2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共12頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試

卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選

出符合題目要求的一項(xiàng).

1.集合M={*2x-1>5},N={1,2,3},則MDN=（）

A.{123}B.{2,3）C.{3}D.0

2.已知復(fù)數(shù)z滿足i.z+2=2i,則|z|=（）

A.OB.272C.4D.8

3.雙曲線Y-4y2=4的離心率為（）

A.立B.正C.-D.75

224

4.為得到函數(shù)y=9'的圖象，只需把函數(shù).y=3’的圖象上的所有點(diǎn)（）

A.橫坐標(biāo)變成原來(lái)的g倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)變成原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變

C.縱坐標(biāo)變成原來(lái)的;倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)變成原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變

5.已知d}是公差不為0的等差數(shù)列，4=-2,若成等比數(shù)列，貝（）

A.-20B.-18C.16D.18

6.已知?jiǎng)t（）

11、1

A.a2+b2>2abB.—+->——

abab

112

C.a+b>4abD.—+—<—f=

aby/ah

7.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)?。，則“函數(shù)的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MeR,存在小￡。,

使得卜M”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

8.設(shè)函數(shù)/（x）=sin（3）+cos（3：）（G>0）,若/（x+兀）=/（x）恒成立，且/"）在0。上存

_4_

在零點(diǎn)，則口的最小值為（）

A.8B.6C.4D.3

9.在一定條件下，某人工智能大語(yǔ)言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間T=Hog2N（單

位:小時(shí)小其中左為常數(shù).在此條件下，己知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從IO，、個(gè)單位增加到1.024x10。個(gè)

單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí)；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024X]。'）個(gè)單位增加到4.096x10,個(gè)單

位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加（單位：小時(shí)）（）

A.2B.4C.20D.40

10.已知平面直角坐標(biāo)系式。y中，|04|=|08|=及，|/^|=2,設(shè)。（3,4）,則I2C4+A8I的

取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.拋物線），=2px（〃>0）的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,則〃=.

2l

12.已知（1一2x）4=4_2。/+4a2x-86./+1644y,則4=:q+%+4+/=

13.已知6分￡1。,2冗],Hsin（a+/?）=sin（a-/）,cos（a+/?）^cos（tr-/?）,寫(xiě)出滿足條件的

一組〃=，B=.

14.某科技興趣小組通過(guò)3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中力88￡尸

是一個(gè)平行多邊形，平面AR/_L平面力8C,平面7CQ_L平面力8C,

AB工BC,AB//RS//EF//CD,AF//ST//BC//ED,若

AB=BC=8,AF=CD=4、AR=RF=TC=TD=三,則該多面體的體積為.

:存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)Ax）使得〃幻+f（2x）=r恒成立;

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

n存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)/(x)使得/'(x)+/(2x)=r恒成立：

匚使得“T)+/(T)=COSX恒成立的函數(shù)/(X)存在且有無(wú)窮多個(gè)；

匚使得-/(--V)=COSA恒成立的函數(shù)/(X)存在且有無(wú)窮多個(gè).

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.在人AC中，cosA=--,asinC=4V2.

3

(I)求c；

(2)在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得A8C存在，求8c的高.

a=6；bsinC=~^~'124BC面積為10五.

17.四楂錐P—A8CO中，與.A8C為等腰直角三角形，乙4。。=90。，/BAC=90。,

E為8C的中點(diǎn).

(1)尸為P。的中點(diǎn)，G為收的中點(diǎn)，證明：FG//面乃IB；

(2)若P4_L面力6a),PA=AC,求,44與面尸CD所成角的正弦值.

18.有一道選擇題考杳了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對(duì),

乙校有75人答對(duì)，用頻率估計(jì)概率.

(1)從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)人做對(duì)該題H的概率.

(2)從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對(duì)的人數(shù)，求恰有1人做對(duì)的概率以及X的數(shù)

學(xué)期望.

