淺析反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u243891引言 1120731.1研究背景 1166891.2研究意義 1220012反對(duì)稱(chēng)矩陣的概念 218853反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì) 2295703.1基本性質(zhì) 2326483.2秩的性質(zhì) 10135723.3特征值的性質(zhì) 12263904反對(duì)稱(chēng)矩陣的應(yīng)用 13316784.1基本性質(zhì)的應(yīng)用 1355974.2秩的性質(zhì)的應(yīng)用 15300014.3特征值的性質(zhì)的應(yīng)用 16277284.4反對(duì)稱(chēng)矩陣在歐式空間線(xiàn)性變換上的相關(guān)解題應(yīng)用 18115395總結(jié)和期望 192072參考文獻(xiàn)： 21摘要：反對(duì)稱(chēng)矩陣作為一種特殊類(lèi)型的矩陣具有很多的性質(zhì)，且往往伴隨著對(duì)稱(chēng)矩陣出現(xiàn)，它是研究線(xiàn)性空間和線(xiàn)性變換問(wèn)題的有利工具．本文首先從反對(duì)稱(chēng)矩陣的概念出發(fā)，系統(tǒng)地闡述了反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)，并與對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比．然后從反對(duì)稱(chēng)矩陣的基本性質(zhì)、秩和特征值方面舉例說(shuō)明反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)的應(yīng)用，最后介紹了反對(duì)稱(chēng)矩陣在歐式空間線(xiàn)性變換上的應(yīng)用．關(guān)鍵詞：反對(duì)稱(chēng)矩陣；秩；特征值；性質(zhì)；應(yīng)用1引言1.1研究背景隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，矩陣已漸漸成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域不可缺少的工具，而研究矩陣的過(guò)程則可以方便方程的數(shù)值計(jì)算．矩陣?yán)碚撟鳛閿?shù)學(xué)的一個(gè)重要分支具有極為豐富的內(nèi)容，并且矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用隨著人們對(duì)科學(xué)研究的深入變得愈來(lái)愈廣．同其它的數(shù)學(xué)形式一樣，矩陣是一種數(shù)量表達(dá)形式，而這一形式一方面可以簡(jiǎn)潔地表達(dá)出平時(shí)遇到的如線(xiàn)性方程和協(xié)方差關(guān)系的協(xié)方差矩陣等，另一方面又給進(jìn)一步的研究或者問(wèn)題的簡(jiǎn)化提供了一個(gè)平臺(tái)．如特征值分析、穩(wěn)定性分析就對(duì)應(yīng)著諸如統(tǒng)計(jì)分布和系統(tǒng)穩(wěn)定性等實(shí)際問(wèn)題．矩陣在高等代數(shù)中是一個(gè)應(yīng)用廣泛的概念，例如線(xiàn)性方程組的一些重要性質(zhì)就體現(xiàn)在它的增廣矩陣和系數(shù)矩陣的性質(zhì)上，并且變換這些矩陣的過(guò)程也體現(xiàn)著解方程組的過(guò)程，二次型的正定性與它的矩陣的正定性相對(duì)應(yīng)，甚至有些問(wèn)題看上去是沒(méi)有聯(lián)系的，但轉(zhuǎn)化為成矩陣問(wèn)題后卻是相同的，這就使得矩陣成為代數(shù)特別是線(xiàn)性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象．而反對(duì)稱(chēng)矩陣作為矩陣中的特殊一分子，在數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)科的研究中有著特殊的地位．1.2研究意義反對(duì)稱(chēng)矩陣是矩陣論中經(jīng)常用到的特殊矩陣，在高等代數(shù)和線(xiàn)性代數(shù)中占有重要的地位．學(xué)習(xí)反對(duì)稱(chēng)矩陣有助于更全面地掌握矩陣的相關(guān)知識(shí)，有助于對(duì)高等代數(shù)、線(xiàn)性代數(shù)和其它后繼課程的學(xué)習(xí)研究，也為讀者系統(tǒng)地學(xué)習(xí)矩陣論提供參考．本文從反對(duì)稱(chēng)矩陣的概念出發(fā)，系統(tǒng)地闡述了反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)，并與對(duì)稱(chēng)矩陣進(jìn)行類(lèi)比．然后從基本性質(zhì)、秩和特征值方面舉例說(shuō)明反對(duì)稱(chēng)矩陣性質(zhì)的應(yīng)用，最后介紹了反對(duì)稱(chēng)矩陣在歐式空間線(xiàn)性變換上的解題應(yīng)用．使得讀者在今后的學(xué)習(xí)中，對(duì)解決反對(duì)稱(chēng)矩陣的相關(guān)問(wèn)題上能夠靈活變通．