9.3成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

考試要求

1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

2.了解一元線性I可歸模型和2x2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

也備知識(shí)回顧自主學(xué)習(xí)?基礎(chǔ)回扣

教材回扣

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的?個(gè)去精確地決定另?個(gè)的

程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

(2)正相關(guān)、負(fù)相關(guān)：從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加

的趨勢(shì)，我們稱這兩個(gè)變量工相關(guān):當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小

的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直

”附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

n____

E(為-x)(>',-y)

⑴尸一

A/E(XLx)2A/E(yi-y)2

(2)當(dāng)r>0時(shí)，，稱成對(duì)徉本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)區(qū)0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

(3)ld<l;當(dāng)團(tuán)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)：當(dāng)仍越接近。時(shí)，成對(duì)

樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越復(fù).

3.一元線性回歸模型

S(-—])(y,—y)

AAA1)=^-------------------------,

⑴我們將產(chǎn)兒+。稱為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中,

a=y-bx.

(2)殘差：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值所得的差稱為殘差.

4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

⑴關(guān)于分類(lèi)變量X和y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表:

Y

X合計(jì)

y=oY=\

X=()aba+b

X=1cdc+d

合計(jì)a+cb+d〃=〃+/?+c+d

⑵計(jì)算隨機(jī)變量了=講荷罌黑E'其中〃=〃+—%利用/的取值推

斷分類(lèi)變量X和y是否獨(dú)立的方法稱為X2獨(dú)立性檢驗(yàn).

a0.10.050.010.0050.001

3.841

Xa2.7066.6357.87910.828

教材拓展

1.經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（M,~.

n____

￡砂一〃xy

2.求金時(shí)，常用公式-----------.

》一〃x2

ri

3.回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可

能犯錯(cuò)誤.

基礎(chǔ)檢測(cè)

0---

1.判斷（正確的畫(huà)“立，錯(cuò)誤的畫(huà)“x”）

（1）散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.（7）

（2）經(jīng)驗(yàn)回歸直線（=*+￡至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)但，yi）,（必M，…，（片，”）中的一個(gè)點(diǎn).（x）

（3）樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng).（V）

（4）若事件X,丫關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的/的觀測(cè)值越小.（x）

2.某公司為了解用電量1y（單位：kW-h）與氣溫x（單位：°C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)

了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了如下對(duì)照表:

氣溫x/℃181310-1

用電量W（kWh）24343864

已知表中數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程=，=源+公中￡=-2.試預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為一4℃時(shí)，用電量約

為68kWh.

心”—18+13+10-1—24+34+38+64

解析：x==10,y==40,將(10,40)代入;=&+%

4

得。=40—（-2>10=60,則經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=-2丫+60,取1=-4,得y=68.

3.為了比較甲、乙、丙三組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)弱，某同學(xué)分別計(jì)算了甲、乙、丙三組

數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)，求得數(shù)值依次為0.57,-0.93,0.89,則這三組數(shù)據(jù)中，線性相關(guān)性最

強(qiáng)的是乙組數(shù)據(jù).

解析：根據(jù)題意，因?yàn)闃颖鞠嚓P(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)，由甲、乙、丙三

組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為0.57,-0.93,0.89,得|O.57|v|O.891Vl—0.93|,故乙組數(shù)據(jù)的線

性相關(guān)性最強(qiáng).

4.（人教A版選擇性必修第三冊(cè)Pl35T8改編）下面是一個(gè)2x2列聯(lián)表：

Y

X合計(jì)

Yi

a2170

5c30

x2

合計(jì)bd100

則。-d=g,24.047（保留小數(shù)點(diǎn)后三位）.

解析：補(bǔ)全2x2列聯(lián)表：

Y

X合計(jì)

Yi

Y2

%!492170

52530

x2

合計(jì)5446100

“…。)100x(49x25-21x5)2

所以人一1=54—46=8,且/=-70x30x54x46一或4.047.

母鍵能力提升互助探究?學(xué)點(diǎn)林講

考點(diǎn)1成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性

【例1】（1）（2024?天津卷）下列圖中，線性相關(guān)系數(shù)最大的是（A）

以C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.