(3)若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有100%的概率做對(duì)該題目，乙校同學(xué)掌握這個(gè)知汛點(diǎn)則有

85%的概率做對(duì)■該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，設(shè)甲

校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為P.乙校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為生，試比較巧與〃2的大

小(結(jié)論不要求證明)

=1的離心率為日,

19.己知E:一橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4,

ah

(1)求橢圓方程;

1.D

【分析】先求出集合M，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)镸={x[2.r-l>5}={x|x>3},所以McN=0,

故選：D.

2.B

【分析】先求出復(fù):數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出.

【詳解】由i?z+2=2i可得，z==a=2+2i,所以目=亞百=2夜，

故選：B.

3.B

【分析】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出即可求出離心率.

【詳解】由f-4/=4得，—-y2=1,所以"=4,〃=|/=/+//=5,

-4

即a=2,c=>/5?所以e=上=,

a2

故選：B.

4.A

【分析】由y=9，=32',根據(jù)平移法則即可解出.

【詳解】因?yàn)閥=9'=32,所以將函數(shù))，=3、的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的3倍，縱

坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù))，=9、的圖象，

故選：A.

5.C

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為d，(dHO),

因?yàn)橥猓叮?成等比數(shù)列，且4=-2,

所以即(―2+3d『=(—2+2d)(—2+5d),解得4=2或"=。(舍去)，

所以如)=4+9d=-2+9x2=16.

故選：C.

6.C

【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)a=b時(shí),a2+b2=2ab?故A錯(cuò)誤:

,,1111

-?_LTcc1,1|l1=2+4=6<--=8o=

對(duì)于BD,此時(shí)ab11ab?

24—x—

24

—+—=2+4=6>[2=4夜=二

ab/TT瘋，故BD錯(cuò)誤；

V2X4

對(duì)J，C,由基本不等式可得a+〃2,故C正確.

故選：C.

7.A

【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.

【詳解】若函數(shù)/")的值域?yàn)镽,則對(duì)任意MeR,一定存在百c。，使得/(”J=|M|+1,

取/=N，則|/(/)|=|M|+1>M,充分性成立；

取〃x)=2:D=R,則對(duì)任意MeR,一定存在使得〃％)=眼|+1,

取與=為，則=但此時(shí)函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0,+/),必要性不成立；

所以“函數(shù)〃幻的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MwR,存在毛€。，使得的充分不必

要條件.

故選：A.

8.C

【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點(diǎn)即可求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=sin(aur)+cos(fWA)=V2sin(5+—)(co>0),

4

設(shè)函數(shù)/(x)的最小正周期為T(mén),由/U+7C)=f(x)可得及丁=兀,(&cN),

所以7=幺=?,(我葉)，即啰=2攵,(此用)；

又函數(shù)/(x)在上存在零點(diǎn)，且當(dāng)xw0。時(shí)，⑷+,

L4J14j4[444_

所以畔兀,即023；

44

綜上，。的最小值為4.

故選：C.

9.B

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時(shí)所需的時(shí)間，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)當(dāng)N取IO，，個(gè)單位、1.024x1()9個(gè)單位、4.096X1CP個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為ZZZ,

6

由題意，7；=Jtlog210=6^1og210,

9lo6

7；=A:log2(1.024xi0)=^log2(2xl0)=)l(10+61og210),

9,2ft

7；=Z:log2(4.096xl0)=A:log2(2xl0)=A:(l2+61og210),

因?yàn)?-7；=左(10+610g210)—6Alog210=l。攵=20,所以k=2,

所以4-(=k(12+61og210)-M10+6log210)=2A=4,

所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024x1()9個(gè)單位增加到4.096x109個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).

故選：B.

10.D

【分析】先根據(jù)AB=OB-OA，求出〈04,08〉，進(jìn)而可以用向量04,08表示出2cA+AB,

即可解出.

