11.1.2三角形的高、中線與角平分線

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：（每題3分，共18分）

1.在ZkABC中，畫邊BC上的高，正確的是（）

A

A.BDB.CFC.AED.BF

3.下列敘述中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）.

A.三角形的中線、角平分線、高都是線段.

B.三角形的三條高線中至少存在一條在三角形內(nèi)部.

C.只有一條高在三角形內(nèi)部的三角形一定是鈍角三角形.

D.三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部.

4.已知,4E、BD是的高線,4E=6cm,BD=5cm,BC=8cm,則AC的長

度是（）

A.8cmB.8.6cmC.9cmD.9.6cm

5.如圖，在aABC中，AB=5,AC=3,AO為BC邊上的中線，則ZkAB。與描。/）

的周長之差為（）

A

6.如圖，AO,AE,AF分別是“AC的中線，角平分線，高，下列各式中錯(cuò)誤

的是（）

A.BC=2CDB.NBAE=L/BAC

2

C.ZAF5=90°D.AE=CE

二、填空題：（每題3分，共15分）

7.如圖，ZCBD=ZE=ZF=90°,則線段是.A8c中8C邊上的高.

8.如圖，“BC中，AO是8c上的中線，8E是A48D中AD邊的中線，若aABC

的面積是24,AE=3,則點(diǎn)8到直線4Q的距離為.

9.如圖，在△A8C中，AQ、AE分別是8C邊上的中線和高，AE=6,SJBD=

15,則CD=.

A

10.如圖，在三角形ABC中，43_LAC,4/)_LAC,垂足為O,"=3,AC=4,BC=5,

貝ljA￡)=.

11.已知A"C中，4C=30cm,中線A。把二48c分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形

的周長差是12cm,則力3的長是__________.

三、解答題：（每題8分，共40分）

12.如圖，8。和CE是AA8C的中線,AE=3cm,CD=2cm,若△ABC周長為15cm,

求BC邊的長.

13.如圖，△ABC的周長是21cm,AB=AC,中線分AABC為兩個(gè)三角形,

且△"/）的周長比ABC。的周長大6cm,求AB,BC.

14.如圖，AABC的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形方格紙的格點(diǎn)上，將aA3c向上

平移4格.

:.z\=____

：.BD//EF（）.

能力提升篇

一、單選題：（每題3分，共9分）

1.在等腰△ABC中，AB=AC,中線B。將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)

部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為（）

A.7B.10C.7或11D.7或10

2.如圖，ZkABC的面積為3,BD：DC=2：1,E是AC的中點(diǎn)，AQ與8E相交

于點(diǎn)P,那么四邊形尸DCE的面積為（）

3.如圖，aABC的面積是24,點(diǎn)。，E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中

點(diǎn)，則△4EG的面積是（）

A.9B.10C.11D.12

二、填空題：（每題3分，共9分）

4.如圖，在一ABC中，AB=AC=2t尸是8C邊上的任意一點(diǎn)，PE工AB于點(diǎn)E,

打'LAC于點(diǎn)尸.若5人叱=無,貝1」尸￡+尸尸=.

5.如圖，在ABC中，已知點(diǎn)。，E,尸分別為邊8C,AQ,CE的中點(diǎn)，且-ABC

的面積等于24cm2,則陰影部分圖形面積等于cm2

6.在..ABC中，4=90。，48=8cm,8c=6cm,點(diǎn)力是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)。從A點(diǎn)

出發(fā),沿線段AD以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到".當(dāng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，=

秒時(shí)，/6的面積為5cm2.

三、解答題：(9分)

7.如圖，在“8C中，CD、CE分別是一相。的高和角平分線,

ZBAC=a、NB=隊(duì)a>fi).

⑴若。=70。,//=40。，求NDCE的度數(shù);

(2)試用。、4的代數(shù)式表示NOCE的度數(shù).

思維拓展篇

1.閱讀下列材料：

陽陽同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖I,在A/WC中48=4。，8。是AA4C的高，。是

8C邊上一點(diǎn)，PM、PN分別與直線A3,AC垂宜，垂足分別為點(diǎn)M、N.

求證：BD=PM+PN.