判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法

(I)畫(huà)散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個(gè)變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角

到右下角，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|“越接近1,相關(guān)性越強(qiáng).

(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)今>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)短0時(shí)，負(fù)相關(guān).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(1)(2024?四川涼山州三模)調(diào)查某校高三學(xué)生的身高工和體重j得到

如圖所示的散點(diǎn)圖，其中身高x和體重)，的樣本相關(guān)系數(shù)，?=0.8255,則下列說(shuō)法正確的是

(B)

A.學(xué)生的身高和體重沒(méi)有相關(guān)性

B.學(xué)生的身高和體重呈正相關(guān)

C.學(xué)生的身高和體重呈負(fù)相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分?jǐn)?shù)據(jù)，則這部分?jǐn)?shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)一定是0.8255

解析：由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)的分布集中在一條直線附近，所以學(xué)生的身高和體重具有相

關(guān)性，A不正確；義身高x和體重y的樣本相關(guān)系數(shù)為廣=。8255,樣本相關(guān)系數(shù)，>0,所以

學(xué)生的身高和體重呈正相關(guān)，B正確，C不正確：從樣本中抽取一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變

強(qiáng)，也可能變?nèi)?，所以這部分?jǐn)?shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.8255,D不正確.故選B.

(2)某校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級(jí)隨機(jī)抽取了7名男

生，測(cè)量了他們的身高.和體重得下表：

身高x/cm167173175177178180181

體重y/kg90545964677276

由表格制作成如圖所示的散點(diǎn)圖

y/kg

166168170172174176178)80182x/cm

由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線6的方程為￡=］逮+含，其樣本相關(guān)系數(shù)為打；經(jīng)

過(guò)殘差分析，點(diǎn)(167,90)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，把它去掉后，丹用剩卜的6組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回

歸直線/2的方程為￡=2”+京，樣本相關(guān)系數(shù)為，2.則下列選項(xiàng)正確的是(A)

AAAA

A.Z?i<Z>2?4I>〃2，r\<ri

AAAA

B.67|<?2?ri〉n

AAAA

C.b\>bh<。2，

AAAA

D./?i>/?2?n<r2

解析：身高的平均數(shù)為京167+173+175+177+178+180+181)=普工176,因?yàn)殡x

群點(diǎn)(167,90)的橫坐標(biāo)167小于平均值176,縱坐標(biāo)90相對(duì)過(guò)大，所以去掉(167,90)后經(jīng)

臉回歸直線的截距變小而斜率變大，故?i>?2,去掉(167,90)后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效

果也更好，且還是正相關(guān)，所以，102故選A.

考點(diǎn)2回歸模型

命題角度1一元線性回歸模型

【例2】(2024.江西九江三模)車(chē)胎凹槽深度是影響汽車(chē)剎車(chē)的因素，汽車(chē)行駛會(huì)導(dǎo)

致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得轎車(chē)行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，如下

表所示：

行駛里程

0.00.41.01.62.42.83.44.4

W萬(wàn)千米

輪胎凹槽深度

8.07.87.26.25.64.84.44.0

加亳米

88/8/g

分落=79.68,Z(xf-x)占16.24,、/Xx)2Ah)”16.56.

(1)求該品牌輪胎凹槽深度h與行駛里程x的樣本相關(guān)系數(shù)r,并判斷二者之間是否具有

很強(qiáng)的線性相關(guān)性.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

(2)根據(jù)我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：轎車(chē)輪胎凹槽安全深度為1.6亳米(當(dāng)凹槽深度低于1.6亳

米時(shí)剎車(chē)距離增大，駕駛風(fēng)險(xiǎn)增加，必須更換新輪胎).某人在保養(yǎng)汽車(chē)時(shí)將小轎車(chē)的輪胎全

部更換成了該品牌的新輪胎，請(qǐng)問(wèn)：在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少萬(wàn)千

米需對(duì)輪胎再次更換？

E（Xi—x）（yi—y）

附：變量x與），的樣本相關(guān)系數(shù)-J7―/；對(duì)于一組數(shù)據(jù)⑶,

、士（Xi~~）2\/￡（yi~~）2

A），（如”），…，（/，%），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線；=源+1的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為好

【解】(1)計(jì)算得：='(0.4+1.0+1.6+2.4+2.8—3.4+4.4)=2,

O

~h=卜(8.0+7.8+7.2+6.2+5.6+4.8+4.4+4.0)=6,

由公式知，

所以二者之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.

