2.9函數(shù)的圖象

I.會用描點法及圖象的平移規(guī)律畫簡單的函數(shù)圖象.

2.能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)辨識函數(shù)圖象，能根據(jù)實際問題辨識函數(shù)圖象.

3.會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式解集的問題.

陞備知識回顧自土學(xué)習(xí),基班回扣

教材回扣

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先①確定函數(shù)的定義域，②化簡函數(shù)解析式，③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周

期性、對稱性等)：然后列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交

點等)，描點，連線.

2.函數(shù)圖象的變換

(1)平移變換

11y-/（工）+A

左右平移僅僅對x而言，利用''左加右減”進行操作，若x的系數(shù)不是1，需要先把系

數(shù)提出來，再進行操作.

上下平移是對y而言，利用“上加下減”進行操作.

(2)對稱變換

Ga關(guān)于X軸對稱

①尸危)-----*y=~/U)?

關(guān)于y軸對稱

@y=M-----*y=/(-A)；

關(guān)于原點對稱

③尸外)------尸一/(一X)；

④),=d(a>0,且啟1)關(guān)―—強稱v=lozm>0).

(3)翻折變換

G、保留x軸上方圖象一〃

①/=/U)將x軸卜方圖象翻折上去>=欣刈：

e、保留、軸右攻圖象.，并作其關(guān)于，軸一…、

3—於）對稱的圖象，），軸左邊圖象去掉D'一丸⑼?

（4）伸縮變換

。>1,橫坐標(biāo)縮短為原來的:倍

?y=fix)—-----?y=Ara）；

0<?<1,橫坐標(biāo)伸氏為原來的，倍

縱坐標(biāo)伸長為原來的〃倍

?y=fix)0<〃<1,縱坐標(biāo)縮短為原來的。倍‘）'一曲,

基礎(chǔ)檢測?！?/p>

1.判斷（正確的畫“J”，錯誤的畫“X”）

（1）當(dāng)x￡（o,+8）時，函數(shù)），=雙。|與），=<H）的圖象相同.（X）

（2）函數(shù)y=/U—x）的圖象，可由y=/（一%）的圖象向左平移1個單位長度得到.（X）

（3）函數(shù)y=0U）與），=/（詞30且的圖象相同.（X）

（4）函數(shù)>=/"?）與），="/U）的圖象關(guān)于原點對稱.（X）

2.（人教A版必修第一冊P140T6改編）向如圖放置的空容器中勻速注水，宜至注滿為

止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水面的高度與時間的函數(shù)關(guān)系的是（C）

解析：由于容器上粗下細(xì)，所以勻速注水的過程中，高度的增長會越來越慢，只有C選

項的圖象符合條件.故選C.

Iv*—11

3.（人數(shù)B版必修第二冊P52T3改編）函數(shù)危）=，」的圖象為（D）

AB

lx2—111（—X）2—1|lx2-1|

解析：函數(shù)以0=不一的定義域為3x*°｝，且八一力=-F-=-="=一式外，

|A2-1|X1—11\

函數(shù)於）為奇圜數(shù)，故A錯誤；當(dāng)m時，風(fēng)D=-=一1=如一1，函數(shù)單調(diào)遞增，

故B,C錯誤.故選D.

4.為了得到函數(shù)y=lg志的圖象，只需把函數(shù)），=愴工的圖象上所有的點（D）

A.向左平移2個單位長度

B.向右平移2個單位長度

C.向上平移2個單位長度

D.向下平移2個單位長度

V

解析：函數(shù)y=lgT話化為y=lgx—2,顯然把函數(shù)y=lgx的圖象向下平移2個單位長

度即得y=lg工一2的圖象，所以為了得到函數(shù)y=lg志的圖象，只需把函數(shù)y=lgx的圖象

上所有的點向下平移2個單位長度.故選D.

母鍵能力提升互動探究?考點精講

考點1作函數(shù)的圖象

[例1]作出卜列函數(shù)的圖象：

⑴尸㈤；

（2）y=|Iog2（A+l）|:

（3）y=AT—2|x|—1.

【解】（1）先作出）=（；）'的圖象，保留），=（；）'圖象中的部分，再作出），=（；）'的

圖象中心6部分關(guān)于,，軸的對稱部分，即得）,=（力）的圖象，如圖1實線部分.

