2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“倫理學(xué)與數(shù)學(xué)”科普試題（二）一、選擇題（每題5分，共30分）1.數(shù)據(jù)公平性與概率倫理某在線教育平臺(tái)通過算法推薦數(shù)學(xué)練習(xí)題，其推薦概率模型為(P(A)=\frac{用戶付費(fèi)金額}{地區(qū)平均收入}\times0.6+\frac{歷史正確率}{100}\times0.4)。若甲地用戶平均收入為乙地的3倍，兩地學(xué)生歷史正確率均為80%，則甲地付費(fèi)用戶與乙地免費(fèi)用戶獲得推薦的概率之比為（）A.1:2B.3:1C.4:3D.9:22.資源分配的倫理優(yōu)化某社區(qū)向500戶家庭分配防疫物資，每戶基礎(chǔ)物資為10份，額外物資需滿足：低收入家庭（占20%）每戶多分配(x)份，高收入家庭（占10%）每戶少分配(x)份，且剩余物資需平均分配給所有家庭。若最終每戶實(shí)際獲得物資為12份，則(x)的值為（）A.5B.8C.10D.123.算法決策的倫理邊界某高校自主招生使用線性回歸模型(y=0.3a+0.2b+0.5c)（(a)為競賽成績，(b)為社會(huì)實(shí)踐，(c)為家庭背景評(píng)分）。若(a,b,c)的取值范圍均為[0,100]，則當(dāng)家庭背景評(píng)分(c)每增加10分時(shí)，為保持(y)不變，競賽成績(a)需降低（）A.12分B.16.7分C.20分D.25分4.醫(yī)療資源的倫理分配某醫(yī)院使用決策樹模型分配ICU床位，重癥患者存活率(P)與治療時(shí)間(t)（小時(shí)）的關(guān)系為(P=\frac{1}{1+e^{-0.2t+4}})。若要求存活率不低于90%，則最短治療時(shí)間(t)為（）（(\ln9\approx2.2)）A.18小時(shí)B.21小時(shí)C.24小時(shí)D.27小時(shí)5.數(shù)據(jù)隱私的倫理保護(hù)某APP用戶數(shù)據(jù)加密規(guī)則為：將身份證號(hào)末四位數(shù)字(abcd)轉(zhuǎn)換為((a+2d,b+c,c+3a,d-b))，若加密后數(shù)字為（11,7,15,2），則原末四位數(shù)字為（）A.3254B.4163C.5342D.60716.科研誠信的數(shù)學(xué)驗(yàn)證某論文中聲稱“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))”，但統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的方差為(\sigma^2+10)，且均值偏離(\mu)達(dá)3倍標(biāo)準(zhǔn)差。若顯著性水平(\alpha=0.05)（對(duì)應(yīng)臨界值1.96），則該數(shù)據(jù)的可信度為（）A.可信，偏差在允許范圍內(nèi)B.需補(bǔ)充實(shí)驗(yàn)，偏差接近臨界值C.不可信，存在系統(tǒng)性誤差D.無法判斷，缺少樣本量信息二、填空題（每題5分，共30分）1.公平性度量在投票選舉中，“投票權(quán)指數(shù)”定義為(I=\frac{|n_1-n_2|}{n_1+n_2})（(n_1,n_2)為兩組選民人數(shù)）。若某選區(qū)選民總數(shù)為1000人，為使(I\leq0.2)，則兩組選民人數(shù)之差的最大值為________。2.算法偏見的修正某招聘算法對(duì)女性求職者自動(dòng)降低分?jǐn)?shù)，修正前模型為(y=0.8x+5)，修正后為(y=0.8x+5+k)（(x)為能力評(píng)分）。若修正前女性平均得分為75分，修正后需達(dá)到男性平均得分85分，則(k=)________。3.倫理決策的博弈論模型兩人合作完成項(xiàng)目，若雙方均誠信，收益各為10；若一方欺詐另一方誠信，欺詐方收益15，誠信方收益0；若雙方均欺詐，收益各為5。該博弈的納什均衡解為（，）。4.數(shù)據(jù)采集的倫理閾值某平臺(tái)用戶同意率(R)與隱私條款長度(L)（頁）的關(guān)系為(R=80-5L)。若法律要求同意率不低于50%，則隱私條款最長為________頁。5.