第4課時(shí)專(zhuān)題強(qiáng)化：動(dòng)態(tài)平衡和臨界、極值問(wèn)題

【目標(biāo)要求】1.學(xué)會(huì)用圖解法、解析法等解決動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題。2.會(huì)分析平衡中的臨界與極值問(wèn)

題。

考點(diǎn)一動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

動(dòng)態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過(guò)程中，每一個(gè)狀態(tài)均可視為平衡狀

態(tài)。常用方法：圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圜法、正弦定理法。

1.“一力恒定，另一力方向不變”的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

(1)一個(gè)力恒定，另一個(gè)力始終與恒定的力垂直，三力可構(gòu)成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的

直角三角形，分析力的大小變化，如圖甲所示。

(2)一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力

大小的變化，在變化過(guò)程中恒力之外的兩力垂直時(shí)，會(huì)有極值出現(xiàn)，如圖乙所示。

【例1】(多選)如圖所示，在傾角為a的斜面上，放一質(zhì)量為〃，的小球，小球和斜面及擋板間

均無(wú)摩擦，當(dāng)擋板繞0點(diǎn)逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過(guò)程中()

A.斜面對(duì)球的支持力逐漸增大

B.斜面對(duì)球的支持力逐漸減小

C.擋板對(duì)小球的彈力先減小后增大

D.擋板對(duì)小球的彈力先增大后減小

答案BC

解析對(duì)小球受力分析知，小球受到重力小g、斜面的支持力fNI和擋板的彈力尺2,如圖，

當(dāng)擋板繞。點(diǎn)逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過(guò)程中，小尿所受的合力為零，根據(jù)平衡條件得

1

知，F(xiàn)NI和尺J2的合力與重力”吆大小相等、方向相反，作出小球右-三個(gè)不同右置力的受力分

析圖，由圖看出，斜面對(duì)小球的支持力An逐漸減小，擋板對(duì)小球的彈力尸限先減小后贈(zèng)大，

當(dāng)FNI和八2垂直時(shí)，彈力〃N2最小，故選項(xiàng)B、C正確，A、D錯(cuò)誤。

2.“一力恒定，另兩力方向均變化”的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

一力恒定（如重力），其他二力的方向均變化，但二力分另J與繩子、兩物體重心連線方向等平

行，即三力構(gòu)成的矢量三角形與繩長(zhǎng)、半徑、高度等實(shí)際幾何三角形相似，則對(duì)應(yīng)邊比值相

等。

基本矢量圖，如圖所示

基本關(guān)系式:管=懸寸。

【例2】如圖所示為一簡(jiǎn)易起重裝置,AC是上端帶有滑輪的固定支架，8。為質(zhì)量不計(jì)的輕桿,

桿的一端。用錢(qián)鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個(gè)質(zhì)貴為機(jī)的重物，并用鋼絲繩跨過(guò)滑輪

A連接在卷?yè)P(yáng)機(jī)上。開(kāi)始時(shí),桿與AC的夾角N8CA>90。,現(xiàn)使/BCA緩慢變小，直到N8C4

=30。（不計(jì)一切阻力）。在此過(guò)程中，桿8c所產(chǎn)生的彈力（）

A.大小不變B.逐漸增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

答案A

解析以結(jié)點(diǎn)8為研究對(duì)象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據(jù)平衡條件知，尸、

樂(lè)的合力〃合與G大小相等、方向相反。

根據(jù)三角形相似得力=加=”，又八=G,得FN=RG

/ICAnoC/Iv

N8CA輟慢變小的過(guò)程中，AC、3c不變，則人不變，投桿8c所產(chǎn)生的彈力大小不變，故

選A。

3.一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對(duì)應(yīng)角的頂點(diǎn)在圓上移動(dòng)，可保持

