專題4.8線段大小比較（知識講解）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、經(jīng)歷疊合法比較兩條線段的大小關(guān)系的過程，并會用數(shù)學(xué)符號表示它們的大小關(guān)系；

2、會用直尺、圓規(guī)等學(xué)習(xí)工具畫線段，初步體會用作圖語言敘述畫法；

3、能用線段表示和差倍分關(guān)系，并能計算線段的數(shù)量關(guān)系；

4、理解中點定義，戶進行相關(guān)的計算。

【要點梳理】

【知識點一】線段大小比較

比較線段大小的方法：（1）目測法；（2）度量法；（3）疊合法

疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一

個端點位于重合端點同側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠近來比較長短.如下圖：

AB-?牛?______

CD。DAB

AB=CDAB>CDAB〈CD

特別說明：線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法.

【知識點二】尺視作圖

【定義】僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖

特別說明：

（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.

（2）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點

連在一起，不可以在上面畫刻度.

（3）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度.

【方法】作一條線段等于已知線段

“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：

【方法一】尺規(guī)作圖：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段.例如：下圖所示，用圓規(guī)在射

線AC上截取AB=a,則線段AB為所求：這是考試中?？键c。

/\【方法二】度量作圖：用刻度尺作一條線段等于已

知線。/%8%段.例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個

收度的線段.

特別說明：幾何中連結(jié)兩點，即畫出以這兩點為端點的線段.

常見的線段和差倍分作圖有以下幾種：

（1）作一條線段等于已知線段；

（2）作一條線段等于已知線段的幾倍或幾分之一；

（3）作一條線段等于一知線段的和或差。

【知識點三】線段的和與差

如下圖：線段AB上有一點C,則AC+BC=AB；AC=AB-BC;BC=AB-AC,

在這里線段AC、BC、AB表示線段的長度，如AC+BOAB表示AC長度與BC長度

之和等于AB長度。

C

A----------?B

【知識點四】線段的中點

【定義】線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如下圖所

示，點C是線段AB的中點，則=或AB=2AC=2BC.

2

ACB

特別說明：若點C是線段AB的中點，則點C一定在線段AB上.

【典型例題】

知識點一、線段的和與差

@>1.如圖，點8在線段AC上.按要求完成下列各小題.

I1I

ABC

（1）尺規(guī)作圖：在圖中的線段AC的延長線上找一點。，使得CO=A3；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，圖中共有條線段，比較線段大?。篈C8。（填“

或“=”）；

（3）在（I）的基礎(chǔ)上，若8c=2A8,8。=6,求線段A。的長度.

【答案】（I）作圖見分析（2）6；=（3）AO=8

【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；

（2）根據(jù)線段的定義，判斷即可；

（3）利用線段和差定義解決問題即可.

（I）解：如圖，線段co即為所求；J--------------木-------------------方--------可一

（2）解：圖中共有6條線段,,：AB=CD,:?AB+BC=CD+BC,BPAC=BDf故答案

為：6,=；

（3）解：由（1）知A8=CO.因為8C=148,所以8C=2CQ,所以8O=8C+CO=

3CD=6,所以CZ）=2=AB,所以AO=2+6=8.

【點撥】本題考查作圖■復(fù)雜作圖，直線，射線，線段的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理

解直線，射線，線段的定義.

舉一反三：

【變式1】如圖：4、B、a。四點在同一直線上.

A~Bc~D-

⑴若AB=CD.

①比較線段的大?。篈CBD（填或“V”）；

②若4C=;AC,且AC=12cm,則4。的長為________cm；

4

（2）若線段4。被點從C分成了3：4：5三部分，且4B的中點M和CD的中點N之間

的距離是16cm,求A。的長.

【答案】（1）?=;②15

（2）24cm

【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；

②求出和AB,根據(jù)AB=CD得至I]CD,即可得到AD；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)A8=3x,BC=4x,CD=5x,根據(jù)線段的和差關(guān)系求得

MN,根據(jù)題意列出方程進而即可求解.

解：（1）①,??AB二C。，

:?AB+BC=CD+BC,g|JAC=BD,

故答案為：=;

3

@'：BC=-AC,AC=l2cm,

4

/.Z?C=9cm,

：.AB=AC-BC=3cm.