2反對(duì)稱(chēng)矩陣的概念在我們學(xué)習(xí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，反對(duì)稱(chēng)矩陣作為對(duì)稱(chēng)矩陣的特殊類(lèi)型會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，而要學(xué)習(xí)反對(duì)稱(chēng)矩陣首先要了解其基本概念，所以下面對(duì)其概念進(jìn)行介紹．定義：設(shè)是一個(gè)階方陣，如果，則稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣（也稱(chēng)斜對(duì)稱(chēng)矩陣）．REF_Ref5904\r\h[1]顯然易知，反對(duì)稱(chēng)矩陣中的元素有如下特征：命題：設(shè)階矩陣，若，則是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣．REF_Ref6263\r\h[2]3對(duì)稱(chēng)矩陣與反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)在研究和學(xué)習(xí)與反對(duì)稱(chēng)矩陣有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，對(duì)稱(chēng)矩陣經(jīng)常會(huì)和反對(duì)稱(chēng)矩陣一起出現(xiàn)，所以本文在這一章節(jié)介紹反對(duì)稱(chēng)矩陣性質(zhì)的同時(shí)并與對(duì)稱(chēng)矩陣進(jìn)行類(lèi)比．3.1基本性質(zhì)性質(zhì)1：反對(duì)稱(chēng)矩陣的主對(duì)角元素全為0．證明：因?yàn)榫仃嚍榉磳?duì)稱(chēng)矩陣，所以矩陣的主對(duì)角線(xiàn)上的元素有，所以．性質(zhì)2：反對(duì)稱(chēng)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是反對(duì)稱(chēng)矩陣．證明：設(shè)矩陣為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則．注：根據(jù)性質(zhì)2我們可以得到在對(duì)稱(chēng)矩陣方面與之類(lèi)似的性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣也是成立的，并對(duì)其進(jìn)行了如下證明．證明：設(shè)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣，則性質(zhì)3：任何一個(gè)階方陣都可以表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和．證明：假設(shè)階方陣，其中為對(duì)稱(chēng)矩陣，為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則，由得，，，而，，則為對(duì)稱(chēng)矩陣，為反對(duì)稱(chēng)矩陣，且．性質(zhì)4：反對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)于差、和、數(shù)乘都是反對(duì)稱(chēng)矩陣．證明：（1）設(shè)矩陣、是反對(duì)稱(chēng)矩陣，為任意數(shù)，則，，所以注：根據(jù)性質(zhì)4我們可以得到在對(duì)稱(chēng)矩陣方面與之類(lèi)似的性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)于差、和、數(shù)乘都是對(duì)稱(chēng)矩陣，證明如下．證明：設(shè)矩陣、是對(duì)稱(chēng)矩陣，為任意數(shù)，則，，所以性質(zhì)5：如果反對(duì)稱(chēng)矩陣可逆，則也是反對(duì)稱(chēng)矩陣證明：設(shè)為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則．注：根據(jù)性質(zhì)5我們可以得到在對(duì)稱(chēng)矩陣方面與之類(lèi)似的性質(zhì)，如果對(duì)稱(chēng)矩陣可逆，則也是對(duì)稱(chēng)矩陣，證明如下．證明;設(shè)為對(duì)稱(chēng)的可逆矩陣，則．性質(zhì)6：如果矩陣為任意方陣，則為反對(duì)稱(chēng)矩陣．證明：設(shè)矩陣為任意方陣，則注：根據(jù)性質(zhì)6我們可以得到在對(duì)稱(chēng)矩陣方面與之類(lèi)似的性質(zhì)，如果矩陣為任意方陣，則為對(duì)稱(chēng)矩陣，證明如下．證明：設(shè)矩陣為任意方陣，則性質(zhì)7：（1）如果矩陣、同為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則為對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件是;（2）如果矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣且矩陣是反對(duì)稱(chēng)矩陣，則為反對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件是．