第53講傳統(tǒng)方法求角度與距離

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1：線與線的夾角

平行直線

共面直線

（1）位置關(guān)系的分類：相交直線

異面宜線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)〃是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)。作直線bV/b,把"與"所

成的銳角（或直角）叫做異面直線。與〃所成的角（或夾角）.

②范圍：°夕

③求法：平移法：將異面直線。，〃平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形.

知識(shí)點(diǎn)2：線與面的夾角

①定義：平面上的?條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范圍：［0,自

③求法：

常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)5做9J_平面a,交平面a于點(diǎn)夕；連接則N&W即

為直線48與平面。的夾角.接下來在由八鉆方中解三角形.即sinN84B'=也

AB斜線長

（其中〃即點(diǎn)8到面。的距離，可以采用等體積法求/?,斜線長即為線段"的長度）：

知識(shí)點(diǎn)3：二面角

（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線

稱為二面角的棱，這兩個(gè)平面稱為二面角的面.（二面角或者是二面角A-8-3）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱卜.?點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面

內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍［0,川.

（3）二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面

角的平面角，如圖在二面角a-/-4的棱上任取一點(diǎn)0,以。為垂足，分別在半平面a和夕

內(nèi)作垂直于棱的射線和08,則射線和。8所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條

垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）.

法二：三垂線法

在面?；蛎媸瑑?nèi)找一合適的點(diǎn)A,作AO_L/7于。，過A作他_Lc于8,則80為斜線

A8在面〃內(nèi)的射影，NABO為二面角。-。一夕的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點(diǎn)做面的垂線；卻過點(diǎn)A,作AO_L/?于O；

②過點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線的垂線；即過A作于"，連接“。；

③計(jì)算：NA3O為二面角。-。一夕的平面角，在改"BO中解三角形.

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的

都可利用射影面枳公式（cos0=&-2"C,如圖2）求出二面角的大?。?/p>

S斜2ABe

法四：補(bǔ)棱法

當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確

的交線（稱為補(bǔ)棱），然后者助前述的定義法與三垂線法解題.當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，

也可直接用法三的攝影面積法解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所

成的角，就是二面角的平面角.

例如：過二面角內(nèi)一點(diǎn)4作A8_L。于4,作AC_L/7于C,面A3C交棱。于點(diǎn)O,則

ZBOC就是二面角的平面角.如圖3.此法實(shí)際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了.

知識(shí)點(diǎn)4：空間中的距離

求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解.

必考題型全歸納

題型一：異面直線所成角

例1.（2024?四川綿陽?綿陽中學(xué)校考二模）如圖，圓柱的軸截面為矩形A8CO,點(diǎn)N

分別在上、下底面圓上，NB=2AN，CM=2DM，AB=2,BC=3,則異面直線AM與

CN所成角的余弦值為（)

A3x/303730

B.CD.正

1020-T4

【答案】B

在AbJ-取點(diǎn)￡，使AK=2E8,

圖⑴

連接NE,AN,NB,BE,EA.

易知四邊形4V8E為矩形.則N8〃AE,且NB=AE.

連接MN,CM.因?yàn)镸/V〃8C,且MN=BC,

所以四邊形MV8C為平行四邊形，所以CM〃NB,fLCM=NB.

例3.（2024.江西?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，二面角。-/一尸的大小為L，aua/u4,

【解析】先證明一個(gè)結(jié)論：如圖，直線ST為平面7的一條斜線，丁為斜足，立與平面?

所成的角為。，則平面V內(nèi)的直線與直線sr所成角的最小值為。

證明：對(duì)于平面了內(nèi)的任意?條直線〃"如果其不過點(diǎn)r,則可以平移該直線至點(diǎn)7,

此時(shí)直線/〃與直線ST所成角即為平移后的直線與直線S7所成的角.

設(shè)平移后的直線為宜線7G（如圖），過S作了G的垂線，垂足為E,

S在平面7內(nèi)的射影為。，連接07,則NSTO=。,

而直線7G與直線廠所成的角即為NS7E,其中NSTEw（。仁，0

因?yàn)閟in/S7E=—,sin0=—,SE>SO

STST

故.NSTENO,當(dāng)且僅當(dāng)7G與。丁重合時(shí)等號(hào)成U,

所以平面/內(nèi)的直線與直線ST所成角的最小值為夕

回到原題,

如圖，設(shè)?？?=8,取〃上一點(diǎn)A,過A作AC_L/,垂足為C,AO_L〃,

垂足為/）,連接CD8。,

因?yàn)锳O_L/?,/<=/?,故AO_L/,而AC_L/,AD[}AC=A,

ARACu平面AOC,故/工平面4￡>C,

而。Cu平面4OC,故CD_U,故248為平面〃的平面角的補(bǔ)角,

^ZACD=n--=-

66

不妨令A(yù)O=x,則AC=2X,OC=GX.

