《固體物理學（朱建國）》典型習題指導與解答一、晶體結構模塊：周期性與對稱性的核心應用（一）基礎概念辨析題習題1：簡述空間點陣與晶格的區(qū)別，并舉出面心立方（FCC）晶格的典型晶體實例。解答思路：從定義本質切入，明確“點陣”與“晶格”的邏輯關系，結合常見晶體結構實例強化記憶?？臻g點陣：是晶體結構的數(shù)學抽象，由無窮多個幾何點（陣點）按周期性規(guī)律排列而成，僅描述周期性，無具體物質屬性；晶格：將晶體中的原子（或原子集團）置于空間點陣的陣點上形成的實際結構，是空間點陣的物質化體現(xiàn)；關系：空間點陣+基元=晶格；FCC晶格實例：銅（Cu）、鋁（Al）、金（Au）等金屬晶體。習題2：計算面心立方晶格的配位數(shù)與致密度。解答步驟：配位數(shù)計算：以面心立方晶胞頂點原子為研究對象，其周圍等距離緊鄰的原子包括：同一晶胞內6個面心原子（前后、左右、上下）；相鄰晶胞的面心原子（共6個）；總計配位數(shù)=12。致密度計算：晶胞原子數(shù)：頂點8個×1/8+面心6個×1/2=4個；原子半徑與晶胞參數(shù)關系：FCC中原子緊密排列，面對角線=4r→a=4r/\sqrt{2}=2\sqrt{2}r（a為晶胞邊長，r為原子半徑）；致密度\rho=\frac{\text{???è?????????-????????§ˉ}}{\text{???è??????§ˉ}}=\frac{4??(4/3)\pir^3}{(2\sqrt{2}r)^3}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}a??0.74（即74%）。（二）晶向與晶面指數(shù)計算題習題3：在立方晶系中，寫出通過點(1,0,0)和(0,1,1)的晶向指數(shù)，以及包含(100)、(010)、(001)晶面的晶帶軸指數(shù)。解答方法：晶向指數(shù)確定：步驟：①確定兩點坐標差：(0-1,1-0,1-0)=(-1,1,1)；②去除負號（加負號于指數(shù)上方），取最簡整數(shù)比→[\overline{1}11]。晶帶軸指數(shù)確定：原理：晶帶軸與該晶帶所有晶面的法向量垂直，即晶帶軸方向向量滿足hu+kv+lw=0（h,k,l為晶面指數(shù)，u,v,w為晶帶軸指數(shù)）；代入(100)：1×u+0×v+0×w=0→u=0；代入(010)：0×u+1×v+0×w=0→v=0；取w=1，得晶帶軸指數(shù)[001]。二、晶格振動模塊：格波與聲子的物理模型（一）一維晶格振動題習題4：推導一維單原子鏈的色散關系\omega=2\sqrt{\frac{\beta}{M}}|\sin(\frac{qa}{2})|，并解釋“色散”的物理含義。解答框架：基于牛頓力學方程，結合周期性邊界條件推導，明確色散關系的物理本質。動力學方程建立：設原子質量為M，相鄰原子間力常數(shù)為β，第n個原子位移為u_n，其受力=右側彈簧力-左側彈簧力=\beta(u_{n+1}-u_n)-\beta(u_n-u_{n-1})=\beta(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)；牛頓第二定律：M\frac{d^2u_n}{dt^2}=\beta(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)。格波解代入：設簡諧振動解u_n=Ae^{i(qna-\omegat)}（A為振幅，q為波矢，ω為角頻率）；代入方程化簡得：-M\omega^2=2\beta(\cosqa-1)→\omega^2=\frac{4\beta}{M}\sin^2(\frac{qa}{2})；取正根得色散關系：\omega=2\sqrt{\frac{\beta}{M}}|\sin(\frac{qa}{2})|。色散含義：格波的角頻率ω隨波矢q變化，即不同波長的格波在晶格中傳播速度不同，體現(xiàn)晶格的周期性對波傳播的調制作用。習題5：簡述聲子的物理意義，并說明聲子與光子的本質區(qū)別。解答要點：聲子：是晶格振動的量子化準粒子，代表晶格振動的能量量子，能量\varepsilon=\hbar\omega，動量p=\hbarq（準動量）；本質區(qū)別：特征聲子光子存在范圍僅存在于晶體中可在真空及介質中傳播粒子類型準粒子（集體激發(fā)態(tài)）基本粒子自旋玻色子（自旋為0）玻色子（自旋為1）速度隨q變化（色散關系）真空光速c（恒定）三、能帶理論模塊：電子態(tài)與材料導電性（一）基礎理論應用題習題6：利用布洛赫定理證明晶體中電子的波函數(shù)具有周期性調幅的平面波形式。