陽陽發(fā)現(xiàn)，連接”，有SMBC=SMBP+SW即;AC8O=；A8,PM+gACPN.由

AB=ACf可得BD=PM+PN.

他又畫出了當(dāng)點(diǎn)。在。的延長線上，且上面問題中其他條件不變時(shí)的圖形，如

圖2所示，他猜想此時(shí)80、PM、PN之間的數(shù)量關(guān)系是：BD=PN—PM.

A

請(qǐng)回答：

（1）請(qǐng)補(bǔ)全陽陽同學(xué)證明猜想的過程；

證明：連接AP.***SUB?=SMPC_,

-ACBD=-AC---AB

22---------2

\'AB=ACt:.BD=PN-PM.

（2）參考陽陽同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

在AA8C中，AB=AC=BC,8。是AA8C的高.尸是AA8C所在平面上一點(diǎn)，PM、

PN、PQ分別與直線AB、AC、8c垂直，垂足分別為點(diǎn)M、N、Q.

①如圖3,若點(diǎn)尸在AABC的內(nèi)部，猜想8。、PM、PN、P。之間的數(shù)量關(guān)系并寫

出推理過程.

②若點(diǎn)。在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時(shí)B。、PM、PN、P。之間的

數(shù)量關(guān)系是：.（直接寫出結(jié)論即可）

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：（每題3分，共18分）

1.在aABC中，畫邊8C上的高，正確的是（)

B

C.

D.

CGA

【答案】A

【解析】

【詳解】

解：A.此圖形中4。是8c邊上的高，符合題意;

B.此圖形中CE不是8c邊上的高，不符合題意;

C.此圖形中4￡是A。邊上的高，不符合題意；

D.此圖形中8G是△BCG中邊上的高，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳三角形高的畫法,解題關(guān)鍵在理解底與高的對(duì)應(yīng)關(guān)系，作鈍角三角形的高是易錯(cuò)點(diǎn).

2.如圖，在..ABC中，BC邊上的高為（）

A.BDB.CFC.AED.BF

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形高的定義是從一個(gè)頂點(diǎn)到它對(duì)邊的垂線段即可判斷.

【詳解】

根據(jù)三角形的高的定義，在aABC中，8c邊上的高應(yīng)是過點(diǎn)A垂宜于8c的線段，

從圖中可以看出，過點(diǎn)A垂直于8C的線段是AE,所以是3C邊上的高.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形高的定義，熟練掌握三角形的高概念，仔細(xì)觀察圖形中符合定義的線段即

可.

3.下列敘述中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）.

A.三角形的中線、角平分線、高都是線段.

B.三角形的三條高線中至少存在一條在三角形內(nèi)部.

C.只有?條高在三角形內(nèi)部的三角形?定是鈍角三角形.

D.三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部.

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的角平分線、中線、高的概念和性質(zhì)進(jìn)行一一判斷.

【詳解】

A：三角形的中線、角平分線、高都是線段，正確；

B：銳角三角形三條高在三角形內(nèi)部，直角三角形一條高在三角形內(nèi)部，鈍角三角形一條高

在三角形內(nèi)部，正確；

C：只有一條高在三角形內(nèi)部的三角形是鈍角三角形或直角三角形，錯(cuò)誤；

銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部，正確

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的三線，掌握高、中線、角平分線的定義是解題關(guān)犍.

4.已知，AE.刖是一ABC的高線，AE=6cm,BD=5cm,BC=8cm,則AC的長度是（）

A.8cmB.8.6cmC.9cmD.9.6cm

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)等面積法即可求解.

【詳解】

解：AC是_ABC的高線，AE=6cmfBD=5cm,BC=8cm,

：.-ACxliD=-AExBC,

22

AExBC6x848一

即AC=----=--=—=9.0cm.

BD55

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形高線的相關(guān)計(jì)算，理解三角形的高線的意義是解題的關(guān)鍵.

5.如圖,在"BC中,55=5,5c=3,AD為BC邊上的中線,則△ABD與拉4儀）的周長之差

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意,AO是AABC的邊BC上的中線，可得4。=。，進(jìn)而得出“4。的周長EW+8/AAQ,

△4CD的周長=AC+C/)+A。，相減即可得到周長差.

