高一上學期科技革命與數(shù)學三思試題一、科技革命中的函數(shù)應用：蒸汽機效率與能源消耗試題118世紀第一次工業(yè)革命中，瓦特改良的蒸汽機推動了工廠制度的建立。某紡織廠使用蒸汽機作為動力源，其煤炭消耗量(Q)（單位：噸/小時）與蒸汽機運行速度(v)（單位：轉(zhuǎn)/分鐘）的關(guān)系滿足函數(shù)(Q(v)=0.01v^2-0.5v+20)，其中(v\in[20,80])。（1）求當蒸汽機運行速度為何值時，煤炭消耗量最低？最低消耗量是多少？（2）若該紡織廠每天運行8小時，且煤炭價格為1200元/噸，求當(v=50)轉(zhuǎn)/分鐘時，該廠每天的煤炭成本。（3）隨著技術(shù)進步，工廠對蒸汽機進行改良，新的煤炭消耗量函數(shù)為(Q'(v)=0.005v^2-0.4v+18)。若保持最低消耗量不變，改良后的蒸汽機運行速度范圍可以擴大到([15,m])，求(m)的值。解析（1）函數(shù)(Q(v)=0.01v^2-0.5v+20)為二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為(v=-\frac{2a}=\frac{0.5}{2\times0.01}=25)。由于(v=25\in[20,80])，故當(v=25)轉(zhuǎn)/分鐘時，消耗量最低，最低值為(Q(25)=0.01\times25^2-0.5\times25+20=16.25)噸/小時。（2）當(v=50)時，(Q(50)=0.01\times50^2-0.5\times50+20=20)噸/小時。每天運行8小時，總成本為(20\times8\times1200=192000)元。（3）原最低消耗量為16.25噸/小時，令(Q'(v)=16.25)，即(0.005v^2-0.4v+18=16.25)，化簡得(0.005v^2-0.4v+1.75=0)。解得(v=10)或(v=35)，結(jié)合定義域([15,m])，故(m=35)。二、科技革命中的數(shù)列模型：信息技術(shù)產(chǎn)業(yè)的指數(shù)增長試題2第三次科技革命中，信息技術(shù)產(chǎn)業(yè)呈現(xiàn)爆發(fā)式增長。根據(jù)材料二，美國信息技術(shù)產(chǎn)業(yè)對GDP的貢獻率從1993年的30%持續(xù)提升，假設1995年美國信息技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為(a_1=5000)億美元，此后每年增長率為12%。（1）求2000年該產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（精確到1億美元）；（2）若該產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的年增長率保持不變，問從哪一年開始，產(chǎn)值將超過20000億美元？（3）2010年后，該產(chǎn)業(yè)進入穩(wěn)定增長期，產(chǎn)值(b_n)滿足(b_n=20000+1500(n-1))（(n)為2010年后的年份數(shù)，(n=1)對應2010年）。求2020年該產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值，并比較2020年與2000年產(chǎn)值的差值。解析（1）產(chǎn)值增長為等比數(shù)列，公比(q=1+12%=1.12)。1995年為第1項，2000年為第6項，故(a_6=a_1q^5=5000\times(1.12)^5\approx5000\times1.7623=8812)億美元。（2）設第(n)年產(chǎn)值超過20000億美元，則(5000\times(1.12)^{n-1}>20000)，即((1.12)^{n-1}>4)。兩邊取對數(shù)得((n-1)\ln1.12>\ln4)，解得(n-1>\frac{\ln4}{\ln1.12}\approx12.2)，故(n=14)，對應年份為1995+14-1=2008年。（3）2020年為2010年后第11年，(b_{11}=20000+1500\times(11-1)=35000)億美元。2000年產(chǎn)值為8812億美元，差值為(35000-8812=26188)億美元。三、科技革命中的幾何應用：無人機測繪與空間幾何試題3隨著第三次科技革命的發(fā)展，無人機技術(shù)被廣泛應用于測繪領(lǐng)域（材料三）。某團隊使用無人機測量一座工廠的煙囪高度，操作流程如下：無人機在距離煙囪底部水平距離50米處起飛，沿與地面成(30^\circ)角的直線飛行，直至觀測到煙囪頂部的仰角為(45^\circ)時懸停；無人機配備的高清相機像素為4000×3000，照片中煙囪頂部與底部的像素距離為600像素，已知相機焦距為15毫米，感光元件尺寸為24mm×18mm（寬度×高度）。（1）根據(jù)無人機飛行數(shù)據(jù)，求煙囪的高度（精確到0.1米）；（2）利用相機成像原理，求煙囪頂部與底部在感光元件上的實際距離（單位：毫米）；（3）若無人機懸停時突然受到水平方向的風力影響，向煙囪方向平移了10米，此時觀測到煙囪頂部的仰角變?yōu)?\theta)，求(\tan\theta)的值。