2x_________

又NA8C=60。，所以BC=F，所以BD=y/DC2+BC2=

73

An

「「一lan^ABD=—

所以BD

因?yàn)锳O_L〃，故A8與平面△所成的角為/ABO,

由前述所證結(jié)論可得，直線。，〃所成角的最小值為NA8D,其正切值為畫.

13

變式1.（2024?河南?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正三棱柱A8C-人石&中,

AB=AA]f。為從蜴的中點(diǎn)，￡為AC；的中點(diǎn)，則異面直線A。與8七所成角的余弦值為

)

A而B?嚕底D.半

rL?--------

614

【答案】C

【解析】。為A出的中點(diǎn)，E為A￡的中點(diǎn)，所以QE=9-DE//CA,

如圖，延長C8至F,使得8尸=gc8,連接。E,DF,AF,CB=C、B1,

因?yàn)?/二1G4，所以DE=BP,DE//BF,

2

所以四邊形是平行四邊形，DFHEB,

則ZADF為異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角.設(shè)AB=明=2,

取AC的中點(diǎn)M,連接￡0、BM,

則EM_LAC,EM=2,BM=6，4。=1，

DF=EB=4EM'+BM2=J2、（可=幣,

AD=ylAA；+A.D2=V22+12=yf5,

由余弦定理得AF=JA4+8尸一2八BxBAos120=百，

小仝.小而俎AD2+DF2-AF2V51屆

由余弦定理傳cosZADF=--------------=--x-==.

2ADxDF27714

所以直線八。與8E所成角的余弦值為叵

變式2.0024.全國兩三對(duì)口而考）兩條異面直線〃、人所成角為小一條直線/與a、b成

角都等于a,那么。的取值范圍是（）

兀兀717tjrSiri加2兀

A.B.C.去登D.

[32J162」L66」[.33」

【答案】B

【解析】設(shè)4//〃，b//b,則確定平面尸，且"與"的夾角為三，

//〃，r過點(diǎn)o,如圖，當(dāng)ru/y時(shí)，并且r為：角的平分線時(shí)，此時(shí)。==，

當(dāng)/'??時(shí)，且/'為平面少的斜線時(shí),由題意可知，/'在平面夕的射影‘落在"與"的所

成角的平分線上，

當(dāng)落在夾角T的角平分線上時(shí)，過直線/'上一點(diǎn)，，作ABLb1,連結(jié)/W,

UUp，則抬J_Z/，PAC\AB=A,且PA/Wu平面所以y1平面Q4B，

PB兀AB

P8u平面所以tanZ.POB-tana=——，tanZAOB-tan—="—,

OB6OB

因?yàn)樗詔anaAla/，?,此時(shí)aw，

6k2J162J

當(dāng)力時(shí)，此時(shí)a=],

可知，〃的取值范圍是

_o2_

當(dāng)/'在竽角的平分線時(shí)，或是/'在平面/的射影，落在與角的平分線時(shí)，以及/'_L〃時(shí),

綜上可知，a的取值范圍是,

_02_

故選：B

變式3.（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱臺(tái)ABCD-A/CR中，48=24）片=4,

其體積為竽，后為修。的中點(diǎn)，則異面直線AR與座所成角的余弦值為（）

D\Ci

B

<B*C.*D.嚕

【答案】D

【解析】設(shè)正四楂臺(tái)ABC。-A4GA的高為

連接3。，作。尸〃8E交8。于點(diǎn)尸，

作RG工BD交BD于點(diǎn)G,連接AG,/W"

則NARF為異面直線AD,與把所成角或其補(bǔ)角.

因?yàn)锳8=2A片=4,

且正四棱臺(tái)―7口的體積為苧,

即」(4+16+j4xl6)〃=^^

33

所以〃=&，即RG=J5,

易※DG=BF=叵,

BG=3五,

D1F=AF=AG=4\O,

A4=26

「「i、【12+10—105/3()

所以cos/A。/=----=一==--.

