13.3.3等邊三角形的性質(zhì)與判定

夯實基礎篇

一、單選題：

1.下列說法錯誤的是（）

A.有兩邊相等的三角形是等腰三角形

B.直角三角形不可能是等腰三角形

C.有兩個角為60。的三角形是等邊三角形

D.有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形

2.如圖，A。是等邊三角形A3C的中線，AE=AD,貝J/EQC=（）度.

A.3()B.20C.25D.15

3.一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西4（）。的方向行駛40海里到達B地，再由B

地向北偏西20。的方向行駛40海里到達C地，則A、C兩地相距（)

B.40海里C.50海里D.60海里

4.如圖，ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E,使CE=CD，

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.NCED=30。B.ZBDE=\20°C.DE=BD

D.DE=AB

5.如圖，AB=AC，AE=EC=CD，ZA=6()C，若EF=2，則DF=()

6.如圖：等邊三角形ABC中，8O=CE,AD與BE相交于點P,則NAPE的度數(shù)是（）

二、填空題:

7.如圖，已知△八8C是等邊三角形，點、B、C、D、E在同一直線上，且CG-C￡>,DF

=DE,則NE=度.

8.如圖，"BC^^DEF為等邊三角形，其邊長分別為a,b,則的周長為

9.如圖，將邊長為5cm的等邊4ABC向右平移1cm,得到,A'3'C',此時陰影部分的

周長為cm.

10.如圖，點E是等邊AABC內(nèi)一點，且EA=E8,4WC外一點。滿足8Q=AC目.

8E平分NO8C,則/。=

D

11.已知：如圖，點E、尸分別在等邊三角形A8C的邊C8、AC的延長線上，BE=CF,

FB的延長線交AE于點G則ZAGB=

三、解答題:

12.如圖，△ABC是等邊三角形，。凡L/W,DE上CB,EFLAC,求證：△QEF是等邊

三角形.

13.如圖：已知等邊AABC中，。是AC的中點，石是BC延長線上的一點，且CE=CD,

DM1BC,垂足為M,求證：M是BE的中點.

14.如圖，已知等邊AABC,D,E分別在BC、AC上，且BD=CE,連接

BE、AO交尸點.求證：ZAFE=6()

15.如圖所示：^ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的

一點，且BD=CE，連接OE1交BC于點M.

求證：MD=ME

能力提升篇

一、單選題：

1.如圖，點P在邊長為1的等邊aABC的邊A3上，過點P作PE_LAC于點￡0為

8c延長線上一點，當B4=C。時，連PQ交AC邊于。，則OE的長為（）

D.不能確

定

2.如圖，點尸是NA08內(nèi)任意一點，0P=6cm,點M和點N分別是射線04和射線08

上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm,則NAOB的度數(shù)是（）

B

3.如圖，已知：/MON=30。，點A、4、A-……在射線ON上，點4、

B2、By……在射線0M上，AAMA2、.A/2A3、AA/3A4……均為等邊三

角形，若。4=1,則AA（HXB2018A（＞19的邊長為（）

M

A.2017B.2018C,22017D.230'8

4.如圖所示，C為線段AE上一動點（不與點4,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊A4BC

和等邊△CQE,A。與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,

OC.以下五個結(jié)論:①△ACOdBCE；②△AOCdBQC;③△APC/ABOC;?LDPC

g△EQC;⑤NAO8=60。.其中正確的是（）

A.①②③④⑤B.①④⑤C.①④D.①③④

二、填空題：

5.如圖，等邊△ABC邊長為10,P在A8上，Q在延長線，CQ=PAf過點P作PE

_LAC點E,過點。作片"/BQ,交4C邊于點凡連接。。交4c于點，則DE的長

為.

6.如圖，等邊aABC的周長為18cm,8。為AC邊上的中線，動點尸，。分別在線段

BC,8。上運動，連接CQ,PQ,當BP長為cm時，線段CQ+PQ的和為最

小.

A

7.如圖ZiABC中，NB4C=78。，AB=AC,P為AABC內(nèi)一點,連8P,CP,使NP8U9。,

ZPCB=30°,連辦，則NB4P的度數(shù)為.