（2）將函數(shù).y=logM的羽象向左平移1個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,

即可得到函數(shù)y=|log2（x+l）|的圖象,如圖2.

AB

【解析】J(x)=-x2+(e*-e-r)sinx,則人一x)=—(一女產(chǎn)+化―”-e'Asin(-x)=—.r+(ev

-A

—e)sinx=J(x))故./(x)為偶函數(shù)，故A,C錯誤；貫1)=-1+?—e")sin1>—1+(e-：)sin

聿芍一1一齊；一表>0,故D錯誤，B正確.故選B.

(2)(2024?陜西西安二模)已知函數(shù)/U)的圖象如圖所示,則函數(shù)凡丫)的解析式可能為(B)

A.f(x)=cos2.v-(e'—eA)

B./(x)=sinZvln

C.J(x)=

D./U)=fn舌

【解析】對于A,函數(shù)/(x)=cosZMe'―的定義域為R,而題設(shè)函數(shù)的圖象在自變

爐+e一x

量為。時無意義，不符合題意，排除；對于C,當(dāng)Q0時，府)=--~X),不符合圖象，排

人

除；對于D,當(dāng)Q0時，危)=5ln號?n/lnF-ln(F+l)]<0,不符合圖象，排除.故選

B.

/規(guī)律總結(jié)k

I.抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢.

(3)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

2.抓住函數(shù)的特征,定量計算

利用函數(shù)的特殊點、特殊值的計算，分析解決問題.

【對點訓(xùn)練2】（1）（2024?天津和平區(qū)一模）函數(shù)八丫）=冷下的圖象大致是（B）

r'l*乙

解析：???yu）的定義域為R,火-x）=I_對_?=一左方=一人幻,，益）為定義在R上的奇

I川TN\X\~V￡

r33^（x4-2）—A3

函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，C錯誤；當(dāng)A-＞0時，貝力=工，\f（x）='=

人I41人IL）2

ZrCv+S）

元〉0,./U）在（。,+8）上單調(diào)遞增，A,D錯誤，B正確.故選B.

I乙）

（2）（2024.浙江臺州一模）函數(shù)y=/（x）的圖象如圖1所示，則如圖2所示的函數(shù)圖象所對應(yīng)

的函數(shù)解析式可能為（A）

A.尸小一%)

C.y=/4-2x)D.y=~fi4~2.K)

解析：由題圖1知，川）=0,且當(dāng)Q1時，凡。＞0,由題圖2知，圖象過點（0,0）,且當(dāng)

xvO時，j＞0,對于C,當(dāng)x=0時，y=A4）＞0,C不可能；對于D,當(dāng)x=0時，），=一44）＜0,

D不可能；對于A,當(dāng)x=0時，），=川）=0,而當(dāng)NO時，1~^x＞\,則小一，）＞0,A可能；

對于B,當(dāng)x=0時，＞'=-y（l）=0,而當(dāng)x＜0時，1—5＞1,則一（1一%10,B不可能.故

選A.

考點3函數(shù)圖象的應(yīng)用

命題角度1利用函數(shù)的圖象解不等式

[例3]已知定義在R上的奇函數(shù)凡0在|0,+8）上的圖象如圖所示，則不等式

的5）＞水工）的解集為（C）

A.(一6，0)U柩2)

B.(-8,-2)U(2,4-00)

C.(一8,一2)“(一.區(qū)O)IJ(62)

D.(-2,一柩U(0,y[2)U(2,+~)

[解析]根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出.4)在(一8,0)上的圖象如圖所示，由,

JT—2>0,f一2<0,

得(/一2求不)>0,等價于或〈解得K-2,或走<x<2,或一/WO.

l/x)>0.")<0,

故不等式解集為(一8,一2)U(一也，0)U(<2,2).故選C.

命題角度2利用函數(shù)的圖象求參數(shù)的取值范圍

一/+4丫，xW1,

【例4】(2024?北京昌平區(qū)二模)已知函數(shù)凡0=,,二['若對任意x￡R都

In(x—1)?x>l.