圓心角不變，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

【例3】（多選）如圖，柔軟輕繩ON的一端。固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另

一端N。初始時(shí)，豎直且被拉直，。必與MN之間的夾角為a（a>》現(xiàn)將重物向右

上方緩慢拉起，并保持夾角。不變。在0M由豎直被拉到水平的過(guò)程中（）

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.0M上的張力逐漸增大

D.0M上的張力先增大后減小

答案AD

解析法一：以重物為研究對(duì)象分析受力情況，受重力，相、0M繩上拉力B、MN上拉力

F）,由題意知，三個(gè)力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，人、尸2的夾角不變，在B

轉(zhuǎn)至水平的過(guò)程中，夫童三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張力尸?逐漸增大，OM

上的張力尸2先增大后減小，所以A、D正確，B、C錯(cuò)誤。

法二：正弦定理

根據(jù)正弦定理器伙=看而=高尢,與sin%保持不變，sin"變大，Q變大，sin。?先增

大后減小，尸2先增大后減小，故選A、Do

分析動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的流程

受力分化析“劫"為巴畫(huà)不同狀態(tài)下的受力平衡圖構(gòu)造矢量三角形

〃定性分析?根據(jù)矢量三角形邊長(zhǎng)關(guān)系確定矢量的大小變化

“靜”中求“動(dòng)”一＜.三角函數(shù)關(guān)系

定量計(jì)算

正弦定理f找關(guān)系求解

、相似三角形

V

又達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)居=〃八4,

聯(lián)立以上各式解得〃=乎，可知支架和地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為坐，故選D。

【例5】如圖所示，質(zhì)量，〃=5.2kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力/作用下，

向右以御=2.0m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。已知金屬塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)4=02g=

10m/s2o求所需拉力小的最小值。

答案2^/26N

解析設(shè)拉力與水平方向央角為仇根據(jù)平衡條件有凡os（〃出一Rin〃），整理得cus夕+

"sin71+/z-sin(?+0)=^T(中sin『小十認(rèn)當(dāng)。=^一。時(shí)尸最小，故所需拉

力尸的最小值用血=不篝7=2"No

在力的方向發(fā)生變化的平衡問(wèn)題中求力的極小值時(shí)，一般利用三南函數(shù)求極值。也可利用“摩

擦角”將四力平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡，從而求拉力的最小值。例如：如圖所示，物體在拉力F

作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，改變〃大小，求拉力的最小值時(shí)，可以用支持力與摩擦力的合力F'

代替支持力與摩擦力，凡nin=，?gsin/其中心與R的合力「方向一定，“摩擦角”。滿足

F

tan9=瓦{。

課時(shí)精練

IC基礎(chǔ)落實(shí)練

1.（2023?江蘇南京市模擬）如圖甲所示，筆記本電腦支架一般有多個(gè)卡位用來(lái)調(diào)節(jié)角度，某人

將電腦放在該支架上，由卡位4緩慢調(diào)至卡位1（如圖乙），電腦與支架始終處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài),

則（）

A.電腦受到的支持力變大

B.電腦受到的摩擦力變大

C.支架對(duì)電腦的作用力減小

D.電腦受到的支持力與摩擦力兩力大小之和等于其重力大小

答案A

解析根據(jù)題意，電腦始終處于平衡狀態(tài)，對(duì)電腦受力分析，如圖所示，由平衡條件可得,

電腦受到的支持力大小為FN=GCOSJ

電腦受到的摩擦力大小Ff=Gsin0

由卡位4緩慢調(diào)到卡位I,。減小，故廠N增大，6減，卜,故B錯(cuò)誤，A正確。

支架對(duì)電腦的作用力即為電腦受到的支持力與摩擦力的合力，支持力與摩擦力的合力大小等

于電腦的重力，保持不變，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”可知，電腦受到的支桿力與

摩擦力兩力大小之和大于其重力大小，C、D錯(cuò)誤。

2.（2023?川東煙臺(tái)市模擬）如圖所示，用一個(gè)質(zhì)量不計(jì)的網(wǎng)兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的4

點(diǎn)，足球與墻壁的接觸點(diǎn)為8。若只增大懸繩的長(zhǎng)度，足球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，關(guān)于懸繩對(duì)

