模型．前三個圖形相等的角在同側(cè)，后三個圖形相等的角在°,則ΔABC∽ΔCDE:ΔABC∽ΔCDE.1．如圖，在四邊形ABCD中，點E為邊AB的中點，連接CE，DE．已知(1)求BC的長；連接AE，過點E作AE的垂線，交BC邊于點F，則若DE=x，△BEF的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(0,4)，點B(m,0)是x軸點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CP，點A的對應(yīng)點是點P，連接OP．(2)如圖2，若OP與x軸正半軸夾角是45°,求m的值．:ΔABC∽ΔCDE4．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=∠ABC．【拓展延伸】（1）如圖2，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E（2）如圖3，在四邊形ABCD中，DEⅡBC，交AB于點E，CFⅡAD，交AB于點F，:ΔABC∽ΔCDE8．如圖，菱形ABCD的邊長為4，上ABC=60°,點E、F分別是邊AD、CD上的動點，上BEF=120°,則線段DF長度的最大值為．°,則ΔPBD∽ΔCAP°,°,:ΔPBD∽ΔCAP垂線，垂足分別為點D,E，延長BD交AC于點F，若CE=3，DE=1，求△BΔPBD∽ΔCAP5圖:ΔPBD∽ΔCAP①如圖2，求AD的長．@如圖3，M，N為直線BC上兩點（M在B點左側(cè)，N在C點右側(cè)在Rt△AMN中，E，連接BE．則．【靈活運用】【拓展延伸】14．如圖，已知矩形ABCD的頂點A，D分AD=3AB，則點C的坐標(biāo)是()交CD于點F，連接AF并延長AF交BC的延長線于點G，若CG=3，則正方形的邊AD長為()16．如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點E在邊AD上，且AE=2作EF丄BE，交CD于點F，則DF的長為()的面積為()18．如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動點，N在CD上，且若19．如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，點F是CD上一點，連接BE，BF，為頂點的三角形與以P,A,B為頂點的三角形相似時，求BP的長．22．如圖，矩形ABCD中，點E是BC邊上的點，且AB=2，BC=5，EC=1．上，點E在AC上，點F在BC上，且上EFD=45°.24．如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點，若上AEF=90°,則一定有A．△ADE∽△AEF與A、B重合過點D作CD的垂線交射線CA于點E．設(shè)AD=x，CE=y，則把y表示為x的函數(shù)解析式為：作MN丄AM交AB于點N，當(dāng)點M從點C運動到點B的過程中，點N經(jīng)過的路徑長是．），拓展3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)△APD為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．似三角形所需角的相等條件，利用全等或相【證明體驗】【思考探究】【拓展延伸】上，點E在AC上，點F在BC上，且上EFD=45°,若求CD的長．設(shè)計者想在該花園內(nèi)設(shè)計一個四邊形AEFD區(qū)域來種植花卉，其他區(qū)域種植草皮．要求E、F分別位于BC、CD邊上，AE丄AD，且AD=2AE，CF=20米．為了美觀，要求DE平分7AEC，求種植花卉區(qū)域四邊形AEFD的面積．在△ABC中，上A=90°,將線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，作DETAB交AB 的延長線于點E．(3)【類比遷移】在（2）的條件下，連接CE交BD于點N，求的值；【感知問題】【探究問題】【知識應(yīng)用】（2）當(dāng)△CPE是等腰三角形時，求AP的長．①如圖2，求AD的長．@如圖3，M，N為直線BC上兩點（M在B點左側(cè)，N在C點右側(cè)在Rt△AMN中，:上ADE=上BEC，:△AED∽△BCE，:AE=BE=6，:BC=12；:△AED∽△ECD．作EG丄AD于G，延長GE交BC于H，可證明四邊形ABHG是矩形，得到，HGDGAD3DGAD3EGAB4【詳解】解：如圖所示，過點E作EG丄AD∵四邊形ABCD是矩形，ADⅡBC，:四邊形ABHG是矩形，:△DEG∽△DBA，:∠GAE=∠HEF，:△AGE∽△EHF，:BF=BH-HF=3-3a-a=3-a，:S△BEF=BF.EH=(2)m的值為2或-6．