有貝制2公，則實數(shù)”的取值范圍是(B)

A.(一8,0]B.[-4,0]

C.[-3,0]D.(-8,2]

—1+4x,啟1,

【解析】因為於)=4，-,

In(x—1),x>\,

令g(x)=|/U)|,作出以幻的圖象，如圖所示，令人(幻=如，由圖知，要使對任意x￡R都

3?=^7—4x,

有l(wèi)/(x)|2av,則必有aWO,當(dāng)xWO時，)，=r—4x,由彳消去)，得到x2—(4+a)x

[尸or,

=0,由4=0,得到(4+。2=0,即〃=-4,由圖可知一4WqW0.故選B.

規(guī)律總結(jié)k

1.當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對應(yīng)函數(shù)的圖象可作

出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

2.利用圖象求參數(shù)時，要準(zhǔn)確分析函數(shù)圖象的特殊點，借助函數(shù)圖象，把原問題轉(zhuǎn)化為

數(shù)量關(guān)系較明確的問題.

【對點訓(xùn)練3】⑴已知函數(shù)危)=21—彳一1,則不等式/U)>0的解集是(D)

A.(-1,1)

B.(一8,-1)U(1,4-oo)

C.(0,1)

D.(—8,O)U(1,+8)

解析：因為人幻=2，一x—1,所以人x)>()等價于2*>a+1,在同一直角坐標(biāo)系中作出y=

2T和y=x+1的圖象如圖所示.

兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為(0,1),(I,2),不等式2、*+1的解為x<0或x>l.所以不等式

段)>0的解集為(一8,O)U(1,+8).故選D.

(2)設(shè)函數(shù)啟)的定義域是R.滿足次丫+1)=外)，且當(dāng)x￡(0,I]時，若對

任意+°°)?都有,也)2—/，則機的取值范圍是(D)

A

-[-l+8)B.[T+8)

C.—+0°1D.—+8)

解析：因為函數(shù)人幻的定義域是R,滿足孫+1)=｛。，所以4r+l)=1/(x),且當(dāng)人￡((),

2

1］時，段)=Q-1)=(工一9-1,0,當(dāng)x￡(—l,0］時，0<x+K1,則/)=?/U+

l)e|_-2,Oj,當(dāng)x￡(—2,—1］時，-1<K+1W0,則大0=2/(工+1)￡［—1,0］,且當(dāng)(一

2,一1］時,0<x+2Wl,則/)=呢+1)=領(lǐng)%+2)=4(》+2)(1+1),令/)=4(x+l)(x+2)

845

=-g,解得x=-g或如圖所示.

84

因為對任意x￡【，叫-°°）,都有由圖可知，因此，實數(shù)/〃的取值

范圍是[一小+8）故選D.

課時作業(yè)14

▲jy基礎(chǔ)鞏固人

1.（5分）將函數(shù)y=log2（Zt+2）的圖象向下平移1個單位長度，再向右平移1個單位長度，

得到函數(shù)雙冷的圖象，則g（x）=（D）

A.Iog2（2v+1）-1B.log2（2v+l）+l

C.Iog2.v—1D.Iog2，v

解析：將函數(shù)y=log2（2x+2）的圖象向下平移1個單位長度，可得y=log2（2x+2）-1的

圖象，再向右平移1個單位長度，可得y=log2[2（x—l）+2]—l=log2（2x）—l的圖象，所以g（x）

=Iog2（2x）—1=log2.v.故選D.

2.（5分）（2024?遼寧大連三模）已知對數(shù)函數(shù)7U）=lo9用函數(shù)./U）的圖象上所有點的縱坐

標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的3倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，再將以幻的圖象向上平移2個單

位長度，所得圖象恰好與函數(shù)凡r）的圖象重合，則。的值是（D）

3R2

A.2D?3

g

C.D.小

3

解析：因為將函數(shù)yu）的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的3倍，得到

函數(shù)g（x）的圖象，所以g（K）=1。&3,即g（x）=loguX—log,s,將g（x）的圖象向上平移2個單位

長度，所得圖象的函數(shù)解析式）=1。⑦1-10即3+2,因為所得圖象恰好與函數(shù)火幻的圖象重合,

所以一1。以3+2=0,所以次=3,又〃>0且々K1,解得〃=小.故選D.

ar+b,x<—1,

3.（5分）若函數(shù)段）=、?的圖象如圖所示，則五一3）=（C）

In（X十ci）9x31

15

A---

?2B.4

D.