解析（1）設無人機懸停時距離地面高度為(h)，水平距離煙囪底部50米，飛行路線與地面夾角(30^\circ)，則無人機飛行的垂直高度(h=50\tan30^\circ=\frac{50\sqrt{3}}{3}\approx28.87)米。此時觀測到煙囪頂部仰角為(45^\circ)，設煙囪高度為(H)，則(H-h=50\tan45^\circ=50)米，故(H=50+28.87\approx78.9)米。（2）相機照片高度方向像素為3000像素，對應感光元件高度18mm，故像素與實際尺寸的比例為(\frac{18}{3000}=0.006)mm/像素。煙囪在照片中的像素距離為600像素，實際距離為(600\times0.006=3.6)mm。（3）平移后水平距離變?yōu)?50-10=40)米，此時(H-h=78.9-28.87=50.03)米，故(\tan\theta=\frac{50.03}{40}\approx1.25)。四、科技革命中的概率統(tǒng)計：人工智能與數(shù)據(jù)分類試題4在第四次工業(yè)革命背景下，人工智能算法被用于識別科技革命時期的歷史文獻。某算法對“第一次工業(yè)革命”（A類）和“第三次科技革命”（B類）文獻的識別準確率如下：對A類文獻識別正確的概率為0.85，錯誤識別為B類的概率為0.15；對B類文獻識別正確的概率為0.9，錯誤識別為A類的概率為0.1。已知某數(shù)據(jù)庫中A類文獻占60%，B類文獻占40%。（1）隨機抽取一篇文獻，求算法將其識別為A類的概率；（2）若算法識別某文獻為B類，求該文獻實際為B類的概率（精確到0.01）；（3）為提高準確率，算法增加“關(guān)鍵詞匹配”環(huán)節(jié)：A類文獻中含“蒸汽機”關(guān)鍵詞的概率為0.7，B類文獻中含“計算機”關(guān)鍵詞的概率為0.8。若某文獻被識別為A類且不含“蒸汽機”關(guān)鍵詞，求其實際為A類的概率。解析（1）設事件(A)為“文獻實際為A類”，事件(B)為“文獻實際為B類”，事件(\hat{A})為“識別為A類”。則(P(A)=0.6)，(P(B)=0.4)，(P(\hat{A}|A)=0.85)，(P(\hat{A}|B)=0.1)。由全概率公式：[P(\hat{A})=P(\hat{A}|A)P(A)+P(\hat{A}|B)P(B)=0.85\times0.6+0.1\times0.4=0.55]（2）求(P(B|\hat{B}))，其中(\hat{B})為“識別為B類”。(P(\hat{B}|A)=0.15)，(P(\hat{B}|B)=0.9)，則：[P(\hat{B})=0.15\times0.6+0.9\times0.4=0.45][P(B|\hat{B})=\frac{P(\hat{B}|B)P(B)}{P(\hat{B})}=\frac{0.9\times0.4}{0.45}=0.80]（3）設事件(C)為“不含蒸汽機關(guān)鍵詞”，則(P(C|A)=1-0.7=0.3)，(P(C|B)=1)（B類文獻不含“蒸汽機”關(guān)鍵詞）。所求概率為：[P(A|\hat{A}\capC)=\frac{P(\hat{A}\capC|A)P(A)}{P(\hat{A}\capC|A)P(A)+P(\hat{A}\capC|B)P(B)}=\frac{0.85\times0.3\times0.6}{0.85\times0.3\times0.6+0.1\times1\times0.4}\approx0.57]五、科技革命中的綜合探究：新能源汽車與優(yōu)化模型試題5為應對氣候變化，新能源汽車成為科技革命的重要成果。某品牌電動汽車的電池續(xù)航里程(L)（單位：公里）與速度(v)（單位：公里/小時）的關(guān)系如下表：速度(v)304050607080續(xù)航里程(L)300320310280240180（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，判斷(L)與(v)之間更適合用線性函數(shù)還是二次函數(shù)擬合，并說明理由；（2）若選擇二次函數(shù)(L(v)=av^2+bv+c)擬合，利用(v=40,50,60)三組數(shù)據(jù)求函數(shù)解析式；（3）若該電動汽車在高速公路上以速度(v)勻速行駛，且高速限速為([60,120])公里/小時，求當(v)為何值時，續(xù)航時間(t=\frac{L(v)}{v})最長？解析（1）計算相鄰數(shù)據(jù)的差值：30→40時(L)增加20，40→50時減少10，50→60時減少30，60→70時減少40，差值非恒定，故排除線性函數(shù)，適合用二次函數(shù)擬合。（2）將((40,320))、((50,310))、((60,280))代入(L(v)=av^2+bv+c)：[\begin{cases}1600a+40b+c=320\2500a+50b+c=310\3600a+60b+c=280\end{cases}]解得(a=-0.05)，(b=5)，(c=120)，故(L(v)=-0.05v^2+5v+120)。（3）續(xù)航時間(t(v)=\frac{L(v)}{v}=-0.05v+5+\frac{120}{v})，求導得(t'(v)=-0.05-\frac{120}{v^2})。由于(t'(v)<0)在(v>0)時恒成立，故(t(