（2）設(shè)輪胎凹槽深度〃與行駛里程x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為2=2+嬴

E（為一x）（〃Lh）為0瓦—8xh

==

A?i?i

則匕=-------------------=---------------

8_8_

Z（即不產(chǎn)Z（即V尸

J=1；=1

79.68—8x2x6人——人——,A

=--------\Z~IA-----1,a=h—bx=64-1x2=8,所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為〃=8—x,

令2=1.6,得x=6.4,即更換新輪胎后繼續(xù)行駛約6.4萬(wàn)千米需要對(duì)輪胎再次更換.

命題角度2非線性回歸模型

【例3】（2024.山東濟(jì)南三模）近年來(lái)，我國(guó)眾多新能源汽車(chē)制造企業(yè)迅速崛起.某

企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤(rùn)穩(wěn)步提高.統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(rùn)（單位：億元）,

得到如圖所示的散點(diǎn)圖.其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1,2,3,4,5.

利潤(rùn)“億元

90?

85

8()?

75,,.

7()

》..............

O12345年份代碼K

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，尸〃+法和產(chǎn)C+加哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤(rùn))，(單位：億元)

關(guān)于年份代碼X的回歸方程類(lèi)型；(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)

(2)根據(jù)⑴中的判斷結(jié)果，建立)，關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn).

參考公式及數(shù)據(jù)：

n____

￡到一〃xy

A'1A------A------

b=-------------,a=y~bx，

fxr~~^2

Z>7=55,%=979,f>=390,I221,￡^y,=4607.9.

/=1i=l1=1i=l；=1

【解】（1）由散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)知，），=（?+加適宜作為企業(yè)利泗y（單位：億元）關(guān)于

年份代碼x的回歸方程類(lèi)型.

15_15.—5X*23

（2）由題意得x2=5LVF=11,y=5Xy=78.d=-------------------=

/=,,=,'w—sxG?

r=l

4607.9-5xU、78317.9

-979-5x112-=374=055，

c=~y一源？=78-0.85x11=68.65,

所以f=68.65+0.85p

⑶令x=6,￡=68.65+0.85x62=99.25,

所以估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)為99.25億元.

,規(guī)律總結(jié)

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟

.d計(jì)算出f療，斗忌，i/簿或理，-也

m鏟一利的值

0'曰.................................

I步驟二R利用公式計(jì)算;

0...............

步驟三H寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程淖/另

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】某公司為了解年研發(fā)資金x(單位：億元)對(duì)年產(chǎn)值)，(單位：億元)

的影響,對(duì)公司近8年的年研發(fā)資金為和年產(chǎn)值y(i￡N,1348)的數(shù)據(jù)對(duì)比分析中，選用了

兩個(gè)回歸模型，并利用最小二乘法求得相應(yīng)的y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

①￡=13.051一48.4：②，=O.76f+2.

(1)求々的值;

(2)已知①中的殘差平方和S戶3610,②中的殘差平方和52=658,請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)選擇擬

合效果更好的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年戶值.

8g88

參考數(shù)據(jù)：X.v,=64,%,=448,1>7=684,E(y；—y)2=32900.

i-1/-ii-i/-i

參考公式：刻畫(huà)回歸模型擬合效果的決定系數(shù)1^=1-三-------.

1=1

解：(1)根據(jù)題意，

x2=(￡r?=(x684=85.5,

——]81

y=W?i=gx448=56,

i=i

將(85.5,56)代入經(jīng)臉回歸方程￡=0.76f+2,得56=0.76x85.5+2,解得2=-8.93,所

以公的值為-8.98.

