13.4課題學習：最短路徑問題

夯實基礎篇

一、單選題：

1.直線L是一條河，P,。是兩個村莊.欲在L上的某處修建一個水泵站，向P,。兩

地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是（）.

2.如圖，點M,N在直線/的同側，小東同學想通過作圖在直線/上確定一點。，使

與QN的和最小，那么下面的操作正確的是（）

?N

3.如圖，在等腰AABC中，AB=AC=6,NACB=75。，AOJ_8c于/）,點M、N分別是線

段48,A。上的動點，則MN+BN的最小值是（）

A.3B.2百C.4.5D.6

4.如圖：ziABC中，Z/CB=90°,AC=BCfAB=4,點、E在BC上,且BE=2,點、P在/

ABC的平分線BD上運動，則PE+PC的長度最小值為（）

5.如圖，在銳角zMbC中，A6=AC=10,S^ABC=25,N6AC的平分線交6c丁點。,

點M,N分別是AO和48上的動點，則8M+MN的最小值是（）

24

A.4B.—C.5D.6

5

6.如圖，等邊AABC中，。為AC中點，點P、Q分別為AB、A￡）上的點，BP=AQ=4,

QD=3,在8。上有一動點E,則PE+QE的最小值為（）

7.如圖，等腰三角形/WC的底邊8c長為3,面積是18,腰AC的垂直平分線E尸分別

交AC,AB邊于E,”點.若點。為8c邊的中點，點M為線段石廠上一動點，則ACQM

周長的最小值為（）

D

A.7.5B.8.5C,10.5D.13.5

二、填空題：

8.如圖的4x4的正方形網(wǎng)格中，有A,B,C,。四點，直線。上求一點P,使以+P8

最短，則點P應選點（C或。）.

?4〉一1-----1-1-----1

???15?

U-J-

9.如圖，在AABC中，A8=3,AC=4,A6J,AC,放垂直平分8C,點P為直

線EF上一動點，則2ABp周長的最小值是.

10.如圖，在AABC中，A8=4,AC=6,BC=7,EF垂直平分BC,點P為直線EF上

的任一點，則“BP周長的最小值是.

11.如圖，在A48C中，A8=AC=10,BC=\2,4。=8,AO是/8AC的平分線.若R

Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是.

,一■?一.J■■■

?P

①在圖中作出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1G并寫出4,Bi,G的坐標;

②在），軸上畫出點P,使外+P8最小.（不寫作法，保留作圖痕跡）

③求zUBC的面積.

15.如圖，等邊AABC的邊長為4,AO是BC邊上的中線，尸是AD邊

上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2,當EF+CF取得最小值時，則

4ECF的度數(shù)為多少？

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,A8的垂直平分線交A8于N,交AC于點M

（2）連接MB,若A8=8cm,aMBC的周長是14cm,求8c的長.

（3）在（2）的條件，直線MN上是否存在點P,使由P,B,C構成的APBC的周長值

最小?若存在，標出點P的位置并求aPBC的周長最小值；若不存在，說明理由.

17.如圖，在AABC中，己知AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點。，交

AC于點E,連接BE.

（1）若ZABC=6^,求ZAED的度數(shù)；

（2）若點P為直線DE上一點，A3=8,BC=6，求&PBC周長的最小值.

能力提升篇

一、單選題：

1.如圖，等腰三角形4EC的底邊8c長為4,面積是18,腰AC的垂直平分線E尸分別

交AC,A3邊于匕F點,若點。為8C邊的中點，點G為線段上一動點，WJACDG

周長的最小值為（）

A.7B.9C.11D.13

2.如圖，點P是/4。"內任意一點，0P=6cm,點”和點N分別是射線0A和射線

08上的動點，周長的最小值是6cm,則NA0B的度數(shù)是（）

C.35°D.40°

3.如圖，四邊形ABCD中，^BAD=120°,ZB=ZD=90°，在BC、CD±

分別找一點M、N,使AAMN周長最小時，則ZAMN+ZANM的度數(shù)為（）

A.130°B.110°C.120°D.125°

二、填空題：

4.如圖所示，在町ZkABC中，NA=30。，N8=90。，AB=I2,。是斜邊AC的中點，尸是

AB上一動點，則PC+PD的最小值為.

5.如圖，在中，CD平分/ACB,點E、F分別是CD,AC上的動點.

若Z?C=6,SMBC=12,則AE+EF的最小值是.