證明：（1）必要性:設(shè)為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則而，所以；充分性：設(shè)，則，所以是反對(duì)稱(chēng)矩陣．（2）必要性:設(shè)為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則而，，所以；充分性：設(shè)，則，所以．注：根據(jù)性質(zhì)7我們可以得到在對(duì)稱(chēng)矩陣方面與之類(lèi)似的性質(zhì)，如果矩陣同為對(duì)稱(chēng)矩陣，則為對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件是，證明如下．證明：必要性：設(shè)ＡB為對(duì)稱(chēng)矩陣，則而，，所以；充分性：設(shè)，則所以是對(duì)稱(chēng)矩陣．性質(zhì)8：如果奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)矩陣可逆，則的伴隨矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣；如果偶數(shù)階階反對(duì)稱(chēng)矩陣可逆，則的伴隨矩陣也是反對(duì)稱(chēng)矩陣．證明：設(shè)矩陣為階可逆的反對(duì)稱(chēng)矩陣，則．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得;當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得．注：與性質(zhì)8類(lèi)似的對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)是不需要區(qū)分奇偶階的即如果對(duì)稱(chēng)矩陣可逆，則的伴隨矩陣也是對(duì)稱(chēng)矩陣，證明如下．證明;設(shè)矩陣為階可逆的對(duì)稱(chēng)矩陣，則．性質(zhì)9：設(shè)為階矩陣，則為反對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件是對(duì)任意的維列向量有．證明：（法1）必要性：因?yàn)槭欠磳?duì)稱(chēng)矩陣，則可得，即．充分性：把等式兩邊取轉(zhuǎn)置可得，則有，由具有任意性可得，即．（法2）必要性：設(shè)，，則通過(guò)計(jì)算可得．充分性：設(shè)，令，其中表示第i個(gè)分量為1，其余分量為0的維列向量，則可得，所以，即．故結(jié)論成立．性質(zhì)10：不存在奇數(shù)階的可逆反對(duì)稱(chēng)矩陣．證明：設(shè)矩陣為階反對(duì)稱(chēng)矩陣（為奇數(shù)），則，所以，又由得，，故，即不存在奇數(shù)階的可逆反對(duì)稱(chēng)矩陣．性質(zhì)11：如果矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣，則為反對(duì)稱(chēng)矩陣．證明:設(shè)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣，則．注：那么減號(hào)換成加號(hào)該如何證明即如果矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣，則為對(duì)稱(chēng)矩陣．證明：設(shè)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣，則．性質(zhì)12：如果矩陣是反對(duì)稱(chēng)矩陣，則矩陣合同于矩陣，證明：因?yàn)榫仃囀且粋€(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣，則可設(shè)現(xiàn)在對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí)，若結(jié)論然也成立；若取，則有，所以，矩陣與合同，即矩陣合同于矩陣．（2）假設(shè)對(duì)于階數(shù)小于n時(shí)的反對(duì)稱(chēng)矩陣A合同于矩陣M．現(xiàn)在證明對(duì)的反對(duì)稱(chēng)矩陣也合同于矩陣．①如果矩陣的第一行全為0，即時(shí)，則，此處為階反對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在一個(gè)接可逆矩陣使得令，則有在令，此處是階單位矩陣，則取，則有即矩陣合同于矩陣②如果矩陣A的第一行不全為0，有則不妨設(shè)，可對(duì)實(shí)施初等變換如下：再取，可得由于所作為對(duì)稱(chēng)式的變換，所以依舊為反對(duì)稱(chēng)矩陣，所以存在階可逆矩陣使得令，且，此處為2階單位矩陣，則有所以矩陣是矩陣的合同矩陣3.2秩的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)是階反對(duì)稱(chēng)矩陣，且中有一個(gè)階主子式，且含的階主子式均為零，則．