15.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

夯實基礎(chǔ)篇

一、單選題:

3

1.若分式有意義，則x的取值范圍是（）

l-2x

D.x<A

A.x*jB.1C.x>1

4

2r+1

2.使分式-一無意義的x的值是（)

2x-\

11C.Xr-1D.x#!

A.x=--B.x=—

22

3.下列分式中一定有意義的是（）

A.當(dāng)B.*

C.器D.—

X-1X+1

4.使分式口

等于0的X的值是（)

A.1B.-1C.±1D.不存在

2x-5

5.若分式二—的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）

尸+4

55

A.x為任意數(shù)B.x<—C.x>—D.x<

222

6.下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

A.當(dāng)x=2時，二的值為零

x-2

r—3

B.當(dāng)對3時，—有意義

x

C.無論x為何值，工不可能得整數(shù)值

X+1

3

D.無論x為何值，「一的值總為正數(shù)

r+1

1x1-2

7.對于分式L-，下列說法正確的是（）

x+2

A.當(dāng)x=-2時分式有意義B.當(dāng)乂=±2時分式的值為零

C.當(dāng)x=0時分式無意義D.當(dāng)x=2時分式的值為零

二、填空題:

12xy3a~bc5xy八10.八一七人

8.在式子一,--?—■—?-?—?+-■?9xH—中，分式有_________個.

a7t46+x78y

9.己知分式滿足條件“只含有字母x,且當(dāng)x=l時無意義”，請寫出一個這樣的分式：.

2

10.如果分式一+*+3)°有意義，那么x的取值范圍是________________.

x-\

11.當(dāng)X時，分式-^―有意義；當(dāng)X時，分式-^―的值為正；若分式比0

2x-15-2x人+3

的值為0，則x二；

12.當(dāng)x________時，分式任坦的值為1;當(dāng)x_________時，分式史生的值為-1.

x-5x-5

13.若分式與3的值為正數(shù)，則X的取值范圍是_______.

X+1

1x1-3

14.若分式~穴的值為。，則“=________?

(x-3)(x+2)

三、解答題：

15.下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？

1r1x+1

①x;②-3y；③—；④？；⑤⑥;⑦目

x5x+yy-l

⑧；⑨上^；?1+-；?三^；?。.5x+|y2

27rx5-x2

16.當(dāng)x取何整數(shù)時，分式—的值是整數(shù)？

X-1

x2_i

17.如果分式-—-的值為0,求X的值是多少？

2x+2

2

18.已知y=六一,x取哪些值時，y的值是零?分式無意義?y的值是正數(shù)?

能力提升篇

一、單選題:

1.分式中，當(dāng)*二總時，下列結(jié)論正確的是()

A.分式的值為零;

B.分式無意義

C.若aA—時，分式的俏為零:

D.若存:時，分式的值為零

3

2.己知々一〃工0,且2〃-3》=(),則空2的值是()

a-b

A.-12B.0C.8D.8或12

3.若分式一1的值為正整數(shù)，則整數(shù)a的值有()

6/+1

A.3個B.4個C.6個D.8個

二、填空題：

3b—4a

4.若分式--無意義，且yr—=0,那么-=

。+2z?~+lb

x+h

5.已知x=-3時，分式——無意義，x=T時，此分式的值為0,a+b=

x+a

6.若2a-b=O,且人工0,則分式上當(dāng)?shù)闹禐開______

a-b

三、解答題:

7.例：解不等式(x-2)(x+3)>0

解：由實數(shù)的運算法則：”兩數(shù)相乘，同號得正“

[x-2>0[x-2<0

得①，或②

[x+3>0[x+3<0

解不等式組①得，x>2,

解不等式組②得，x<-3,

所以原不等式的解集為x>2或xV-3.