【詳解】因?yàn)閨。4|=|0例=應(yīng)，|/\例=2,

由AB=OB-OA平方可得，O4OB=0，所以〈。4。8〉=].

2CA+AB=2[OA-OC)+OB-OA=OA+OB-2OC,10cl=打+4?=5,

所以，|2C4+=Ol+OB2+40c2-4(OA+03).OC

=2+2+4x25-4(OA+OB)OC=104-4(OA+O孫OC,

又(OA+OB)-OC<\OA+OB^OC\=5x42+2=\0,g|J-10<(6A+f9B)-OC<10,

所以12cA+同屋[64J44；,即12cA+AB\G[8,12],

故選：D.

11.6

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求P的值.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)到焦距的距離為微，故5=3,故〃6,

故答案為：6.

12.115

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】利用賦值法可求4)，利用換元法結(jié)合賦值法可求％+%+%+%的值.

【詳解】令x=0,則%=1,

424

又(1-2x)=《)-2qx+4ayX-8a鼻丁+16?4x,

34

故(1-2x)“=%+4(-2x)4-a2(-2x)2+%(-2A)+?4(-2x),

4af24

令/=-2.v,則(1+/)=/+%，+2+4r+a4t,

令/=1,則/+4+%+%+4=2“，故4+%+q+a4=15

故答案為：1,15.

13.g(答案不唯一)7(答案不唯一)

26

【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關(guān)系可得角的等量關(guān)系，從而可得滿足條件的一組解.

【詳解】因?yàn)閟in(a+/?)=sin(a-￡),cos(a+/7)^cos(a-/7),

所以a+4，a-〃的終邊關(guān)于)，軸，且不與軸重合，

故2+/?+。一/?=兀+2仄,2￡2且。+〃工］+阮/eZ,

即a二色+E,AwZ,

2

7TTT

故取a=?.￡=B可滿足題設(shè)要求：

2o

故答案為：三，7(答案不唯一)

20

14.60

【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱AH尸-BHr和四楂錐B-HTSE后結(jié)合體積

公式可求幾何體的體積.

【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：如果平面。_L平面7,平面，，平面7,平面。】尸=/,貝心,九

證明：設(shè)ac/=a,p(\7=b,在平面/取一點(diǎn)。，。定aQ*b、

在平面，內(nèi)過(guò)。作直線〃?，使得"」a,作直線〃，使得〃山九

因?yàn)槠矫鎍>1平面7,機(jī)uy,故加_La,而/ua,故w_L/,

同理〃_L/,而〃=故/_Ly.

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

下面回歸問(wèn)題.

連接8￡,因?yàn)榍?/〃BC,故同理AC_LCO,EFLED,

而A4=3C=&AF=CD=4,故直角梯形A8EE與直角梯形CBED全等，

故/BEF=NBED=45。,

在直角梯形4出下中，過(guò)6作皮T_LEF,垂足為T(mén),

則四邊形ABTF為矩形，且一BTE為以NBTE為直角的筆腰直角三角形,

故所=口+7七=48+87=48+4尸=12,

平面兄4尸1.平面A跖”，平面夫人/D平面A8M=A廣，AF1AB,

48<=平面從8所，故48，平面凡4”,

取人尸的中點(diǎn)為M,BE的中點(diǎn)為U,CO的中點(diǎn)為V,連接RM,MU,SU,UV,

則MU//RS,同理可證RAI_L平面A8E尸，而RA/u平面RWUS,

故平面RMUS_L平面48日;同理平面VUS_L平面4麻尸，

而平面RMUSQ平面WS=SU,故SU_L平面

微RMHSU,故四邊形HWUS為平行四邊形，故MU=RS=g(8+12)=10.

在平面中過(guò)8作3H//AR,交RH于〃，連接HT.

則四邊形為平行四邊形，且故RH"FT、RH=FT,

故四邊形/37H為平行四邊形，

而3"_LAB.BT1.AB.BTI3H=B,BT,BHu平面BHT.