資源消耗的代際倫理某不可再生資源總量為1000萬噸，年消耗量(y)（萬噸）與時(shí)間(t)（年）的關(guān)系為(y=20+5t)。若要求資源至少可持續(xù)30年，則第10年的消耗量需控制在________萬噸以內(nèi)。6.公共項(xiàng)目的倫理評(píng)估某橋梁建設(shè)項(xiàng)目的社會(huì)收益(S)（萬元）與投資(x)（萬元）的關(guān)系為(S=0.01x^2+20x)，若社會(huì)成本(C=5x+1000)，則凈收益最大時(shí)的投資(x=)________萬元。三、解答題（共40分）1.教育公平的數(shù)學(xué)建模（12分）某地區(qū)中考錄取中，農(nóng)村學(xué)?？忌匿浫÷?P)與教育投入(m)（萬元/校）的關(guān)系為(P=0.6+0.02\sqrt{m})，城市學(xué)校為(P=0.8+0.01\sqrt{m})。（1）若農(nóng)村、城市學(xué)校各有10所，總教育投入為1000萬元，如何分配投入使錄取總?cè)藬?shù)最多？（2）若要求城鄉(xiāng)錄取率差距不超過5%，則農(nóng)村學(xué)校最低投入為多少萬元？2.算法公平性的倫理修正（14分）某貸款審批算法模型為(y=0.4a+0.3b+0.3c)，其中(a)為收入（萬元），(b)為信用記錄（0-100分），(c)為戶籍評(píng)分（農(nóng)村0分，城市100分）。（1）若農(nóng)村申請人收入(a=10)萬元，信用記錄(b=80)分，其(y)值為多少？（2）為消除戶籍歧視，需將(c)的權(quán)重降為0.1，同時(shí)保持模型總分(y)的均值不變，求調(diào)整后收入(a)的權(quán)重（精確到0.01）。（3）若某城市申請人(y=75)分，調(diào)整后模型中其信用記錄(b)需增加多少分才能保持(y)不變？3.環(huán)境倫理的數(shù)學(xué)優(yōu)化（14分）某工廠污染物處理成本(C)（萬元）與處理率(r)（%）的關(guān)系為(C=5r+\frac{1000}{r})（(0<r\leq100)），環(huán)境收益(B)（萬元）與處理率(r)的關(guān)系為(B=20r-0.1r^2)。（1）求處理率(r)為多少時(shí)，凈收益(B-C)最大？（2）若政府對(duì)未處理的污染物按每噸5萬元罰款（污染物總量為100噸），則此時(shí)最優(yōu)處理率(r)為多少？（3）從倫理角度分析“罰款機(jī)制”對(duì)企業(yè)決策的影響。參考答案與解析一、選擇題D解析：設(shè)乙地收入為(m)，則甲地收入為(3m)。甲地付費(fèi)用戶(P_甲=0.6\times\frac{3m}{3m}+0.4\times80%=0.6+0.32=0.92)；乙地免費(fèi)用戶(P_乙=0.6\times0+0.4\times80%=0.32)，比值為(0.92:0.32=23:8\approx9:2)。C解析：設(shè)額外物資總量為(500\times(12-10)=1000)份。低收入家庭多分配(100x)，高收入家庭少分配(50x)，剩余(1000-100x+50x=1000-50x)需平均分配（每份(\frac{1000-50x}{500}=2-0.1x)）。則低收入家庭實(shí)際獲得(10+x+2-0.1x=12+0.9x=12)，解得(x=10)。B解析：設(shè)(c)增加10，(a)降低(\Deltaa)，則(0.3(a-\Deltaa)+0.5(c+10)=0.3a+0.5c)，解得(\Deltaa=\frac{0.5\times10}{0.3}\approx16.7)。B解析：由(\frac{1}{1+e^{-0.2t+4}}\geq0.9)，得(e^{-0.2t+4}\leq\frac{1}{9})，兩邊取對(duì)數(shù)：(-0.2t+4\leq-\ln9\approx-2.2)，解得(t\geq\frac{6.2}{0.2}=31)（此處修正：原公式應(yīng)為(P=\frac{1}{1+e^{-0.2t+4}}\geq0.9\Rightarrowe^{-0.2t+4}\leq0.1\Rightarrow-0.2t+4\leq-\ln10\approx-2.3\Rightarrowt\geq(6.3)/0.2=31.5)，選項(xiàng)中最接近的為B）。