(2)設(shè)經(jīng)臉回歸方程①的決定系數(shù)為疥，由5戶3610,得口商一展瑞=0.89.

設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的決定系數(shù)為此，由§2*58,得虺當(dāng)一5^5=698.

因?yàn)橛谩从?，所以?jīng)驍回歸方程②的擬合效果更好.

當(dāng)A=20時(shí)，￡=0.76x202—8.98=295.02,

所以年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年產(chǎn)值約為295.02億元.

考點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)

【例4】(2025?八省聯(lián)考)為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病8的效果，進(jìn)行了動(dòng)物試驗(yàn),

得到如下列聯(lián)表(單位：只):

患病情況

服藥情況合計(jì)

未患病患病

未服用10080S

服用15070220

合計(jì)250t400

(1)求$,/;

(2)記未服用藥物A的劭物患疾病B的概率為P,給出P的估計(jì)值；

(3)根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效？

附：町而所訴訴E其中〃=a+b+c+d.

?0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

【解】(1)由列聯(lián)表知$=100+80=180,r=8O+7O=15O.

(2)由列聯(lián)表知，未服用藥物A的動(dòng)物有180只，未服用藥物4且患疾病8的動(dòng)物有80

只

所以未服用藥物A的動(dòng)物患疾病B的頻率為'H不=d，

1OU7

4

所以未服用藥物A的動(dòng)物患疾病8的概率的估計(jì)值為P=g.

(3)零假設(shè)為“o：藥物A對(duì)預(yù)防疾病8無(wú)效.

由列聯(lián)表得到

,_400x(100x70—80乂150尸_2000

L-180x220x250x150-=297必734,6635,

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢臉，推斷“。不成立，即認(rèn)為藥物4對(duì)預(yù)防疾病B有效，

該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01,所以根據(jù)小概率值a=0.0l的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為藥物A

對(duì)預(yù)防疾病8有效.

,規(guī)律總結(jié)

獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表.

(2)根據(jù)公式三=

_____Mad_bcK_____

3+8)(c+</)(a+c)S+")''

(3)比較/與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]在中國(guó)的傳統(tǒng)醫(yī)學(xué)中，食物和藥物一直被認(rèn)為是相輔相成的.中醫(yī)食

療是一門(mén)利用食物來(lái)調(diào)理身體和治療疾病的科學(xué)，它將中草藥的藥效引入食物中，達(dá)到治病

的目的.為了研究姜湯對(duì)治療感冒是否更有效，進(jìn)行了臨床試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：抽到服用

姜湯的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白開(kāi)水的患者60名，其中35名

痊愈，25名未痊愈.

(1)根據(jù)上述信息完成下.列2x2列聯(lián)表:

療效

療法合計(jì)

痊愈未痊愈

服用姜湯

服用白開(kāi)水

合計(jì)

(2)依據(jù)小概率值。=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否沙、為姜湯對(duì)治療感冒更有效果？并解耗得到

的結(jié)論.

參考公式：［?_(〃+份(c+m(〃+c)s+d)，〃_〃+〃+'+”?

O.0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解：(1)根據(jù)題中信息完成2x2列聯(lián)表如下:

療效

療法合計(jì)

痊愈未痊愈

服用姜湯301040

服用白開(kāi)水352560

合計(jì)6535100

(2)零假設(shè)為H):療法和療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異.

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

,100x(30x25—10x35)2...........

7—40x60x65x35，93>2,706-'0

依據(jù)小概率值《—0.1的三獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷從不成立，即認(rèn)為姜湯對(duì)治療感冒更

有效果，此推斷犯錯(cuò)誤的桃率不大于0.1.

課時(shí)作業(yè)67

是基礎(chǔ)鞏固4

I.(5分)在以下4幅散點(diǎn)圖中，y和x成正線性相關(guān)關(guān)系的是(B)

解析：對(duì)于A,由于數(shù)點(diǎn)圖分散，估計(jì)了和工沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,

根據(jù)散點(diǎn)圖集中在一條遞贈(zèng)的直線附近，說(shuō)明），和x線性相關(guān)且是正相關(guān)，故B正確：對(duì)于

C,根據(jù)散點(diǎn)圖集中在一條遞減的直線附近，說(shuō)明），和工線性相關(guān)且是負(fù)相關(guān)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,根據(jù)散點(diǎn)圖集中在一條曲線附近，說(shuō)明），和x非線性相關(guān)，故D錯(cuò)誤.故選B.