證明：因?yàn)榉磳?duì)稱(chēng)矩陣的任一主子矩陣仍為反對(duì)稱(chēng)矩陣，故當(dāng)有一個(gè)階主子式時(shí)，必為偶數(shù)，從而的任階主子式全為0．設(shè)位于矩陣的左上角（否則可同時(shí)調(diào)換行與相應(yīng)的列，使之位于左上角，這不影響行列式的值為0與否），記加中第行與第列元素所成的加邊行列式為，設(shè)階主子式，因?yàn)槭呛囊粋€(gè)階的主子式，所以，則，所以的2階主子式，即，由與都是矩陣的含的階與階主子式，得，即，又由，得，則，即，所以．性質(zhì)2：設(shè)矩陣是秩為的反對(duì)稱(chēng)矩陣，則矩陣至少有一個(gè)階主子式不為0．證明：由性質(zhì)13可知，所以矩陣的所有階子式都為0，則矩陣的所有階主子式也都為0，所以假設(shè)矩陣的所有主子式都為0，則可得，與矛盾，所以反對(duì)稱(chēng)矩陣至少有一個(gè)主子式不為0．性質(zhì)3：反對(duì)稱(chēng)矩陣的秩為偶數(shù)．證明：設(shè)矩陣為反對(duì)稱(chēng)矩陣，且合同于矩陣由矩陣為反對(duì)稱(chēng)矩陣可知，由于U為滿(mǎn)秩（初等變換矩陣），所以矩陣的秩等于矩陣的秩，又因?yàn)榫仃嚨闹葹榕紨?shù)，合同的矩陣有相同的秩，所以矩陣的秩也為偶數(shù)，即反對(duì)稱(chēng)矩陣的秩為偶數(shù)．性質(zhì)4：假設(shè)矩陣是反對(duì)稱(chēng)矩陣，且矩陣的所有階與階主子式都為0，則．證明：對(duì)進(jìn)行歸納法，當(dāng)時(shí)，矩陣的主對(duì)角元素與階主子式都為0，則對(duì)任意的i，j有，即，又因，所以，即．設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，則假設(shè)矩陣的所有階主子式也都為0，由結(jié)論可得，如果矩陣存在一個(gè)主子式，則有已知得在矩陣中所有含有的階和階主子式都是0，由性質(zhì)13可知，所以時(shí)，結(jié)論成立．3.3特征值的性質(zhì)性質(zhì)1：實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是0或純虛數(shù)．證明：設(shè)實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的任一特征值為，它對(duì)應(yīng)的特征向量為，則，即，得，，所以為純虛數(shù)或0．注;根據(jù)性質(zhì)1可以知道其關(guān)于對(duì)稱(chēng)矩陣的類(lèi)似性質(zhì)即實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，證明如下．證明：設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的任一特征值為，它對(duì)應(yīng)的特征向量為，則，即，得，所以為實(shí)數(shù)．性質(zhì)2：是實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值，則也是矩陣的特征值．證明：由于是實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值所以，，從而，其中是的階數(shù)，所以也是矩陣的特征值．性質(zhì)3：反對(duì)實(shí)稱(chēng)矩陣的特征值全都是0的充要條件是．證明：充分性:如果，則易知矩陣的特征值全為0．必要性：設(shè)矩陣的全部特征值為，則的全部特征值為，且，因?yàn)榫仃嚨奶卣髦等际?，所以，即，所以，故．性質(zhì)4：如果矩陣為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則可逆．證明：由性質(zhì)1可知不是矩陣的特征值，所以，即可逆．4反對(duì)稱(chēng)矩陣的應(yīng)用以往的有關(guān)反對(duì)稱(chēng)矩陣的文章都是理論性的文章，都沒(méi)有對(duì)反對(duì)稱(chēng)矩陣進(jìn)行應(yīng)用，所以本文通過(guò)下面的一些例題對(duì)反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．4.1基本性質(zhì)的應(yīng)用例1：若為可逆的實(shí)對(duì)稱(chēng)階方陣，B為實(shí)反對(duì)稱(chēng)階方陣，．求證:可逆．分析：由求一個(gè)矩陣是否可逆有兩種方法，一種是只有一個(gè)解為0，另一種是．得到要求可逆可分為兩種方法，(法1)就需求證，又因，所以只需求證，即-1不是的特征值；（法2）運(yùn)用反證法，就需要求證有非零解．證明：（法1）由和可逆可得，，因?yàn)闉閷?duì)稱(chēng)矩陣，為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則有，即是實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣，所以其特征值是0或純虛數(shù)，即，所以，即是可逆矩陣．（法2）由方程組由非零解，設(shè)解為，則由可逆和可得，由于，所以前后兩式矛盾，則沒(méi)有非零解，即可逆．