專題12.35作輔助線證明三角形全等.截長補短（知識講解）

“截長補短”是處理線段間數(shù)量關(guān)系的一種重要的解題方法.當題目中出現(xiàn)三條線段間

的和差關(guān)系時（如a=b+c）,?？紤]用此法解決.所謂〃截〃，就是將最長的線段a截成兩段，使其

中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識證另一段等于線段

。;所謂〃補〃,就是將較短的線段6延長,使延長的線段長度為c,相當于將線段b,c拼成一條

線段,再證叨此線段的長等于a.用截長補短法解決問題的關(guān)鍵，是用"截"或''補"的手段去構(gòu)

造線段.

9^1.如圖，NC4B+N/V?O=120。，AD.4c分別平分NC4B、ZABD,AD與8C

交于點0.

(1)求NAO4的度數(shù)；

(2)說明A8=AC+BD的理由.

【答案】(1)120。：(2)見分析

【分析】

(1)根據(jù)角平分線的定義可.得NO48+NOB4=60。，從而得到NAOg

(2)在A3上截取AE=AC,證明AAOC/AAOE,得到NC二NAEO,再證明

ZC+ZD=180°,從而推出N8EO=N。，證明△可得BD=BE,即可證明

AC+BD=AB.

解：(1)*：AD,4C分別平分/CAB和NA4。，ZCAB+ZABD=\2()0,

???NO4B+NO8A=60°,

???NAOT-180n-600-120°；

(2)在AB上截取4E=4C,

VZCAOZEAO,AO=AO,

???△AOCg/XAOE(SAS),

ZC=ZAEO,

*：ZC+ZD=(180°-NC48-NAAC)+(I80°-NA80-NB/1。)=180°,

.??42。+/上18上，

NAEO+//3￡O=180。，

:.NBEO=/D,

又NEBO=NDBO,BO=BO,

:?AOBE當AOBD(.AAS),

：.BD=BE,XAC=AE,

：.AC+BD=AE+BE=AB.

【點撥】本題考查了由平分線的定義，三角形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是截取AE=4C,利用全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【變式1】如圖，四邊形ABCD中，然//8,。。=4）,乙4。。=60。,對角線8。半分

ZABC交AC于點P.CE是ZACB的角平分線，交BD于點O.

（1）請求出NBAC的度數(shù)；

（2）試用等式表示線段8E、BC、C尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【答案】（1）60°；（2）BE+CP二BC,理由見分析.

【分析】

（1）先證得AAOC為等邊三角形，再利用平行線的性質(zhì)可求得結(jié)論：

（2）FhBP.CE是△ABC的兩條角平分線，結(jié)合BE=BM,依據(jù)“SAS”即可證得

△BEO^ABMO；利用三角形內(nèi)角和求出NBOC=120。，利用角平分線得出

ZBOE=ZBOM=60°,求出NBOM,即可判斷出NCOM二NCOP,即可判斷出

△OCM^AOCP,即可得出結(jié)論；

解：⑴CD=AD,ZADC=60°,

???AAOC為等邊三角形，

，ZACD=60°,

?/AB//CD,

???N8AC=/ACD=6()。；

(2)BE+CP=BC,理由如下：

在BC上取一點M,使BM=BE,連接0M,如圖所示:

〈BP、CE是△ABC的兩條角平分線，

???ZOBE=ZOBM=|ZABC,

BE=BM

在^BEO和仆BMO中，"BE=40BM,

BO=BO

.,.△BEO=ABMO(SAS),

JZBOE=ZBOM=60°,

〈BP、CE是△ABC的兩條角平分線，

NOBC+NOCB=g(/ABC+/ACB),

在△ABC中，ZBAC+ZABC+ZACB=180°,

VZBAC=60°,

:.ZABC+ZACB=1800-ZA=180o-60o=i20°,

.,.ZBOC=180o-(ZOBC+ZOCB)=180o--(z<ABC+z/ACB)=180o-yx120o=120

ZBOE=60°,

/.ZCOP=ZBOE=60°

ED=CD,可證得△BDE為等腰三角形，所以有BE二DE二CD,可得結(jié)論.