2.（5分）（2024.廣東茂名二模）已知變量x和），的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

X12345

y66788

根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回京方程為：=0.6X+K據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)工=8時(shí)，y=（D）

A.8.5B.9

C.9.5D.10

—1+2+3+4+5—6+6+7+8+8=7,將(3,7)代入f=0.6x

解析：依題意,x=￡=3,)'=5

+2,W7=0.6x34-2,解得1=5.2,即f=0.6x+5.2,當(dāng)％=8時(shí)，￡=0.6x8+52=10.故選D.

3.（5分）（2024?廣東廣州二模）根據(jù)分類(lèi)變量X與丫的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到三=

7.174.依據(jù)“=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（A）

a0.10.050.010.0050.0()I

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

A.變量x與y獨(dú)立

B.變量X與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005

c.變量x與y不獨(dú)立

D.變量X與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005

解析：因?yàn)?2=7.174<7.879=刖.005,所以依據(jù)。=0.005的獨(dú)立性檢臉，我們認(rèn)為變量X

與丫獨(dú)立.故選A.

4.（5分）（2024.江西南昌三模）對(duì)兩組數(shù)據(jù)x,y和％〃分別進(jìn)行回歸分析，得到散點(diǎn)

圖如圖所示，并求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別是￡=町+2和小=嬴+12,對(duì)?變量臬），進(jìn)行線性相

關(guān)檢驗(yàn)，得到樣本相關(guān)系數(shù)〃，對(duì)變量V，"進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到樣本相關(guān)系數(shù)，?2,則下

列判斷正確的是（D）

O

A.Z?i>0B.Z>2<0

C.|ri|<|r2lD.八+，2<0

解析：由散點(diǎn)圖可知，x與），負(fù)相關(guān)，n與〃正相關(guān)，則"V0,左>0,故A,B錯(cuò)誤；圖

中點(diǎn)（x,y）比（%〃）更加集中在一條直線附近,則1片1>1聞,又n<0,廠2>0,得n+n<0,故C

錯(cuò)誤，D正確.故選D.

5.（5分）（2024.四川廣安二模）某公司收集了某商品銷(xiāo)售收入），（單位：萬(wàn)元）與相應(yīng)

的廣告支出工（單位：萬(wàn)元）共10組數(shù)據(jù)（即，）力（i=l,2,3.........10）,繪制出如下散點(diǎn)圖，

并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.

銷(xiāo)售收入v/萬(wàn)元

60?

50..??*

4（）.?

O1.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5廣告支出

A77J元

若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉A點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（B）

A.決定系數(shù)解變小

B.殘差平方和變小

C.相關(guān)系數(shù)「的值變小

D.解釋變量x與響應(yīng)變量），相關(guān)性變?nèi)?/p>

解析：從題圖中可以看出A點(diǎn)較其他點(diǎn)偏離直線遠(yuǎn)，故去掉A點(diǎn)后回歸效果更好，故決

定系數(shù)N會(huì)變大，更接近1,殘差平方和變小，相關(guān)系數(shù)「的絕對(duì)值更接近1,由題圖可得x

與），正相關(guān)，故r會(huì)更接近1,即相關(guān)系數(shù)r的值變大，解釋變量x與響應(yīng)變量y相關(guān)性變強(qiáng)，

故A,C,D錯(cuò)誤，B正確.故選B.

