2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)電影”科學(xué)性評(píng)價(jià)試題（一）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）《星際穿越》中的引力方程：電影中宇航員庫(kù)珀通過黑洞數(shù)據(jù)破解引力方程的場(chǎng)景引發(fā)廣泛討論。若將引力場(chǎng)強(qiáng)度類比為空間中某向量場(chǎng)F(x,y,z)=(x2,yz,z2)，則該向量場(chǎng)在點(diǎn)(1,-2,3)處的散度divF為（）A.10B.12C.14D.16（考查知識(shí)點(diǎn)：空間向量的散度計(jì)算，數(shù)學(xué)建模思想）《美麗心靈》中的博弈論：納什在酒吧提出的均衡策略可簡(jiǎn)化為如下問題：設(shè)甲、乙兩人進(jìn)行零和博弈，支付矩陣為[\begin{pmatrix}a&2\3&b\end{pmatrix}]，若該博弈存在純策略納什均衡，則a+b的取值范圍是（）A.(-∞,2]∪[3,+∞)B.[2,3]C.(-∞,1]∪[4,+∞)D.[1,4]（考查知識(shí)點(diǎn)：矩陣與不等式，分類討論思想）《阿波羅13號(hào)》的軌道修正：飛船從半徑R的圓形軌道變軌到橢圓軌道，近地點(diǎn)距離地心R，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離地心3R。若地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則飛船在橢圓軌道上的周期與原圓軌道周期之比為（）A.(\sqrt{3})B.(\frac{3\sqrt{3}}{2})C.(\frac{3\sqrt{6}}{4})D.(\frac{9}{4})（考查知識(shí)點(diǎn)：開普勒第三定律，橢圓的幾何性質(zhì)）《模仿游戲》中的密碼破解：圖靈機(jī)破解Enigma密碼時(shí)需處理字符頻率。已知英文字母E出現(xiàn)概率為0.127，現(xiàn)截取一段200個(gè)字符的密文，用隨機(jī)變量X表示其中E的個(gè)數(shù)，則P(|X-EX|≤2)≈（）A.0.683B.0.954C.0.997D.0.841（考查知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似，數(shù)據(jù)分析能力）《隱藏人物》的軌道計(jì)算：非裔女?dāng)?shù)學(xué)家約翰遜計(jì)算飛船著陸點(diǎn)時(shí)，將地球表面近似為半徑R的球面，某著陸區(qū)域?yàn)楸本?0°圈上的一段弧長(zhǎng)2πR/3，則該區(qū)域?qū)?yīng)的球心角為（）A.(\frac{\pi}{3})B.(\frac{\pi}{2})C.(\frac{2\pi}{3})D.π（考查知識(shí)點(diǎn)：球面幾何，空間想象能力）《心靈捕手》的數(shù)學(xué)難題：電影中出現(xiàn)的拓?fù)鋯栴}可簡(jiǎn)化為：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)P在棱BB?上運(yùn)動(dòng)，則AP+D?P的最小值為（）A.(2\sqrt{5})B.(\sqrt{10}+1)C.(\sqrt{26})D.(2\sqrt{6})（考查知識(shí)點(diǎn)：空間幾何體表面距離，轉(zhuǎn)化思想）《達(dá)芬奇密碼》的斐波那契數(shù)列：盧浮宮地板上的密碼“13-3-2-21-1-1-8-5”對(duì)應(yīng)斐波那契數(shù)列的部分項(xiàng)。若數(shù)列{a?}滿足a?=1,a?=1,a???=a???+a?，則(\sum_{k=1}^{10}(-1)^ka_k)的值為（）A.-55B.-34C.5D.8（考查知識(shí)點(diǎn)：遞推數(shù)列求和，數(shù)學(xué)文化）《社交網(wǎng)絡(luò)》的用戶增長(zhǎng)模型：馬克·扎克伯格在電影中提到“六度分隔理論”，若某社交平臺(tái)用戶數(shù)y(t)滿足微分方程(\frac{dy}{dt}=ky(1-\frac{y}{M}))，其中k>0,M為最大用戶容量。當(dāng)t=0時(shí)y=100萬；t=1時(shí)y=200萬；t=2時(shí)y=350萬，則M≈（）A.500萬B.600萬C.700萬D.800萬（考查知識(shí)點(diǎn)：微分方程應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模能力）二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）《流浪地球》的行星發(fā)動(dòng)機(jī)：發(fā)動(dòng)機(jī)噴射等離子體的速度為v，單位時(shí)間噴射質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M。根據(jù)動(dòng)量定理，地球獲得的加速度a=mv/M。已知發(fā)動(dòng)機(jī)總功率P與m、v的關(guān)系為P=?mv2，下列說法正確的有（）A.當(dāng)P一定時(shí)，a與v成正比B.