2x2V3xV1010

故選：D.

D^Ci

變式4.（2024.黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）正三棱柱ABC-A&G的棱長

均相等，石是4G的中點(diǎn)，則異面直線AB1與8E所成角的余弦值為（）

A?李少「曬3x/10

2020

【答案】D

【解析】連接AE，A8,設(shè)尸為AE的中點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)D,

連接由于四邊形484A為平行四邊形，故。為AB的中點(diǎn),

所以DFV/BE,則NA。/7即為異面直線AB,與龐:所成角或其補(bǔ)角,

連接人戶，由于正三棱柱48C-A4G的棱長均相等，設(shè)棱長為2,

則BE=="^=布，，DF=*BE=",

AO=g/i片=&，AE=K，，4尸=孚，則）尸=jA/f+A12=卜+；=浮

c519

AD2+DF2-AF22+*二=3亞

故在△AO5中,cosZ.ADF=

2ADDF了EF'

2

由于異面直線A修與所成角的范圍為（（）卷］,

故異面直線48E所成角的余弦值為觀,

20

故選：D

題型二：線面角

例4.（2024?貴州貴陽?校聯(lián)考三模）如圖，在直三棱柱ABC-A&G中，AB=AC=AAit

N3C=6（P,則Aq與平面AAGC所成角的正弦值等于（）

A應(yīng)B6

Kr-Z?-a-D.

224~4~

【答案】c

【解析】如圖所示:

取AG的中點(diǎn)。，連接用。，AD.

在正三棱柱/we-A4G中，底面A4G是正三角形，

.?.8QJ.AG，又???CGJL底面ABIG，4。匚平面486，，?！筥1與￡>.

又CC|CAG=G，CC|U平面MCC,AGu平面A&GC,

々OJL平面AACC,

.??/片AD為AB.與平面AAGC所成角，

由題意，設(shè)AB=AC=A4)=2a,B^D=yj(2a)2—a2=J5o，

Ag="(2a)2+(2af='Zyfla，

在RtaqAQ中，sinZB,XD=-^=^-=—,

'蝴2缶4

故選：C.

例5.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABC。中，ABHCD,

ABC=90,AADP是等邊三角形，AB=AP=2,BP=3,AD工BP.

(1)求BC的長度:

⑵求直線與平面AOP所成的角的正弦值.

【解析】（I）取AO中點(diǎn)F，連接尸E8E3D,

?.?△人力P是等邊三角形，..PF±AD,

又AD工BP，BPcPF=P,3P,PFu平面?/有，..4），平面勿8，

???8Fu平面比8，.\ADLBF^.\BD=AB=2,

.?qAA￡）為等邊三角形，BC=J22-12=x/3?

（2）?.?AD_L平面7Y3,AZ>u平面APO,??平面尸產(chǎn)8_1_平面A/7）,

作4G_LP7L垂足為G,則3G_L平面APT）,AD[}BC=Ht連接濟(jì),

/BHG為直線8c與平面ADP所成的角，

由題意知：PF=BF=6又BP=3,

PF?+BF?-BP?3+3—9I

cosZ.GFB=----------=-----

2PFBF62

3

NGFB=120,BG=不

出

?.?/A8C=/8C￡)=90，：.CD=\,:.BH=2M，sinZBHG=—,

4

「?直線AC與平面4)P所成的角的正弦值為3.

4

例6.（2024?廣東陽江?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在正三棱臺(tái)48C-4￡G中，AB=6,

A4=M=3,D為4G中點(diǎn)，E在BB1上，EB=2B^E.

⑴請(qǐng)作出與平面CD?的交點(diǎn)例，并寫出A例與"4的比值（在圖中保留作圖痕跡,

不必寫出畫法和理由）：

⑵求直線BM與平面ABC所成角的正弦值.

【解析】（1）①作圖步驟：延長CEG用，使其相交于N,連接ON,則可得

DN\A4；

作圖理由：在平面C8MG中，顯然CE與。4不平行，延長相交于N,

由NcCE,則Ne平面CEZ）,由力E平面CEO,則ONu平面CED,

由NeBC，OWAG，則DVU平面A4G，可得NOIA4=M

故Pl平面CDE=M.

②連接。片,AN,如下圖所示:

在正三棱臺(tái)48C-A圈G中，BC//BG，即eN//8C,易知YBCE:YB\NE,

BNBFinnuuu

則毀=笑，由BE=2EBr且3c=6,則與N=3,顯然與^=用'=3，

BCBE

由孫。分別為GMGA的中點(diǎn)，則。&=；AN,RB、D〃NA，

易知VgQM:YANM,故需=^=2.

