最優(yōu)二叉搜索樹LET'SEMBARKONTODAY'SSHARINGJOURNEYTOGETHER01問題背景與定義Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether什么是最優(yōu)二叉搜索樹010203有序集與二叉搜索樹搜索結(jié)果的兩種情形最優(yōu)二叉搜索樹目標有序集S={x1,x2,…,xn}滿足x1<x2<…<xn。二叉搜索樹利用結(jié)點存儲有序集中的元素，左子樹元素小于根，右子樹元素大于根。在二叉搜索樹中搜索元素x，結(jié)果有兩種：①在內(nèi)結(jié)點找到x=xi，概率為bi；②在葉結(jié)點確定x∈(xi,xi+1)，概率為ai。目標是在所有表示有序集S的二叉搜索樹中，找到一棵具有最小平均路長的樹，以優(yōu)化搜索效率。存取概率分布與平均路長約定x0=-∞，xn+1=+∞，存取概率分布為(a0,b1,a1,…,bn,an)，其中ai≥0，bj≥0。01平均路長p=Σbi·ci+Σaj·dj，其中ci為內(nèi)結(jié)點深度，dj為葉結(jié)點深度，用于衡量搜索效率。

02平均路長公式存取概率分布02最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether子樹與原問題的關(guān)系子樹的定義存取概率的條件概率二叉搜索樹T的子樹Tij包含結(jié)點xi,…,xj和葉結(jié)點(xi?1,xi),…,(xj,xj+1)，可視為有序集{xi,…,xj}關(guān)于全集合{xi?1,…,xj+1}的二叉搜索樹。子樹Tij的存取概率為條件概率，權(quán)重wij=ai?1+bi+…+bj+aj，1≤i≤j≤n。左右子樹亦必最優(yōu)假設(shè)Tij的根為xm，左右子樹Tl和Tr的平均路長分別為pl和pr。通過反證法證明，若Tl或Tr非最優(yōu)，則可替換為更優(yōu)子樹，與Tij最優(yōu)矛盾。假設(shè)與證明因此，Tij的左右子樹也必須是最優(yōu)二叉搜索樹，這體現(xiàn)了最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。最優(yōu)子樹的性質(zhì)遞歸分解的正確性該性質(zhì)確保了問題可以遞歸分解為更小規(guī)模的子問題，為動態(tài)規(guī)劃算法提供了理論基礎(chǔ)。03動態(tài)規(guī)劃遞歸方程

Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether遞歸式最優(yōu)二叉搜索樹Tij的平均路長pij滿足遞歸式：wijpij=wij+min{wi,k?1pik?1+wk+1,jpk+1,j}，其中m(i,j)=wijpij，邊界條件為pi,i?1=0。平均路長的遞歸式動態(tài)規(guī)劃算法框架算法流程算法使用三重循環(huán)：外層按區(qū)間長度r遞增，中層枚舉區(qū)間起點i，內(nèi)層枚舉根k，通過動態(tài)規(guī)劃填表求解。數(shù)組含義數(shù)組w累計概率和，m記錄最小代價，s記錄根選擇，最終m(1,n)即為所求最小平均路長。復(fù)雜度時間復(fù)雜度為O(n3)，空間復(fù)雜度為O(n2)，通過自底向上填表實現(xiàn)最優(yōu)解的計算。04算法實現(xiàn)與優(yōu)化Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether原始算法代碼剖析01初始化w[i+1][i]=a[i]，m[i+1][i]=0，為后續(xù)計算做準備。初始化02按區(qū)間長度r遞增，枚舉區(qū)間起點i和根k，計算w[i][j]、m[i][j]和s[i][j]，通過比較t=m[i][k-1]+m[k+1][j]尋找最優(yōu)根。循環(huán)計算03將w[i][j]累加至m[i][j]，完成區(qū)間代價計算，最終得到最小平均路長。累加代價Knuth優(yōu)化原理利用Knuth單調(diào)性，將根的位置限制在[s[i][j-1],s[i+1][j]]范圍內(nèi)，減少k的枚舉范圍。優(yōu)化思路該優(yōu)化將時間復(fù)雜度從O(n3)降至O(n2)，空間復(fù)雜度保持O(n2)，顯著提高了算法效率。性能提升代碼改動新增i1與j1變量，限定k的范圍為[i1+1,j1]，其余邏輯與原始算法一致。時間復(fù)雜度優(yōu)化后時間復(fù)雜度為O(n2)，空間復(fù)雜度仍為O(n2)，適用于中等規(guī)模n的實際應(yīng)用。代碼實現(xiàn)通過限制k的范圍，減少了不必要的計算，提高了算法的運行效率。優(yōu)化后算法代碼05構(gòu)造最優(yōu)解與復(fù)雜度Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether由s數(shù)組重建樹結(jié)構(gòu)重建方法以s[1][n]為根，遞歸地以s[1][k-1]和s[k+1][n]分別構(gòu)建左右子樹。時間復(fù)雜度通過深度優(yōu)先遍歷s矩陣，可在O(n)時間內(nèi)構(gòu)造出最優(yōu)二叉搜索樹。復(fù)雜度總結(jié)與對比原始算法復(fù)雜度原始算法時間復(fù)雜度為O(n3)，空間復(fù)雜度為O(n2)。優(yōu)化后算法復(fù)雜度優(yōu)化后時間復(fù)雜度為O(n2)，空間復(fù)雜度保持O(n2)。性能對比優(yōu)化顯著提升了算法效率，適用于中等規(guī)模n的實際應(yīng)用。01020306回顧與總結(jié)Let'sembarkontoday'sjourneyofsharingandcommunicationtogether回顧最優(yōu)二叉搜索樹的核心流程：概率建模→最優(yōu)子結(jié)構(gòu)→遞歸式→動態(tài)規(guī)劃→Knuth優(yōu)化→樹構(gòu)造。要點