當(dāng)a一定時(shí)，P與v2成正比C.若v提高1倍，保持P不變，則地球獲得的沖量變?yōu)樵瓉淼?D.若m提高1倍，保持v不變，則發(fā)動(dòng)機(jī)效率提高1倍（考查知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與功率，函數(shù)關(guān)系分析）《盜夢(mèng)空間》的夢(mèng)境時(shí)間：電影中“現(xiàn)實(shí)1小時(shí)=第一層夢(mèng)境2小時(shí)=第二層夢(mèng)境8小時(shí)”的時(shí)間縮放規(guī)則，可抽象為等比數(shù)列。若進(jìn)入第n層夢(mèng)境，時(shí)間縮放系數(shù)為r(r>1)，現(xiàn)實(shí)中經(jīng)歷t小時(shí)后，第n層夢(mèng)境經(jīng)歷的時(shí)間為（）A.當(dāng)r=2時(shí)，第4層夢(mèng)境時(shí)間為16tB.若第3層夢(mèng)境時(shí)間為現(xiàn)實(shí)的27倍，則r=3C.當(dāng)t=1,r=√2時(shí)，前5層夢(mèng)境總時(shí)間為31(√2+1)tD.若現(xiàn)實(shí)時(shí)間增加Δt，各層夢(mèng)境時(shí)間增量成等比數(shù)列（考查知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，數(shù)學(xué)抽象能力）《星際迷航》的曲速航行：曲速因子w與飛船速度v的關(guān)系為v=w3c（c為光速）。某飛船從曲速2航行到曲速4，下列說法正確的有（）A.速度提升到原來的8倍B.動(dòng)能（相對(duì)論效應(yīng)不計(jì)）變?yōu)樵瓉淼?4倍C.若航行距離一定，時(shí)間變?yōu)樵瓉淼?/8D.速度關(guān)于曲速因子的彈性函數(shù)為3w（考查知識(shí)點(diǎn)：冪函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）《少數(shù)派報(bào)告》的預(yù)測(cè)算法：預(yù)防犯罪系統(tǒng)基于歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型，設(shè)某人犯罪概率P與風(fēng)險(xiǎn)因子x的關(guān)系為P(x)=1/(1+e??)。已知x~N(0,1)，則下列結(jié)論正確的有（）A.E[P(x)]>0.5B.D[P(x)]<0.25C.P(x>0|犯罪)=0.731D.當(dāng)x=1時(shí)，犯罪概率約為0.731（考查知識(shí)點(diǎn)：正態(tài)分布，條件概率，數(shù)學(xué)期望）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）《火星救援》的種植問題：馬克在火星上種植土豆，已知初始有12個(gè)土豆，每月收獲量是現(xiàn)有量的1.5倍，每月消耗量為5個(gè)。設(shè)第n個(gè)月土豆數(shù)量為a?，則a?的遞推公式為______，10個(gè)月后土豆數(shù)量約為______（精確到整數(shù)）。（考查知識(shí)點(diǎn)：遞推數(shù)列，數(shù)學(xué)建模）《源代碼》的時(shí)間循環(huán)：柯爾特上尉每次進(jìn)入源代碼世界的8分鐘記憶可視為獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)，成功識(shí)別炸彈概率為0.4。為使至少成功1次的概率≥0.99，至少需要循環(huán)______次（lg2≈0.3010,lg3≈0.4771）。（考查知識(shí)點(diǎn)：概率計(jì)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算）《21點(diǎn)》的算牌技巧：電影中通過“高低法”算牌，將每副牌的真實(shí)計(jì)數(shù)TC定義為：高牌（10,J,Q,K,A）記+1，低牌（2-6）記-1，中牌（7-9）記0。現(xiàn)有6副牌共312張，已發(fā)牌100張，其中高牌30張，低牌50張，中牌20張，則TC=，真實(shí)計(jì)數(shù)率TR=（TR=TC/剩余牌副數(shù)）。（考查知識(shí)點(diǎn)：數(shù)據(jù)處理，實(shí)際應(yīng)用能力）《超時(shí)空接觸》的外星信號(hào)：艾麗博士接收到脈沖信號(hào)序列：1,1,2,3,5,8,13,...，該序列前n項(xiàng)和S?滿足S?=______；若將信號(hào)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，第10項(xiàng)“55”對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)有______個(gè)1。（考查知識(shí)點(diǎn)：斐波那契數(shù)列，數(shù)制轉(zhuǎn)換）四、解答題（本大題共6小題，共70分）（12分）《侏羅紀(jì)公園》的種群增長(zhǎng)電影中恐龍種群數(shù)量N(t)滿足Logistic模型：(\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K}))，其中r為內(nèi)稟增長(zhǎng)率，K為環(huán)境容納量。