2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)動(dòng)漫”相關(guān)知識(shí)試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）《函數(shù)王國大冒險(xiǎn)》動(dòng)漫片段中，主角“小函”需要通過激活函數(shù)圖像通關(guān)。已知某關(guān)卡的通關(guān)密碼是函數(shù)$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$的反函數(shù)圖像與直線$y=x$的交點(diǎn)坐標(biāo)，則該密碼是（）A.$(1,1)$B.$(-3,-3)$C.$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$D.不存在交點(diǎn)動(dòng)漫《幾何勇士》中，“三角俠”用空間向量技能破解立體迷宮。若迷宮某通道可抽象為直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$，其中$\overrightarrow{AB}=(1,2,0)$，$\overrightarrow{AC}=(2,-1,0)$，$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,3)$，則異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$D.$\frac{4\sqrt{35}}{35}$《概率偵探事務(wù)所》中，偵探“小概”通過貝葉斯定理分析案件。已知某盜竊案中，嫌疑人$A$作案的概率為$0.4$，作案時(shí)留下指紋的概率為$0.8$；嫌疑人$B$作案的概率為$0.6$，作案時(shí)留下指紋的概率為$0.3$?，F(xiàn)場發(fā)現(xiàn)指紋，那么真正作案者是$A$的概率為（）A.$\frac{16}{25}$B.$\frac{16}{34}$C.$\frac{24}{34}$D.$\frac{3}{5}$動(dòng)漫《數(shù)列奇遇記》中，“等差超人”與“等比超人”共同對(duì)抗“無限怪獸”。怪獸的能量值構(gòu)成數(shù)列${a_n}$，已知$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則前10項(xiàng)和$S_{10}$為（）A.$1023$B.$2047$C.$2046$D.$1024$《圓錐曲線賽車場》中，賽道設(shè)計(jì)為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，其中左焦點(diǎn)$F_1$處有“加速道具”，右焦點(diǎn)$F_2$處有“減速陷阱”。賽車從$F_1$出發(fā)，沿橢圓賽道行駛一周回到起點(diǎn)，若$|F_1F_2|=2c$，則賽車行駛的路程為（）A.$2a$B.$4a$C.$2\sqrt{a^2+b^2}$D.$2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$動(dòng)漫《向量特工隊(duì)》中，特工“小箭”需要用平面向量破解密碼鎖。已知密碼鎖的解鎖條件是向量$\boldsymbol{a}=(m,1)$與$\boldsymbol=(2,m-1)$的數(shù)量積為$-1$，則$m$的值為（）A.$0$B.$-1$C.$1$D.$2$《復(fù)數(shù)魔法學(xué)院》中，“實(shí)部巫師”與“虛部巫師”合作施展魔法。若復(fù)數(shù)$z$滿足$z(1+i)=2-i$（$i$為虛數(shù)單位），則$z$的虛部為（）A.$-\frac{3}{2}$B.$\frac{3}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$《統(tǒng)計(jì)農(nóng)場》中，農(nóng)民“小統(tǒng)”用回歸分析預(yù)測小麥產(chǎn)量。已知小麥畝產(chǎn)量$y$（單位：kg）與施肥量$x$（單位：kg）的線性回歸方程為$\hat{y}=5x+200$，則當(dāng)施肥量增加$1$kg時(shí)，畝產(chǎn)量平均增加（）A.$5$kgB.$200$kgC.$205$kgD.無法確定動(dòng)漫《立體幾何積木城》中，“正方體騎士”的武器是棱長為$2$的正方體，其外接球被“球體魔王”破壞后，剩余部分的體積為（）A.$\frac{4}{3}\pi$B.$\frac{8}{3}\pi$C.$\frac{32}{3}\pi$D.$\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$《函數(shù)變形記》中，“二次函數(shù)俠”通過圖像變換對(duì)抗“極值魔王”。已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$，將其圖像向左平移$1$個(gè)單位，再向上平移$2$個(gè)單位，得到新函數(shù)$g(x)$，則$g(x)$的最小值為（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）《數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)動(dòng)會(huì)》中，“加號(hào)”與“乘號(hào)”進(jìn)行接力賽。