)（分為普通會(huì)員、銀卡會(huì)員、金卡會(huì)員、鉆卡會(huì)員四類，記為M）用戶的平均年消費(fèi)金額是否存在顯著差異。樣本中普通會(huì)員有600人，銀卡會(huì)員200人，金卡會(huì)員150人，鉆卡會(huì)員50人。樣本數(shù)據(jù)顯示，普通會(huì)員平均年消費(fèi)金額為820元，銀卡會(huì)員為950元，金卡會(huì)員為1050元，鉆卡會(huì)員為1200元。樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為140元、160元、170元和180元。樣本量分別為600、200、150、50。請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答以下問(wèn)題：1.為檢驗(yàn)用戶平均年消費(fèi)金額是否不低于800元，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)合適的假設(shè)檢驗(yàn)方案。寫(xiě)出原假設(shè)和備擇假設(shè)，說(shuō)明選擇的檢驗(yàn)方法（包括理由），并列出需要計(jì)算的關(guān)鍵統(tǒng)計(jì)量（公式和數(shù)值均可）。無(wú)需進(jìn)行最終的P值判斷或結(jié)論，但需清晰說(shuō)明檢驗(yàn)步驟。2.探究用戶年齡與每年購(gòu)買次數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系。請(qǐng)描述你會(huì)如何分析這兩變量間的關(guān)系，包括選擇的具體分析方法、需要計(jì)算的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量（如相關(guān)系數(shù)）以及你對(duì)結(jié)果的解釋方向（例如，相關(guān)系數(shù)的值意味著什么，是否存在顯著的相關(guān)性等）。假設(shè)計(jì)算得到的相關(guān)系數(shù)為0.35，請(qǐng)對(duì)其進(jìn)行解釋。3.分析不同會(huì)員等級(jí)用戶的平均年消費(fèi)金額是否存在顯著差異。請(qǐng)說(shuō)明你會(huì)采用哪種統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，并簡(jiǎn)要列出分析的主要步驟（例如，如何組織數(shù)據(jù)、進(jìn)行何種檢驗(yàn)、關(guān)注哪些統(tǒng)計(jì)量等）。無(wú)需進(jìn)行具體的假設(shè)檢驗(yàn)計(jì)算。4.結(jié)合以上分析，如果該平臺(tái)希望提升用戶年消費(fèi)金額，請(qǐng)基于數(shù)據(jù)分析結(jié)果，提出至少兩條具有針對(duì)性的、可操作的改進(jìn)建議。試卷答案案例一：某電商平臺(tái)用戶購(gòu)買行為分析1.為檢驗(yàn)用戶平均年消費(fèi)金額是否不低于800元，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)合適的假設(shè)檢驗(yàn)方案。寫(xiě)出原假設(shè)和備擇假設(shè)，說(shuō)明選擇的檢驗(yàn)方法（包括理由），并列出需要計(jì)算的關(guān)鍵統(tǒng)計(jì)量（公式和數(shù)值均可）。無(wú)需進(jìn)行最終的P值判斷或結(jié)論，但需清晰說(shuō)明檢驗(yàn)步驟。*原假設(shè)(H?):μ≥800元（用戶平均年消費(fèi)金額不低于800元）*備擇假設(shè)(H?):μ<800元（用戶平均年消費(fèi)金額低于800元）*檢驗(yàn)方法:由于樣本量n=1000較大（n>30），且總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，應(yīng)采用單樣本t檢驗(yàn)。理由是t檢驗(yàn)適用于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且樣本量不大的情況，但當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)t檢驗(yàn)與z檢驗(yàn)效果相似，且t檢驗(yàn)更嚴(yán)謹(jǐn)適用于小樣本，大樣本下同樣適用。或者，也可以選擇大樣本z檢驗(yàn)，因?yàn)閚足夠大。*關(guān)鍵統(tǒng)計(jì)量:*樣本均值:x?=850元*樣本標(biāo)準(zhǔn)差:s=150元*樣本量:n=1000*假設(shè)的總體均值:μ?=800元*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(t值):t=(x?-μ?)/(s/√n)*計(jì)算:t=(850-800)/(150/√1000)=50/(150/31.62)=50/4.74≈10.582.探究用戶年齡與每年購(gòu)買次數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系。請(qǐng)描述你會(huì)如何分析這兩變量間的關(guān)系，包括選擇的具體分析方法、需要計(jì)算的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量（如相關(guān)系數(shù)）以及你對(duì)結(jié)果的解釋方向（例如，相關(guān)系數(shù)的值意味著什么，是否存在顯著的相關(guān)性等）。假設(shè)計(jì)算得到的相關(guān)系數(shù)為0.35，請(qǐng)對(duì)其進(jìn)行解釋。*分析方法:分析用戶年齡（A）與每年購(gòu)買次數(shù)（F）之間的線性相關(guān)關(guān)系，應(yīng)計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)(r)。*相關(guān)統(tǒng)計(jì)量:Pearson相關(guān)系數(shù)(r)，其取值范圍在-1到1之間。*分析步驟:1.