解：(I)???A。為A48C的角平分線，

：,ZEAD=ZCADf

,/AE=AC,

AE=AC

在AAED和ZiACD中，-ZEAD=ZCAD.

AD=AD

^AED=iACD,

AZAED=ZACD=90°,DC=DE,

ZAED=90°,

/./BED=90。,

NB=45。,

???/BDE=/B=45。,

，BE=DE,

，BE=DE=DC；

(2)在AB上取點E,使得AE=AC,

A

/.△AED^AACD(SAS),

AZAED=ZC,ED=CD,

VZC=2ZB,

XZAED=ZB+ZBDE=2ZB,

.*.ZB=ZBDE,

ABE=DE,

AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.

【點撥】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造

全等三角形，在證明兩條線段的和等于一條線段時，通常是截取線段，難度不大.

@>2.(1)問題背景：

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E,F分

別是BC,CD上的點，且/EAF=60。，探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點G,使DG=BE,連結(jié)AG,先證明AABE三

AADG,再證明AAE產(chǎn)會AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

⑵探索延伸：

如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是BC,CD上的點,

NEAF二;NBAD,上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由.

【答案】(l)EF=BE+DF；(2)成立，見分析

【分析】

(1)延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明△ABE絲AADG,可得AE=AG,

再證明△AEF絲AAGF,可得EF=FG,即可解題；

(2)延長FD至I」點G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明^ABE^AADG,可得AE=AG,

再證明△AEFgZ\AGF,可得EF二FG,即可解題；

解：(1)EF=BE+DF,證明如下:

在^ABE和^ADG中，

DG=BE

ZB=ZADG

AB=AD

：.MBE^MDG(SAS)

：,AE=AG,/BAE=ZDAG

???NEAF=L/BAD

2

二ZGAF=^DAG-^DAF=NBAE+ZDAF=ABAD-NE4"=/LEAF

.?.ZE4F=NG4P

在^AEF和^AGF中，

AE=AG

-ZEAF=ZGAF

AF=AF

:.MEF^^AGF(SAS)

：.EF=FG

?.?FG=DG+DF=BE+DF

:.EF=BE+DF

故答案為EF=BE+DF.

(2)結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；

理由：延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,如圖②,

在乙ABE和^ADG中

DG=BE

,Zfi=/ADG

AB=AD

.,.△ABE^AADG(SAS),

/.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

VZEAF=|ZBAD,

/.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

r.ZEAF=ZGAF,

在^AEFffiAAGF中,

AE=AG

<ZEAF=ZGAF

AF=AF

.*.△AEF^AAGF(SAS),

.*.EF=FG,

?；FG二DG+DF=BE+DF,

???EF=BE+DF；

【點撥】本題考杳了全等三角形的判定和性質(zhì)及'‘半角模型”，熟練掌握全等三角形的判

定和性質(zhì)及“半角模型''構(gòu)造全等的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，在四邊形A8CO中，AB=ADfN8=NQ=90。，E、尸分別是邊8C、CD

上的點，且NE4F=《N84。.求證：EF=BE+FD.

REC

【答案】證明見分析.

【分析】延長E4到G,使BG二DF,連接AG.先說明然后利用全等

三角形的性質(zhì)和已知條件證得^AEG^^AEF,最后再運用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差

即可解答.

解：延長EB到G,使BG=DF,連接4G.

VZABG=ZABC=ZD=90°,AB=AD,

???△ABGgZXAZ)尸.

：.AG=AF,Z1=Z2.

Zl+Z3=Z2+Z3=ZE/4F=yNBA。.

.\ZGAE=ZEAF.

y.9：AE=AE,

：.^AEG^/^AEF.

：,EG=EF.

?；EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題

的關(guān)鍵.