例2：設(shè)，則求證（1）當(dāng)為對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，、為對(duì)稱(chēng)矩陣；（2）當(dāng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，、為反對(duì)稱(chēng)矩陣．分析：要求證上面兩個(gè)結(jié)論成立，需先知道、分別與有什么關(guān)系，即由可知可逆和，進(jìn)一步由可知，然后根據(jù)定義進(jìn)行證明可得．證明：設(shè)，則可逆，，由，知，（1）當(dāng)為對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，（2）當(dāng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，4.2秩的性質(zhì)的應(yīng)用例1：設(shè)為階實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣，為維實(shí)列向量．求證：分析：由是實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣可知為偶數(shù)且，故要證明，需證．證明：因?yàn)槭请A反對(duì)稱(chēng)矩陣，且為偶數(shù)，所以，由因?yàn)?，因?yàn)?，根?jù)性質(zhì)14可得，．例2：設(shè)矩陣正定，是反對(duì)稱(chēng)矩陣．求證：．分析：要求證，需證明不成立，即不成立．證明：假設(shè)，則有，于是存在向量，使得，進(jìn)而可得，這與是正定矩陣相矛盾，所以不成立，即．4.3特征值的性質(zhì)的應(yīng)用例1：設(shè)為實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣．求證：相應(yīng)于的純虛數(shù)特征值的特征向量的實(shí)部與虛部實(shí)向量的長(zhǎng)度相等且相互正交．分析：設(shè)是關(guān)于特征值的特征向量，要證明特征向量的實(shí)部與虛部實(shí)向量的長(zhǎng)度相等需證明其之差為0，即證明，要證明其相互正交需證明實(shí)部的轉(zhuǎn)置與虛部長(zhǎng)度之積為0，即證明．證明：設(shè)是關(guān)于特征值的特征向量，即，所以，進(jìn)而則可得，正交，又因?yàn)樗裕拈L(zhǎng)度相等．例2：設(shè)為階實(shí)可逆矩陣，為階實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣．求證：．分析：要求證，需求其所有特征值的乘積大于0，因?yàn)槠浼兲摂?shù)特征值是成對(duì)出現(xiàn)且為共軛，所以只需求證其實(shí)特征值大于0．證明：設(shè)的實(shí)特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即，則有，因?yàn)槭强赡鎸?shí)矩陣，由性質(zhì)6可得是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，即正定，則可知，又因?yàn)榈募兲摂?shù)特征值成對(duì)出現(xiàn)且為共軛，所以．例3：設(shè)為階反對(duì)稱(chēng)矩陣，令．求證：是正交矩陣且不是的特征值．分析：要求證是正交矩陣，即證明，而證明不是的特征值，則要證明可逆．證明：由為階反對(duì)稱(chēng)矩陣可知可逆，則可得，，由此可知．即時(shí)正交矩陣．由，得，即所以即所以可逆，即不是的特征值．4.4反對(duì)稱(chēng)矩陣在歐式空間線(xiàn)性變換上的相關(guān)解題應(yīng)用4.4.1用反對(duì)稱(chēng)矩陣研究線(xiàn)性變換例1：歐式空間中的線(xiàn)性變化稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)變換，若，．證明：反對(duì)稱(chēng)當(dāng)且僅當(dāng)在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是反對(duì)稱(chēng)矩陣．證明：充分性：設(shè)是線(xiàn)性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣，且反對(duì)稱(chēng)，即，任給，記，，則有，，那么，所以為反對(duì)稱(chēng)變換．必要性：設(shè)是反對(duì)稱(chēng)變換，且，其中矩陣為的標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么，，，因此，，所以，即知為反對(duì)稱(chēng)矩陣．4.4.2用反對(duì)稱(chēng)矩陣研究反對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)例2：設(shè)是線(xiàn)性空間的任意一組基，上的雙線(xiàn)性函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)的，當(dāng)且僅當(dāng)在基下的度量矩陣是反對(duì)稱(chēng)矩陣．