2．如圖2，以CD為折痕，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A￠落在CB上時(shí)．得出以下兩個(gè)結(jié)論：1．如圖，在Rt△ABC中，DB=90°,將△AB(1)若AM=MC，求DC的度數(shù)；①求BM的長(zhǎng)；2．已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別是6，8，現(xiàn)將△ABC按如圖所示那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則DE的長(zhǎng)是()折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CD的長(zhǎng)為()連接AP，將△ABP沿AP翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B￠,當(dāng)△APB￠有一邊與BC垂直時(shí)，BP的 A，B兩端點(diǎn)將△ACD沿CD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，A1C與AB相交于點(diǎn)E，若A連接CD，將△BCD沿CD折疊，得到△CDE，當(dāng)DE與△ABC的直角邊垂直時(shí)，AD的長(zhǎng)邊BC的中點(diǎn)D處，折痕交AC邊于點(diǎn)E，交AB邊于點(diǎn)F，則DE的長(zhǎng)為()點(diǎn)，沿EF所在直線折疊△ABC，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B￠處，當(dāng)△AEB￠是直角三角形時(shí)，為BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合將△CEF沿直線EF翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，PE的長(zhǎng)為，則邊EF的長(zhǎng)為()移動(dòng)，則線段AP長(zhǎng)度的最小值為．BC=6，CD=3，則線段DE的長(zhǎng)為()16．如圖，在四邊形紙片ABCD中，上B=上D=90°,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將AB，AD分別沿AE，AF折疊，點(diǎn)B，D恰好都和點(diǎn)G重合，上EAF=45°.17．如圖，在正方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)E，連接CE，將△BCE沿CE折疊，使點(diǎn)B恰好與對(duì)角線AC上的點(diǎn)F重合，連接DF，若，則△ADF的面積是()18．按國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，A系列紙為長(zhǎng)方形．將A4紙按如圖所示的方式進(jìn)疊折痕為AE，點(diǎn)B落在線段AD上的點(diǎn)B￠處，第二次折疊折痕為AF，點(diǎn)E與點(diǎn)D恰好重已知：在長(zhǎng)方形ABCD中，以過(guò)邊上任意兩點(diǎn)所在直線分為三種情況．重合，折痕為EF，求△BEF的面積．20．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若將矩形折疊，使C點(diǎn)和A點(diǎn)重合，折痕EF的長(zhǎng)()23．如圖，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一點(diǎn)，且EB=3，F(xiàn)是BC上一動(dòng)點(diǎn)，若將△EBF沿EF對(duì)折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為．△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF，PD，則PF+PD的最小值是．沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于()A．2cmB．5cmC．8cmD．6cm重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)H的位置，折痕為EF，則△ABE的面積為()A．6cm2B．8cm2C．10cm227．如圖，在Rt△ABC中，上C=90°上，則BE的長(zhǎng)是()73的中點(diǎn)D重合，折痕為EF，則線段BF的長(zhǎng)為()2356折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B￠處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A￠,且B￠C=2，則AM的長(zhǎng)為()31．如圖，在△ABC中，上C=90°,點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，連接DE，將△BDE則DE=．34．如圖，沿AC折疊長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)D落到點(diǎn)E處，CE交AB于點(diǎn)F，若AB=8，沿AE折疊，BC的對(duì)應(yīng)邊B￠C￠恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則線段DE的長(zhǎng)為c）．折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊BC上．(2)求△ABD的周長(zhǎng)．(2)求長(zhǎng)方形紙片ABCD的面積S．(1)如圖1，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合，折痕為DE，若(2)如圖2，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，若AC=3，40．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△OBE，且(2)如圖2，延長(zhǎng)BO交DC于F，連接EF，將△DEF沿EF折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)恰好為點(diǎn)O時(shí)，求四邊形ABFE的面積．