三、解答題：

6.如圖，在RAA8C中，ZA=90°,ZACB=30°,AC=10,CO是角平分線.

(1)如圖1,若E是AC邊上的一個定點，在。。上找一點P,使B4+PE的值最小;

(2)如圖2,若七是AC邊上的一個動點，在。。上找一點P,使%+PE的值最小,

并直接寫出其最小值.

7.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,ADLBC于點D,NABC的角平分線BE

交AD于點F,JiBF=FA,BE=AB,EGA.BC于點G.

A

（1）求證：NBAD=/EBG；

（2）求證：AO=OG+EG；

（3）點”為線段。G上的一個動點，當?shù)闹底钚r，求ND4”的度數(shù).

13.4課題學習：最短路徑問題

夯實基礎篇

一、單選題：

1.直線心是一條河，P,。是兩個村莊.欲在L上的某處修建一個水泵站，向P,Q兩

地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是（）.

【答案】D

【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】作點P關于直線L的對稱點P,連接。產交直線L于

根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項。鋪設的管道，則所需管道最短.

故選D.

【分析】利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離.

2.如圖，點M,N在直線/的同側，小東同學想通過作圖在直線/上確定一點Q,使

MQ與QN的和最小，那么下面的操作正確的是（）

?N

M

【答案】C

【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】作點M關于直線/的對稱點AT,再連接MW交/于點Q,則

MQ+NQ=M，Q+NQ=M，N,由“兩點之間，線段最短”，可知點。即為所求.

故答案為：C

【分析】先作點M關于/的對稱點M，，連接MW交/于點Q,即可.

3.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=6,NAC8=75。，AO_L8C于。，點M、N分別是線

段45,A。上的動點，則MN+8N的最小值是（）

【答案】A

【知識點】角平分線的性質；等腰三角形的性質；含30。角的直角三角形；軸對稱的應用-

最短距離問題

【解析】【解答】解：如圖，作6〃_LAC,垂足為〃，交AD于M點,過心點作MN_L

AB,垂足為M,

則助0'十MW為所求的最小值.?.?A8=AC,AOJ_6c于。，.二/A8C=/C,A￡>是NB4C

的平分線，MW,?,?8”是點8到直線AC的最短距離（垂線段最短），???/48C=

ZC,ZACB=75°,AZMC=30°,'JBHLAC,：?BH=-AB=3.故答案為：A

2

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一，得到A。是NEAC的平分線，由角平分線的性質

可知，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得到是點“到直線4c的最短距離，

再由三角形內角和定理得到N8AO30。，根據(jù)在直角三角形中，30度角所對的邊是斜邊

的一半，求出MN+BN的最小值.

4.如圖：ZkABC中，ZZCB=90°,AC=BCfA8=4,點E在8c上，HBE=2,點P在N

ABC的平分線BD上運動，則PE+PC的長度最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識點】三角形的角平分線、中線和高；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】作點E關于8。的對稱點連接EC,如下圖：

???4。是/A8c的平分線，

???通過作圖知，8P垂直平分E￡,

:.PE=PE

???此時PE+PC=PE+POEC,PE+PC的長度最小，

丁點石、點E關于6。的對稱，???BE=BE=2,

乂???AB=4,???點&是AB中點，CE是中線.

:△ABC中，ZAC8=90。，AC=BC,

???△/WC是等腰直角三角形，ZABC=45°,

???CE又是底邊48的高，

???△8EC也是等腰直角三角形，

???￡C=2,

即：PE+PC的長度最小值為2.

故選B.

【分析】此題考查最短路徑問題，利用軸對稱，作點E關于8。的對稱點5,連接EC,

可知此時PE+PC的長度最小，PE+PC=P￡+PC=EC.再根據(jù)作圖和等腰直角三角形性質

求出EC的長即可.

5.如圖，在銳角AABC中，AB=AC=\O,S^ABC=25,NB4C的平分線交8c于點。，

點、M,N分別是AD和A3上的動點，則3W+MN的最小值是（）

【答案】C

【知識點】等腰三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：如圖，???AO是N84C的平分線，AB=AC,

???點、B關于AD的對稱點為點C,

過點C作CN工AB于N交AD于M,

由軸對稱確定最短路線問題，點M即為使8M+MN最小的點，CN=BM+MN,

***AB=10,SAABC=25,

A-X10?CN=25,

2

解得CN=5,

即BM+MN的最小值是5.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)A。是/84C的平分線，AB=AC可得出確定出點B關于AD的對稱點為點

C,根據(jù)垂線段最短，過點C作。火，4笈于7交人。于M,根據(jù)軸對稱確定最短路線問

題，點M即為使BM+MN最小的點，CN=BM+MN,利用三角形的面積求出CM從

而得解.