（2）由題意，過M作平面48。的垂線，垂足為并連接BM2如下圖所示:

由（1）可知：禁=2且AB|=BC=3,則用M=l,由AB=6,AAi=AiBl=3,

ivlri}

在側(cè)面AA/山中，過凡A分別作A8的垂線，垂足分別為鳥,人,如下圖所示：

Ii3BB?

易知882=5（A8—A/2）=5（A8-A￡）=^COSN^R4=^=E，所以cos/B^A

在中，BM+B[M2—2xBBjXcosNBB1％=13,則83=相,

棱臺(tái)的高==\fb?

由圖可知直線8M與平面ABC所成角為/Ma%,

因?yàn)镸M口平面A8C,且MBu平面ABC,所以加出,“修,

所以”啊=需=尋空

變式5.(2024.海南海口?海南華僑中學(xué)?？级?如圖，在多面體A8C-OE尸G中，平面

ABC//平面DEFG,底面43c是等腰直角三角形，AB=BC=五,側(cè)面ACGO是正方

形，。人_L平面A8C,且陽〃GC,GELDE.

(1)證明：AELGE.

(2)若。是QG的中點(diǎn)，OE//平面BCGF,求直線?！昱c平面ADG所成角的正弦值.

【解析】(1)因?yàn)锳4J■平面44C,平面A4C〃平面以如G,所以D4L平面。EPG,

又因?yàn)镚Ei平面OEFG,所以D4J_GK,

因?yàn)镚ELDE,DAr>DE=D,DA,DEu平面人￡)E,

所以GE_L平面/IDE,

因?yàn)锳Eu平面ADE,

所以A￡_LGE.

(2)如圖，因?yàn)?。是OG的中點(diǎn)，OE〃平面BCG/7,OEu平面?！?P,且平面

DEFGA平面BCGF=GF,

所以O(shè)石〃G廠，

DOG

因?yàn)槠矫鍭BCH平面DEFG,

平面ABCc平面DACG=AC,平面OEFGfl平面D4CG=DG，

平面ABCc平面BCG/uBC.平面OER7n平面3。6尸=6/，

所以AC〃Z）G,BC//GF,

因?yàn)锳ABC是?等腰直角三條形，

所以NDOE=NOG*=ZACB=45°,

乂因?yàn)?=側(cè)面ACG/）是正方形，

所以AC=CG=2,OE=-DG=\,

2

所以點(diǎn)E到DG的距離為OEsin45°=—,

2

所以s么DEW=；X2X§=與，則匕DEC=（x《x2=q'

乙乙乙D4J

又BC=0GC=2,所以BG=BD=&,OB=&,

所以5限口=；乂2乂布=后,

設(shè)點(diǎn)E到平面的的距離為力，

由VB_DEG=VE_BDG可得工x4xh=也，解得〃=畫,

335

所以直線0E與平面BDG所成角的正弦值為士=巫.

0E5

變式6.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐ABC中，

AB=BC=OB=2y^ABC=\20,平面8co_L平面A8C,且O8_LAB.

o

(1)證明：OBA.AC；

(2)若F是宜線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線AF與平面A8C所成的角的正切值最大值.

【解析】(1)在三棱錐O-A4c中，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)8作直線也)，BC,如圖，

因?yàn)槠矫?co_L平面A8C,平面ACOfl平面A8c=8C，8。u平面ABC,

所以3D2平面4cO,乂OBu平面4cO,所以O(shè)B上BD,

因?yàn)镺B_LA8,ABIBD=8,AB,BDu平面ABC,

所以08J_平面ABC,又ACu平面ABC,

所以。8J_AC.

(2)過F作FH//OB交BC于H,連接八H，由(1)知"7_L平面48C,

因此NFAH是直線AF與平面A8C所成的角，

又4”,8Cu平面48C,所以FHJ.AH,FHJ.BC,

設(shè)廠”=/,由OA=AC=2,OBA.BC,得NFCH=45\CH=FH=l,

又A4=AC=2,NA8C=120,所以4c3=30,AC=2BCcos30=273,

在△AC”中，由余弦定理，

AH2=AC2+CH2-2AC-CHcos30=12+r2-2x2>/3rx—=r-6r+12,

2

tan2Z.FAH--"-'-1-_____!_____<4

所以入彳丁_6,+12-1264一“1二1一4,當(dāng)且僅當(dāng),=4時(shí)取等

rtt44

號(hào)，

所以直線AF與平面A8C所成的角的正切值最大值為2.

o

變式7.（2024.湖南邵陽.高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐P-A8C。中，四邊形ABCO

是邊長為2的正方形，AC與8。交于點(diǎn)。，/%_1面4水工>,且24=2.