球的拉力F和墻壁對(duì)球的支持力FN,下列說(shuō)法正確的是（）

A.尸和尸N都增大B.F增大,A減小

C.F減小,尸N增大D.產(chǎn)和人的合力不變

答案D

解析對(duì)球受力分析，由平衡條件得懸繩對(duì)球的拉力滿足Ros。=，心，墻壁對(duì)球的支掙力滿

足tan。=德，所以當(dāng)增大懸繩的長(zhǎng)度時(shí)，夾角夕減小，則cos。增大，tan夕減小，所以尸和

產(chǎn)N都減小，故A、B、C錯(cuò)誤；因?yàn)樽闱蚴冀K保持靜止?fàn)顟B(tài)，所以尸和樂(lè)的合力始終與預(yù)?

等大反向，故D正確。

3.（2024.重慶市渝中區(qū)期中）如圖中所示，用瓦片做屋頂是我國(guó)建筑的特色之一。鋪設(shè)瓦片時(shí)，

屋頂結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為圖乙所示，建筑工人將瓦片輕放在兩根相互平行的槐條正中間，若瓦片能

始終靜止在樵條上。已知楝條與水平面夾角均為仇瓦片質(zhì)量為，〃，楝條間距離為d,重力加

速度為g,下列說(shuō)法正確的是（）

A.瓦片共受到4個(gè)力的作用

B.楝條對(duì)瓦片作用力方向垂直楝條向上

C.緩慢減小楝條的傾斜角度0時(shí)，瓦片與楝條間的摩擦力變大

D.緩慢增大槐條間的距離d時(shí)，兩根槐條對(duì)瓦片的彈力都增大

答案D

解析瓦片受重力、兩根裸條的支持力和摩擦力，共5人力，A錯(cuò)誤；楝條對(duì)瓦片作用力應(yīng)

為支持力與摩擦力的合力，方向豎直向上，B錯(cuò)誤；摩擦力等于〃zgsin。，減小梯條的傾斜角

度。時(shí)，摩擦力減小，C錯(cuò)誤；襟條對(duì)瓦片的兩個(gè)彈力等大，合力等于"噌cos仇當(dāng)增大襟條

間的距離d時(shí)，兩彈力與豎直方向的夾角增大，則兩彈力增大，D正確。

4.（2024.云南省聯(lián)考）如圖所示，晾曬衣服的繩子（可視為輕繩）固定在兩根豎直桿A、B上，繩

子的質(zhì)量及衣架掛鉤之間的摩擦均可忽略不計(jì)，衣服處于靜止?fàn)顟B(tài)。保持A桿及A桿上繩子

的結(jié)點(diǎn)位置不動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若保持繩子的長(zhǎng)度、繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，將B桿緩慢向右移動(dòng)，繩子上的拉力大小

逐漸減小

B.若保持繩了的K度、B桿的位置不變，將繩了與B桿的結(jié)點(diǎn)緩慢向上移動(dòng)，繩了上的拉

力大小逐漸增大

C.若保持繩子的長(zhǎng)度、B桿的位置不變，將繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)緩慢向下移動(dòng)，繩子上的拉

力大小保持不變

D.若保持繩與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，只改變繩子的長(zhǎng)度，繩子上的拉力大小可能保持不變

答案C

解析若保持繩子的長(zhǎng)度、繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)不變，將B桿緩慢向右移動(dòng)，繩子與豎直方向

之間的夾角增大，繩子上的拉力逐漸增大，故A錯(cuò)誤：若保持繩子的長(zhǎng)度、B桿的位置不變，

只移動(dòng)繩子與B桿的結(jié)點(diǎn)，繩子與豎直方向之間的夾角保持不變，繩子上的拉力保持不變，

故B錯(cuò)誤，C正確；若只改變繩子的長(zhǎng)度，則繩子與豎立方向之間的夾角一定隨之改變，繩

子上的拉力一定改變，故D錯(cuò)誤。

5.（2023?寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)模擬）如圖所示，某健身者右手拉著抓把沿水平方向從圖示位置8

