第十六章整式的乘法

16.3乘法公式

16.3.2完全平方公式

一、教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.會推導(dǎo)完全平方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算.

2.掌握乘法公式的結(jié)構(gòu)特征及公式的含義，理解添括號法則，會正確地添括號

運(yùn)用這些公式進(jìn)行計(jì)算.

【過程與方法】

1.經(jīng)歷利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法以及鬲的意義，推導(dǎo)出完全平方公式的過

程.

2.通過探索和理解乘法公式，感受乘法公式從一般到特殊的認(rèn)知過程，拓展

思維空間.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

1.通過完全平方公式的應(yīng)用，體會公式中字母的含義，滲透整體、數(shù)形結(jié)

合、類比的數(shù)學(xué)思想.

2.培養(yǎng)良好的分析思想和與人合作的習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)的重要價(jià)值.

二、課型

新授課

三、課時(shí)

第1課時(shí),共1課時(shí)。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

L完全平方公式的推導(dǎo)過程，結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，幾何解釋.

2.完全平方公式的應(yīng)用.

3.利用添括號法則靈活應(yīng)用乘法公式進(jìn)行運(yùn)算.

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.完全平方公式的特點(diǎn)及整體思想的滲透.

2.根據(jù)式子特點(diǎn)靈活添加括號，使其符合乘法公式特點(diǎn).

五、課前準(zhǔn)備

教師：課件、長方形、正方形結(jié)構(gòu)圖等。

學(xué)生:、練習(xí)本、綱筆或圓珠筆、鉛筆。

六、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課

現(xiàn)有如圖所示的三種規(guī)格的硬紙片各若干張,請你根據(jù)二次三項(xiàng)式a?+2ab+b2,

選取相應(yīng)種類和數(shù)量的硬紙片，拼出一個(gè)正方形，并探究所拼出的正方形的代數(shù)意

義.（出示課件2）

b

（二）探索新知

1.設(shè)計(jì)問題，探究完全平方公式

教師問1：根據(jù)前面所學(xué)知識，思考下面這個(gè)題目該怎么做？(出示課件4)

一塊邊長為。米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長增加b米.形成四塊實(shí)驗(yàn)

田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積，并進(jìn)行比

較.

VYYVy

yyvrv

學(xué)生回答：

(1)直接求：總面積=(a+b)(a+b);

(2)間接求：總面積=a?+ab+ab+b2

教師問2:你發(fā)現(xiàn)了什么？：

學(xué)生回答：

(a+b)2=a2+2ab+b2

教師問3:計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(出示課件5)

(1)(/7+1)2=(/；+l)(p+1)=___________________________

⑵(加+2)2=(一)()=_________________________

(3)(p-l)2=(一)(—)=.

(4)(〃?—2六(一)()=.

學(xué)生計(jì)算結(jié)果如下：

(1)p2+2p+1(2)m+2m+2m2+4m+4

(3)p-1p-1p2-2p+1(4)m-2m-2m2-4m+4

學(xué)生交流并且討論后回答：兩個(gè)數(shù)和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上這

個(gè)長方形的面積都是ab;大正方形的邊長是a+b,其面積是(a+b)2.于是就可以

得出：(a+b)2=a?+2ab+b2.

教師展示課件8-9,幫助學(xué)生理解公式。

教師問7:如何驗(yàn)證(a—b)2=a2-2ab+b2?

學(xué)生小組討論后回答:

如圖，大正方形的邊長是a,它的面積是a?;兩個(gè)長方形是全等圖形，長都

是a,寬都是b,所以它們的面積都是ab;里面小正方形的邊長是b,其面積就

是b?;里面大正方形的邊長是(a—b),所以它的面積是(a—b產(chǎn)從圖中可以看出里

面大正方形的面積等于外面大正方形的面積減去兩個(gè)長方形的面積再加上小正

方形的面積，也就是(a—b)2=a2-2ab+t)2.

教師展示課件10,幫助學(xué)生理解公式。

教師問8:(出示課件11)

觀察下面兩個(gè)完全平方式，比一比，回答下列問題：

(a+b)2=a2+2ab+b2.

(a—b)2=a2—2ab+b2

教師問(1):說一說積的次數(shù)和項(xiàng)數(shù).

學(xué)生回答：積的次數(shù)都是2次，項(xiàng)數(shù)都是3項(xiàng)

教師問(2):兩個(gè)完全平方式的積有相同的項(xiàng)嗎？與a,b有什么關(guān)系？

學(xué)生回答：兩個(gè)完全平方式的積有相同的項(xiàng)，是a?和歐

教師問(3):兩個(gè)完全平方式的積中不同的是哪一項(xiàng)？與a,b有什么關(guān)系?

它的符號與什么有關(guān)？

學(xué)生回答：兩個(gè)完全平方式的積中不同的是2ab,是a,b乘積的2倍，它

的符號與b前邊的符號一致.

教師總結(jié)點(diǎn)撥：(出示課件12)

公式特征：

I.積為二次三項(xiàng)式；

2.積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和；

3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號相同.

4.公式中的字母a,b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.

出示課件13,學(xué)生獨(dú)立思考后解答，教師給出答案.

例1：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(出示課件14)

⑴(4m+n/;(2)(y-1)2

師生共同解答如下：

?12

解：(4/〃+〃)氣4/〃)2解：卜一《)=產(chǎn)-+(g)

|||||||||-|

(a+ar+2ab+b2(a—。尸■廬-2ab+bi

=16〃戶+8/〃〃；=}z寸+!?

