2025年高二物理上學(xué)期臨界與極值問題挑戰(zhàn)題（動量、光學(xué)）一、動量守恒定律中的臨界與極值問題題型一：碰撞與追及中的臨界速度問題題目1質(zhì)量為m?=20kg的甲車（含質(zhì)量M=50kg的人）以v=3m/s的速度向右滑行，迎面而來的乙車質(zhì)量m?=50kg，速度v?=1.8m/s。為避免兩車相撞，人需從甲車跳到乙車上，求跳離甲車的水平速度（相對地面）范圍。（不計摩擦，乙車足夠長）解析臨界條件分析兩車恰好不相撞的臨界狀態(tài)為三者最終具有共同速度v'。系統(tǒng)水平方向動量守恒：[(m?+M)v-m?v?=(m?+m?+M)v']代入數(shù)據(jù)解得共同速度v'=1m/s（方向向右）。人跳離甲車過程動量守恒對人與甲車系統(tǒng)，設(shè)跳離速度為u，有：[(m?+M)v=m?v'+Mu]代入數(shù)據(jù)解得u=3.8m/s。因此，人跳離速度需滿足u≥3.8m/s。題型二：傳送帶與相對運動極值問題題目2質(zhì)量m=20kg的行李包以v?=2m/s滑上靜止的小車（質(zhì)量M=30kg，μ=0.4），求行李包在小車上滑行至最遠(yuǎn)處的時間。（g=10m/s2）解析臨界狀態(tài)判定行李包與小車最終共速時，相對位移達(dá)到最大。系統(tǒng)動量守恒：[mv?=(M+m)v]解得共同速度v=0.8m/s。動量定理應(yīng)用對行李包，摩擦力的沖量等于動量變化：[-\mumgt=mv-mv?]代入數(shù)據(jù)解得t=0.3s。題型三：多次碰撞中的極值問題題目3光滑水平面上，木箱質(zhì)量m=1kg，小車和人總質(zhì)量M=4kg（M:m=4:1）。人以速度v推出木箱，木箱被擋板原速反彈后再次被推出，求最多能推幾次木箱？解析動量守恒與臨界條件每次推出木箱時，系統(tǒng)動量守恒。設(shè)第n次推出后小車速度為v?，臨界條件為v?≥v（無法再次接住木箱）。遞推關(guān)系推導(dǎo)第一次推出：(0=Mv?-mv\Rightarrowv?=\frac{mv}{M})第一次接?。?Mv?+mv=(M+m)v'?\Rightarrowv'?=\frac{2mv}{M+m})第二次推出：((M+m)v'?=Mv?-mv\Rightarrowv?=\frac{3mv}{M})第n次推出：(v?=\frac{(2n-1)mv}{M})極值求解令v?≥v，代入M=4m解得n≥2.5，故最多推3次。二、光學(xué)中的臨界與極值問題題型一：全反射臨界角計算題目4一束單色光從折射率n=√3的玻璃射向空氣，求：（1）臨界角C；（2）若入射角i=30°，折射角r；（3）若i=60°，判斷是否發(fā)生全反射并計算反射光強度占比。解析臨界角公式由全反射條件(\sinC=\frac{n?}{n?})（n?=√3，n?=1），得：[C=\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx35.3°]折射角計算當(dāng)i=30°<C時，由斯涅爾定律(n?\sini=n?\sinr)，解得r=60°。全反射判斷i=60°>C，發(fā)生全反射，反射光強度占比100%。題型二：光導(dǎo)纖維中的極值問題題目5光導(dǎo)纖維折射率n?=1.5，外套折射率n?=1.4，若光在端面入射角為i，求：（1）能發(fā)生全反射的最大i；（2）若光纖長L=1m，光信號傳播時間的最小值。解析臨界角與入射角關(guān)系設(shè)光纖內(nèi)芯與外套臨界角為C，則(\sinC=\frac{n?}{n?})。由幾何關(guān)系，折射角r=90°-C，代入斯涅爾定律：[n?\sini=n?\sinr=n?\cosC=n?\sqrt{1-\left(\frac{n?}{n?}\right)^2}]解得最大入射角i≈23.5°。最短傳播時間光在光纖中傳播速度(v=\frac{c}{n?})，最短路徑為L（沿軸線），故最小時間(t_{\text{min}}=\frac{n?L}{c}=5×10^{-9}\text{s})。三、方法總結(jié)與模型拓展1.動量問題通用策略臨界條件識別：碰撞中動能損失最大→共速；相對滑動極值→摩擦力達(dá)最大靜摩擦；多次作用極值→速度方向反轉(zhuǎn)或無法繼續(xù)作用。數(shù)學(xué)工具：遞推公式（如題目3中v?=(2n-1)mv/M）、二次函數(shù)求極值（如(v^2=2ax)）。2.光學(xué)問題關(guān)鍵模型全反射三要素：光密→光疏介質(zhì)、入射角≥臨界角、折射光線消失。極值計算方法：三角函數(shù)法：(\sinC=1/n)；幾何極值法：光程最短對應(yīng)傳播時間最小。3.跨模塊綜合應(yīng)用題目6質(zhì)量m=0.1kg的物塊以v?=2m/s滑上長木板（M=0.3kg，L=1.5m，μ未知），同時給木板反向速度v?=2m/s。若物塊恰好不滑落，求μ及相對位移。解析動量守恒與能量關(guān)系共速時：(Mv?-mv?=(M+m)v)，解得v=1m/s。能量損失等于摩擦生熱：[\frac{1}{2}(M+m)v?^2-\frac{1}{2}(M+m)v^2=\mumgL]解得μ=0.4，相對位移s=1.5m。通過以上題型可見，臨