緩慢移動(dòng)到位置A,不計(jì)繩子質(zhì)量，忽略繩子和重物與所有構(gòu)件間的摩擦，A、B、重物共面,

則重物上升過(guò)程中（）

A.繩子的拉力逐漸增大

B.該健身者所受合力逐漸減小

C.該健身者對(duì)地面的壓力逐漸減小

D.該健身者對(duì)地面的摩擦力逐漸增大

答案D

解析由題意可知，重物后健身者一直處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，健身者所受合

力等于零，繩上的拉力大小不變，其大小等于重物的重力機(jī)g,A、B錯(cuò)誤；對(duì)健身者受力分

析，如圖所示，由平衡條件可知，在豎直方向，則有尸rsinJ+Fx=Mg,又有Fr=〃?g,可得

尸N=M&一〃吆sin仇在水平方向，則有臼85。=心當(dāng)從8緩慢移到4時(shí)，。角逐漸變小，

地面對(duì)健身者的支持力逐漸變大，地面對(duì)健身者的摩擦力逐漸變大，由牛頓第三定律可知，

健身者對(duì)地面的壓力逐漸增大，健身者對(duì)地面的摩擦力逐漸增大，C錯(cuò)謾，D正確。

6.（2023?廣東梅州市質(zhì)檢）在水平外力戶(hù)的作用下，A、B兩個(gè)圓柱體按如圖所示的方式分別放

在水平地面、靠在豎直墻面，將A緩慢向右移動(dòng)一小段晅離（B未與地面接觸），不計(jì)一切摩

擦，則在此過(guò)程中，關(guān)于水平地面對(duì)A的彈力尺|、豎直墻面對(duì)B的彈力人2,下列說(shuō)法正

確的是（）

A.尸NI不變，尸N2變大B.「NI變小，產(chǎn)N2變大

C.尸NI變大，尸N2變小D.不變，尸N2變小

答案A

解析以圓柱體B為研究對(duì)象,分析受力如圖所示

FN2

2

當(dāng)將A緩慢向右移動(dòng)一小段距離，R與豎直方向的夾角增大，由圖看出墻對(duì)B的彈力K2

增大；以圓柱體A、B整體為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件，在豎直方向有尸NI=（〃?A+〃?B）g,當(dāng)

將A緩慢向右移動(dòng)一小段距離，水平地面對(duì)A的彈力網(wǎng)】不變，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

7.如圖所示，物體甲放置在水平地面上，通過(guò)跨過(guò)光滑定滑輪的輕繩與小球乙相連，整個(gè)系

統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)對(duì)小球乙施加一個(gè)水平力F,使小球乙緩慢上升一小段距離，整個(gè)過(guò)程

中物體甲保持靜止，甲受到地面的摩擦力為R,則該過(guò)程中（）

6乙案

A.a變小，F(xiàn)變大B.R變小，尸變小

C.K變大，尸變小D.Ff變大，尸變大

答案D

解析以小球乙為研究對(duì)象受力分析，設(shè)繩與豎直方向的夾角為a,根據(jù)平衡條件可得，水

平拉力”=/〃giana,夾角a逐漸增大，則水平拉力廠逐漸增大，繩子的拉力為“T=瓷，

故繩子的拉力逐漸增大；以物體甲為研究對(duì)象受力分析，根據(jù)平衡條件可得，物體甲受到的

地面的摩擦力與繩子拉力水平方向的分力等大反向，F(xiàn)尸F(xiàn)T8s8=華且逐漸增大，故選

cosa

Do

10’能力綜合練

8.制作木器家具時(shí)，工人師傅常在連接處打入木楔，如圖所示，假設(shè)一個(gè)不計(jì)重力的木楔兩

面對(duì)稱(chēng)，頂角為a，豎直地被打入木制家具縫隙中。已知接觸面的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，且最大

靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力°要使木楔能自鎖而不會(huì)自動(dòng)滑動(dòng)，a與〃應(yīng)滿足（）

