專題38圓錐曲線中的圓問題【方法技巧與總結(jié)】1、曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓：．2、雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓．3、拋物線的兩條互相垂直的切線的交點在該拋物線的準(zhǔn)線上．4、證明四點共圓的方法：方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對的圓周角相等證）．方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內(nèi)對角時，則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對角和為，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角）．方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．【題型歸納目錄】題型一：蒙日圓問題題型二：內(nèi)圓與外圓問題題型三：直徑為圓問題題型四：四點共圓問題【典例例題】題型一：蒙日圓問題例1．在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運用類比猜想的方法研究問題．（1）已知動點為圓外一點，過引圓的兩條切線、，、為切點，若，求動點的軌跡方程；（2）若動點為橢圓外一點，過引橢圓的兩條切線、，、為切點，若，求出動點的軌跡方程；（3）在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動點的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）．例2．已知橢圓的一個焦點為，，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若動點，為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程．例3．已知橢圓的左、右焦點分別為，，，，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點，為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程；（3）若過橢圓上任意一點的切線與（2）中所求點的軌跡方程交于，兩點，求證：．變式1．已知橢圓的右焦點為，，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點，為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程．變式2．在學(xué)習(xí)過程中，我們通常遇到相似的問題．（1）已知動點為圓外一點，過引圓的兩條切線、．、為切點，若，求動點的軌跡方程；（2）若動點為橢圓外一點，過引橢圓的兩條切線、．、為切點，若，猜想動點的軌跡是什么，請給出證明并求出動點的軌跡方程．變式3．設(shè)橢圓的中心在原點，焦點在軸上，垂直軸的直線與橢圓相交于、兩點，當(dāng)?shù)闹荛L取最大值時，．（1）求橢圓的方程；（2）過圓上任意一點作橢圓的兩條切線、，直線、與圓的另一交點分別為、①證明：；②求面積的最大值．變式4．橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，并與直線相切．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，．求證：．變式5．給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（2）點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點，過點作橢圓的切線，交“準(zhǔn)圓”于點，．①當(dāng)點為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點時，求直線，的方程并證明；②求證：線段的長為定值．題型二：內(nèi)圓與外圓問題例4．已知橢圓及圓，過點與橢圓相切的直線交圓于點，若，求橢圓的離心率．例5．已知橢圓和圓，，分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為的動直線交橢圓于，兩點，交圓于，兩點（如圖所示，點在軸上方）．當(dāng)時，弦的長為．（1）求圓與橢圓的方程；（2）若，，依次成等差數(shù)列，求直線的方程．例6．如圖，已知橢圓和圓（其中圓心為原點），過橢圓上異于上、下頂點的一點，引圓的兩條切線，切點分別為，．（1）求直線的方程；（2）求三角形面積的最大值．變式6．如圖，橢圓和圓，已知橢圓的離心率為，直線與圓相切．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）橢圓的上頂點為，是圓的一條直徑，不與坐標(biāo)軸重合，直線、與橢圓的另一個交點分別為、，求的面積的最大值及此時所在的直線方程．變式7．已知橢圓和圓，，分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為的動直線交橢圓于，兩點，交圓于，兩點（如圖所示，點在軸上方）．當(dāng)時，弦的長為．（1）求圓與橢圓的方程；（2）若，求直線的方程．變式8．已知橢圓和圓，過橢圓上一點引圓的兩條切線，切點分別為，．（Ⅰ）若圓過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率的值；（Ⅱ）設(shè)直線與、軸分別交于點，，問當(dāng)點在橢圓上運動時，是否為定值？請證明你的結(jié)論．變式9．已知橢圓，其右焦點為，，點在圓上但不在軸上，過點作圓的切線交橢圓于，兩點，當(dāng)點在軸上時，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)點在圓上運動時，試探究周長的取值范圍．題型三：直徑為圓問題例7．