6.如圖，等邊AABC中，。為4c中點，點P、Q分別為A8、4O上的點，BP=AQ=4,

QD=3,在BD上有一動點E,則PE+QE的最小值為（）

【答案】C

【知識點】等邊三角形的判定與性質；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：如圖，

:.BA=BC,

???。為4c中點，

ABD1AC,

VAQ=4,QD=3,

AD=DC=AQ+QD=7,

作點Q關于BD的對稱點Q,連接PQ唆BD于E,連接QE,此時PE+QE的值最小,

最小值PE+QE=PE+EQ=PQ',

???AQ=4,AD=DC=1,

：,QD=DQ=3,

;.CQ=BP=A,

：.AP=AQ=\d,

vZA=60°,

/.^PQ是等邊三角形，

.?.PQ，=PA=10,

：?PE+QE的最小值為10.

故答案為：C.

（分析］作點Q關于BD的對稱點Q,連接PQ咬BD于E,連接QE,此時PE+0E

的值最小，最小值陪QE=PE+EQ，”,進而判斷AAP。'是等邊三角形，即可解決問

題.

7.如圖，等腰三角形A6c的底邊8c長為3,面積是18,腰AC的垂直平分線E尸分別

交4C,AB邊于E,”點.若點。為邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△COM

周長的最小值為（）

A.7.5B.8.5C.10.5D.13.5

【答案】D

【知識點】三角形的面枳；線段垂直平分線的性質；等接三角形的性質；軸對稱的應用-最

短距離問題

【解析】【解答】解：如圖，連接AM、AD

;七尸垂直平分線段AC

CM=AM

：,CM+MD=AM+MD>AD

即當A、M、。三點在一直線上且與4。重合時，CM+M。取得最小值，且最小值為線

段A。的長

VAGWD的周長=CM+MD+CD=AM+MO+A￡）

.-.△C/WD的周長的最小值為AD+CD

???。為8C的中點，AB=AC

：.CD=-BC=1.5,AD±BC

2

?e?S.ABC=/X3XAD=18

:.AD=n

：.AD+CD=\2+\.5=\3.5

即△CDM周長的最小值為13.5

故答案為：D.

【分析】連接AM、AD,由線段垂直平分線的性質可得CM=4W,當A、M、。三點在

一直線上且與A。重合時，CM+M。取得最小值，且最小值為線段4。的長；根據(jù)等腰

三角形三線合一的性質可得CO=18C=1.5,AD1BC,利用△ABC的面積可求出

2

AO的長，從而求出此時△CQM的周長即可.

二、填空題：

8.如圖的4x4的正方形網(wǎng)格中，有A,B,C,。四點，直線。上求一點P,使外+P8

最短，則點「應選點（C或D）.

【答案】C

【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：如圖，

點H是點4關于直線。的對稱點，連接4缶.則與直線〃的交點，即為點P,此時

%+P8最短，

'?A'B與直線a交于點C,

，點P應選。點.

故答案為：C.

【分析】點A是點A關于直線。的對稱點，連接48,則48與直線。的交點，即為點

P,此時M+P8最短，據(jù)此即得結論.

9.如圖，在AABC中，AB=\AC=^ABLAC.EF垂直平分BC，點P為直

線EF上一動點，則、ABP周長的最小值是.

【答案】7

【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：???斯垂直平分BC,

:,B,C關于直線EF對稱.設AC交所于點D，

.??當尸和。重合時，AP-^BP的值最小，最小值等于AC的長,

△ASP周長的最小值是4+3=7.

【分析】根據(jù)題意知點8關于直線石尸的對稱點為點C,故當點尸與點。重合時,AP+8Q

的最小值，求出AC長度即可得到結論.

10.如圖，在△ABC中，A8=4,4C=6,8c=7,E尸垂直平分BC,點P為直線E/上

的任一點，則AABP周長的最小值是.