⑴求證平面PAC.；

（2）求PO與平面PAC所成角的大小.

【解析】（I）因?yàn)锳8CO是正方形，所以

又因?yàn)镼A_L平面A8c。，AOu平面A8CD,所以而_1%>,

因?yàn)?。4。=從，H4u平面「AC,ACu平面尸AC,

所以80/平面PAC.

（2）連接夕。.因?yàn)殡p）工平?面PAO,所以NDPO為PD與平面PAC所成的角,

因?yàn)槿?=24=2,所以尸0=#,。。=,

在直角“邛。中，tanZDPO=—=^=—,

PO瓜3

所以NOPO=30，即刊）與平面PAC所成的角為30.

變式8.（2024全國.高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，A。，底面人BC,

ZACB=90。,44,=2,A到平面BCC^的距離為1.

(2)已知人A與叫的距離為2,求人4與平面Bg所成角的正弦值.

AC_L底面AAC,6Cu面/WC,

.?.AC_L8C,乂ACJ.AC,ACACu平面ACGA，\CnAC=C,

.?.3。_1_平面八。。4,又BCu平面BCGa,

.?.平面ACGA，平面8CG4，

過A作AOLCG交CG于o,又平面ACGAn平面BCGB|=CG,4OU平面ACGA,

??.AO_L平面BCC4

???A到平面BCG用的距離為1,A。=i,

在RtZXACG中，AC，AG，CG=A4,=2,

設(shè)CO=x,則G。-2-x,

?.?△AOCZ^AOG，2\4CG為直角三角形，且CG=2,

CO2+A.O2=A.C2,402+"2=64AJ^+AC,2=C,C2,

.\1+X2+1+(2-X)2=4,解得X=1,

...AC=AC=AG=VL

:.A,C=AC

(2)???AC=AG，4C_LAC,8C_LAC,

.?.RtAACB^RtAA,CB

8A=B/\,

過B作BO_LAA，交AA于Q,則。為4A中點(diǎn)，

由電線AA與BE1距離為2,所以%>=2

BD=2,:.AB=AB=^,

在Rtz\/wc，；.BC7AB?-AC2=6，

延長AC,使AC=CM,連接GM,

由CM〃AG，CM=AG知四邊形ACMG為平行四邊形,

.,.C|M〃AC,/.GM_L平面A8C,又AV/u平面ABC,

C,M1AM

則在RlZSAG“中，AM=2AC,QM=A,C,AC.=yj(2AC)2+A.C2,

在Rl^ABC中，AC,=7(2AC)2+T\C2,6€\=座=后,

A4=y/(2y/2)2+(y/2)2+(y/3)2=而，

乂A到平面/3CG4距離也為1，

所以AB.與平面BCCM所成角的正弦值為」==5.

V1313

變式9.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體48COE中，平面A8_L平面48C,

BE_L平面ABC,AACD是邊長為2的正三角形，AB=BC=—,BE=6

3

(1)點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)，求證：DELAMx

(2)求AE與平面BCE所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：取AC中點(diǎn)0,連接。。,。3,

因?yàn)椤癈O是邊長為2的正三角形，可得DO_L4C,

因?yàn)槠矫鍭8_L平而，平面AC￡>n平面人8C=4C,且Z)0u平面48,

所以DO_L平面AAC,且。0=6，

又因?yàn)锽K_L平面A8C,所以DO//BE,

因?yàn)?可得BE=/)O,所以四邊形BOQE為平行四邊形，所以BO//DE,

由A8=8C,且。為4C的中點(diǎn)，可得8O/4C,

因?yàn)槠矫鍭8J.平面ABC,平面ACQfl平面48C=AC,且3Ou平面48C,

所以BOS平面ACQ,所以?！?平面ACD,

乂因?yàn)锳Mu平面ACQ.所以。￡_LAA/.