3C

三、解答題：

8.如圖1,/VICB和ADCE均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接8￡。

(1)求證：△ACO絲ABCE：

(2)求NAE8的度數(shù)；

(3)如圖2,AACB和△OC石均為等腰直角三角形，且N4C8=NOCE=90。，點A、

。、E在同一直線上，CM為△QCE中。E邊上的高，連接請判斷NAE8的度數(shù)及

線段CM、AE.AE之間的數(shù)量關系，并說明理由。

9.如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、8c為邊在線段AB

的同旁作等邊“CO和等邊△阮)E,連接AE交。C于M,連接8。交CE于N,連接

MN.

D

13.3.3等邊三角形的性質(zhì)與判定

夯實基礎篇

一、單選題：

1.下列說法錯誤的是()

A.有兩邊相等的三角形是等腰三角形

B.直角三角形不可能是等腰三角形

C.有兩個角為60。的三角形是等邊三角形

D.有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形

【答案】B

【知識點】等腰三角形的判定；等邊三角形的判定

【解析】【解答】解：A、有兩邊相等的三角形是等腰三角形，所以A選項正確;

B、等腰自.角二角形就是等腰二角形，故B選項錯誤；

C、有兩個角為60。的三角形是等邊三角形，所以C選項正確；

D、有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形，所以D選項正確.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理對A作判斷；等腰三角形包含等腰直角三角形；根

據(jù)等邊三角形的判定定理對CD作判斷.

2.如圖，4。是等邊三角形A8C的中線，AE=AD,則NEOC;()度.

A.30B.20C.25D.15

【答案】D

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】?:△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,N/MC=NC=60。，

???A。是zUBC的中線，

AZDAC=-ZBAC=30°,ADLBC,

2

Z/4DC=90°,

*：AE=AD,

180C—N84C180?！?0。

，ZADE=ZAED==75°,

~2~

ZEDC=ZADC-ZADE=90°-75°=15°.

故答案為：D.

【分析】由等邊三角形的各個內(nèi)角都是60。，再根據(jù)三線合一得到NDAC的度數(shù)，再根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NEOC的度數(shù).

3.一艘綸船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40。的方向行駛40海里到達H地，再由8

地向北偏西20。的方向行駛40海里到達C地，則A、C兩地相距()

A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里

【答案】B

【知識點】鐘面角、方位龜；等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】依題可得：ZABC=600,AB=BC=40,

△A8C是等邊三角形，

：.AC=AB=BC=40（海里），

故答案為：B.

【分析】根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形，得出△人AC是等邊三角形,

再由等邊三角形的性質(zhì)得出AC的長度即可.

4.如圖，.ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E,使CE=CD,

則下列結(jié)論錯售的是（）

A./CED=30。B.ZBDE=120°C.DE=BD

D.DE=AB

【答案】D

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：?.?AA8C是等邊三角形，

，ZA^C=ZACB=60°,

,?,8。是AC上的中線，

AADB=ZCD^=90°,NA8O=ZCBD=30°,

ZACB=NCDE+NDEC=6（）。，

又CD=CE,

AZCZ）E=ZCED=30°,

：?NCBD=NDEC,

:?DE=BD,NBDE=NCDB+NCDE=12。。,

故A、B、。均正確.

故答案為：D.

【分析】利用等邊三角形性質(zhì)得NAAC=NACB=60。，/AQB=/CQ8=90。；ZABD=

NCBD=30。,再利用三角形的外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得到NCOE=NC￡。

=30°,可對A作出判斷；由此可推出NCaXNDEC,同時可求出N3OE的度數(shù)，可

對8作出判斷；利用等角對等邊可證得。E=O8,可對。作出判斷；不能證明。成A8,

可對。作出判斷.

5.如圖，AB=AC,AE=EC=CD,ZA=60c，若EF=2，則DF=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】AB=AC,ZA=60°,???AA8C是等邊三角形，

又?：AE=EC，AZAEB=90°,ZABE=ZDBE=30°,

0

VZACB=60°fEC=CD,ZCED=ZCDE=3O,

：.ZAEF=30°,；?NFEB=60。,AZBFE=90°,

VEF=2,；.BE=4,

NDBE=ZCDE=30°：.ED=BE=4,

DF=ED+EF=6,

故答案為：D.