(3)如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)EO交BC于點(diǎn)G，連接FG，將△CGF沿GF折疊，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)恰好為點(diǎn)O時(shí)，求四邊形BEFG的面積．41．如圖所示，E為長(zhǎng)方形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線DE折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處．已知AD=8cm，BE=3cm則圖中陰影部分的面積為沿CP折疊，點(diǎn)B落在B￠處，設(shè)BP=x，當(dāng)B￠落在△ACP的內(nèi)部時(shí)，x的取值范圍是()面積的一半，則CE為()應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AC邊上．已知BC=6，AE=2，則DE的長(zhǎng)為()45．如圖1，對(duì)折長(zhǎng)方形紙片ABCD，使AD與BC重合，再展開，折痕為EF．如圖2，再折疊一角，使點(diǎn)A落在EF上的A1處，得到折痕BG，延長(zhǎng)GA1交BC于點(diǎn)H．則下列結(jié)論：上，將△ANM沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上，當(dāng)△CDM為直角三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為．47．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來(lái)，使其頂點(diǎn)D與B重合，折痕為EF．若直線AD折疊，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B￠落在AC的延長(zhǎng)線上，則CD=．上任意一點(diǎn)，以MN為對(duì)稱軸折疊△AMN，得到△DMN，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D（點(diǎn)B，N，折痕是BE（如圖1）將紙片復(fù)原，再次折疊紙片，使得點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)E處，折痕是沿DE折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，CF與DE交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：其中正確的(1)求證：AF=CF；制作手工作品的第①@步驟是：@將紙片沿著直線AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處．請(qǐng)你根據(jù)①@步驟解答下列問(wèn)題：求BF，CE的長(zhǎng)．(2)如圖2，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，求EM的長(zhǎng)．如圖1，折疊等邊三角形ABC紙片，使點(diǎn)A與BC邊中點(diǎn)F重合，折痕為DE，分別交邊AB、邊AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E．②求證：△DFE為等邊三角形．折痕為DE，分別交邊AB、邊AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E．若EF丄AC，BF=6，求△BDF的如圖3，折疊△ABC(DB，DC為銳角）紙片，使點(diǎn)A落在BC的下方點(diǎn)F處，折痕DE分別交邊AB、邊AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E，線段DF、EF與BC分別交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，若DB=DM，點(diǎn)D、點(diǎn)F到BC的距離相等，求證：BC=3MN．使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是()上的點(diǎn)B￠處，再將邊AC沿CM折疊，使點(diǎn)A落在CB￠的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A￠處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)N、M，則線段A￠M的長(zhǎng)為()折痕DE與AB交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為．60．如圖，在Rt△ABC中，上C=90(2)①BM的長(zhǎng)為6；@60可求解；@根據(jù)①中結(jié)果，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵△ABC沿AM折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上點(diǎn)D的位置，:∠BAM=∠DAM=∠C又∵∠BAM+∠DAM+∠C=90o（2）①∵△ABC沿AM折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上點(diǎn)D的位置，DB=90°,:BM的長(zhǎng)為6；@由①得BM=6，【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，先由勾股定理得到 在Rt△EBC中，由勾股定理得BE2=BC2+CE2，【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊．熟練掌握勾股定理解直角三角形，折疊的性質(zhì)，由勾股定理求出AC值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出CE值，在Rt△CDE中根據(jù)DE=3-CD運(yùn)用勾股定理可求出CD長(zhǎng)．2:CD2+12=(3-CD)2，112:將△ABP沿AP翻折，解得x=2-；:BP=2-綜上，當(dāng)△APB￠有一邊與BC垂直時(shí)，BP的長(zhǎng)為2-或1或2．故答案為：2-或1或2．即可得到A1E的值．