4

出示課件15,學(xué)生獨(dú)立思考后解答，教師給出答案.

例2:運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(出示課件16)

(1)1022;(2)992.

師生共同解答如下：

解：(1)1022=(100+2)2

=10000+400+4

=10404.

(2)992=(100-1)2

=10000-200+1

=9801.

教師總結(jié)點(diǎn)撥：當(dāng)一個(gè)數(shù)具備與整十、整百……相差一個(gè)正整數(shù)時(shí)求它的平

方，我們可以通過變形運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算較簡便.

出示課件17,學(xué)生獨(dú)立思考后解答，教師給出答案.

例3:已知x-y=6,xy=-8.(出示課件18)

求:(1)x2+y2的值；(2)(x+y)2的值.

師生共同解答如下：

解：(1)Vx-y=6,xy=-8,

(x-y)2=x2+y2-2xy,

x2+y2=(x-y)2+2xy

=36-16=20;

(2)Vx2+y2=20,xy=-8,

A(x+y)2=x2+y2+2xy

=20-16=4.

教師總結(jié)點(diǎn)撥：木題要熟練掌握完全平方公式的變式：

x24-y2=(x-y)2+2xy=(x+y)2-2xy,(x-y)2=(x+y)2-4xy.

出示課件19,學(xué)生獨(dú)立思考后解答，教師給出答案.

2.創(chuàng)設(shè)情境，探究添括號法則

教師問9:同學(xué)們完成下列運(yùn)算.

(1)4+(5+2);(2)4-(5+2);(3)a+(b+c);(4)a-(b-c).

學(xué)生回答：

(1)4+(5+2)=4+5+2=9+2=11.

(2)4—(5+2)=4-5?2=-3?

(3)a+(b+c)=a+b+c.

(4)a-(b—c)=a-b+c.

教師問1()：去括號法則是什么呢？.

學(xué)生回答：

去括號時(shí),如果括號前是正號，去掉括號后，括號里的每一項(xiàng)都不改變符號；

如果括號前是負(fù)號，去掉括號后，括號里的各項(xiàng)都改變符號.

也就是說,遇“加”不變，遇“減”都變.

教師問11：把下面兩個(gè)等式的左右兩邊反過來，得到什么？(出示課件20)

a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b-c.

學(xué)生回答：

a+b+c=a+(b+c);

a-b-c=a-(b+c).

教師問12:你能總結(jié)出添括號法則嗎？

學(xué)生小結(jié)：添括號其實(shí)就是把去括號反過來。

也是：遇“加”不變，遇“減”都變.

教師總結(jié)點(diǎn)撥：(出示課件21)

添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號;如果括號

前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號(簡記為“負(fù)變正不變”).

例4:運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(出示課件22)

(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.

師生共同解答如下：

解：⑴原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]

=x2-(2y-3)2

=x2-(4y2-12y+9)

=x2-4y2+12y-9.

⑵原式=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.

出示課件23,學(xué)生獨(dú)立思考后解答，教師給出答案.

(三)課堂練習(xí)(出示課件25?28)

1.運(yùn)用乘法公式計(jì)算5-2＞的結(jié)果是()

A.a2-4a+4B.a2-2a+4

C.a2-4D.

2.下列計(jì)算結(jié)果為2ab-a2-b2的是()

A.(a-b)2B.(-a-b)2

C.-(a+b)2D.-(a-b)2

3.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：

(1)(6a+5b)2=;(2)(4x-3y)2=;

(3)(2m-1)2=;(4)(-2m-l)2=.

4.由完全平方公式可知：32+2x3x5+52=(3+5)2=64,運(yùn)用這一方法i一算:

4.3212+8.642x0.679+0.6792=.

5.計(jì)算:⑴(3a+b-2)(3a—b+2);(2)(x-y-m+n)(x-y4-m-n).

6.若a+b=5,ab=6,求a2+b\a2ab+b2.

7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.

參考答案：

1.A

2.D

3.(l)36a2+60ab+25b2(2)16x2-24xy+9y2(3)4m2-4m+l(4)4m2+4m+l

4.25

5.解:⑴原式=[3aI(b-2)][3a-(b-2)]

=(3a)2-(b-2)2

=9a2-b2+4b-4.

(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]

=(x-y)2-(m-n)2

=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.

6.解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2x(-6)=37;

a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.

7.解：?.?x+y=8,，(x+y)2=64,KPx2+y2+2xy=64?;

?.?x-y=4,/.(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②；

由①得4xy=48,xy=12.

(四)課堂小結(jié)

今天我們學(xué)了哪些內(nèi)容：

1.完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a—b)2=a2-2ab-I-b2

2.添括號法則：遇“加”不變，遇“減啷變

（五）課前預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)下節(jié)課（17.1）的相關(guān)內(nèi)容。

知道公因式、提公因式法的定義

七、課后作業(yè)

1、教材第115-116頁練習(xí)第1,2,3題，教材第117頁練習(xí)第1,2,3題,

教材第117/18頁習(xí)題16.3第2,6,7題.

2、如圖,長方形ABCD的周長是20cm,以AB,AD為邊分別向外作正方形

ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面積之和為68cm2,

那么長方形ABCD的面積是（）

A.21cm2B.16cm2C.24cm2D.9cm2

八、板書設(shè)計(jì):

法則