已知“加號(hào)”的速度為$v_1=3m/s$，“乘號(hào)”的速度為$v_2=5m/s$，兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿周長為$400m$的環(huán)形跑道同向而行，______秒后首次相遇。動(dòng)漫《概率游樂園》中，“抽獎(jiǎng)機(jī)”里有$5$個(gè)紅球和$3$個(gè)白球，不放回抽取$2$次，兩次都抽到紅球的概率為______；若第一次抽到紅球后，第二次抽到紅球的概率為______?！稊?shù)列積木塔》中，積木塊按規(guī)律堆疊：第1層1塊，第2層3塊，第3層6塊，第4層10塊……則第$n$層的積木塊數(shù)為______，前$n$層的總塊數(shù)為______。《立體幾何折疊術(shù)》中，“折紙大師”將長為$8$、寬為$4$的矩形紙片沿對(duì)角線折疊，重疊部分的面積為______。《導(dǎo)數(shù)過山車》中，過山車軌道的高度函數(shù)為$h(t)=t^3-3t^2+2t$（$t$為時(shí)間，單位：秒），則$t=2$時(shí)的瞬時(shí)速度為______，加速度為______?！秷A錐曲線尋寶記》中，寶藏藏在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$上，已知雙曲線的離心率為$2$，且過點(diǎn)$(2,3)$，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______。三、解答題（本大題共6小題，共84分）（14分）《三角函數(shù)動(dòng)畫劇場》中，“正弦勇士”與“余弦勇士”的能量變化規(guī)律分別為$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$和$g(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$。（1）畫出$f(x)$在$[0,\pi]$上的圖像，并求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若$f(x)=g(x)$，求$x\in[0,2\pi]$的解集。（14分）《數(shù)學(xué)建模工廠》中，“優(yōu)化工程師”需要設(shè)計(jì)圓柱形容器。已知容器的表面積為$100\pi$（不計(jì)厚度），要求容積最大，設(shè)底面半徑為$r$，高為$h$。（1）建立容積$V$關(guān)于$r$的函數(shù)模型，并寫出定義域；（2）求出容積最大時(shí)的$r$和$h$，并計(jì)算最大容積；（3）若實(shí)際生產(chǎn)中，半徑$r$的誤差不超過$0.1$，分析容積的誤差范圍（精確到$0.1$）。（14分）《空間向量探險(xiǎn)隊(duì)》中，探險(xiǎn)隊(duì)員在棱長為$2$的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，從點(diǎn)$A$出發(fā)，沿棱移動(dòng)到點(diǎn)$C_1$，每次只能沿棱向相鄰頂點(diǎn)移動(dòng)。（1）求不同的最短路徑條數(shù)；（2）若每移動(dòng)一條棱的距離消耗能量$1$單位，求消耗能量的分布列和數(shù)學(xué)期望。（14分）《統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析室》中，“數(shù)據(jù)分析師”對(duì)某動(dòng)漫平臺(tái)的用戶評(píng)分進(jìn)行分析。隨機(jī)抽取$10$名用戶的評(píng)分（滿分10分）：$7,8,9,8,7,10,9,8,9,8$。（1）計(jì)算平均分、方差和眾數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體，若平臺(tái)有$10000$名用戶，估計(jì)評(píng)分不低于$9$分的用戶數(shù)；（3）從這$10$名用戶中隨機(jī)抽取$2$人，求至少有$1$人評(píng)分是$9$分的概率。（14分）《圓錐曲線星際穿越》中，宇宙飛船在橢圓軌道$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上飛行，$F_1,F_2$為左右焦點(diǎn)，飛船在點(diǎn)$P(x_0,y_0)$處的速度方向與$PF_1$垂直。（1）證明：$PF_1$的斜率為$-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$；（2）若$a=5$，$b=3$，求點(diǎn)$P$的坐標(biāo)。（14分）《開放探究實(shí)驗(yàn)室》中，“數(shù)學(xué)創(chuàng)客”嘗試用多種方法解決問題：已知函數(shù)$f(x)