【詳解】解：∵A1DⅡBC，DB，:上A1:AB^CE，:AC丄BC，:DEⅡAC，:DEⅡBC，:BD=BC=8，定、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，正（1）由折疊可得AE=BE，設(shè)CE=x，則AE=BE=:62+x2=(8-x)2，:CE=；2，:32+y2=(8-y)2，:點(diǎn)B￠落在直角邊AC的中點(diǎn)上，2，得AE=DE，設(shè)AE=DE=x，則CE=4-x，再由由折疊的性質(zhì)可得AE=DE，由勾股定理得CE2+CD2=DE2，:(4-x)2+32=x2，(-1-1)，故答案為或【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性:點(diǎn)A、C￠、D三點(diǎn)共線，【詳解】解：根據(jù)折疊可知【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及翻折的性質(zhì)，熟練掌握勾股定C:AB=3:PE=3【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得上A=上C=90°,AD∥BC,BC=AD=8cm,CD=AB=6cm，:上A=上C=90°,AD∥BC,BC=AD=8cm,CD=AB=6cm，:BG=DG，222:BE=DE=x，:AE=6-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，據(jù)勾股定理求出x得到AE的長(zhǎng)．:BE=ED，在Rt△ABE中，:AE2+AB2=BE2，故答案為：3．證得BE=DE是解題的關(guān)鍵，由此利用勾股定理解答問(wèn)題．:上BAD=2上EAF=90°,:四邊形ABCD是矩形，:AB=AD，:四邊形ABCD是正方形；（2）解：:四邊形ABCD是正方形，CD=6，:EF=BE+DF=x+3，:BE=2．,:ABCD為正方形，:△BCE沿CE折疊，:AE=2，【分析】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，勾股定理，第一次折疊后得到正方形ABEB￠,第二次折疊，得出AD=AE，由此可解．第二次折疊，得出AD=AE=AB，【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH^BC于點(diǎn)H，由四邊形ABCD是長(zhǎng)方形和折疊知DE=BE，再用平【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EH^BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EH^BC于點(diǎn)H，:上EHB=90°:四邊形ABHE是矩形設(shè)BE=xcm，:AE=AD-ED=9-x，在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2:x2=(9-x)2+32:DE=BE=5cm，AE=4cmQADⅡBC，:上EFB=上DEF:上BEF=上EFB，:BF=BE=5，:△BEF的面積為變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)解答．連接AF．設(shè)CF=x，則AF=x，BF=4-x，由勾股定理得32+(4-x)2=x2，求出，在Rt△ABC中，由勾股定理求由OF2=FC2-OC2求出OF=，同理OE=，進(jìn)而可求出EF的長(zhǎng)【詳解】解：連接AF．Q點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，即EF垂直平分AC，:AF=CF，AO=CO，DFOC=90°.QAB2+BF2=AF2:32+(4-x)2=x2在Rt△ABC中，由勾股定理得設(shè)GD=x，根據(jù)翻折性質(zhì)和勾股定理可得(8-x)2+將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A折疊至點(diǎn)E處，在Rt△DEG中【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解當(dāng)E，【詳解】解：如圖，連接DE，:B￠D≥DE-B￠E，:B￠D的最小值為DE-B￠E，Q在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊到△,【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算ED的長(zhǎng)，當(dāng)E、P、D共線時(shí)，DP最小，即最短距離是此時(shí)PD的長(zhǎng)．【詳解】解：連接PD，DE，如圖所示：:上A=90°,:AE=5，:AD=12，:當(dāng)E、P、D共線時(shí)，DP最小，圖形確定點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離解決問(wèn)題．:PF+PD的最小值為4，設(shè)CD=xcm，不難求得△ABE的面積，本題考查了利用勾股定Q在Rt△ABE中，32+x2=(9-x)2:x=4，2本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握定【詳解】解：:上C=90°,AC=6,BC=2由最后一個(gè)圖可知AC即為長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)，由折疊的性質(zhì)知AB【詳解】如圖，由最后一個(gè)圖可知AC即為長(zhǎng):AC=cm【分析】本題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，CF=DF=CB-FB=3-x，在Rt△FDB中，F(xiàn)D2=FB2+BD2，根據(jù)勾股定理建立方程，【詳解】解：:D是AB的中點(diǎn)，AB=4設(shè)BF=x，:將△ABC折疊，使點(diǎn)C與邊AB的中點(diǎn)D重合，折痕為EF，:CF=DF=CB-FB=3-x，在Rt△FDB中，F(xiàn)D2=FB2+BD2，即(3-x)即線段BF的長(zhǎng)為【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握勾股222，222故答案為：DF；3．:上DBC=上DBE，:BE=DE，在Rt△ABE中，QAE2+AB2=BE2，:x2+32=(6-x)2，解得：x=，即AE的長(zhǎng)為，關(guān)鍵是綜合利用等腰三角形、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí)．過(guò)D作DE^AB于點(diǎn)與BE，結(jié)合AB=BC=+1求出x即可．【詳解】解：過(guò)D作DE^AB于點(diǎn)E，:上BDE=30°,:BD=2BE，:AE=DE=x，x，:DE=x=，:AF=CF，在Rt△BCF中，BC2+BF2=CF2，:42+(8-x)2=x2，故答案為：3．