閱讀例題，嘗試解決下列問題：

(1)平行運用：解不等式X2?9>0；

r4.1

(2)類比運用：若分式—的值為負(fù)數(shù)，求x的取值范圍.

x-2

15.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

夯實基礎(chǔ)篇

一、單選題：

3

1.若分式--有意義，則x的取值范圍是()

l-2x

、1

A.x*0C.x>—D.X<-

【答案】B

【知識點】分式有意義的條件

【解析】【解答】VI-2x^0,解得：

2

故答案為：B.

【分析】使分式有意義的條件是分母不等于0,根據(jù)此條件列出不等式,再解得x的取值即可。

2v+|

2.使分式三一無意義的x的值是（）

2x-\

11

A.x=--B.x=—C.xr——D.x/

2222

【答案】B

【知識點】分式有意義的條件；解一元一次方程

【解析】【解答】解：根據(jù)題意2x?1=0,

解得x=1.

2

故答案為：B.

【分析】分式無意義的條件是分母為零，從而得出方程求解即可。

3.下列分式中一定有意義的是（）

x+\xx-1

A.

B.2C.

尸x-\X2+1x+\

【答案】C

【知識點】分式有意義的條件

r+1

【解析】【解答】解：A、當(dāng)x=0時，分式—無意義，故此選項不符合題意;

x~

X

B、當(dāng)X=±l時，分式—r—無意義，故此選項不符合題意；

x~-1

c、x為任何實數(shù)時，分式與L一定有意義，故此選項符合題意；

<+1

D、當(dāng)x=-\時，分式—無意義，故此選項不符合題意；

X+1

故答案為：C.

【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零進(jìn)行分析即可.

4.使分式三一1等于0的X的值是（）

X+1

A.1B.-IC.±1D.不存在

【答案】A

【知識點】分式的值為零的條件

【解析】【解答】解：由題意得：x2-l=0Mx+1^0,

解得：x=l.

故答案為：A.

【分析】分式值為。的條件：分子為。且分母不為0,據(jù)此解答即可.

5.若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）

r+4

5

A.x為任意數(shù)B.x<-C.x>-D.

222

【答案】B

【知識點】分式的值；偶次冢的非負(fù)性

【解析】【解答】解：???分式一2r~-上5的值為負(fù)數(shù)，而分母x2+4>0.

￡+4

A2x-5<0,

解得.

2

故答案為：B.

【分析】根據(jù)分式的值為負(fù)數(shù)可得分子、分母異號，由分母為正數(shù)可得分子為負(fù)數(shù)，從而列出不等式

求解可得x的范圍.

6.下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

A.當(dāng)x=2時，￡的值為零

x-2

r—3

B.當(dāng)x#3時，—有意義

x

3

C.無論x為何值，——不可能得整數(shù)值

x+1

D.無論x為何值，一3一的值總為正數(shù)

r+1

【答案】D

【知識點】分式有意義的條件；分式的值

【解析】【解答】A、當(dāng)x=2時，該分式的分母x-2=0,該分式無意義，故A選項不符合題意.

B、當(dāng)x=0時，該分式的分母為零，該分式無意義.顯然，x=0滿足x，3.由此可見，當(dāng)對3時，該分

式不一定有意義.故B選項不符合題意.

C、當(dāng)x=0時，該分式的值為3,即當(dāng)x=0時該分式的值為整數(shù)，故C選項不符合題意.

D、無論x為何值，該分式的分母x2+l>0；該分式的分子3>0.由此可知，無論x為何值，該分式的值

總為正數(shù).故D選項符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)分式的值為0及分式的值為整數(shù)或正數(shù)應(yīng)滿足的條件逐項求解即可。

7.對于分式匹二，下列說法正確的是()

x+2

A.當(dāng)x=-2時分式有意義B.當(dāng)乂=±2時分式的值為零

C.當(dāng)x=()時分式無意義D.當(dāng)x=2時分式的值為零

【答案】D

【知識點】分式有意義的條件；分式的值為零的條件

【解析】【解答】解：???要想分式且二有意義，

x+2

???x+2工()即XH-2,故A不符合題意；

???要想分式區(qū)二2無意義，

x+2

???工+2=0即工=一2,故C不符合題意；

??,要想分式比2的值為0,

x+2

flJ_2—o

???即x=2,故B不符合題意，D符合題意；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)分式國二2,對每個選項一一一判斷即可“

x+2

二、填空題：

8.在式子L注，當(dāng)上,丁一，9+59工+3中，分式有_________個.