故A4_L平面BHT,故平面八尺尸〃平面BHT,

而AR=BH,RF=HT,AF=BT,故△ARP=△B〃7'，

故兒何體ARF-BHT為直棱柱，

因?yàn)锳8〃￡F,故E/_L平面ARb,

而以'u平面"5七尸，故平面ARb_L平面A3,上尸，

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

在平面AR尸中過(guò)A作AGJ_R〃，垂足為G,同理可證4GJ?平面,

I[21I?15

而不AGxRF=3,故AG=《，故心〃=十彳乂式2+4)><5=6，

乙D。。乙乙

由對(duì)稱性可得幾何體的體積為2X(24+6)=60,

CVD

故答案為：60.

15.□□

【分析】利用反證法可判斷□□的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗(yàn)證后可判斷□□的正誤.

【詳解】對(duì)于口，若存在R上的增函數(shù)“X),滿足“x)+/(2x)=r,

則〃0)+/(2x0)=-。即"0)=0,

故x>0時(shí)，/(4x)>f(2x)>/(x)>0,故/(4x)+/(2x)>/(x)+/(2x),

故一即x<0,矛盾，故Z1錯(cuò)誤;

對(duì)于口，取=該函數(shù)為R上的減函數(shù)且/(X)+〃2X)=T,

故該函數(shù)符合，故U正確;

對(duì)于□,取=gcosx+nix,me

此時(shí)f(x)+/(r)=cosx,由切wR可得/(另有無(wú)窮多個(gè),

故II正確；

對(duì)于口,若存在/(%),使得f(X)-f(T)=C0SX,

令人=0,貝i」0=cus0,但csO=l,矛盾，

故滿足/(力-/(—)=8$K的函數(shù)不存在，故匚錯(cuò)誤.

故答案為：口口

16.(1)6

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

（2）若選口，可得AC都是鈍角，矛盾；若選□,由正弦定理、平方關(guān)系求得，sinRcosB,

進(jìn)一步由AO=csinA求得高，并說(shuō)明此時(shí)三角形ABC存在即可；若選口，首先根據(jù)三角形

面積公式求得〃，再根據(jù)余弦定理可求得〃，由此可說(shuō)明三角形ABC存在，且可由等面積法

求解人Q.

【詳解】（1）因?yàn)閏osA=-!，人￡（0,冗），所以sinA=J1-cos?A=豆1,

33

由正弦定理有asinC=csinA=j2c=4j5,解得c=6；

3

（2）如圖所示，若ABC存在，則設(shè)其8C邊上的高為AO,

若選ZI,a=6,因?yàn)閏=6,所以C=A,因?yàn)閏osA=-：<（）,這表明此時(shí)三角形/WC有兩

個(gè)鈍角,

而這是不可能的，所以此對(duì)三角形48c不存在，故8c邊上的高也不存在；

若選口，力sin。=1。點(diǎn),由正弦定理有Z?sinC=csinB=6sinB=,解得

339

..°I,50y/31上5亞10x72

止匕時(shí)cosB=Jl-----=------,Ai)=csinA=6x------=--------,

V81993

rfucosZ.DAB=sinB,sinZ.DAB=cosB,cosA=--,sinA=冬區(qū)，

33

2

所以cosZCAD=cos(ZCAB-/BAD),sjn^CAD=71-cosZC4D可以唯一確定，

所以此時(shí)CAC。也可以唯一確定，

這表明此時(shí)三角形A8C是存在的，且8c邊上的高/1。=山2；

3

若選，ABC的面積是10五，則S人8c='bcsin八=,2>6乂^^=10夜，

?八223

解得力=5,由余弦定理可得。=病17與嬴7=,25+36-2?5?6-1-g）=9可以唯一確

定，

進(jìn)一步由余弦定理可得cosacosC也可以唯一確定，即B,C可以唯一確定,

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

這表明此時(shí)三角形ABC是存在的，且8c邊上的高滿足：SABC=^a-AD^AD=\042,

即3型.