【答案】10

【知識點】軸對稱的應用?最短距離問題

【解析】【解答】解：如圖，連接PG

E

\'AB=4，

.△ABP的周長為AB^PA+PB=4+PA+PB，

要使AABP的周長最小，則需PA+PB的值最小，

-EF垂直平分8C,

:.PC=PB,

;.PA+PB=PA+PC,

由兩點之間線段最短可知，當點A,P,C共線，即點P在八C邊上時，PA+PC取

得最小值，最小值為AC,

即PA+PB的最小值為4c=6,

則AABP周長的最小值是4+6=10.

故答案為：10.

【分析】如圖，連接PC,先把△的的周長表示出來為4+%+PA,接著根據(jù)垂直平分

線性質得至IJP8=PC,故只需南+PC最小△A/并周長才最小，由兩點之間線段最短得出P

點在AC上時最小，此時布+PCMO6,從而即可得出答案.

11.如圖，在AA8C中，A8=AC=10,8c=12,AO=8,A力是/8AC的平分線.若P,

Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是.

【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：???AB=AC,AO是N84C的平分線，.??A。垂直平分8a.?.8P=

CP.

過點。作ZyQJ_4C于點Q,BQ交AD于點F,則此時FC+PQ取最小值，最小值為0。

的長，如圖所示.

11BCAD12x8

???S“8c=-BC?AD=-AC*BQ,:.BQ=----------=-------=9.6.

22AC10

故答案為：9.6.

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得出垂直平分8C,根據(jù)垂直平分線上的點到

線段兩個端點的距離相等得出5P=CP,過點5作于點Q,BQ交AD于點P,

則此時PC+PQ取最小值，最小值為3Q的長，然后根據(jù)三角形的面積法，得出BOAD

=4C?8Q,根據(jù)等積式即可求出的長.

三、作圖題：

12.有一個養(yǎng)魚專業(yè)戶，在如圖所示地形的兩個池塘里養(yǎng)魚，他每天早上要從住處P分

別前往兩個池塘投放魚食，試問他怎樣走才能以最短距離回到住地?（請用尺規(guī)作圖，保

留作圖痕跡，不寫做法）

【答案】解：答圖如圖所示,

該養(yǎng)魚專業(yè)戶若要以最短距離回到住地,

則他所走路線是：

PTMTNTP,

或PTNTMfP.

【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【分析】分別作P點關于AB,4c的對稱點，連接這兩個對稱點交A8于點M,

交AC于點M該養(yǎng)魚專業(yè)戶若要以最短距離回到住地，則他所走路線是：

PTMTNTP,或PTNTMfP.

13.如圖，A和。為△ABC邊AB與AC上兩點，在8c邊上求作一點M,?使的

周長最小。

作點P關于AC的對稱點P,連接P。，交BC于點M,點M是所求的點。

【知識點】線段的性質：兩點之間線段最短；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】利用軸對?稱圖形的性質，作點P關于8C的對稱點P,連接P，Q,交

BC于點M,則M是所求的點。

【分析】本題考杳了軸對稱的性質，兩點之間線段最屈的性質。

四、解答題：

14.作圖題：如圖，在平面直角坐標系/。了中，4(2,3),8(3,1),C(-2,-1).

①在圖中作出關于x軸的對稱圖形山Ci并寫出4,Bi,。的坐標；

②在y軸上畫出點P,使布+P8最小.(不寫作法.保留作圖痕跡)

③求△A8C的面積.

【答案】解：①如圖所示，ZkA山iG即為所求；4的坐標（2,-3）,B的坐標（3,-1）,

G的坐標（-2,1）；

②如圖所示，點P即為所求；

③SAABCUS△ABD+SABCD=-x3x2+—x3x2=6

22

①如圖所示見解析，Ai的坐標（2,-3）,&的坐標（3,-1）,Ci的坐標（-2,1）；

②如圖所示見解析；③6.

【知識點】坐標與圖形性質；坐標與圖形變化-對稱；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【分析】①分別找到4、夙C三點的對稱點，連線即可。

②作點八關于y軸的對稱點A',連接48與）'軸的交點即為點P.

③AC與），軸相交于點8。將△48C分割成兩個三角形，分別求其面積即可得A48C

的面積。

15.如圖，等邊MBC的邊長為4,AO是邊上的中線，尸是AD邊

上的動點，E1是4c邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則

ZECF的度數(shù)為多少？

A

BD

【答案】解：如圖，取4B的中點G,連接CG交A。于點F,

??,等邊△ABC的邊長為4,AE=2,

???點七是AC的中點，

所以點G和點E關于AD對稱，

此時EF+FC=CG最小，

根據(jù)等邊三角形三線合一的性質可知：

ZECF=-ZACB=30°.