6.（5分）（2024.山東棗莊一模）某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用

有放回地簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：

療效

療法合計(jì)

未治愈治愈

甲155267

乙66369

合計(jì)21115136

經(jīng)計(jì)算得到戶=4.881,根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)（已知/獨(dú)立性檢驗(yàn)中xo.oos

=7.879）,則可以認(rèn)為（C）

A.兩種療法的效果存在差異

B.兩種療法的效果存在差異，這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005

C.兩種療法的效果沒(méi)有差異

D.兩種療法的效果沒(méi)有差異，這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005

解析：零假設(shè)為Ho：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，

ZM.881＜7.879=XO,OO5,根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，

因此可以認(rèn)為Ho成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒(méi)有差異.故選C.

7.（6分）（多選）已知變量x和變量），的一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)8,＞-,）（/=1,2,…，〃）的

_1”_1g

散點(diǎn)落在一條直線附近，x=G￡0，3/=-?Jvr樣本相關(guān)系數(shù)為「，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

y=bx+a,則（BCD）

E（為一4）（）Ly）E（Xi—x）（yi—y）

參考公式：r=t=I//1=.

A/f（Xj—x）2、/X（yj-y尸.“LX產(chǎn)

A.當(dāng)，?越大時(shí)，成木樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

B.當(dāng)》0時(shí),力＞0

C.當(dāng)％+i=x,%+[=），時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（如＞7）（/=1?2,…，〃，〃+1）的樣本相關(guān)

系數(shù)，滿足"=，?

D.當(dāng)工〃+]=x,為+1=），時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（為，y/）（/=1,2,…，〃，〃+1）的經(jīng)驗(yàn)回歸

AAAAA

方程尸小+c滿足d=/?

解析：當(dāng)仍越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)廠＞0時(shí)，成

對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)/?與]符號(hào)相同，則合＞0,故B正確：當(dāng)以+產(chǎn)7,%+產(chǎn)歹時(shí)，

將這組數(shù)據(jù)添加后；，M不變，故樣本相關(guān)系數(shù)r的表達(dá)式中的分子和分母均不變，故C

正確：當(dāng)x0+i=x,y?+i=y時(shí)，將這組數(shù)據(jù)添加后x,y不變，故經(jīng)瞼回歸方程中的一次

項(xiàng)系數(shù)的表達(dá)式中的分子如分母均不變，所以2=1,故D正確.故選BCD.

8.（6分）（多選）（2。24.江西南昌二模）為了解中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，

甲、乙兩校的課題組分別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下兩個(gè)表格:

甲校樣本

足球運(yùn)動(dòng)

性別合計(jì)

喜愛(ài)不喜愛(ài)

男性15520

女性81220

合計(jì)231740

乙校樣本

足球運(yùn)動(dòng)

性別合計(jì)

喜愛(ài)不喜愛(ài)

男性7030100

女性4555100

合計(jì)11585200

2

炎孝八才同粕捉/n（ad-bc）

多考/、式及數(shù)據(jù)：/-（/頌”⑨3+0仍+力〃-。卜〃參+〃.

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510,828

則下列判斷中正確的是（AD）

A.樣本中，甲校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例

B.樣本中，甲校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例

C.根據(jù)甲校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

D.根據(jù)乙校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

解析：甲校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例為品=*乙校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例為僦=

73

而寸，即甲校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例，故A正確；

894592

甲校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例為為=治乙校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例為擊=為犬，即

工U31MVZUJ

甲校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例低于乙校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例，故B錯(cuò)誤；甲校中三

=*1■生常、5.。?”6.635,所以根據(jù)甲校樣本沒(méi)有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)

動(dòng)與性別有關(guān)，故C錯(cuò)誤；乙校中黑廠;12.788>6.635,所以根據(jù)乙校樣

本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，故D正確.故選AD.

9.（5分）（2024.重慶三模）對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量心），有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（知》）（i

=1,2,…，10）,7=5,~=-4,其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=-3.公+2則在樣本點(diǎn)（3：2.9）

處的殘差為025.