9

17.(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

(2)T

【分析】(1)取物的中點(diǎn)N,P8的中點(diǎn)M,連接FN、MN,只需證明/G〃MN即可；

(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線月3的方向向量與面尸。。的法向量，根據(jù)向量

夾角公式即可求解.

(詳解](1)取以的中點(diǎn)MPB的中點(diǎn)M,連接FN、MN,

?「4ACO與.48c為等腰直角三角形/ADC=90。，NB4C=90。

不妨設(shè)AO-CO=2,「.AC=AB=2x/2

ADC-4,E、“分別為〃C、的中點(diǎn)，：.FN=]-AD=\yBE=2,

:.GM=1,

ND4C=45。，ZACT=45°

/.AD//BC,

:.FN//GM,

n四邊形產(chǎn)GMN為平行四邊形，

:.FG//MN,

Ga面刃8,MNu面以8,「.EG〃面弱8；

(2):總_1面48。。，.??以力為原點(diǎn)，AC.AB、4尸爐在直線分別為x、y、z軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=CD=2,則4(0,0,0),B(0,25/2,0),C(272,0,0)0(V5,->/2,0),P((),0,272)

AZ?-(0,2>/2,0),DC=(V2,V2,0),CP=(-2五,0,2亞)

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

設(shè)面PCD的一個(gè)法向量為〃=（%,y,z）

loCn=0(>/2x+V2y=0

[CPh=0'[-2y/2x+2y/2z=0

取x=1,.?.y=z=n=(1,-1,1)

設(shè)48與面PC。成的角為0

|人小〃_|0x1+2&x(-1)+0xl|2近百

則sin〃=|cos〈A4,〃〉|=

\AB-n\2后.?+(_])2+]22x/25/3-T

即AB與平面PCD成角的正弦值為蟲(chóng).

3

4

18.（1）-

(2)0.35,E(X)=L55

（3）Pi<Pi

【分析】（1）用頻率估計(jì)概率后可得從甲校隨機(jī)抽取1人做對(duì)該題目的概率；

（2）利用獨(dú)立事件可求恰有1人做對(duì)的概率及X的分布列，從而可求其期望；

（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于外區(qū)的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系.

【詳解】（1）用頻率估計(jì)概率，從甲校隨機(jī)抽取1人，做對(duì)題目的概率為3泉=1.

（2）設(shè)A為“從甲校抽取1人做對(duì)“，貝"（A）=0.8,則尸（彳）=0.2,

設(shè)B為“從乙校抽取1人做對(duì)”，則P（8）=0.75,則P（Z）=0.25,

設(shè)。為“恰有1人做對(duì)“，故P（C）=P（A司+P（,8）=P（A）P.）+P（Z）P（8）=0.35,

而X可取。1,2,

p（X=0）=P（A5）=0.05,P（X=l）=0,35,P（X=2）=0.8x0.75=0.6,

故X的分布列如下表：

X012

P0.050.350.6

故石（X）=1x0.35+2x0.6=1.55.

（3）設(shè)。為“甲校掌握該知識(shí)的學(xué)生”，

因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有100%的概率做對(duì)該題目，

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，

故P（Q）+：（l_P（O））=0.8即PI+；x（l_〃J=0.8,故四=￡，

同理有0.852+-X（1—J=0?75,故〃2=7，

4'6

故<〃2.

19.（1）—+^-=1

42

之3

（2）

52\OB\

【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出，，c,再根據(jù)。，慶。的關(guān)系求出力，即可得到橢

圓方程;

|。4|S\AM\

（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出回，再根據(jù)?=命小，即可得出

它們的大小關(guān)系.

法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到乙40M=再根據(jù)三角形的

面積公式即可解出.