進(jìn)行計(jì)算即可求DE的長(zhǎng)．22:(6-DE)2+22=DE2，解得DE=．36．112.5°##112.5度-1##-1+:AE=CE，:△EAC是等腰三角形，:∠AEC=180°-∠A-∠ACE=180°-45°-45°=90°,即△EAC是等腰直角三角形，在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2=2AE2，,故答案為：-1．段BC是解題的關(guān)鍵．中，求出BD，即可求得△ABD的周長(zhǎng)．:EC的長(zhǎng)為4；:DE丄BC，:上DEC=90°在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，:x2+42=(8-x)2，:AD=3，【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)出DE的長(zhǎng)，即可求出AD，再根據(jù)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式求解即可.∵ADⅡBC，:∠3=180°-∠BEF-∠2=:BE=2AE=2，:AD=3，【分析】本題主要考查勾股定理與折疊問(wèn)題以及一元一次方程的應(yīng)用．出CD．:在Rt△ACD中，CD2+AC2=AD2:BE=AB-AC=2，則BD2=DE2+BE2，=(4-x)2【分析】本題考查了折疊與勾股定理，含30度角質(zhì)，以及勾股定理求得AE，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式計(jì)算OF=DF=x,FC=DC-DF=4-x，BF立方程，求得x，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式計(jì)算，由S四邊形ABFE=SRt△ABE+S△BEF計(jì)算得出結(jié)果Rt△BOG中，OG2+BO2=BG2，根據(jù)勾股定理建立方程，求得a，進(jìn)而根據(jù):AB==AE，:4=AE，:OE=AE,OB=AB，又:將△DEF沿EF折疊，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)恰好點(diǎn):△OEF≌△DEF，1:OE=AE=DE=AD=2，12在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得BF2=BC2＋FC2，:S四邊形ABFE=S△ABE+S△BEF22:四邊形ABFE的面積是10；:OF=DF:OF=FC,上FOG=90°,22在Rt△BOG中，OG2+BO2=BG2a224-a2:S四邊形BEFG＝S△BEF＋S△BFG22:四邊形BEFG的面積是9．∵將長(zhǎng)方形ABCD沿直線DE折疊，∵AD2:64+(AB-4)2=AB2:AF=6，:陰影部分的面積【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CETAB于點(diǎn)E，:當(dāng)P與點(diǎn)E時(shí)重合時(shí)，點(diǎn)B￠落在AB上時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)角相等．連接BE，過(guò)D作DG丄AC于G，先判定再根據(jù)勾股定理求得CE的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，連接BE，過(guò)E作:由勾股定理得，，:A￠F=EF又∵D是AB的中點(diǎn)，:Rt△BCE中BD=DE=x，點(diǎn)C到AB得距離然后由DM=DN列出解方程即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)【詳解】如圖，過(guò)D作DM丄BC于點(diǎn)M，作DN丄AC于點(diǎn)N，:BD=DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得， 故選：C．行判斷；@在△A1BG中，上A1BG=3=60°得上DGH=60°,再根據(jù)ADⅡBC得上BHG=上DGH=60°,則=60°,由此可對(duì)結(jié)論④進(jìn)行判斷，③由△BHG和在△A1AB都是等邊三角:四邊形ABCD為矩形紙片，，:△A1AB為等邊三角形，BG=30°,故結(jié)論①正確；=60°,故結(jié)論@不正確；:上DGH=60°,:ADⅡBC，:△BHG是等邊三角形，:BG=2GA1，【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直根據(jù)題意得到上C=30°,AC=4，AM=DM,AN=DN,上A=上MDN=60則CM=AC-AM=4-x，CM=2DM，即4-x=2x；由此解方程即可求解．∵將△ANM沿直線MN折疊得到△DNM，:CD2=DM2+CM2，即(2x)2=x2+(4-x)2，:AM=2-2；:CM=2DM，即4-x=2x，解得，x=，:AM=；綜上所述，AM的長(zhǎng)為或2-2，故答案為：或2-2．質(zhì)得BE=ED，再結(jié)合勾股定理列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：:紙片ABCD是長(zhǎng)方形，:折疊，:BE=ED，:AE=AD-ED=2-BE，在Rt△ABE中，AB2=BE2-AE2=BE2-(2-BE)2，+4BE-BE2，解得BE=，【詳解】解1）:MD丄AB，（2）過(guò)點(diǎn)M作ME丄AB于點(diǎn)E，:DN丄AB，.:ME=NE，:M是AC的中點(diǎn):AN=AE-NE=3-，:AB=2BC，:AB2-BC2=3BC2=AC2=48，:BC=4，50．5或2Q長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B￠處，:BE=AB=6，Q長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B￠處，22:BE=3，故答案為：5或2．Q折疊紙片使得點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)D處，折痕是BE，QDE22:AE2+42=(8-AE)2，:AE=3，Q折疊紙片，使得點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)E處，折痕是MN，:BM=ME，BN=EN，:ENPAB，:CN2=(10-CN)2+(8-3)2，進(jìn)而根據(jù)CF是Rt△ABC的中線，即可求解．:CF=FB，:CF=FA，:FA=FB，:CG2=DC2-DG2=CE2-