【變式2】已知：如圖所示，在A4BC中，40為中線，8/交ARAC分別于￡/,如

果6E=AC,求證：AF=EF.

【答案】詳見分析

【分析】根據(jù)點D是BC的中點，延長AD到點G,得到ABZ）比ACDG,利用仝等三

角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等進行等量代換，得到4AEF中的兩個角相等，然后用等角對

等邊證明AE等于EF.

解：延長ED至G,使/元=。七，連結(jié)GC,

???在AA8C中，AO為中線,

???BD;CD,

在△4。。和aGDB中,

BD=CD

NBDE=ZCDG

DE=DG

/.空DE0ACDG，

:.BE=CG,/BED=NCGD,

-8E=AC,

：.AC=GC,

「.ZAGC=CAG.

又?；/BED=ZAEF,

ZAEF=ZE4F.

..AF=EF.

【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)建全等三角

形.

@>3.在等邊三角形ABC的兩邊4B、AC所在直線上分別有兩點M、N,P為△ABC

外一點，且NMPN=60。，ZBPC=120°,BP=CP.探究：當點M、N分別在直線A&AC

上移動時，BM,NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖①，當點M、N在邊A8、AC上，且時，試說明MN=3M+CN.

(2)如圖②，當點M、N在邊48、AC上，且PM針N時，MN=BM+CN還成立嗎?

答：.(請在空格內(nèi)填“一定成立不一定成立”或“一定不成立“).

(3)如圖③，當點M、N分別在邊AB、C4的延長線上時，請宜接寫出BM,NC,MN之

間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見分析⑵一定成立(3)MN=NC-8M

【分析】

⑴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到NP8C=/=30。,進而得到NPBM

=NPC7V=9O。，證明RfAPBM名RfAPCN,得到N5PM=NCPN=30。，根據(jù)含30。角的直

角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

(2)延長AC至“，使C”=BM,連接PH,證明△PBM@APCH,得至ljPM=PH,/BPM

=NCP"，再證明AMPN經(jīng)△HPM得到MN=”M等量代換得到答案；

(3)在4c上截取CK=8W,連接PK,仿照(2)的方法得出結(jié)論.

(1)解：???△/1h:為等邊三角形，

,NABC=ZAC?=60°,

VZBPC=120°,BP=CP,

：.ZPBC=ZPCB=^x(180°-120°)=30°,

；?/PBM=/PCN=9U0,

在R3PBM和Ri>PCN中，

PB=PC

PM=PN'

:.RibPBMgPCN(HL),

:?NBPM=NCPN=3。。,

VZA/P/V=6(T,PM=PN,

???△PMN為等邊三角形，

:?PM=PN=MN,

在RmPBM中,NBPM=30°,

JBM=1PM，

同理可得，CN=1PN,

:,BM+CN=MN.

(2)解：一定成立，

理由如下：延長AC至凡使CH=BM,連接PH,如圖所示，

N

MA

由(1)可知：4PBM=/PCN=90°,

???NPCH=90。,

/.NPBM=ZPCH,

在4。/訃/和4PCH中,

BM=CH

<NPBM=NPCH,

PB=PC

???△P8Mg△PC"(SAS),

:.PM=PH,/BPM=/CPH,

NBPM+NCPN=60°,

???NCPN+NCPH=60。,

???NMPN=4HPN,

在^HPN中,

PM=PH

-4MPN=4HPN,

PN=PN

：?4MPN在叢HPN(SAS),

:?MN=HN=BM'CN,

故答案為：一定成立.

(3)解：在AC上截取CK=5M,連接PK,如圖所示,

N

在△尸8河和^PCK中，

PB=PC

■/PBM=NPCK=9。。,

BM=CK

???△P8M/△PCK(SAS),

：?PM=PK,/BPM=/CPK,

,//BPM+NBPN=600,

：.ZCPK+ZBPN=a)°,

???NKPN=60°,

???/MPN=4KPN,

在4^尸乂和^KPN中，

PM=PK

,4MPN=ZKPN,

PN=PN

:?叢MPN叁叢KPN(SAS),

:,MN=KN,

???KN=NC-CK=NC-8M,

:.MN=NC-BM.