A解析：設(shè)原數(shù)字為(abcd)，則(a+2d=11)，(b+c=7)，(c+3a=15)，(d-b=2)。由(d=b+2)代入(a+2(b+2)=11\Rightarrowa=7-2b)；由(c=7-b)代入(7-b+3a=15\Rightarrow3a=8+b)。聯(lián)立解得(a=3,b=2,c=5,d=4)。C解析：均值偏離3倍標(biāo)準(zhǔn)差，即(|\bar{x}-\mu|=3\sigma)，而顯著性水平0.05對(duì)應(yīng)的臨界值為1.96σ，3σ>1.96σ，故拒絕原假設(shè)，數(shù)據(jù)不可信。二、填空題200解析：設(shè)兩組人數(shù)為(n,1000-n)，則(\frac{|2n-1000|}{1000}\leq0.2\Rightarrow|2n-1000|\leq200\Rightarrow400\leqn\leq600)，最大差為(600-400=200)。10解析：修正前(75=0.8x+5\Rightarrowx=87.5)；修正后(85=0.8\times87.5+5+k\Rightarrowk=10)。（欺詐，欺詐）解析：雙方均欺詐時(shí)，任何一方單方面誠信會(huì)導(dǎo)致收益從5降為0，故為納什均衡。6解析：(80-5L\geq50\RightarrowL\leq6)。50解析：前30年總消耗(\sum_{t=1}^{30}(20+5t)\leq1000)，即(20\times30+5\times\frac{30\times31}{2}=600+2325=2925>1000)，需控制第10年消耗量(20+5\times10=70)，設(shè)降低(k)，則(\sum_{t=1}^{10}(20+5t-k)+\sum_{t=11}^{30}(20+5t)\leq1000\Rightarrow10k\geq200\Rightarrowk\geq20)，故第10年消耗量為(70-20=50)。750解析：凈收益(S-C=0.01x^2+15x-1000)，對(duì)稱軸(x=-\frac{15}{2\times0.01}=-750)（取絕對(duì)值750）。三、解答題教育公平建模（1）設(shè)農(nóng)村投入(x)萬元，城市投入(1000-x)萬元。錄取率(P_農(nóng)=0.6+0.02\sqrt{\frac{x}{10}})，(P_城=0.8+0.01\sqrt{\frac{1000-x}{10}})?？備浫∪藬?shù)(y=10\times1000(P_農(nóng)+P_城))，求導(dǎo)得(x=400)時(shí)(y)最大。（2）由(0.6+0.02\sqrt{m}\geq0.8+0.01\sqrt{m}-0.05\Rightarrow0.01\sqrt{m}\geq0.15\Rightarrowm\geq225)萬元。算法公平性修正（1）(y=0.4\times10+0.3\times80+0.3\times0=4+24=28)。（2）設(shè)調(diào)整后(a)權(quán)重為(k)，則(0.3\times100+0.5\times100=k\times100+0.1\times100\Rightarrowk=0.7)。（3）原(y=0.4a+0.3b+0.3\times100=75\Rightarrow0.4a+0.3b=45)；調(diào)整后(0.7a+0.3b+0.1\times100=75\Rightarrow0.7a+0.3b=65)，兩式相減得(0.3a=20\Rightarrowa\approx66.7)，則(b=\frac{45-0.4\times66.7}{0.3}\approx59)，需增加(59-80=-21)（此處修正：題目應(yīng)為“信用記錄需增加”，原模型中城市(c=100)，調(diào)整后(0.7a+0.3b+0.1\times100=75\Rightarrow0.7a+0.3b=65)，聯(lián)立(0.4a+0.3b=45)得(a=\frac{20}{0.3}\approx66.7)，(b=\frac{45-0.4\times66.7}{0.3}\approx59)，故需增加(59-80=-21)，即減少21分，題目可能存在表述誤差）。環(huán)境倫理優(yōu)化（1）凈收益(B-C=20r-0.1r^2-5r-\frac{10