(2)在中，AB=BC=^,且AC=2,

3

由余弦定理得cos/"C=A*+BC、AC?2

2ABxBC2

所以ZA8C=120。，

如圖所示，過A作AN垂直于8C,交CB延長線于點(diǎn)N,GPBC1AN,連結(jié)硒,

囚為平面A6C,且4Vu平面A8C,所以比;_LAN,

又因?yàn)?EnC8=3,且8￡C8u平面8CE,所以AN工平面BCE,

所以ZAEB即為AE與平面BCE所成角，

在直角△ABE中，可得A￡=8爐=半,

在直角△ABN中，可得42=A8sin60=x=1,

32

?7AFNAN1/—

所以S，n,但一元一夜一石，即AE與平面BCE所成角的正弦值為先

------13

3

變式10.(2024.海南海口統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，四棱錐Q-AAC。中，AB//CD,

ABA.AD,平面處O_L平面PC/).

(1)證明：平面尸AO_L平面4BCQ；

(2)若AD=2AB=2,PB=g，PD=亞,8C與平面PCO所成的角為6,求sin。的最大

值.

【解析】(I)證明：過點(diǎn)八作A/7_LPD于〃,

因?yàn)槠矫嫫肆1_平面PCO,平面QADc平面PCO=PQ,所以AH_L平面PCD,

又COu平面PC。，所以CDJLA”,

AB//CD,A8J_4),可知CQ_LAO,

而4/cAD=A，八從/Wu平面尸A。

所以COJ?平面PAD，

因?yàn)镃Du平面ABCD,所以平面PAD_L平?面ABCD.

(2)法I：由(1)知COJ_平面24。，PAu平面PAD,所以CQ_LQ4,

又ABHCD,所以A8J./<4,

所以PA=Jp/jZ—zW?=1，?/V+A加=2獷=5，所以Q4_L4)，

rhA8cAO=AA8,AOu平面ABCD,所以2八_1_平面A8CO.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則"(1,0,0),P(0,0,l),。(020),設(shè)C(，〃2O)(〃cO),

平面PC。的一個(gè)法向量為n=(A-0,%,z0),PD=(0,2,-1),

.\nPD=0

DC=(w,0,0),所以斤J.P五，nLDC>即〈一，

n-DC=0

得12%-”0,令％“得日=(04,2),

3d2。)，所以.=磊%而宗。'

顯然，當(dāng)，〃=1時(shí)，+4取最小值，

綜.上，當(dāng)CO=1時(shí)，sin。的最大值為

法2：設(shè)點(diǎn)8到平面PCO的距離為d,因?yàn)锳8〃CO,CDu平面PCO,

所以AB//平面PCD,所以點(diǎn)A到平面PC。的距離也為d,

由(1),COL平面PAD，所以8_LQ4,乂AB//CD，所以44J.%,

所以PA=\IPB】-A8?=1，所以。即+仞?=?=5,所以Q4J_4),

由(1),AH_L平面PC。，所以d=AH=絲絲=矩，

PD5

由sin6=W_=3￡._L,在四邊形43co中，當(dāng)8C_LCZ)時(shí)，8C取最小值，

BC5BC

此時(shí)四邊形488顯然為矩形，BC=2,所以sin。的最大值為m恪.

變式11.(2024.全國.模擬預(yù)測(cè))如圖，在四楂錐P-48C3中，底面為直角梯形，

AD//BC,ZBAD=90°,抬_1_底面48c。，且%=AD=A/?=23C,M,N分別為

(2)求BO與平面AOMN所成角的正弦值.

【解析】(1)因?yàn)槔?，N分別為PC,尸8的中點(diǎn)，所以MN//BC,乂AD//BC,

所以MN//AD,則四點(diǎn)共面.

因?yàn)镹是依的中點(diǎn)，PA=AI3,所以4V_LPB.

因?yàn)镻A_L平面A8CD,所以幺J_AO.在直角梯形中，ABLAD.而PAflAB=A,PA,

A8u平面PW，因此APJ_平面所以人DJ_M.

又因?yàn)?V_L〃8,且ANnAD=A,AN,AOu平面4)MN,

所以平面ADMN.

因?yàn)椤u'F面ADAW.所以依J_DW.

(2)

連接ON.rh(1)“J_知尸8_L平面ADWN,

所以ZBDN是BD與平面ADMN所成角.

設(shè)抬=AO=A8=2AC=a,于是尸8=0幺2+AB。=6a，BN=；PB=^a.

另一方面，BD=>JAB2+AD2=s!la.