【分析】由AB=AC.ZA=60°得到小叱是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)

和AE=EC=CD,推出6石=4,再由/￡>S￡=/COE=3()°,推出石=4,從而求

出。尸的長度.

6.如圖：等邊三角形ABC中，BD=CE,AD與BE相交于點P,則ZAPE的度數(shù)是()

【答案】C

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???等邊△A8C

:2ABD=/C,AI3=I3C,

AB=BC

在△48。與ABCE中，,/A8O=NC,

BD=CE

,MABDWABCE(SAS),

：.ZBAD=ZCBE,

,?NABE+NE8O60。，

???ZABE+ZBAD=60°f

:?NAPE=NABE+NBAD=600,

：.ZAPE=60°.

故選C

【分析】根據(jù)題目已知條件可證△ABQgABCE,再利用全等三角形的性質(zhì)及三角形外

角和定理求解.

二、填空題：

7.如圖，己知△ABC是等邊三角形，點8、C、D、E在同一直線上，且CG=CO,DF

=DE,則NE=度.

【答案】15

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：??,AA8C是等邊三角形，

AZACB=60°,Z/1CD=120°,

VCG=CD,

AZCOG=30°,NFDE=150。,

?:DF=DE,

AZE=15°.

故答案為：15.

【分析】根據(jù)題意可知，NAC8為三角形GCO的一個外角，根據(jù)三角形GCO為等腰

三角形，即可求得NFOC為30。，同理可得即可得到/七二15。。

8.如圖，4ABC與aOEF為等邊三角形，其邊長分別為a,b,MAAEF的周長為

B

DC

【答案】a+b

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定(AAS)

【解析】【解答】解：???A48C與為等邊三角形

AZA=ZB,EF=DF

?：ZBFD+ZBDF=\20°,ZBFD+ZAFE=\20°

:?/BDF=ZAFE

:?&AEF冬/XBFD(A4S)

：,AF=BD,AE=BF

???AAEFM)^=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b.

故答案為：a+〃.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得N4=NA,E尸=。凡推出//?。尸=/4尸E,證明AAE"

^△BFD,得到A/=8。，AE=BF,據(jù)此解答.

9.如圖，將邊長為5cm的等邊AMC向右平移1cm,得到此時陰影部分的

周長為cm.

【答案】12

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)

【解析】【解答】ABC為等邊三角形，

AB=BC=5cm,N8=ZAC3=60。，

?等邊向右平移kwi得到,?A'B'C,

.-.ZA,B'C'=ZB=60°,BB'=lcm,

.-.ZA,B,C,=ZACB=60°,B'C=BC-BB'=5-1=4cm,

二?陰影部分為等邊三角形，

???陰影部分的周長為3x4=12(cm).

故答案為：12.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=8C=5C〃7,N5=NAC8=60。由平移的性質(zhì)

可得NA'B'。=NB=60。=\cm，從而得出AAB'C'=ZACB=60°，

B'C=BC—BB'=4cm,即得陰影部分為等邊三角形，從而求出結(jié)論即可.

1().如圖，點石是等邊ZsABC內(nèi)一點，且EA=E8,zsABC外一點。滿足BO=AC且

BE平分NDBC,則/。=.

【答案】300

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)：等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】連接CE，

???ZkABC是等邊三角形，

在△8C￡馬”。片中，

AC=BC

<AE=BE

CE=CE

：.LBCE^/\ACECSSS)

???/BCE=N4CE=30。

,:BE平分/DBC,

???/DBE=NCBE,

在ABDE與ABCE中,

BD=BC

<NDBE=NCBE

BE=BE

:.入RDFq^RCE(SAS),

???NBDE=NBCE=30。.

【分析】連接CE,先利用SSS證明△BCEg△4CE,得至ijN8CE=NACE=30。，再利用

SAS證明得出NO=N8CE,即可求用N。的度數(shù)。

II.已知：如圖，點E、尸分別在等邊三角形48c的邊C8、AC的延長線上，BE=CF,

FB的延長線交AE于點G則N4G8=.

【答案】60°

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???AA8C為等邊三角形，

；?AB=BC,

?；BE=CF,

:ZABE=ZBCF=180°-60°=120°,

:,^ABEq/\BCE(SAS),

：?NGEB=NF,

???NAGB=/GEB+NGBE=NF+NCBF=NACB=60。.