【詳解】

解：???A。是aABC的中線，

:?BD=CD,

：./\ABD與ZkACD的周長之差為：

(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)

=AB+BD+AD-AC-CD-AD

=AB-AC

=5-3

二2；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的中線、高和三角形周長的求法，熟練掌握三角形周長公式是解題的

關(guān)鍵.

6.如圖，AD,AE,AF分別是_A8C的中線，角平分線，高，下列各式中錯(cuò)誤的是()

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的高線，角平分線和中線解答即可:

【詳解】

解：A.,??A。是“8C的中線

???BC=2CD,

故詵項(xiàng)正確，不符合潁意：

B.TAE是&ABC的角平分線

ABAE=-ZBAC

2

故選項(xiàng)正確，不符合題意；

C.??"F分別是:ABC的高，

???ZAFB=90°

故選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.AE=CE不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查三角形的高線，帶平分線和中線，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的高線，角平分線和中線的定

義進(jìn)行判斷即可.

二、填空題：（每題3分，共15分）

7.如圖，NCBD=NE=/F=90°,則線段是中邊上的高.

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形高線的定義判斷即可；

【詳解】

,?AELBC,

:.中8C邊上的高是AE.

故答案是AE.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的角平分線、中線和高線，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，0AC中，AO是3C上的中線，回是“3D中A。邊的中線，若的面積是

24,AE=3,則點(diǎn)8到直線入。的距離為.

A

【解析】

【分析】

由三角形的中線平分三角形面枳的性質(zhì)可得AABE的面積，再由三角形面積公式即可求得結(jié)

果.

【詳解】

???4。是△4BC的8c邊上的中線，SABC=24,

???cnAUD_~_~L2QABC——I9'/?

:BE是"BD中AD邊上的中線,

設(shè)點(diǎn)B到直線AD的距離為h,則SAHF=^AE-h=6,

BP—x3//=6,

2

/.h=4.

即點(diǎn)8到直線4。的距離為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形一邊上的中線平分三角形面積的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，掌握三角形一

邊上的中線平分三角形面積的性質(zhì)是本題解答的關(guān)鍵.

9.如圖，在中，AD.AE分別是BC邊上的中線和高，AE=6fS^ABD=\5,則C。

A

【答案】5

【解析】

【分析】

由利用三角形的面積公式可求得8。的長，再由中線的定義可得CZ>8D,從而得解.

【詳解】

解：???S4A4。=15,AE是8C邊上的高，

則gx64Q=15,

解得：BD=5,

???A。是8C邊上的中線，

：?CD=BD=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形的中線，三角形的高，解答的關(guān)鍵是由三角形的面積公式求得BD的長.

10.如圖，在三角形48c中，ABLAC,AD±BC,垂足為。，AB=3,AC=4,BC=5,

貝I」AD=.

【答案】2.4

【解析】

【分析】

根據(jù)面積相等可列式（A&AC=28C?4O，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】

解：VAB1AC,AD1BC,

.\-AB-AC=-BC^AD

22

VAB=3,AC=4,BC=5,

…必￡上=2.4

BC5

故答案2.4

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了運(yùn)用等積關(guān)系求線段的長，準(zhǔn)確識(shí)圖是解答本題的關(guān)鍵.

11.已知.ABC中，AC=30cm,中線A。把分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的周長

差是12cm,則A3的長是_________.

【答案】42cm或18cm

【解析】

【分析】

先根據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD,再求出把A18C周長分為的兩部分的差等于

\AB-AC\,然后分AB>AC.4BVAC兩種情況分別列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

TA。是aABC中線，

：?BD=CD.

???A。是兩個(gè)三角形的公共邊，兩個(gè)三角形的周長差是12cm,

，如果A8>AC,那么A"AC=12cm,即A8-30=12cm

/.Afi=42cm；

如果A8V4C,那么AC-4B=12cm,即30-48=12cm

A8=18cm.

綜上所述：AB的長為42cm或18cm.

故答案為：42cm或18cm.