因此，在直角三角形BQN中，sENBDN;￡=

BD2a2

所以8。與平面AQMN所成角的正弦值為4.

變式12.(2024.全國?高三專題練習(xí))如圖所示，在四棱錐E-ABC。中，底面ABCD為直

角梯形，AB//CD,AB=*D,CD1CE,ZADC=ZEDC=45°,AD=C，

BE=6

(1)求證：平面平面ABC。；

(2)設(shè)M為AE的中點(diǎn)，求直線。M與平面A8CO所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：???ABC。為直角梯形，AI3//CD,s.CDLBC.

X-.CD1CE,BCQCE=C,BC,CEu平面所以COL平面ACE.

又?；BEu平面BCE,；.CDLBE,

又?.?ZAOC=45，4。=&,

如圖，過點(diǎn)A作A/_LCO,AAF=l,DF=FC=lt/.BC=\.

又???/EDC=45,:.CD=CE=2.

乂?；BE=￡,由勾股定理可知BE_LAC

vBCACD=C,BC,COu平面ABC。，平面A8CD.

?.?8Eu平面"E,.?.平面平面A8CO.

(2)取A8的中點(diǎn)M連接。N,MM

?:M為AE的中點(diǎn)，BE=R：.MNHBE,MN=立,

2

由（1）知8E_L平面A8CQ,???MNJ_平面ABC。,

???/MON為直線QM與平面ABCD所成角.

由（1）知CD_L8C,XAB//CD,AB=-CD,NADC=45。，AD=5

2

：.AB=BC=^CD=\,DN=JAD?+AN”-24。?AN?cosNDAN=孚,

133

/.DM1=DN2+MN2=-+-=^

44

:.DM=2.

Br

八“2MN?J3.

..sinZ.MDN=------==——

DM24

題型三：二面角

例7.（2024.全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-49（7中，已知C8J_平面

AB3'A',ABm2,且A"_L3ZT,A'C_LA".

⑴求A4’的長:

（2）若。為線段AC的中點(diǎn)，求二面角人一9仁-。的余弦值.

【解析】（I）連接

因?yàn)镃8_L平面A瓦TA,AZTu平面AHBW,則C8_LAB',

又因?yàn)锳'C_LA3',ACICB=C,A'C,C3u平面A8C,

所以48_L平面ABC,

且A'3u平面ABC,可得A^_LA3,

因?yàn)锳MW為平行四邊形，且4?_1_89，則A38'A為矩形，

所以44出4'正方形，可得"'=48=2.

（2）根據(jù)題意將三棱柱轉(zhuǎn)化為正四棱柱ABCE?-AB'CE',

取C￡A8的中點(diǎn)P,Q,連接PQ,CRMQ,則只RQ三點(diǎn)共線，且PQ//8C,

因?yàn)?C7/8C,可得PQ//5C',

所以平面B'CD即為平面PQB'C',

同理平面ABC即為平面A^CE,

因?yàn)?C'//BC,C3L平面A&M,則L平面ABBA,

且AB\B'Qu平面ABI3'A!,則B'CLAB\BV1B'Q,

所以二面角A-9C-。的平面角為48'Q,

可得B'A=2>/2,AQ=LB'Q=亞,

8+5-13x^0

在,則C

受溫過2x2亞x&-10

所以二面角4-9仁-。的余弦值為亞.

10

例8.（2024.全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面8型7。為菱形,

NCBB]=60,A8=8C=2,AC=A4=&.

⑴證明：平面AC4_L平面88CC；

⑵求二面角A-AC-4的余弦值.

【解析】（I）連8G、4C交于。，則。為BG、4。的中點(diǎn)，連AO,

因?yàn)锳C=/IB1,所以AO_L8C，

因?yàn)閭?cè)面BBCC為菱形，NCg=60,A8=BC=2,AC=AB[=丘,

所以8。=6，AD=\,所以AB?=802+4）2,即AO/8Z），

因?yàn)?0（18。=3,B0,BDu平面3BCC，

所以AO_L平面BBCC，為為AOu平面AC8一

所以平面ACMJ.平面BB℃

(2)取AG的中點(diǎn)石，連4G，AE,B.E,

由(1)知，ADJ.BD,又BD=DC\,所以4G=A8=2,

又A4,=CG=2,所以4E_LAG，同理得與ElAC.