故答案為:60°.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得邊和角相等，利用邊角邊定理可證△AM々ABCR則

對應角NGEB=NF,利用三角形外角的性質(zhì)把NAG8轉(zhuǎn)化成//和N8尸C之和，則可

知其值為60°.

三、解答題：

12.如圖，4ABC是等邊三角形，DFLAB,DEA,CI3,EFLAC.求證：△OE/7是等邊

三角形.

【答案】解：???△ABC是等邊三角形,

；?AB=AC=BC,NA8c=/AC8=NCA8=60°,

?：DF±AB,DE1CB,EFLAC,

???ZDAB=ZACF=ZCBE=90°,

JZFAC=ZBCE=ZDBA=30°,

，ZD=ZE=ZF=90°-30*60°,

:?DF=DE=EF,

???△DEF是等邊三角形.

【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，邊相等及三個角等于60。，再根據(jù)三角形的內(nèi)

角和等于180。得到DF=DE=EF,再判斷△。夕'是等邊三角形，進行作答即可。

13.如圖：已知等邊AABC中，。是AC的中點，石是BC延長線上的一點，旦C￡=CQ,

DMtBC,垂足為求證：M是8E的中點.

【答案】證明：連接8D

???在等邊A/WC,且。是AC的中點，

AZDBC=-ZABC=-X60°=30°,NAC8=60°,

22

?:CE=CD,

???/COE=/E,

,/NACB=/CDE+/E,

：.NE=30。，

AZDBC=ZE=30°,

：?BD=ED,△BQE為等腰三角形，

又〈DM工BC,

?,?”是BE的中點.

【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】要證M是8E的中點，根據(jù)題意可知，證明△8DE△為等腰三角形，利

用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得證。

14.如圖，己知等邊AABC,D,E分別在BC、AC上，且BD=CE,連接

BE、A。交F點.求證：ZAFE=603

【答案】???ABC是等為三角形

???ZABC=NC=60。，AB=BC

在AABO和MCE中

AB=BC

-ZABC=ZC

BD=CE

???ABD^,BCE

???NBAD=NCBE

???ZAFE=/BAD+ZABE=ZCBE+ZABE=ZABC=60。.

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（S/4S）

【解析】【分析】根據(jù).4BC是等邊三角形得出NABC=NC=60。,AB=BC,利

用SAS證明8CE,得出NR4O=NC3E,即可得出結(jié)論。

15.如圖所示：.ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的

一點，且BD=CE，連接DE1交BC于點M.

求證：MD=ME

【答案】過點。作。石〃AC,交BC于點、E,

A

VtABC是等邊三角形,

：.ZB=ZACB=60°,

FDE//AC,

???/QEB=N4CB=60。，4MDE二/MEC,

:…BDE是等邊三角形，

/.BD-DE,

VBD=CE，

DE=CE,

又,：NEMD=/CME,

：?AEMD三ACME,

：?MD=ME.

【知識點】平行線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（A4S）

【解析】【分析】過點〃作。尸〃人C,交BC于點片由等邊三角形和平行線的性質(zhì)可

得/MDE=/MEC,DE=CE,再根據(jù)/MS可證AEMD/CME,進而根據(jù)全等三角

形對應邊相等可得結(jié)果.

能力提升篇

一、單選題：

1.如圖，點P在邊長為1的等邊AABC的邊A3上，過點尸作PE_LAC于點￡。為

8c延長線上一點，當辦=C。時，連P。交AC邊于。，則。E的長為（）

D.不能確

【答案】B

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】過點P作交4c于點M.

???△A8C為等邊三角形

^A=ZB=ZACB=60°

?:PM"BQ

???NMPD二/Q,NAPM:/AMP二NACB=NB=6()。

???△ARW是等邊三角形

：,PA=MP

又<肉二CQ

：,MP=CQ

在“MDfllAgCD中

ZMPD=ZQ

<4MDP=ZCDQ

MP=CQ

:."MDWAQCD

：.DM=DC=-MC

2

又???PE_LAC

1

：.EM=AE=-AM

2

1111

：.DE=EM+DM=-(AM+CM)=-AC=-xl=-.