2

【知識點】等邊三角形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【分析】可以取A8的中點G,連接CG交A0于點R根據(jù)等邊△A8C的邊長

為4,AE=2,可得點七是AC的中點，點G和點E關于AO對稱，此時最

小，根據(jù)等邊三角形的性質即可得NEC/的度數(shù).

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,A8的垂直平分線交48于N,交AC于點M

(1)若NB=7(Y,求NNMA.

(2)連接若48=8cm,8c的周長是14cn求8c的長.

(3)在(2)的條件，直線MN上是否存在點P,使由P,B,C構成的△P8C的周長值

最小?若存在，標出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由.

M

R

【答案】(1)解：???AB=AC

???ZB=ZC=70°

???ZA=180°-ZB-ZC=180°-2x70°=40°

二?MN垂直平分A8,

???NANM=900

???ZMWA=90°-ZA=90°-40°=50°

(2)解：(2)如圖1,連接8團

\'AB=AC,A8=8cm

AAC=8

二MN垂直平分A8,

???△M3C的周長是14cm

：,BM+CM+BC=\4t

??.AM+CM+8O14,

即AC+8U14

ABC=14-8=6

(3)存在；點。與點M重合；△PBC的周長最小值為14.

解：(3)如圖1,〈MN垂直平分A8,

???點A、8關于直線MN對稱，AC與MN交于點M,因此點M與點P重合

???PB+PC的值最小。

???△P8C的周長最小值為14.

【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；軸對稱的應用

-最短距離問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對等角求出NC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內角和定理求

出/A的度數(shù)，聲根據(jù)垂線的定義得出/AMW=90。，然后根據(jù)NNM4-90。-/4計算即

可得出答案。

（2）根據(jù)相等垂直平分線的性質得出再根據(jù)AMBC的周長是14cm,證得

AC+8O14,即可得出答案。

（3）根據(jù)軸對稱的性質及兩點之間的最短，可得出點P與點M重合，因此△PBC的周

長最小值就是^MBC的周長。

17.如圖，在JBC中，已知AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點交

AC于點E,連接BE.

(1)若ZABC=6S3,求ZAED的度數(shù)；

(2)若點P為直線DE上一點，A8=8,BC=6，求&PBC周長的最小值.

【答案】(1)解：???AB=AC,

AZC=Z4BC=68°,

AZA=180o-68o-68o=44°,

,/DE垂直平分AB,

AZAZ)E=90o,

：.ZAED=9()°-44°=46°；

(2)當點P與點E重合時，APBC的周長最小，

理由：,:PB+PC=PA+PC?AC,

???當點〃與點E重合?時，PA+PC=AC,此時PB+PC最小值等于AC的長,

：YPBC的周長最小值為=AC+8C=8+6=14.

【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；軸對稱的應用

-最短距離問題

【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質可得NC=N4BC=68。，利用三角形內角

和求出NA=44。，在R/AAOE中，利用/4//）二90。-乙4即可求解；

（2）當點戶與點E重合時，&PBC的周長最小，求出此時△尸院?的周長即可.

能力提升篇

一、單選題：

1.如圖，等腰三角形4EC的底邊8c長為4,面積是18,腰AC的垂直平分線E尸分別

交AC,A3邊于E,F點.若點￡）為8c邊的中點，點G為線段E尸上一動點,貝IJACDG

【答案】C

【知識點】三角形的面積；線段垂直平分線的性質；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：連接AO,

：.ADA.BC,

：,S^ABC=-BC?AD=-x4xA￡M8,解得A￡>=9,

22

???E/是線段AC的垂直平分線，

???點C關于直線EF的龍稱點為點A,

???4。的長為CG+GD的最小值，

?二△COG的周長最短=CCG+GD)+CD=AD+-BC=9+-x4=9+2=ll.

22

故答案為：C.

【分析】連接AO,由于ZkABC是等腰三角形，點。是8c邊的中點，故AD_L8G再

根據(jù)三角形的面積公式求出A。的長，再根據(jù)石廠是線段AC的垂直平分線可知，點C

關于直線Eb的對稱點為點A,故4。的長為CG+G。的最小值，由此即可得出結論.