解答邏輯：從布洛赫定理表達式出發(fā)，拆解波函數(shù)結構，明確周期性調幅的物理來源。布洛赫定理表述：晶體中電子的波函數(shù)\psi_{k}(r)滿足\psi_{k}(r+R_n)=e^{ik?·R_n}\psi_{k}(r)，其中R_n=n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3為晶格矢量；波函數(shù)形式推導：設\psi_{k}(r)=e^{ik?·r}u_{k}(r)，代入布洛赫定理：e^{ik?·(r+R_n)}u_{k}(r+R_n)=e^{ik?·R_n}e^{ik?·r}u_{k}(r)；約去e^{ik?·r}得u_{k}(r+R_n)=u_{k}(r)，即u_{k}(r)具有晶格周期性；結論：\psi_{k}(r)=e^{ik?·r}u_{k}(r)為周期性調幅的平面波，平面波因子e^{ik?·r}描述電子的共有化運動，周期性因子u_{k}(r)描述電子在原胞內的運動。習題7：用近自由電子近似解釋金屬、半導體和絕緣體的能帶差異。解答核心：圍繞“禁帶寬度”與“費米能級位置”兩個關鍵參數(shù)展開分析。近自由電子近似：假設晶體中電子受晶格勢場作用較弱，勢場可視為對自由電子態(tài)的微擾，導致能帶在布里淵區(qū)邊界分裂形成禁帶；三類材料差異：金屬：①價帶未填滿（如堿金屬）；②價帶與導帶重疊（如過渡金屬）；費米能級位于價帶內或能帶重疊區(qū)，無需克服禁帶即可導電；絕緣體：價帶填滿，導帶為空，且禁帶寬度較大（E_g>5eV），常溫下價帶電子無法躍遷到導帶，無自由載流子；半導體：價帶填滿，導帶為空，但禁帶寬度較?。?.1eV<E_g<3eV），常溫下部分價帶電子可受熱激發(fā)躍遷到導帶，形成自由電子與空穴，具備一定導電性。四、金屬電子論模塊：自由電子氣模型的應用（一）電子比熱計算題習題8：已知銅的費米能級E_F=7.0eV，計算其電子比熱，并解釋為何常溫下電子比熱遠小于晶格比熱。解答步驟：電子比熱公式：基于索末菲自由電子氣模型，低溫下電子比熱C_V^e=\gammaT，其中\(zhòng)gamma=\frac{\pi^2}{2}nk_B^2\frac{1}{E_F}（n為電子數(shù)密度，k_B為玻爾茲曼常數(shù)）；參數(shù)代入：先計算\frac{1}{E_F}=\frac{1}{7.0??1.6??10^{-19}J}a??8.93??10^{17}J^{-1}；銅的電子數(shù)密度na??8.47??10^{28}m^{-3}，k_B=1.38??10^{-23}J/K；\gamma=\frac{\pi^2}{2}??8.47??10^{28}??(1.38??10^{-23})^2??8.93??10^{17}a??1.1??10^{-4}J/(mol?·K^2)；電子比熱C_V^e=1.1??10^{-4}??TJ/(mol?·K)（如T=300K時，C_V^ea??0.033J/(mol?·K)）。物理解釋：常溫下，晶格振動比熱C_V^La??3Ra??25J/(mol?·K)（杜隆-珀蒂定律）。根據(jù)泡利不相容原理，僅費米能級附近k_BT能量范圍內的電子可參與熱激發(fā)，這部分電子占總電子數(shù)的比例約為T/T_F（T_F=E_F/k_Ba??8.1??10^4K），常溫下T/T_Fa??3.7??10^{-3}，故電子比熱遠小于晶格比熱。五、習題解答核心方法與誤區(qū)澄清（一）通用解題策略模型優(yōu)先：固體物理習題多基于理想模型（如簡立方晶格、一維原子鏈），解題前需明確適用模型及假設條件（如忽略非諧效應、近自由電子近似等）；公式溯源：避免死記硬背公式，需掌握推導邏輯（如色散關系源于牛頓方程，能帶分裂源于布里淵區(qū)邊界的布拉格反射）；單位統(tǒng)一：計算時需將能量（eV）、長度（?）等單位換算為國際單位（J、m），確保結果量綱正確。（二）常見誤區(qū)澄清誤區(qū)1：將“晶胞”與“原胞”概念混淆澄清：原胞是最小重復單元（僅含1個陣點），晶胞是為反映對稱性選取的重復單元（可含多個陣點，如FCC晶胞含4個原胞）。誤區(qū)2：認為聲子具有真實動量澄清：聲子的動量是“準動量”，僅在晶格內部描述能量傳遞時有效，不滿足真空中的動量守恒定律。誤區(qū)3：半導體的導電性僅來自電子躍遷澄清：半導體導電依賴“電子-空穴對”，價帶中的空穴可等效為帶正電的