【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的過點C作MN∥x軸交OA于點M，交PE于點N．:四邊形ODCM和四邊形CDEN均是矩形．:OM=CD=NE，CM=OD，CN=DE．又AB=BC，:△AOB≌△BDC．:DE=CN=4-m．:OE=PE．:8=2m+4．:m=2．過點P作PQ丄MC交MC的延長線于點Q，設(shè)PQ交y軸于點H．:BM=AO=4，CM=BO=-m，AN=CQ，CN=PQ．:OM=OB-BM=-m-4．:AN=CQ=OM=-m-4，CN=PQ=4-m．:PH=PQ-QH=4-m-(-m-4)=8，:OH=PH．:-2m-4=8．:m=-6．綜上，m的值為2或-6．:△ABD∽△DCE．:CE=AC-AE=1，:DC的長為2或4．證明△DAE∽△CFB∽△ECB，即可得出代入數(shù)據(jù)求出BC=2，根據(jù) AEBC262:△ABE∞△DEF，:=，解得：DF=3；:△ACD∽△DBE，CDAC:=，BEBD2BC-3∵ADⅡCF，:△DAE∽△CFB∽△ECB，:此時AP=2；APABDPDC綜上所述，AP的長為2或．則AE=t-4，AE2=t2-8t+16，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值即可求解．【詳解】解：如圖，在AD上截取DG=DF，連接GF，:△DGF是等邊三角形，:上EGF=120°,:上DEF=上ABE，Q菱形ABCD的邊長為4，:線段DF長度的最大值為12-82，故答案為：12-8．:BD=AE,DA=EC，:△DBA∽△EAC:BF=DF,BD=2DF,CE=2EG:△DBA∽△EAC:DA=EC=EC=EG=3-DF=3-BD，,再證明△ABD∽△FBA，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)一步求解即可.:△ABD≌△CAE，:△ABD∽△FBA，（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可求BE，CF的長，通過證明△ABE∽△CAF，可得:△ABE∽△CAF；:DE=BD=2，DC=DF=3，:BE=2，CF=3，:△ABE∽△CAF，:AD=6，AD=-1（舍去即AD的長為6；QBM=x，CN=y，:BC=5-x-y，如圖，作△ABC關(guān)于AB對稱的△ABE，在AM上截取AF=AN=3，連接EF，并延長交MN于H，:MF=1:上BAM+上CAN=45°,:上CAN=上EAM，又QAF=AN，:△ACN≌△AEF(SAS)，:上M+上MFH=90°,:上MHF=90°,:上MHF=上BAC，:△MFH∽△MNA，QEH2+BH2=BE2，作BF丄AE延長線于點F，則上F=90°,可證△AEC≌△BF求出x，由此即可求解．:設(shè)AB=AC=2x，:△AEC∽△DAC，:△AEC≌△BFA(AAS)，△ABC∽△EDA；（2）過點B作BF⊥CD的延長線于點F，易證△ACE∽△CBF，△AED∽△BFD，從而得到ACAECE1ADAE CBCFBF2BDBF（3）在BD上取點E，使上DEC=120°,過點C作CF丄DB的延長線于點F，易證BF=EF-BE=x-2，CE=2BD=2x，然后利用勾股定理在Rt△EFC中表示出CF，即可在Rt△BFC中求得EF，最后在Rt△DFC中即可求得CD．:上BCA=上DAE，:上BAC=上DEA，:△ABC∽△EDA．（2）解：過點B作BF⊥CD的延長線于點F，:上ACE=上FBC，:△ACE∽△CBF，:EF=BF，:△AED∽△BFD，（3）解：在BD上取點E，使上DEC=120°,過點C:上ECF=90°-上FEC=90°-60°=30°,:△ABD∽△BCE，:BD=EF，:在Rt△EFC中:在Rt△DFC中【點睛】本題考查了三角形外角的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，【詳解】解：過C作CE丄y軸于E，:△CDE∽△ADO，故選：C．【詳解】解：:四邊形ABCD是正方形，:△ABE∽△ECF，:△ABG∞△FCG，:AB=AD=CD=6,DA=DD:△BAE∽△EDF，:AE=4,DE=2，:AE=BE=2，:△AEF∽△BCE，先根據(jù)BM=x得出CM=4-x，再由CN=CD得出CN=1，再分△ABM∽△MCN與:CM=4-x.當(dāng)△ABM∽△MCN時，ABBMCNCM解得x=，:△ABE一△DEF，設(shè)DP＝x,則BP＝BD-x＝28-x,根據(jù)垂直的定義得到上B＝上D＝90°,再根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，當(dāng)時，△ABP∽△CDP，即:BP=28-11.2=16.8；@當(dāng)時，△ABP∽△PDC，:BP=28-4=24或BP=28-24=4．