【點(diǎn)睛】

考查了三角形的中線，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

三、解答題：（每題8分，共40分）

12.如圖，B。和CE是A4BC的中線，AE=3cm,C￡>=2cm,若AABC周長為15cm,求8c

邊的長.

B

【答案】5cm

【解析】

【分析】

根據(jù)中線定義可得AB,AC,根據(jù)aABC周長公式即可求解.

【詳解】

???BD和CE是AABC的中線，

AI3=2AE=2x3=6。刀，AC=2CD=2x2=4cm,

???AABC周長為15cm,即A8+AC+BC=15cm,

???BC=i5-AB-AC=[5-6-4=5cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形中線定義、三角形周長公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線求出43和AC

的長.

13.如圖，的周長是21cm,AB=ACf中線8。分△ABC為兩個(gè)三角形，且△4BD的

周長比△AC。的周長大6cm,求八8,BC.

【答案】AB=9cm,BC=3cm.

【解析】

【分析】

由8。是中線，可得4D=C￡>,又由AABD的周長比△BCD的周長大6cm,ZiABC的周長是

21cm,AB=AC,可得AB-8C=6cm,2AB+BC=2\cmt繼而求得答案.

【詳解】

解：???B。是中線，

：.AD=CD=^AC,

的周長比△/3C。的周長大6cm,

Z.CAB+AD+BD)-CBD+CD+BC)=48-BC=6cm①，

?1△ABC的周長是21cm,AB=AC,

???2AB+BC=21cm②，

聯(lián)立①②得：AB=9cm,BC=3cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形周長與三角形的中線.注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

14.如圖，aABC的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形方格紙的格點(diǎn)上，將△A4C向上平移4格.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出平移后的三角形AgC；

⑵在圖中畫出三角形△ABC的高CD、中線8E；

(3)AA3C的面積是.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)8

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的aA，夕C即可：

(2)找出線段AC的中點(diǎn)E,然后連接BE,再過點(diǎn)C向A8所在的直線作垂線，垂足為。

即可；

(3)直接根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

(D

如圖所示，三角形就是所要求做的圖形；

(2)

如圖所示，三角形ZiAAC的高C。、中線3氏

故AABC的面積是8.

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖一平移變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

15.如圖，已知A。，AE分別是“A8C的高和中線，AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,

NBAC=90°.

(1)求A。的長度；

⑵求“跳:的面積.

【答案】⑴弓cm

(2)27cm2

【解析】

【分析】

(1)利用等面積法，根據(jù)義詠=gAA.AC=3阮"。，代值求解即可：

(2)根據(jù)已知條件和(口中求出的4。長，利用三角形面積公式得出幾W.=38小A。，代

值求解即可.

(1)

解：在A48c中，NA4C=9(廣，AO是邊3C上的島，

AB=9cm,AC=12cm，BC=15cm，

「?根據(jù)S^BC=1八&AC=gBC-AO可得

5AB-AC9x1236

AD=-----------=---------=-cm；

BC155

(2)

解：在&44c中，踮是邊4c上的中線，且8c=15cm,

BE=-BC=—cm,

22

在AABE中，八。是邊比:上的高，且由(1)知AO=Mcm,

?c_1甌xn_11536”2

=-BE*AD=-x—x—=21cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積公式，熟練掌握三角形的中線與高線是解決問題的關(guān)鍵.

16.請(qǐng)補(bǔ)全證明過程及推理依據(jù).

已知：如圖，BCHED,BD平分NABC,所平分4ED.

求證：BD//EF.

證明：???8。平分/4BC,石產(chǎn)平分4￡7),

AZ1=7Z^4ED,Z2=y^4BC()

*：BC//ED()

AZAED-()

ZAED=^-ZABC

AZ1=________

：.BD//EF().

【答案】角平分線的定義；已知；NA8C；兩直線平行，同位角相等；Z2；同位角相等，

兩直線平行

【解析】

【分析】

根據(jù)角平分線的定義得出艱據(jù)平行線的性質(zhì)定理得出N4E/X

NA8C,求出N1=N2,再根據(jù)平行線的判定定理推出即可.