（1）求解該微分方程，寫出N(t)的表達(dá)式（初始條件N(0)=N?）；（2）若暴龍種群r=0.05/年，K=100只，初始N?=10只，求種群數(shù)量翻倍的時(shí)間（精確到0.1年）；（3）當(dāng)公園遭遇災(zāi)難，K突變?yōu)樵瓉淼?/2，分析種群數(shù)量的變化趨勢(shì)。（考查知識(shí)點(diǎn)：微分方程求解，函數(shù)單調(diào)性，數(shù)學(xué)建模）（12分）《黑客帝國(guó)》的矩陣世界虛擬世界中的“數(shù)字雨”由0和1組成，某段序列可視為二階馬爾可夫鏈，轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：[P(0|00)=0.7,P(1|00)=0.3][P(0|01)=0.4,P(1|01)=0.6][P(0|10)=0.5,P(1|10)=0.5][P(0|11)=0.2,P(1|11)=0.8]（1）若當(dāng)前狀態(tài)為“00”，求下一個(gè)狀態(tài)為“01”的概率；（2）已知初始狀態(tài)分布π?=(0.2,0.3,0.3,0.2)（對(duì)應(yīng)狀態(tài)00,01,10,11），計(jì)算π?；（3）長(zhǎng)期來看，該馬爾可夫鏈?zhǔn)欠翊嬖谄椒€(wěn)分布？若存在，求出平穩(wěn)分布向量。（考查知識(shí)點(diǎn)：矩陣乘法，概率分布，極限狀態(tài)分析）（12分）《阿凡達(dá)》的懸浮山潘多拉星球的哈利路亞山受磁場(chǎng)與重力平衡懸浮，某懸浮山可近似為底面半徑R、高h(yuǎn)的圓錐體，其密度ρ是周圍空氣密度的k倍（k>1）。（1）建立坐標(biāo)系，寫出圓錐體的體積積分表達(dá)式并計(jì)算體積；（2）若磁場(chǎng)力等效為豎直向上的均勻場(chǎng)強(qiáng)B，單位體積受力f=Bρ_空，重力加速度為g，證明懸浮條件為B=kρ_空gh/3；（3）當(dāng)R=1000m,h=2000m,k=1.2時(shí)，計(jì)算維持懸浮所需的磁場(chǎng)力（ρ_空=1.2kg/m3,g=10m/s2）。（考查知識(shí)點(diǎn)：積分計(jì)算，力學(xué)平衡，數(shù)學(xué)建模）（12分）《蝴蝶效應(yīng)》的混沌理論洛倫茲吸引子的簡(jiǎn)化模型為二維映射：[x_{n+1}=y_n+1-ax_n^2][y_{n+1}=bx_n]（1）當(dāng)a=1.4,b=0.3時(shí)，若初始點(diǎn)(0,0)，計(jì)算前3次迭代結(jié)果；（2）證明當(dāng)|x?|≤1,|y?|≤1時(shí)，迭代序列有界；（3）取a=2,b=0.5，初始點(diǎn)(0.0001,0)與(0,0)，計(jì)算第10次迭代的歐氏距離，說明混沌系統(tǒng)的初值敏感性。（考查知識(shí)點(diǎn)：迭代函數(shù)，不等式證明，距離計(jì)算）（12分）《星際穿越》的五維空間庫(kù)珀在超立方體中觀察到女兒房間的時(shí)間t與空間坐標(biāo)x形成的四維流形，其度規(guī)張量分量g??=-1,g??=1（光速c=1）。（1）寫出該流形的線元表達(dá)式ds2；（2）若某事件在該坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(t,x)=(2,3)，計(jì)算其時(shí)空距離的平方；（3）證明光信號(hào)滿足ds2=0，并求從(0,0)到(t,x)的光信號(hào)方程。（考查知識(shí)點(diǎn)：張量初步，二次型，物理應(yīng)用）（10分）《死亡密碼》的數(shù)字偏執(zhí)數(shù)學(xué)家馬克斯癡迷于數(shù)字216，認(rèn)為它是宇宙的終極密碼。（1）證明216是36與6的最小公倍數(shù)；（2）將216表示為三個(gè)正整數(shù)的立方和（允許重復(fù)）；（3）計(jì)算216的所有正約數(shù)之和，并判斷是否為完全數(shù)。（考查知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論基礎(chǔ)，因數(shù)分解，數(shù)學(xué)文化）五、選做題（共10分，從23、24題中任選一題作答）《萬物理論》的霍金輻射黑洞溫度T與質(zhì)量M的關(guān)系為T=?c3/(8πGMk_B)（?為約化普朗克常量，G為引力常量，k_B為玻爾茲曼常量）。（1）若黑洞質(zhì)量以dm/dt=-αT?（α為常數(shù)）的速率蒸發(fā)，證明M(t)滿足微分方程dM/dt=-β/M2（β為常數(shù)）；（2）求解該方程，寫出黑洞壽命與初始質(zhì)量M?的關(guān)系。《頭號(hào)玩家》的綠洲游戲游戲中“安諾拉的彩蛋”隱藏在由參數(shù)方程[x=2\cos\theta+\cos2\theta]，[y=2\sin\theta+\sin2\theta]（θ∈[0,2π)）描述的曲線上。（1）將參數(shù)方程化為普通方程，并判斷曲線類型；（2）計(jì)算該曲線所圍成的面積。（注：全卷共24題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）本試題嚴(yán)格