計(jì)算用戶年齡和每年購(gòu)買次數(shù)的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。2.使用公式計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)r=[Σ(x?-x?)(y?-?)/(n-1)]/[√(Σ(x?-x?)2/(n-1))*√(Σ(y?-?)2/(n-1))]。其中，x?為年齡，y?為購(gòu)買次數(shù)，x?和?分別為年齡和購(gòu)買次數(shù)的樣本均值，n為樣本量。3.對(duì)計(jì)算得到的r進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（例如，使用t檢驗(yàn)），判斷相關(guān)關(guān)系是否顯著（即判斷相關(guān)系數(shù)是否顯著不為0）。*結(jié)果解釋(假設(shè)計(jì)算得到r=0.35):*相關(guān)系數(shù)r=0.35表示用戶年齡與每年購(gòu)買次數(shù)之間存在正相關(guān)關(guān)系。*具體來(lái)說(shuō)，相關(guān)系數(shù)的值為0.35，表明隨著用戶年齡的增加，其每年購(gòu)買次數(shù)也傾向于增加。這種關(guān)系的強(qiáng)度根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法則可以判斷為中等（通常|r|在0.3到0.5之間被認(rèn)為是中等強(qiáng)度）。*同時(shí)，需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)判斷這種相關(guān)性是否在統(tǒng)計(jì)上顯著，即判斷這種正相關(guān)是否偶然發(fā)生。如果檢驗(yàn)結(jié)果顯示相關(guān)性是顯著的，則該正相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。3.分析不同會(huì)員等級(jí)用戶的平均年消費(fèi)金額是否存在顯著差異。請(qǐng)說(shuō)明你會(huì)采用哪種統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，并簡(jiǎn)要列出分析的主要步驟（例如，如何組織數(shù)據(jù)、進(jìn)行何種檢驗(yàn)、關(guān)注哪些統(tǒng)計(jì)量等）。無(wú)需進(jìn)行具體的假設(shè)檢驗(yàn)計(jì)算。*分析方法:應(yīng)采用單因素方差分析(One-WayANOVA)。*理由:該方法用于檢驗(yàn)多個(gè)（大于等于三個(gè)）獨(dú)立總體的均值是否存在顯著差異。本案例中有四個(gè)會(huì)員等級(jí)（普通、銀卡、金卡、鉆卡），需要檢驗(yàn)這四類用戶的平均年消費(fèi)金額（X）是否存在顯著差異。*分析步驟:1.數(shù)據(jù)組織:將數(shù)據(jù)按照會(huì)員等級(jí)（M）進(jìn)行分組，得到四個(gè)組別：普通會(huì)員組、銀卡會(huì)員組、金卡會(huì)員組、鉆卡會(huì)員組。每組包含該等級(jí)用戶的年消費(fèi)金額數(shù)據(jù)。2.計(jì)算各組樣本均值(x??,x??,x??,x??):即題目中給出的820元、950元、1050元、1200元。3.計(jì)算總體樣本均值(x?):對(duì)所有樣本數(shù)據(jù)（共1000人）計(jì)算平均年消費(fèi)金額。4.進(jìn)行方差分析計(jì)算:*計(jì)算各組的組內(nèi)平方和(SSwithin)及其組內(nèi)自由度(dfwithin)。SSwithin反映了組內(nèi)各樣本與組均值的差異。dfwithin=Σ(n?-1)，其中n?為第i組的樣本量。*計(jì)算各組的組間平方和(SSbetween)及其組間自由度(dfbetween)。SSbetween反映了不同組均值之間的差異。dfbetween=k-1，其中k為組數(shù)（本案例中k=4）。*計(jì)算總平方和(SSTotal)及其自由度(dftotal)。SSTotal=SSbetween+SSwithin。dftotal=n-1。*計(jì)算各個(gè)均方(MS)：均方組內(nèi)(MSError)=SSwithin/dfwithin；均方組間(MSbetween)=SSbetween/dfbetween。5.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(F值):F=MSbetween/MSError。6.結(jié)果判讀:將計(jì)算得到的F值與相應(yīng)的F分布臨界值（基于顯著性水平α和dfbetween、dfwithin）進(jìn)行比較，或查找P值。如果F值大于臨界值，或P值小于α（例如0.05），則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少有兩個(gè)組的均值存在顯著差異。4.結(jié)合以上分析，如果該平臺(tái)希望提升用戶年消費(fèi)金額，請(qǐng)基于數(shù)據(jù)分析結(jié)果，提出至少兩條具有針對(duì)性的、可操作的改進(jìn)建議。*建議一：基于假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果（如果結(jié)果支持年消費(fèi)金額有潛力提升，或用戶消費(fèi)金額確實(shí)普遍高于800元），平臺(tái)可以實(shí)施差異化定價(jià)或增值服務(wù)策略。例如，對(duì)于消費(fèi)金額相對(duì)較低的用戶群體（可通過(guò)聚類分析或其他方法識(shí)別），推出更具吸引力的滿減活動(dòng)、優(yōu)惠券或會(huì)員等級(jí)升級(jí)激勵(lì)，鼓勵(lì)其增加消費(fèi)頻次或單次消費(fèi)金額。對(duì)于高消費(fèi)金額的用戶（如鉆卡會(huì)員），可以提供更高級(jí)的客戶服務(wù)、專屬產(chǎn)品或個(gè)性化推薦，以增強(qiáng)用戶粘性和終身價(jià)值。*建議二：基于年齡與購(gòu)買次數(shù)