【詳解】

證明：平分NA8C,EF平分NAED,

/.Zl=^AED,N2=1N48C（角平分線的定義）

*：BC//ED（已知）

AZAED=ZABC（兩宜線平行，同位角相等）

ZAED=^ZABC

AZ1=Z2

：.BD//EF（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：角平分線的定義；已知；/ABC；兩直線平行，同位角相等；N2；同位角相等，

兩直線平行.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)定理和判定定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記平行線的性質(zhì)

定理和判定定理是解此題的關(guān)鍵.

能力提升篇

一、單選題：（每題3分，共9分）

I.在等腰△AAC中，AB=AC,中線8。將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分，則

這個(gè)等腰三角形的底邊長為（）

A.7B.10C.7或11D.7或10

【答案】C

【解析】

【分析】

題中給出了周長關(guān)系，要求底邊長，首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等

量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案.

【詳解】

設(shè)等腰三角形的底邊長為右腰長為y,則根據(jù)題意，

V

x+-=15x+—=\2

2或②，2

得①

,,+尸2v+-=15

2

解方程組①得〈

根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成三角形;

x=l

解方程組②得

y=l()

根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理此時(shí)能組成三角形，

即等腰三角形的底邊長是11或7；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算.學(xué)生在解決本題時(shí)，有的同學(xué)會(huì)審題錯(cuò)誤，以為

15,12中包含著中線BO的長，從而無法解決問題，有的同學(xué)會(huì)忽略掉等腰三角形的分情

況討論而漏掉其中一種情況；注意：求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理.

2.如圖，aABC的面積為3,BD：DC=2：1,E1是AC的中點(diǎn)，人力與8E相交于點(diǎn)尸，那

么四邊形POCE的面積為（）

「13

D.—

20

【答案】B

【解析】

【分析】

連接CP.設(shè)△CPE的面積是x,ACOP的面積是》根據(jù)以）：OC=2：I,石為人C的中點(diǎn)，

得AB。尸的面積是2y,ZkAPE的面枳是x,進(jìn)而得到△A8P的面積是4x.再根據(jù)aABE的面

4

積是△3CE的面積相等，得4x+x=2y+x+y,解得尸不x,再根據(jù)AABC的面積是3即可求得

X、y的值，從而求解.

【詳解】

連接CP,

設(shè)ACPE的面積是x,ACDP的面積是y.

?:BD：DC=2:1,E為AC的中點(diǎn)，

???叢BDP的面積是2y,&APE的面積是人

":BD：DC=2：1

:.△A8。的面積是4x+2y

的面積是4工

：Ax+x=2y+x+y,

4

解得產(chǎn)耳黑

又???△ABC的面枳為3

3

/.4x+x=—,

2

3

x=-.

10

則四邊形PDCE的面積為x+產(chǎn)得.

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題能夠根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積之間的關(guān)系.等高的兩個(gè)三角形的面積比

等于它們的底的比；等底的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的高的比.

3.如圖，△ABC的面積是24,點(diǎn)。，E,F,G分別是月C,AD,BE,CE的中點(diǎn)，RUAFG

的面積是（）

【答案】A

【解^5]

【分析】

首先根據(jù)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),可知LBE=S&E，S,,旌=Sg再根據(jù)點(diǎn)D是8C的中點(diǎn),

"J得Sy既.=S琥,即可得

Svw=Sv呼=Svm=S》*=-Svw.=6,然后根據(jù)點(diǎn)凡G是BE,CE的中點(diǎn)，得

Sv碼=gSv,3=3,Sy=JSVME=3,可知FG是ACBE的中位線，可得

乙乙

Sv用7=3S、附F=3,即可得出答案?

【詳解】

丁點(diǎn)E是AO的中點(diǎn),

,,SABE=SBDE，S^ACE=SacDf；?

??點(diǎn)。是4c的中點(diǎn),

s

。780￡°aCDE，

（5；加=6.

?VS7睡=^VACE~S&ca;

??點(diǎn)F,G是BE,CE的中點(diǎn),

￡

3

2SvABE~3，SVAEGs、颼='

2

??R7是aCBE的中位線,

S'ER；=彳S78c正=3?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的面積和中線的關(guān)系，三角形中位線的定義和性質(zhì)等，將一個(gè)三角形

的面積轉(zhuǎn)化為求三個(gè)小三角形的面積是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：（每題3分，共9分）

4.如圖，在-ABC中，AB=AC=2,。是4C邊上的任意一點(diǎn)，PELAB于點(diǎn)E,PFLAC

于點(diǎn)、F.若S48c=無，則所+"=.