2222

【分析】過點P作PM〃BQ,綜合運用等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和

性質(zhì)得出線段的關系，從而得證。

2.如圖，點P是N4O8內(nèi)任意一點，。片6cm,點M和點N分別是射線04和射線08

上的動點，若MMN周長的最小值是6cm,則N4OB的度數(shù)是（）

B

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；釉對稱的性質(zhì)

【解析】【解答】分別作點?關于OA、08的對稱點C、D,連接CO,

分別交。4、08于點M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示:

???點P關于QA的對稱點為D,關于OB的對稱點為C,

：.PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

???點P關于0B的對稱點為C,

：.PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,

1

：,OC=OP=OD,ZAOB=-ACOD,

2

???△PMN周長的最小值是6cm,

:?PM+PN+MN=6,

:,DM+CN+MN=6,

艮［JCD=6=OP,

：.OC=OD=CD,

即△OC。是等邊三角形，

NCOD=60。,

???ZA03=30°,

故答案為：B.

【分析】分別作點P關于04、OB的對稱點C、D,連接CD,分別交04、OB于點M、

N,連接0C、0。、PM、PN、MN,由對稱的性質(zhì)得出PM=DM,OP=OC,ZCOA=Z

POA；PN=DN,OP=OD,/DOB=/POB,得出/A08=-ZCOD,證出△OC。是等

2

邊三角形，得出NCOO=60。，即可得出結(jié)果.

3.如圖，已知：/MON=30。，點A、A?、A3_……在射線ON上，點四、

B2、層……在射線。M上，△4瑪一、,AAJB3A4……均為等邊三

角形，若。4=1,則AAO1S^O18AO19的邊長為（）

【答案】C

【知識點】平行線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30。角的直角

三角形

.??A耳=44,Z3=Z4=Z12=60°，

Z2=120°,

???NMON=300，

Z1=I800-I20°-300=30°,

又vZ3=60°，

Z5=180°-60°-30°=90°,

vZMON=Zl=30°,

04,=a4=i,

&耳=1,

紇、是等邊三角形，

?.?444..A^A4

Zll=Z10=60°，Z13=60°，

vZ4=Z12=60°，

Zl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

=281A2=2=2,,

.?.&&=4旦4=4=22,

A,向二88八=8=23,

A&=16qA?=16=24,

xn_,

AnBn=T-O\=2,

當九=2018時，

4D-02018-1_2OI7

一乙一乙?，

故答案為：c.

【分析】此題考查了等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，圖形、數(shù)字規(guī)律問題，山等邊

三角形性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)，找三角形邊的關系，然后通過觀察分析，找出規(guī)律，再

按規(guī)律求解即可.

4.如圖所示，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊AA8C

和等邊ACQE,A。與BE交于?點、0,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,

OC.以下五個結(jié)論:①ZUCO鄉(xiāng)△8CE；②AAOC2△BQC;③△APCdBOC;?LDPC

且△EQC；⑤N4O8=60。.其中正確的是（）

A.①②③④⑤B.①④⑤C.①④D.①③④

【答案】B

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：①是等邊三角形，.MC=8C,

,?,△ECO是等邊三角形，CD=CE,

,/ZACB=ZECD=60%

:.ZACB+ZBCD=ZECD+ZBCD,^ZACD=ZBCE,

:?△AC。/△8CE（SAS）,符合題意；

②?如圖，連接。C,

V^ACD^ABCE.：.NCAD=NCBE,

又丁NACB=NDCE=60。,

???ZBCD=180。-60。-60。=60。，

???ZACP=ZBCQ=6^,

在^AC尸和△8CQ中，

(^ACP=乙BCQ

^PAC=QAC

AC=BC

：,〉ACP@XBCQ(ASAh

??.△AOC和△BQC,A4PC和△8OC不全等，②③不符合題意；

④在aOPC和AEQC中，

(/.QEC=Z.PDC

乙PCO=LQCE

(DC=CE

.,.△DPC^AECC(A4S),

符合題意；

⑤，：2ACD§4BCE,

：.ZEBC=ZOAC,

,:NACB=NCEQ=60。，

：.AB//CD,

:./EBC=/BED,

；?NOAC=/BED,

NAOB=ZOAC+ZOEA=ZOEA+ZBED=60°,符合題意；

故答案為：B.