2.如圖，點P是/4。3內任意一點，0P=6cm,點W和點N分別是射線0A和射線

08上的動點，△PMN周長的最小值是6cm,則NA0B的度數(shù)是（）

【知識點】軸對稱的性質；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】解：分別作點尸關于04、OB的對稱點C、D,連接CQ,

分別交。408于點M、M連接。C、0。、PM、PN、MN,如圖所示:

??,點P關于0A的對稱點為D,關于0B的對稱點為C,

：.PM=DM.OP=OD,ZDOA=ZPOA；

???點F關于OB的對■稱點為C,

:?PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,

：,0C=0P=0D,NAOB二-/COD,

2

??,△PMN周長的最小值是6cm,

:?PM+PN+MN=6,

:?DM+CN+MN=6,

即CD=6=OP,

：,0C=0D=CD,

即△OC。是等邊三角形，

???ZCOD=60°,

???ZAOB=30°,

故答案為：B.

【分析】由軸對稱的知識得FM-OM,OP-OD,ZDOA-ZPOA^同理可得PN-CN,

OP=OC=6,NCOB=NPOB；整理得OC=OP=OO=6,ZAOB=-ZCOD,當△PMN周

2

長取最小值時，此時C、N、M、。四點共線，即CZ>6,可判定AOC。是等邊三角形，

從而求得NAO8度數(shù)。

3.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=120°,ZB=ZD=90°，在8C、CD±

分別找一點M、N,使\AMN周長最小時，則ZAMN+ZANM的度數(shù)為（）

A.130°B.110°C.120°D.125°

【答案】C

【知識點】軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】作A關于8c和。。的對稱點4,A”,連接4A",交BC于M,交CD

于,N,則4A”即為的周長最小值。

VZDAB=120°,

???ZAArM+ZA"=180°-120°=60°,

VZMArA=ZMAA\NNAD=NA",

且NMAA+NMAA'=NAMN,NNAD+NA〃=/ANM,

???/AMN+N4NM=NM4'4+NMAA+NNAO+NA〃=2(/AA'M+NA")=2x600=120。，

故答案為：C.

【分析】作A關于BC和C。的對稱點4,A”,連接A/〃，交BC于M,交CD于N,

則/VA〃即為△AMN的周長最小值，根據(jù)三角形的內角和可得/4AM+N

上=180。-120。=60。，根據(jù)軸對稱的性質及三角形外角的性質可得N4M2NM4A+/

MAA'=2ZAA'M,NANM=NNAD+/A〃=2/A”,從而求出結論.

二、填空題：

4.如圖所示，在RAABC中，NA=30。，ZB=90°,AB=⑵。是斜邊AC的中點，P是

AB上一動點，則PC+PD的最小值為.

【知識點】等邊三角形的判定與性質；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】作C關于48的對稱點E,連接EQ,

VZ5=90°,ZA=30°,

...ZACB=60°,

\'AC=AE,

「?△ACE為等邊三角形，

???CP+PD=DP+PE為E與直線AC之間的連接線段，

???最小值為C到AC的距離=A8=12,

故答案為：12

【分析】由對稱的性質得到PC+P。的最小值為￡7X48的長，由/8=90。、乙4=30。，

得到aACE為等邊三角形，求出PC+P。的最小值.

5.如圖，在MBC中，CD平分NACB,點、E,F分別是CD,AC上的動點.

若BC=6,SM8C=12,則AE+EF的最小值是.

A

【答案】4

【知識點】線段垂直平分線的性質；軸對稱的應用-最短距離問題

【解析】【解答】作A關于CO的對稱點”，

??,CO是△ABC的角平分線，

???點H一定在3C上，

過“作“;LL4C于F,交CD于E,連接AE,

則此時，AE+石廠的值最小，AE+石廠的最小值=”產，

過A作AG_L8C于G,

???△ABC的面積為12,8c長為6,

：.AG=4,

垂直平分A”,

：.AC=CH,

:&ACH=-AC?HF=-CH^AG,

22

：.HF=AG=4,

???AE+E/的最小值是4.

故答案是：4.

【分析】作A關于C。的對稱點”，由C。是△ABC的角平分線，可得點”一定在BC

上，過H作，于尸，交CD于E,連接AE,則此時，AE十石尸的值最小，AE+

后戶的最小值="凡過A作4G_LAC于G,根據(jù)S“a=-AC?HF=-CH*AG,求

22

出〃尸的值即可.

三、解答題，

6.如圖，在心A48C中，NA=90。，NAC8=3