A.//>(an5B./7>tana

tan5

答案A

解析由于存在對(duì)稱(chēng)性，僅對(duì)木楔的一個(gè)側(cè)面受力分析，如圖所示，當(dāng)木楔能自鎖而不會(huì)自

動(dòng)滑出時(shí)，一定滿足尸NsinT</ZFNCOS整理得//>tanT,故選A。

9.如圖所示，豎直面內(nèi)固定一光滑大圓環(huán)軌道，0為圓心，在大圓環(huán)軌道最高點(diǎn)A固定一個(gè)

光滑的小滑輪，一輕繩繞過(guò)小滑輪，一端連接套在大圓環(huán)軌道上的小球，用力尸拉輕繩另一

端，在小球從8點(diǎn)緩慢上升到C點(diǎn)的過(guò)程中，有（）

A.拉力〃逐漸增大

B.拉力〃先減小后增大

C.小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力大小保持不變

D.小球?qū)Υ髨A環(huán)軌道的壓力先增大后減小

答案C

解析對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖所示，根據(jù)相似三角形法可得磊=言=鬻

在小球從5點(diǎn)緩慢上升到C點(diǎn)的過(guò)程中，重力大小、方向均不變，/W變小，04、。8不變，

則拉力尸逐漸減小，大圓環(huán)軌道對(duì)小球的支持力小大小不變，由牛頓第三定律知小球?qū)Υ?/p>

圓環(huán)軌道的壓力大小保持不變，故選C。

10.（2024?重慶市七校開(kāi)學(xué)考）小李發(fā)現(xiàn)小區(qū)的消防通道被一質(zhì)量為〃?的石墩擋住了，為了移開(kāi)

石墩小李找來(lái)一根結(jié)實(shí)的繩子，將繩的一端系在石墩上，雙手緊握繩的另一端用力斜向上拖

拽石墩。設(shè)繩子與水平方向的夾角為仇小李對(duì)繩施加的最大拉力為0.6叫，g為重力加速度,

石墩與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為W，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。則卜列說(shuō)法正確的

是（）

A.無(wú)論。取何值，小李都不可能拖動(dòng)石墩

B.小李能拖動(dòng)石墩，且當(dāng)夕=?忖最省力

C.小李能拖動(dòng)石墩，且當(dāng)6=方時(shí)最省力

D.小李能拖動(dòng)石墩，且當(dāng)。=；時(shí)最省力

答案C

解析對(duì)石墩進(jìn)行受力分析如圖所示

V

F、.F

x

mg

FeosO=ftF^

FN+FSIO6=mg

解得2尸(坐cos夕+gsin。)=〃7g

即產(chǎn)=—等一，可解得，當(dāng)夕=聿時(shí)，尸最小為0.5g故小李能拖動(dòng)石墩，且當(dāng)夕=看時(shí)最

2sin(1+0)

省力，故選C。

11.(2023?江蘇揚(yáng)州市質(zhì)檢)如圖所示，在質(zhì)量為加的物塊甲上系著兩條細(xì)繩，其中長(zhǎng)30cm的

細(xì)繩另一端連著輕質(zhì)圓環(huán)，圓環(huán)套在水平棒上可以滑動(dòng)，圓環(huán)與棒間的動(dòng)摩擦因數(shù)"=0.75。

另一細(xì)繩跨過(guò)光滑定滑輪與重力為G的物塊乙相連，定滑輪固定在距離圓環(huán)50cm的地方，

系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，CM與棒的央角為仇兩繩央角為色當(dāng)G=6N時(shí)，圓環(huán)恰好開(kāi)始滑動(dòng)。

最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,j?=10m/s2,sin370=0.6,cos37°=0.8o求：

(1)04繩與棒間的夾角〃：

(2)物塊甲的質(zhì)量

答案(1)53°(2)1kg

解析(1)當(dāng)圓環(huán)恰好要開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，設(shè)此時(shí)水平棒對(duì)圓環(huán)的支持力大小為F