a7i46+x78y

【答案】3

【知識點】分式的定義

【解析】【解答】分式有-,3,9元+W共3個.

a6+xy

【分析】根據(jù)分式的定義，分母中含有字母，去判斷，即可得出結(jié)論。注意：兀是數(shù)。

9.已知分式滿足條件“只含有字母X,且當(dāng)x=l時無意義”，請寫出一個這樣的分式：.

【答案】—

X—1

【知識點】分式的定義；分式有.意義的條件

【解析】【解答】所以這樣的分式可以是—(答案不唯一)，

x-\

故答案為：.

x-1

【分析】由分式滿足條件“只含有字母X,且當(dāng)X=l時無意義”，可知分式的分母中含有因式X」，只要

寫出滿足這個條件得就行了，答案不唯一。

2

10.如果分式——+*+3)°有意義，那么x的取值范圍是_________________.

x-\

【答案】且XW-3

【知識點】分式有意義的條件；0指數(shù)幕的運算性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意可得：X—1工()，X+3工0,

廠.工工1且xw—3,

故答案為：且XW—3.

【分析】利用分式有意義的條件求出x—lw0,x+3w0,再求解即可。

11.當(dāng)x時，分式—有意義；當(dāng)x時，分式二一的值為正；若分式止2

2x-]5-2xx+3

的值為0,則)<=；

【答案】rg；v1■；3

22

【知識點】分式有意義的條件；分式的值為零的條件

【解析】【解答】解：:分式—有意，

2x-l

A2x-1H0,

即對g;

2

???分式的值為正，

5-2%

A5-2x>0,

；?xV-；

2

???分式此口的值為0,

x+3

.*.|x|-3=0,x+3和,

x=3

故答案為：羊不；V不；3

22

【分析】根據(jù)分式有意義的條件，分母不為0,可求出x的取值范圍；分式的分母為正，所以要使分式

為正，分母應(yīng)該大于0,求出x的數(shù)值即可；分式的值為0,所以可得，分子|x卜3=0,且分母x+3#),

求出x的數(shù)值即可。

12.當(dāng)x_________時,分式把紀(jì)的值為1：當(dāng)x_________時,分式主出的值為-1.

x-5x-5

82

【答案】--：-

35

【知識點】分式的值

8

【解析】【解答】當(dāng)4x+3=x-5時，分式的值為I,即x=7

當(dāng)4x+3=-(x-5)時，分式的值為-1,即x=:

【分析】對于分式-的值為或要分兩種情況討論,若分式-的值為則分式-中的

B1-1B1,BA=B,

若分式的值為1則分式-中的A=B,也即A、B互為相反數(shù).

B

13.若分式的值為正數(shù)，則x的取值范圍是_________.

r+1

【答案】x>3

【知識點】分式的值；解一元一次不等式

【解析】【解答】解：???x2+l>0且分式字」的值為正數(shù)，

X+1

Ax-3>0,

Ax>3.

故答案為：x>3.

【分析】由偶次方的性質(zhì)可知大沙，故此x2+l>0,由分式的值為正數(shù)可知x-3>0,最后解不等式即

可.

k|-3

14.若分式丁士匕~短的值為0,則工二

(x-3)(x+2)

【答案】-3

【知識點】分式的值為零的條件

|x|-3=0

【解析】【解答】解：依題意可得卜-3=0

x+2工0

解得x=-3

故答案為：-3.

【分析】根據(jù)分式值為0的條件可得岡?3=0,x-3￥0,x+分0,求解即可.