C—2

■-

[In(a-1)=0,fa=2,

解析：由題中圖象知Lc得?！?/p>

[b-a=3y仍=5,

2x+5,x<—1,

?\/U)=

ln(x+2),x^—\.

故.A—3)=5—6=-1.故選C.

4.（5分）（2024?湖南長沙二模）已知函數(shù)/U）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)次好的解析式

可能為（A）

2A2

人?兒0=一產(chǎn)T

C，^X)=~|x|-l

解析：由題圖可知，函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，故排除C;由題圖可知，函教的定

義域不是實數(shù)集，故排除B;由題圖可知，當(dāng)％f+8酎，）—一8,而對于D,當(dāng)入一十8

時，）一0,故排除D.故選A.

3xWO,

5.（5分）已知函數(shù)/3=1|g（x）=~/U），則函數(shù)g（x）的圖象是（D）

一—，A>0,

X

解析：因為儀工）=一流外，所以g（x）圖象與人幻的圖象關(guān)于X軸對稱，由人X）解析式，作出

/U）的圖象如圖.從而可得g（x）的圖象為D.故選D.

6.(5分)已知函數(shù)產(chǎn)一/(x)的圖象如圖所示，則不等式41。凹<0的解集為(D)

A.(1,4)U(16,+8)

B.(七加(1'+°°)

C.(0,4)U(16,+8)

D.(。，16)U(i')

解析：由題圖可知才,i￡(0,2)U(4,+8)時，一兀r)>0,即yu)vo,則《log20Vo等價

即司0,七)uQ，I).故選D.

于0<一log2X<2或—log2X>4,

2,\[xfx>0?

7.(5分)已知函數(shù)次幻=彳若加<〃，火〃。=貝，。，則〃一〃？的最小值為(D)

/+3,xWO.

5

-

4

3

Ac.-B.2

2D.

解析：畫出J(x)的圖象如圖所示，令人"，)=/(")=，，貝]0</W3,且一3〈〃忘0<〃，則2由=

p戶一4/4-12(/—2)2+8

ty〃?+3=f,所以〃=［且倒=f—3,所以〃一用=-------------------(Ov/W3),當(dāng)f=2時，

〃一切取得最小值2.故選D.

b+M+MxvO),

8.(5分)已知函數(shù)人￥)=，2、則)，=y*)(x￡R)的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點O

/GO)，

對稱的點共有(C)

A.0對B.I對

C.2對D.3對

2?+4x+l（x<0）,

解析：作出函數(shù)?x）={2的圖象，如圖中實線所示，則y=Ar）（x￡R）

的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點，即為當(dāng)xvO時，人工）=*+4尤+1的圖象關(guān)于原點對稱的函

數(shù)圖象（虛線）與），=卷的圖象的交點，

■2.X2+4X+1（A<0）,

由圖象可知，交點有2個，所以函數(shù)7（幻2的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點

去20）

對稱的點共有2對.故選C.

9.（10分）（多選）定義在R上的函數(shù)），=/5+1）的圖象如圖所示，它在定義域上是減的數(shù),

給出如下命題，其中正確的是（AD

A.火0）=1

B.1一1）=1

C.若Q0,則以）<0

D.若戈<0,則人幻>0

解析：由題設(shè)及圖知或-1）=人一2+1）/-1+1）=<0）=1,A正確，B錯誤；由圖象平

移關(guān)系得y=_/U）的圖象是將y=/U+l）的圖象向右平移一個單位長度得到，如圖，所以x>0,

兒v）符號有正有負(fù)；但X<0,一定有兒6>0,C錯誤，D正確.故選AD.

10.（10分）（多選）己知向量壽=（or,-1）,BC=（x-ax,1-x）,則函數(shù).及￥）=疝后的

大致圖象可能為（ABD）

解析：因為AC=AB+BC=（K,-A）,所以/（x）=ABAC=av2+x.當(dāng)a=0時，/（X）=K,A

正確；當(dāng)。＞0時，K6的零點為o和一（，且一&o,B正確，c錯誤；當(dāng)?＜o(jì)時，yu）的零點

為0和一5，且一方＞°，D王確.故選ABD.