【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，推得NACO=/3CE,然后利用邊角邊定理證明

△AC。g△8CE；

②?由△ACQg/XBCE,^ZCAD=ZCBE,由平角的定義推得N8CQ=60。，然后利用角

邊角定理證得ZkACP絲△灰?。，從而得出AAOC和△8QC,△APC和△30C不全等；

④利用角角邊定理即可證明ADPgAEQC:

⑤由NACB=NCED=60。,得A8〃CO,/EBC=/BED,推得/QAC=/BE。，則由三

角形的外角性質(zhì)求得ZAOB=60°.

二、填空題：

5.如圖，等邊A/WC邊長為10,P在48上，。在AC延長線，CQ=力，過點P作PE

_LAC點E,過點尸作P尸〃B。，交AC邊于點F,連接PQ交AC于點。，則DE的長

為.

【答案】5

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】-PF//13Q,

：?/Q=/FPD,

???△A8C是等邊三角形，

.??ZAPF=N8=6()°,NAFP=NAC8=60。，

???△AP/是等邊三角形，

：?AP=PF,

*：AP=CQ,

:?PF=CQ,

???在和△QCD中，

NFPD=ZQ

-ZPDF=ZQDC,

PF=CQ

:,APFDm/\QCD(AAS),

:,FD=CD,

???PE_L4C于E,AAP/7是等邊三角形，

：,AE=EF,

：.AE+DC=EF+FD,

1

：?DE=-AC,

2

VAC=10,

：.DE=-AC=5.

2

故答案為：5.

【分析】先證明△“￡＞和黑。。全等，推出/7XCQ,再通過證明尸是等邊三角形

和PE_LAC,推出AE二ERSPWffitHAE+DC=EF+FD,可得。E二-AC,即可推出OE

2

的長度.

6.如圖，等邊的周長為18cm,BO為AC邊上的中線，動點P,。分別在線段

BC,8。上運動，連接CQ,PQ,當BP長為cm時，線段CQ+PQ的和為最

【知識點】垂線段最短；等邊三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，連接AQ,

???8。垂直平分AC,

：,CQ=AQf

CQ+PQ=AQ+PQ,

???當A,。，P三點共線，且18c時，AQ+PQ的最小值為線段AP的長，

此時，尸為6c的中點，

又???等邊的周長為18cm,

BP=-BC=-x6=3cm,

22

故答案為：3.

【分析】連接AQ，依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可得到CQ=A。，依據(jù)當4,Q,P三點

共線，且時，AQ+PQ的最小值為線段AP的長，即可得到的長.

7.如圖AABC中，N84C=78。，AB=AC,尸為AABC內(nèi)一點，連BP,CP,使NP8O9。,

ZPCB=30°,連a1,則NB4P的度數(shù)為.

【答案】69°

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】在8c下方取一點D,使得三角形AB。為等邊三角形，連接。P、DC

.\AD=AB=AC,

ZDAC=ZBAC-ZBAD=\S<>,

：.ZACD=ZADC=8I°,

=AC,ZBAC=78°,

ZABC=^ACB=5\0t

：.ZCDB=\4\°=ZBPC,

XVZDCB=30°=ZPCB;BC=CB,

：?〉BD8/\BPC,

:?PC=DC,

又???/PCQ=60。，

???△OPC是等邊三角形，

.,.△APD^AAPC,

：.ZDAP=ZCAP=9°f

???ZPAB=ZDAP+ZDAB=90+60o=69°.

故答案為:69°

【分析】在BC下方取一點。，使得三角形A8O為等邊三角形，連接OP、DC,根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)及等量代換得出AD=AB=AC,根據(jù)筆邊三角形的每一個內(nèi)角都是60。,

及角的和差得出ND4C;NBAC-NBAD=18。，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等得出N

ACD=ZADC=81°,/A8GZAC6=5I。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出/CO5=141。=N6PC,

然后利用A4S判斷出△8DC四△BPC,根據(jù)全等三角形的對應邊相等得出PC=/)C,由

有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形得出AOPC是等邊三角形，然后利用SSS判

斷出△4P。g△APC,根據(jù)全等三角形對應角相等得出NOAP=