綜上所述，當(dāng)以P,C,D為頂點的三角形與以P,A,B為頂點的三角形相似時，BP的長為16.8或24或4．【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握其:△ABE∽△ECD；【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和矩形的性質(zhì)．:△ABE∽△ECD；:AE丄DE．:上BAD=上EDF，:△ABD∽△DFE；ABAD:=，DFDEAD1DE2:=DE2AB1DF2:=DF2:DF=2，:△EFC∽△DEC，:DC:EC=EC:CF，即EC2=FC.(2+FC)，:3=FC(2+FC)，【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識點，先根【詳解】解：:四邊形ABCD是矩形，△AEF與△ABF、△ABF與△ECF、△ADE與△AEF都是只有一對相等的直角，所以都不【分析】先求解BC=1,AC=，如圖，作EQ丄AB于Q，作CG丄AB于G，可得相似三角形的性質(zhì)建立函數(shù)關(guān)系式即可.:BC=1,AC=，如圖，作EQ丄AB于Q，作CG丄A:BG=BC=，:AE=-y,:△DEQ∽△CDG，【點睛】本題考查的是含30度角的直角三角形的定與性質(zhì)，函數(shù)解析式，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.9【分析】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的判別式等知識，過點N作NJ丄BC于J，設(shè)BN=y，CM=x，構(gòu)建一元二次方程，利用判別式求出y的最大值，【詳解】解：過點N作NJ丄BC于J，如圖所示：設(shè)BN=y，CM=x，:△BNJ∽△BAC，y，NJ=y，:MJ=BC-CM-BJ=6-x-y，:△ACM∽△MJN，:9y2-820y+900≥0，:(9y-10)(y-90)≥0，:BN的最大值為，當(dāng)點M從點C運動到點B的過程中，開始時，點N從點B開始向左運動，BN達(dá)到最大值時，然后點N應(yīng)該是再往右運動，然后回到點B，:點N經(jīng)過的路徑長是2倍的BN的最大值，:點N經(jīng)過的路徑長是，27．感知1應(yīng)用2）①見解析；②3.6；拓展3）2或【詳解】感知1）:△ABC一△DAE，BCAE:=，ACDE應(yīng)用2）①:∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，:AB=AC，:∠B=∠C，:△ABP一△PCD；:BP=PC=6，·:△ABP一△PCD，拓展3）當(dāng)PA=PD時，△ABP≥△PCD，:PC=AB=10，:BP=BC-PC=12-10=2；:AP≠AD；:△BCA一△ACP，理以及三角形的外角性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理C再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求出EH的長，這樣有了底和高就能求在△BEP和△CPF中，:△BEP≥△CPF，:EP＝PF，:△EPF是等邊三角形．:GC＝2CF＝8，:GB＝GC-BC＝2，:EH＝BE?PE÷BP=,:∠EPF＝60°,:∠BEP=∠FPC，又:∠B=∠C，:△BPE一△CFP，,,:PH＝0，:PE＝4．291）見詳解（2）成立，理由見詳解（3）5:△BPC∽△ADP:AD.BC=AP.BP；:△BPC∽△ADP:AD.BC=AP.BP；（3）:Rt△ADE是等腰三角形DE2:AB=2:DF=4:△DEC∽△EFC301）見解析2）43）4500平方米:△ABE∽△ECF；:AB=BC，（3）過D作DG丄BA于G，連接DE，:四邊形BCDG是矩形，:DG=BC，BG=CD，∵DE平分DAEC，:△ADE≌△CDE，又BC=80，:BE=80-a，:△GAD∽△BEA，:AG=160-2a+40=2a，:四邊形AEFD的面積為即種植花卉區(qū)域四邊形AEFD的面積4500平方米．（3）過點N作NM丄AF于點M，證明△ABC∽△MNB得出證明:將線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，作DE丄AB交AB的延長線于點E．:AB=DE；:DE=AB，BE=AC，:DE=2，BE=6:DEⅡAC，2EF:=，:EF=4，（3）解：如圖所示，過點