II.（10分）（多選）關(guān)于函數(shù)/U）=|ln|2一刈，下列描述正確的有（ABD）

A.凡6在區(qū)間（I,2）上單調(diào)遞增

B.4r）的圖象關(guān)于直線X=2對稱

C.若曾片刈，人為）=犬工2），則XI+%2=4

D.凡6有且僅有兩個零點

解析：根據(jù)圖象變換作出函數(shù)於）的圖象如）=|ln|2-x||=|ln：一2||,作出y=lnx的圖象，

再作出其關(guān)于y軸對稱的圖象，然后向右平移2個單位長度，鼓后把x軸下方的部分關(guān)于x

軸翻折上去即可得），如圖，由圖象知人x）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，A正確；函數(shù)次x）6勺圖象

關(guān)于直線x=2對稱，B正確；設(shè)/（XI）=/（X2）=K直線），=%與函數(shù)/U）的圖象可能有4個交

點，如圖，如果最左邊兩個交點橫坐標(biāo)分別是為，為，則即+也=4不成立，C錯誤；的

圖象與工軸僅有兩個公共點，即函數(shù)人幻僅有兩個零點，D正確.故選ABD.

12.（5分）已知偶函數(shù)y=/U+l）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞減，則函數(shù)）=人大一1）的單調(diào)

增區(qū)間是（一8,2］.

解析：因為偶函數(shù)y=7U+l）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞減，所以），=人工+1）在區(qū)間（-8,

0］上單調(diào)遞增，又因為—1）=貝。-2）+1）,則函數(shù)7U—1）的圖象是由函數(shù)/（x+1）的圖象向

右平移2個單位長度得到的，所以函數(shù)7U—1）的單調(diào)增區(qū)間是（-8,2］.

]

13.(5分)已知函數(shù)人工)==7,函數(shù)g(x)滿足g(l—i)+g(l+x)=O,若火幻與g(x)的圖象

人1

有6個交點，則所有交點橫坐標(biāo)之和等于d

一1

解析：已知函數(shù)人t)=—7，繪制其圖象如圖.

XX

根據(jù)圖象易知函數(shù)??)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱；又函數(shù)g(.0滿足g(l—x)=-g(l+

x),易知g(x)的圖象也關(guān)于點(1,0)中心對稱.由于與式力的圖象均關(guān)于點(1,0)中心對稱,

可得兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點(1,0)中心對稱，設(shè)其交點分別為(即,yi),(x2,”)，,??,

(X6,.￥6),根據(jù)對稱性易知XI+K6=X2+X5=X3+X4=2,即得Xl+也+工3+g+的+工6=6.

14.(5分淀義一種運算min{a，,、設(shè)yU)=min{4+2x—『，|x—1|}Q為常

b(za>b),

數(shù))，且x￡[-3,3],則使函數(shù)《x)最大值為4的/值是-2或4.

解析：若y=4+2x—F在x￡[—3,3]上的鼓大值為4,則4+2x一r=4,解得x=2或x

=0,所以要使函數(shù)/U)最大值為4,則根據(jù)新定義，結(jié)合)，=4+2x-f與)，=&一/|的圖象(如

圖)可知，當(dāng)<1,x=2時：|2-r|=4,此時解得/=-2,當(dāng)/>1,工=0時，|0—/|=4,此時解

得/=4,故/=-2或f=4.

是素養(yǎng)提升、

15.(5分)(2024?陜西西安一模)已知函數(shù)火x)為偶函數(shù)，滿足於+2)=—總，且一2WxW0

時，匹)=-2,若關(guān)于x的方程/U)—log，x+l)=0至少有兩解，則a的取值范圍為

解析：由已知/+2)=-卷則於尸一版、，則以+2)=危-2),可知函數(shù)信)為

周期函數(shù)，最小正周期丁=4,又當(dāng)一2WxW0時，yu)=(W-2,可知函數(shù)凡I)的圖象如圖

所示，且"r)的值域為［-1,1］,關(guān)于工的方程九1)-108兒1+1)=0至少有兩解，