【答案】&

【解析】

【分析】

根據(jù)SABC=S"P+SAPC=；A8?PE+；AC,P/"結(jié)合已知條件，即可求得尸石+尸尸的值.

乙乙

【詳解】

解：如圖，連接心

?PEJ.A3于點(diǎn)E,用_LAC于點(diǎn)F

.?.S&〃c=S+SA^=^ABPE+^AC-PF

'.*AB=AC-2,SAHC=>/?.

-ABPE+-ACPF=PE+PF=42

22

故答案為：x/2

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的高，掌握三角形的高的定義是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在4A8c中，已知點(diǎn)D,3"分別為邊AD,CE的中點(diǎn)，且.A8c的面積

等于24cm2,則陰影部分圖形面積等于cm?

【解析】

【分析】

因?yàn)辄c(diǎn)尸是CE的中點(diǎn)，所以"的底是aBEC的底的一半，ABEF高等于ABEC的高;同

理，。、E、分別是8C、AD的中點(diǎn)，可得△E8C的面積是△A4C面積的一半；利用三角形的

等積變換可解答.

【詳解】

解.：如圖，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，

??.△BEF的底是EF,△BEC的底是EC,即而高相等，

S△叼?=-jSXBEC，

是AD的中點(diǎn),

:?S△BD否鼻S△ABD,SACD/^=ySAACD>

5A￡BC=g5△八8C，

SABE產(chǎn)—S△八sc,且SA,iBC=24cm2,

4

/.S△叼=6cm2,

即陰影部分的面枳為6cm?.

本題考查了三角形面積的等積變換:若兩個(gè)三角形的高（或底）相等，面積之比等于底邊（高）

之比.

6.在一ABC中，ZB=90%AB=8cm,BC=6cm,點(diǎn)。是A4的中點(diǎn)，點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，

沿線段八。以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到8.當(dāng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/=秒時(shí)，./CD的

面積為6cm2.

【答案】1或3

【解析】

【分析】

分為兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)尸在A。上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在。8上時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式建立方

程求出其解即可.

【詳解】

???A3=&w,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

?\AD=BD=4cm,

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),AP=2ir

：.PD=4-2t

??QPCD的面積為6cM,

；,gpDxBC=6,gpix（4-2/）x6=6

解得/=ls,

當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，AP=2t,

：,DP=2t-4f

???./。。的面積為65?2，

二;DPxBC=6,即：（2z—4）x6=6,

解得t=3s,

綜上，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)間3I或3秒時(shí)，-PC。的面積為6皿，

故答案為：1或3.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了三角形的中線，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用三角形的面積公式求

解是關(guān)鍵.

三、解答題：（9分）

7.如圖,在.A8C中,CD、C￡分別是4ABe的高和角平分線，NBAC=a,NB=的＞。）.

（1）若。=70。.4=40。，求NQCE的度數(shù)；

（2）試用a、P的代數(shù)式表示NOCE的度數(shù)

【答案】（1）NDCE=15。

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NAC8的值，再由角平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性

質(zhì)求出/QCE.

（2）由（1）的解題思路卻可得正確結(jié)果.

（1）

解：vZBAC=70°,ZB=40°

ZACB=180°-（ZBAC+ZB）=180°-（70。+40°）=70°.

CE是N4C8的平分線，

??.ZACE=-^ACB=35°.

2

。。是高線，

二ZAZX?=90°,

ZACD=90。-ABAC=20°,

ZDCE=ZACE-ZACD=35°-20°=}5°.

(2)

解：?JN8AC=a,』B=p

...AACB=180°-(ZBAC+ZB)=180°-(a+/?),

CE是ZAC6的平分線，

ZAC￡：=-ZACB=-x[180o-(a+^)]=90o-^y^.

CD是高線，

ZADC=90。，

??.ZACD=90°-ZBAC=90°-a,

/。。：=乙4?！?44。0=90。-