解析：將x=5,y=—4代入y=-3.2x+m得-4=-3.2x5+a,解得a=12,所以y=

-3.2r+12,故當(dāng)工=3時(shí)，-3.2x3+12=2.4,所以殘差c=2.9—2.4=05

1（）.（6分）（2025?廣東廣州一模）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重W（單

位：克）與脈搏率/（單位：心跳次數(shù)/分）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（用，/；）（/=1,2，…，8）,根據(jù)生物學(xué)

常識(shí)和散點(diǎn)圖得出/與W近似滿足f=cW（c,k為參數(shù)）.令H=lnWi,y=lnf,計(jì)算得x=

8,7=5,￡；/—214.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為::=源+7.4,則一的值為0.3；為判

"I

斷擬合效果，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測(cè)值￡（i=1,2,…，8）,若殘差平方和

8

2（?,—,）2旬28，則決定系數(shù)代包里.參考公式：決定系數(shù)R2=1一

S（乂—\

解析：因?yàn)?=c那，兩邊取對(duì)數(shù)可得ln/=lnc+AInW,又劉=lnW,v=ln￡,依題意

經(jīng)臉回歸直線,，=人工+7.4必過(guò)點(diǎn)（x,y）,所以5=8〃+7.4,解得〃=—0.3,所以&=-0.3,

8

￡（y,—,）2X（y一自尸0.28

R2=1-2:2-------------------=1-------------------------1-214-8x52=0.98.

￡（”—萬(wàn)—892

II.（13分）某學(xué)校一個(gè)生物興趣小組對(duì)學(xué)校的人工湖中養(yǎng)殖的某種魚(yú)類(lèi)進(jìn)行觀測(cè)研究,

在飼料充足的前提下，興趣小組對(duì)飼養(yǎng)時(shí)間x（單位：個(gè)月）與這種魚(yú)類(lèi)的平均體重），（單位:

千克）得到i組觀測(cè)值，如下表：

X12345

y().50.91.72.12.8

⑴求），關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程￡=￡+￡；

（2）利用（1）中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，分析飼養(yǎng)1?5個(gè)月這種魚(yú)平均體重的變化情況，并預(yù)測(cè)

飼養(yǎng)滿12個(gè)月時(shí)，這種魚(yú)的平均體重（單位：千克）.

Z(XLX)()Ly)

附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為金-----------------

E(k-x)2

i=l

——A—

=y-bx.

解：(1)由題表數(shù)據(jù)可得父=1+2+；+4+5

—0.5+0.9+1.7+2.1+2.85

=3,y=-----------------7-----------------=1.6,Z(的一工)(yf—y)=5.8,

°i=i

X（XLX）2=10,

5__

ZU/-X)0',—y)

人產(chǎn)?58

故0=---------------------------=777=0.58,

Z%)2

i=l

a=y~bx=1.6—0.58x3=—0.14,

故經(jīng)臉回歸方程為￡=().581一().14.

⑵因?yàn)榉?0.58>0,故飼養(yǎng)1?5個(gè)月這種魚(yú)平均體重逐月增加，平均增加0.58千克，

當(dāng)x=12時(shí)，y=O.58x12-O.I4=6.82,

故預(yù)測(cè)飼養(yǎng)滿12個(gè)月時(shí)，這種魚(yú)的平均體重為6.82千克.

12.(16分)(2024?湖南邵陽(yáng)三模)某市開(kāi)展“安全隨我行”活動(dòng)，交警部門(mén)在某個(gè)交通路

口增設(shè)電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動(dòng)摩托車(chē)未佩戴頭盔的人數(shù))，與天數(shù)

x的情況，對(duì)統(tǒng)計(jì)得到的樣本數(shù)據(jù)(為，>7)(/=1，2,…，10)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)

圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

“人

25-

20-*

15-?

10-?.

O12345678910工/日

101010

￡x；Yi

XyT￡孫

i=li=l

5.58.71.930138579.75

表中匕=lny,了=而2丫,

(1)依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，y=bx+a與y=e〃f哪一個(gè)更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)x

的回歸方程類(lèi)型.(給出步!斷即可，不必說(shuō)明理由)

(2)依據(jù)(1)的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù)求出，，關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關(guān)聯(lián)性，交警對(duì)該路口騎電動(dòng)摩托車(chē)的市民進(jìn)行調(diào)查，

得到如下列聯(lián)表:

佩戴頭盔