【點撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形

的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，在四邊形48co中，A8=AQ,N8+NAOC=180。，點E、尸分沏在直

線BC、。。上，且N&fg/胡。.

(1)當點石、尸分別在邊5C、CD上時(如圖1),請說叨夕'=月石+尸。的理由.

(2)當點E、尸分別在邊8C、CO延長線上時(如圖2),(1)中的結(jié)論是否仍然成立？

若成立，請說明理由；若不成立，請寫出破、BE、產(chǎn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴見分析⑵不成立，EF=BE-FD,見分析

【分析】

(1)延長檔至G,使8G=。匕連接AG,通過證明△/WGgZVIOF,△EAG^/^EAF

nJWGE=EF,進血可說明EF=BE+DF；

(2)在BE上截取BM=OF,連接AM,通過證明△△AME^^AFE

可得ME=EF,進而可得EF=BE-FD.

解：⑴EF=BE+DF,

理由：延長E8至G,使BG=DF,連接AG,

VZABC+ZADC=180°,NA8C+N48G=180°,

???ZADC=ZABG,

在△A8G和△AZ）/中，

Af3=AD

?/ABG=NADF,

BG=DF

???△ABG絲AAD尸（SAS）,

：,AG=AF,ZBAG=ZDAF,

?：ZEAF=^ZBAD,

JZBAE+ZDAF=ZBAE+ZBAG=ZEAF,

即NE4G=N￡4凡

在4^6和4￡4尸中，

AG=AF

-NEAG=NEAF,

AE=AE

AAEAG^AEAF(SAS),

：.GE=EF,

：,EF=BE+DF；

(2)(1)中結(jié)論不成立，EF=BE-FD,

在BE上截取8M=。凡連接AM.

???ZABC+ZADC=180°,ZADC+ZADF=180°,

???ZABC=ZADF,

在△A8M和中，

AB=AD

NABM=Z.ADF,

BM=DF

A(SAS),

：.AM=AF,ZBAM=ZDAFf

???NBAM+NMAD=NDAF+NMAD,

；?NBAD=NMAF,

t：ZEAF=^ZBAD,

：.ZEAF=ZEAM,

在△和△AFE中，

AM=AF

<NEAM=Z.EAF,

AE=AE

AAAME^AAFE(SAS),

:,ME=EF,

:?ME=BE-BM=BE?DF,

：.EF=BE-FD.

【點撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線證明相關(guān)三角形全等

是解題的關(guān)鍵.

【變式2】在△A4C中，BE,CQ為△ABC的角平分線，BE,CO交于點R

(1)求證：N8尸C=90°+g/A；

(2)已知NA=60。.

①如圖1,若BD=4.4c=6.5,求CE的長；

②如圖2,若8￡=AC,求NA￡4的大小.

【答案】(1)證明見分析；(2)2.5；(3)100°.

【分析】

(1)由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出“"C+"6=90。-的度數(shù)，再由三角

形內(nèi)角和定理可求出NB卜C的度數(shù),

(2)在1^上取一點G使BG=BD,構(gòu)造秘陽總麗(SAS),再證明"EC-FGC(ASA),

即可得3c=3O+CE,由此求出答案；

(3)延長8A到匕使AP=FC,構(gòu)造△加C?三△GA"(SAS),得PC=BC,

NP=NBCF=；NACB,再由三角形內(nèi)角和可求NABC=40。，ZACB=80°,進而可得

ZAEB=180°-(NABE+ZA)=100°.

解：(1)2E、CQ分別是NA3c與ZAC8的角平分線，

/.NFBC+ZFCB=-(180°-Z4)=90°--ZA,

22

二NBFC=180°-(ZFBC+NFCB)=180°-(90°--ZA),