所以NAEB、為二面角八-AG-用的平面角,

2

在中，AE=yjAA；-AiE=

)2=半，AB、=O,

AE2+BF-AB；2+2~2_5

所以cosDAEB]=

2AEB、E9xZ-7

2

所以二面角4-AC-片的余弦值為

例9.(2024.廣東深圳.高三校聯(lián)考開學(xué)考試)在四棱錐P-A4CO中，底面ABCO為正方

形，AB1PD.

(1)證明：平面夕AOJ_平面A8CQ；

(2)若24=2力，NPD4=60。，求平面EW與平面P8C夾角的余弦值.

【解析】(I)???底面A8C。為正方形，

/.AB1AD,

又?：ABLPD，ADIPD=D,AD,夕力u平面以Q,

/仍/平面PAD,

:A8u平面43。。，

平面PADJL平面ABCD.

(2)(法—)取AO中點(diǎn)為O,連結(jié)。。，

???在△24。中，PA=PD,ZPZM=60°,

APOLAD,△MD為等邊三角形.

???平面EV>J_平面A6CD,平面平面A6cZ)=A￡>,尸Oj平面厚

/.P0/平面A8CD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)底面正方形的邊長為2,

AP(0,0,V3),4(1,0.0),8(120),。㈠,2.0),D(-l,0,0),

.?.麗=(1,2,-PC=(-1,2

設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量行=（x,y,z）,

PBm=0x+2y-y/3z=0

則＜即＜

PC-in=0-x+2y->/5z=0

令y=3,則x=0,z=25/3,

6=（0,3,26）,

rti（1）可知平面附。的?個(gè)法向量〃=（o,i,o）,

設(shè)平面以。與平面PBC的夾角為

mn3V2T

貝ijcos＜9==—f=-=——,

訓(xùn)〃V21x17

???平面PAD與平面P8C夾角的余弦值為且.

7

（法二）設(shè)平面外。與平面PBC的交線為/,

VBC//AD,A/）u平面%Q,BC（Z平面必￡）,

J8c〃平面PAD,

又,:8Cu平面PBC,

:.BC〃l,AD//1,

???平面附。與平面08c有一個(gè)交點(diǎn)P,

???/為過點(diǎn)。且與8c平行的一條直線，如下圖，

取AD中點(diǎn)為0,取中點(diǎn)為M,連結(jié)PO,PM,OM,

???底面四邊形ABC。為正方形，。，M分別為4。,的中點(diǎn),

OM//AB,

又〈ABJ.平面以。，???QM_L平面以。，

丁/u平面以。，：.OM」,

???在△P4D中，PA=PD、O為A。的中點(diǎn)，

/.POLAD.POU,

又尸0口0暇=0，PO,OMu平面期。，

???/工平面POM,A/1PM,

又：/OPM為銳角，JNOPM為平面PAD與平面尸8c的夾角，

設(shè)底面正方形ABCD的邊長為2,

在△POM中，PM7Poi+OMI=近，cos/POM=?=鼻=浮

PMJ77

變式13.(2024例川成都高三川大附中?？茧A段練習(xí))如圖，A8是圓。的直徑，點(diǎn)尸在

圓。所在平面上的射影恰是圓。上的點(diǎn)C,且AC=24。，點(diǎn)。是PA的中點(diǎn)，PO與BD

交于點(diǎn)E,點(diǎn)b是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

C

(1)求證：BCJ.PA；

(2)求二面角-。平面角的余弦值.

【解析】(1)證明：?.?點(diǎn)產(chǎn)在圓O所在平面上的射影恰是圓。上的點(diǎn)C,.?.PC_L平面

ABC,

BCu平面ABC,BC工PC,

又A8是圓。的直徑，有BCJ.4C,且尸CcAC=C,PC,ACu平面PAC,

所以3c1平面PAC,又以u(píng)平面PAC,所以BC工必.

(2)?.?尸C_L平面A6C,%C,OCu平面A8C’,所以〃C_L”C,FC±OC,

.?.4。為二面角〃一PC-O的平面角.

設(shè)AC=28C=2,則=OA=OB=OC=旦,有NBCO=NOBC,NBCO為稅

2

角，

在直角AA8C中可得cosZABC=繪=；=￡,故cos/BCO=@，

ABV555

故二面角3-PC-O平面角的余弦值為日.

變式14.(2024.云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí))已知在四棱錐P-AACO中，

AI3=4,BC=3,AD=5,/DAB=/ABC=/CBP=臾，PA上CD,石為CO的中點(diǎn).