三、解答題：

15.下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？

①X;②-3y；③:；④一⑤W；⑥含：⑦含；

⑧*；⑨q；⑩I+，.?瀉；?O.5X+；),2。

271x5-x2

【答案】解：①②④⑧⑨?是整式，

③⑤⑥⑦⑩?是分式，

【知識點】分式的定義：整式及其分類

【解析】【分析】根據(jù)分母中含有字母的有理式是分式，分母中不含字母的有理式是整式，逐個判斷即

可。

16.當(dāng)x取何整數(shù)時，分式—的值是整數(shù)？

X-1

【答案】解：???分式一'的值是整數(shù)

x-1

x-1=±6或x-1=±3或x-1=±2或x-l=±1

解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7

【知識點】分式的值

【脩析】【分析】要使已知分式的值為整數(shù)，可得出6是(x-1)的倍數(shù)，因此可得出x-1=i6、±3、±2、

±1,分別解方程求出x的值。

17.如果分式二二1的值為0,求x的值是多少？

2x+2

【答案】解：依題意得：x2-l=O旦2x+2w0,

解得x=1，

X2-]

即分式的值為。時，X的值是1.

2x+2

【知識點】分式的值為零的條件

【解析】【分析】當(dāng)分式的分子為。旦分母不為U的時候，分式的值為U,從而列出混合組，求解即可。

18.已知y=,x取哪些值時，y的值是零?分式無意義?y的值是正數(shù)?

3—5人

【答案】解：x=0時，y的值是零;

3

x=g時，分式無意義；

x<-日xRO時,y的值是正數(shù).

【知識點】分式有意義的條件；分式的值為零的條件

【解析】【分析】根據(jù)分式的值為零的條件：分子為零、分母不為零；分母為零分式無意義；同號相除

得正的法則，逐個解答即可。

能力提升篇

一、單選題

1-分式中，當(dāng)乂二川時，下列結(jié)論正確的是（）

lx-1

A.分式的值為零;

B.分式無意義

C.若a#--時，分式的值為零;

D.若狎三時，分式的值為零

【答案】C

【知識點】分式有意義的條件；分式的值為零的條件

【解析】解答：由題意可得，當(dāng)x=a時,分子為0,但是要求分母不為。所以還得加上一個限定的條件,

即-§

分析：本題中除了要注意分子為0外,還一定注意分母不為0

2.己知a-b^O,且2a—3b=0,則----的值是()

a-b

A.-12B.0C.8D.8或12

【答案】C

【知識點】分式的值

【解析】【解答】解：???。一〃/0,且2。-3/?=0,

3

a=-b且/,

2

3

。12x—b+bi

,,,2。+8?4/20

=

則—rQ——=-j—=8.

"blh_hLh

22

故答案為：C.

【分析】根據(jù)已知等式可得a=h目.bwO，再代入求值即可得.

2

3.若分式—的值為正整數(shù)，則整數(shù)a的值有（）

6/4-1

A.3個B.4個C.6個D.8個

【答案】B

【知識點】分式的值

【解析】【解答】解：分式—的值為正整數(shù)，則a+l=l或2或3或6.

4+1

則a=0或1或2或5.

故選B.

【分析】分式—的值為正整數(shù)，則a+1的值是6的正整數(shù)約數(shù)，據(jù)此即可求得a的值.

。+1

二、填空題：

4.若分式無意義，且*=°，那么T=_______.

。+2zr+1b

【答案】

2

【知識點】分式有意義的條件；分式的值為零的條件

【解析】【解答】解：???分式無意義，

。+2

???a+2=0,

解得a=-2；

b—4

P+i=o

Ab-4=0,

解得b=4,

a_-2_1

..—————.

b42

故答案為：二

2

【分析】根據(jù)分式無意義和分式值為零的條件即可解答。

x+h

5.已知x=-3時，分式——無意義，x=-4時，此分式的值為0,a+b;

x+a

【答案】7

【知識點】分式有意義的條件；分式的值為零的條件

X+/?

【解析】【解答】解：因為x=-3時，分式——無意義，

x+a

所以-3+a=0,所以a=3,

又因為x=-