分析：要求解這個(gè)問(wèn)題首先要知道什么是反對(duì)稱(chēng)雙曲線(xiàn)函數(shù)的定義，即設(shè)為線(xiàn)性空間上的一個(gè)雙線(xiàn)性函數(shù)，且滿(mǎn)足，則稱(chēng)為上的一個(gè)反對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)．然后再根據(jù)定義進(jìn)行求解．證明：設(shè)為的一組基，若雙線(xiàn)性函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)的，則，所以它的度量矩陣是反對(duì)稱(chēng)的．反之，若雙線(xiàn)性函數(shù)在基下的度量矩陣是反對(duì)稱(chēng)的，那么對(duì)中任意向量和，都有，所以是反對(duì)稱(chēng)的．小結(jié)：由例1可知，若求證一線(xiàn)性變換是反對(duì)稱(chēng)變換，只需要求出其在下的矩陣是反對(duì)稱(chēng)矩陣即可．5總結(jié)和期望本文從理論基礎(chǔ)方面介紹了反對(duì)稱(chēng)矩陣的的概念和性質(zhì)，并從實(shí)際應(yīng)用方面對(duì)反對(duì)稱(chēng)矩陣的應(yīng)用進(jìn)行了介紹，在觀察反對(duì)稱(chēng)矩陣應(yīng)用的相關(guān)資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中對(duì)稱(chēng)矩陣往往伴隨著反對(duì)稱(chēng)矩陣出現(xiàn)，并且任何一個(gè)矩陣都可以唯一分解成一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和，所以在闡述反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)時(shí)與對(duì)稱(chēng)矩的性質(zhì)進(jìn)行了類(lèi)比，并且在舉例說(shuō)明反對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)的應(yīng)用后，對(duì)反對(duì)稱(chēng)矩陣進(jìn)行了在歐式空間線(xiàn)性變換上的解題應(yīng)用方面的進(jìn)一步研究．雖然在以往的文獻(xiàn)中沒(méi)有涉及反對(duì)稱(chēng)矩陣的應(yīng)用的前提下對(duì)反對(duì)稱(chēng)矩陣的應(yīng)用進(jìn)行了一些例舉，但還存在許多方面的不完善，如和本課題相似的行（列）反對(duì)稱(chēng)矩陣的滿(mǎn)秩分解和廣義逆上本文沒(méi)有涉及，在反對(duì)稱(chēng)矩陣的秩和特征值上也沒(méi)有做過(guò)多的介紹，在反對(duì)稱(chēng)矩陣的應(yīng)用上只是進(jìn)行了一些性質(zhì)的應(yīng)用和延伸，大部分性質(zhì)由于能力有限就沒(méi)有做過(guò)多的應(yīng)用，在此深感抱歉．所以今后在學(xué)習(xí)反對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)要仔細(xì)研磨和思考并努力掌握好相關(guān)問(wèn)題．希望本文能給學(xué)習(xí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的讀者帶來(lái)一些幫助．

參考文獻(xiàn)：郭龍先,張毅敏,何健瓊.高等代數(shù)[M]科學(xué)出版社,2011.陳云鵬,張凱院,徐仲.矩陣論[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社,2017,8.錢(qián)椿林.線(xiàn)性代數(shù)(第3版)[M].電子工業(yè)出版社,2005:63.李新,何傳江.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用[M].重慶大學(xué)出版社.2005.胡太群.行(列)對(duì)稱(chēng)矩陣的廣義逆特征值問(wèn)題及其最佳逼近[D].湖南大學(xué).2009.鄒本強(qiáng).對(duì)稱(chēng)矩陣與反對(duì)稱(chēng)矩陣的若干性質(zhì)[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,21(2):92-94.賈周,上官靈喜.關(guān)于反對(duì)稱(chēng)矩陣[J].南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,6(12):18-21.謝良金.反對(duì)稱(chēng)矩陣行列式的性質(zhì)[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,6:34-35.張海山.反對(duì)稱(chēng)矩陣的若干性質(zhì)[J].甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2003,17(3)：14-17．武秀美.對(duì)稱(chēng)矩陣與反對(duì)稱(chēng)矩陣的若干性質(zhì)[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，19(6):110-111．盧潮