已知橢圓的右焦點為，上下頂點分別為，，以點為圓心為半徑作圓，與軸交于點．（1）求橢圓的方程；（2）已知點，點，為橢圓上異于點且關(guān)于原點對稱的兩點，直線，與軸分別交于點，，記以為直徑的圓為，試判斷是否存在直線截的弦長為定值，若存在請求出該直線的方程，若不存在，請說明理由．例8．已知動圓過定點，且與軸截得的弦長為4，設(shè)動圓圓心的軌跡為．（1）求軌跡的方程．（2）設(shè)，過作不與軸垂直的直線交軌跡于，兩點，直線，分別與直線相交于，兩點，以線段為直徑的圓為．判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由．例9．已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于，兩點，過，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，設(shè)交點分別為，，為準(zhǔn)線上一點．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若點為線段的中點，設(shè)以線段為直徑的圓為圓，判斷點與圓的位置關(guān)系．變式10．已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過點，它們在軸上有共同焦點，對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點．（1）求拋物線和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知動直線過點，交拋物線于，兩點，記以線段為直徑的圓為圓，求證：存在垂直于軸的直線被圓截得的弦長為定值，并求出直線的方程．變式11．已知橢圓的左、右焦點分別為，，動直線過且與橢圓相交于，兩點，且的最大值為．（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，已知，為拋物線上一點，為拋物線在點處的切線，與橢圓有兩個不同的交點，，當(dāng)以為直徑的圓過原點時，求．變式12．已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于、兩點．（1）當(dāng)直線垂直于軸時，求弦長；（2）當(dāng)時，求直線的方程；（3）記橢圓的右頂點為，直線、分別交直線于、兩點，求證：以為直徑的圓恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．變式13．已知動圓與圓及圓中的一個外切，另一個內(nèi)切．（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）若直線與軌跡相交于、兩點，以線段為直徑的圓經(jīng)過軌跡與軸正半軸的交點，證明直線經(jīng)過一個不在軌跡上的定點，并求出該定點的坐標(biāo)．變式14．如圖，已知橢圓，其左、右焦點分別為，，過右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于第一象限的點，且．（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率為的動直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．題型四：四點共圓問題例10．已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且離心率為．（1）求的方程；（2）直線交于，兩點，直線，分別與軸交于點，，求證：，，，四點共圓．例11．已知橢圓的右頂點為點，直線交于，兩點，為坐標(biāo)原點．當(dāng)四邊形為菱形時，其面積為．（1）求的方程；（2）若，是否存在直線，使得，，，四點共圓？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．例12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且過點．（1）求的方程；（2）過原點且與軸不重合的直線交于，兩點，直線，分別與軸交于點，，求證：，，，四點共圓．變式15．已知雙曲線與點．（1）是否存在過點的弦，使得的中點為；（2）如果線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點，證明：、、、四點共圓．變式16．已知拋物線，是上位于第一象限內(nèi)的動點，它到點距離的最小值為．直線與交于另一點，線段的垂直平分線交于，兩點．（1）求的值；（2）若中，證明，，，四點共圓，并求該圓的方程．變式17．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點為，點為坐標(biāo)原點，點為橢圓上異于左、右頂點的動點，直線交軸于點，直線交橢圓于另一點，直線和分別交直線于點和，若、、、四點共圓，求的值．變式18．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實軸長為4．（1）求的方程；（2）如圖，點為雙曲線的下頂點，直線過點且垂直于軸位于原點與上頂點之間），過的直線交于，兩點，直線，分別與交于，兩點，若，，，四點共圓，求點的坐標(biāo)．變式19．橢圓的離心率為，右頂點為，設(shè)點為坐標(biāo)原點，點為橢圓上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交軸于點，其中，直線交橢圓于另一點，直線和分別交直線于點和，若，，，四點共圓，求的值．變式20．已知橢圓的兩焦點，分別為，橢圓上的動點滿足，，分別為橢圓的左、右頂點，為坐標(biāo)原點．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）若直線與交于點，與軸交于點，與的交點為，求證：，，，四點共圓．變式21．設(shè)動點與定點的距離和到定直線的距離的比是．（1）求動點的軌跡方程；（2）設(shè)動點的軌跡為曲線，不過原點且斜率為的直線與曲線交于