?；A8=CD,

解：(l)???A4=15cm,點C在線段A4上，且AC:C8=3:2

3322

AC=-/\B=-xl5=9(cm),CB=-/\B=-xl5=6(cm)

5555

⑵為線段AP的中點

AM=MP=—AP--mem

22

①當(dāng)點P在線段AC上時

PC=AC-AP=(9-m)cm,MC=AC-AM=^9-1/njcm

當(dāng)點P在線段C8上時

PC=AP-AC=(ir-9)cm,MC=AC-AM=(9-；〃，cm

②當(dāng)點P在線段AC上時，則MP=PC

...一1〃i=Q9一,〃

2

解得：機二6

當(dāng)點P在線段CB上時，則MC=PC

9—?-m=ni—9

2

解得：m=\2

綜上所述，m=6或12

【，點撥】本題考查了求線段長度,線段中點的意義及線段的和差，掌握線段中點的意義、

線段的和差是解題的關(guān)鍵.注意（2）小題要分類討論.

知識點二、線段中點

@>2.如圖所示，長度為12cm的線段AB的中點為點M,點C將線段MB分成

MC:CB=1:2,求線段AC的長度.

AMCB

【答案】8cm

【分析】設(shè)MC=XC7〃.由MC：CB=1：2得至|JCB=2AO〃，則M8=3X,根據(jù)M點是線段

AB的中點，得到AM=MB=12=3X,可求出x的值，乂AC=AM+MC=4x,

即可得到AC的長.

解：設(shè)MC=m〃，則C8=〃cm,

：.MB=3x.

???M點是線段人8的中點，AB=\2cm,

.\AM=MB=—AB=—x\2=3x,

22

AA-2,而AC=AM^MC,

/.AC=3X+X=4A-4x2=8(cm).

故線段AC的長度為8cm.

【點撥】本題考查了兩點間的距離：兩點的連線段的長叫兩點間的距離.也考查了方程

思想的運用.

舉一反三：

【變式1】如圖，已知點A,及。在同一直線上，M,N分別是AC8C的中點.

AMB~N~C

(1)若A8=20,8C=8,求MN的長：

(2)若A8=a,8C=8,求MN的長；

(3)若A3=a,3C=〃，求MN的長；

(4)從(1)(2)(3)的結(jié)果中能得到什么結(jié)論？

【答案】(1)10；(2):4；(3)(4)線段MN的長度等于線段4?的一半,

22

與3點的位置無關(guān).

【分析】(I)先求解AC再利用中點的含義求解MCNC,再利用線段的差可得答案；

⑵先利用含"的代數(shù)式AC，再利用中點的含義，用含〃的代數(shù)式MCNC,再利用

線段的差可得答案；

(3)先利用含〃口的代數(shù)式4C再利用中點的含義，川含。的代數(shù)式MCNC,再利

用線段的差可得答案；

(4)由(1)(2)(3)總結(jié)出結(jié)論即可.

解：(|)AB=20,BC=8,M,N分別是AC,4c的中點，

AB+BC=AC=2^MC=-AC=\4,NC=-BC=4,

22

：.MN=MC-NC=\4-4=\0.

(2)AB=a,BC=S,M,N分別是AC,BC的中點，

/.AB+BC=AC=a+S,MC=-AC=-a+4,NC=-BC=4.

222

:.MN=MC-NC=-a+4-4=-a.

22

（3）???AB=a,BC=b,分別是AC,BC的中點，

,AB+BC=AC=a+h.MC=-AC=-a+-b,NC=-BC=-b,

22222

:.MN=MC-NC=-a+-b--b=-a.

2222

（4）由（1）（2）；3）的結(jié)果中可得：線段MN的長度等于線段A8的一半，與8點

的位置無關(guān).

【點撥】本題考查的是線段的中點的含義，線段的和差關(guān)系，掌握利用線段的中點及線

段的和差關(guān)系求解線段的氏度是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，已知點C,。在線段八B上，且47:6:08=2:5:3,4c=4a〃，

若點M是線段A。的中點，求線段BM的長.

ill）1

ACS7D5

【答案】13cm

【分析】根據(jù)AC:CD:O8=2:5:3可設(shè)AC=2x.CD=5x,DB=3x,則可得到

AC=2x=4c機，易求得ACCROB的長，從而得到AO的長度，由例是線段A。的中點，

得DM的長度，則代入80=DW+D8即可求解.

解：設(shè)AC=2x,CP=5x,DB=3x

由題意：2x=4,

解得x=2,

AC=2x2=4an,CD=5x2=1Ocm,DB=3x2=6cm,

：.AD=AC+CD=4+\0=14cm.

?.?用是線段A。中點，

:.DM=-AD=-x\4=lcm.

22

/.BM=BD+DM=6+7=\3cm.

【點撥】本題考查線段的中點，線段的和差，掌握中點的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系為解題

關(guān)鍵.

知識點三、尺規(guī)作圖-作線段

魚，3.作圖：已知線段〃、b,畫一條線段使它等于2a-b.

（要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作、結(jié)論，保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見分析

【分析】可先畫出一條線段等于24,然后再在這條線段上截去。，剩余線段即為所求線

段.

解：如圖所示AC=2a-b,

b

【點撥】本題考查有關(guān)線段的基本作圖，相加在原來線段的延長線上畫出另一條線段,

相減在較長的線段上截去.

舉一反三：

【變式1】如圖，已知線段。，久叫用尺規(guī)作一條線段八8,使它等于-c.(保留

作圖痕跡，不寫作法)

b

【答案】圖見分析

【分析】利用尺規(guī)畫線段的方法去作圖.

解：如圖，先用圓規(guī)“量出”線段”的長度，畫出兩段〃，再用圓規(guī)“量出”線段。的長度，

接著剛才的線段畫出線段從就得到線段為+'再“最出”線段C,圓規(guī)一端抵在線段最左

端畫一個弧，得到線段C,此時圖上的線段AB就等于2+力-c.

aab

1----------------)----------------J--------)---------------------------J

CAB

【點撥】本題考查尺規(guī)畫線段以及線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法.

【變式2】尺規(guī)作圖：如圖，已知線段a、b,作一條線段，使它等于2a?b.（保留作

圖痕跡）

【答案】見分析

【分析】根據(jù)題意可先畫出一條線段等于2a,然后再在這條線段上截去〃，剩余線段即為

所求線段.

解：如圖,線段人。即為所求

b

【點撥】本題主要考查有關(guān)線段作圖方法,根據(jù)線段基本作圖方法:相加在原來線段延長

線上畫出另一條線段，相減在較長的線段上截去，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握線段基本作圖

方法.

知識點四、線段的應(yīng)用

.如圖，點。在線段人A上，。是線段8C的中點.

A0B

（1）在線段CO上，求作點E,使CE=2AC.

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，AB=12,

①若BO=2EO,求AC的長;

②若點。在線段B。上，且2OD=9AC-12,請你判斷點E是哪條線段的中點，并說明

理由.

4

【答案】（1）見詳解；（2）①'②E是線段CD的中點，理由見詳解

【分析】（1）以C為圓心AC為半徑畫弧交CO于點F,再以F為圓心AC為半徑畫弧

交CO于點E,則E點即為所求；

（2）①先根據(jù)O是線段8C的中點得出Q8=OC,然后再根據(jù)8O=2EO,CE=2AC得

出O8=OC=4AC,則A8=9AC=12,則AC可求；

②根據(jù)2OD=9AC—12可以推出“>+O￡=C￡,即ED=CE則說明E是線段CD的中

點.

解：（1）如圖

AcbJ0'B

（2）①：。是線段BC的中點

：.OB=OC

VBO=2EO,CE=2AC

??.2EO=2AC+OE

???EO=2AC

??.OB=OC=4AC

???AB=9AC=\2

...A”C=—4

3

②E是線段CD的中點，理由如下：

ij?，

4CEQDg

,/2OD=9AC-\2

9

???OD=-AC-6

2

AB=\2

91

???OD=-AC——AC-OC

22

^1OD=4AC-OC

'：CE=2AC

OD=2CE-（CE+OE）=CE-OE

：.OD+OE=CE

即KO=CE

???E是線段CD的中點

【點撥】本題主要考查線段的尺規(guī)作圖及線段的和與差，表示出線段的和與差是解題的

關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1］已知:如圖：點C為線段AB的中點，點石為線段AB上的點，點。為線段AE

的中點，

ADCEB

圖1

/DCEB

圖2

(1)若線段CE=b,P-16|+(/?-4)2=0,求a+8的值；

(2)如圖I,在(I)的條件下，求線段OE的長：

(3)如圖2,若AB=17,AD=2BE,求線段CE的長.

【答案】(1)20；(2)6：(3)5.1.

【分析】(1)因為|。-16|+(力-4)2=0,根據(jù)絕對值和平方的非負性可以得出。-16=0,

人一4=0即n上代出4+〃的值.

(2)由⑴知，AB=16,CE=4,點。為線段A8的中點，則能求出AC,AE,點。為線段AE

的中點，即可求出DE.

(3)因為AO=23E,設(shè)BE=x,即可以表示出AD=2K=DE,所以列方程即可以求解.

解：(1)???|。-16|+(。一4『=0

?"-16=0,b-4=0

a=16,b=4,a+b=20.

(2)由(I)知：AB=\6,CE=4

???點C為線段AB的中點

??.AC=CB=S

乂???點。為線段AE的中點

???DE=6

(3)由題知：設(shè)BE=x,貝ljAD=DE=2x

x+2x+2x=l7

17

x=一

5

?1717一

CE=-----=5.1

25

【點撥】本題主要考查的是線段中點的性質(zhì)，正確的計算和熟練地運用數(shù)形結(jié)合的思想

推出線段之間的關(guān)系.

【變式2】【操作】結(jié)合圖形，完成