【詳解】（1）由橢圓可知，2a=4,所以a=2,又e=￡=亞，所以c=a,b2=a2-c2=2,

a2

故橢圓方程為工+上=1;

42

■V+2yoy-4=02

（2）聯(lián)立//，消去x得，一』'+2/=4,

IT+T=1-

整理得，（24+44）V-16%），+16-=（）□,

又年+自=1,所以2x；+4y；=8,16-4石=8y；,

故口式可化簡(jiǎn)為分'2_|6%），+8M=0,即（J，-%）;。，所以產(chǎn)兄，

所以直線%/+2%>-4=0與橢圓相切，M為切點(diǎn).

設(shè)4（布）1），8（0乃），易知，當(dāng)％=當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，2=探.

故設(shè)％2</<芭，如后如知工不=一網(wǎng)畫(huà)1=―土一包「=土二也

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

)一

聯(lián)立x..;x+22ymny-4=0，解得V4一-4'，，=2,

聯(lián)立尸產(chǎn)一1，解得.=3,％=一2,

ly=-2%

IJ

S—Xf)二與。=4-4%一4

s

z_4+4找其一4)，0-4

人0

2)1.%=2f

-2犬-4%2+y0

，（一%）；

41+x_,4(1一凡)~+4_2)，：=&_4%+4_2-y()

阿+方+石j4(l+%)2+4-2y；&+4.V°+42+%，

嶺溜

S、。4

法二：不妨設(shè)4（內(nèi),乂），8|吃,必），易知,當(dāng)內(nèi)=占時(shí)，力對(duì)稱性可知，￡=舄?

、\（）8\

故設(shè)々＜/＜內(nèi)，

聯(lián)立｛:7'…解得』T’m,

x.x+2V-4=04+4%.

聯(lián)立。二°，解得看=—=-2,

15二一2%

與券

所以tanZAOM==2-2%/

1

+%人?k°Mj+_迎_xA

2-2%左

_片+2)；_2%__4_2為_(kāi)2

%(%-2)用(%-2)/

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

tan4BOM=%f/2+2”_K+2.v：+2.v。_4+2.%_2

}+kUM'kOB.,2oV%(%+2)/(兄+2)/'

I十x

X。

則tanZAOM=tanZBOM,即ZAOM=/BOM,

、S、\OA[\OM\sin^AOM\OA\

所以W=\OB\\OM\sinZBOM二兩'

（2）證明見(jiàn)解析

2-1

⑶［目e,1）

e+1

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值;

（2）求出直線乙的方程，再構(gòu)造函數(shù)萬(wàn)（力，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可;

（3）求出直線/，的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母”表示出網(wǎng)二仁工

工2一%

從而求出范闈.

【詳解】（1）設(shè)g&）=rG）,g,（%）=$（""一?（"?\）

（1+X）2（1+X>

由g'(x)=O可得x=e-l,當(dāng)xe(-Le-l)時(shí),g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(e-l,+e)時(shí),g'(￡l<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以r（x）的最大值為r（e-1）=L

e

（2）因?yàn)閞（〃）=曾13所以直線乙的方程為），-〃。）=岑空（工-4）

即

hi(l+?)

(%—a)+/(〃)，

\+a

設(shè)力（x）=/（x）-叱：“）（…）+“。），%）=M￡'）」3二：）=/'（X）-⑷,

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

由(1)可知，/'(%)在上單調(diào)遞增，而

所以，當(dāng)-l<x<a時(shí)，”(x)<0,單調(diào)遞減,

當(dāng)o>x>〃時(shí)，"(”>0,力(司單調(diào)遞增，且r(〃)<r(o)=o,

而當(dāng)“NO時(shí),尸(加蛆回N0,所以總有r(x)NrW)，Mx)單調(diào)遞增

故〃(x)N〃(a),從而命題得證；

(3)由J。0+力可設(shè)/⑴=吧!**)+C,又"0)=0,所以C=0,即

/(加天，

因?yàn)橹本€4的方程為)，「,[：)(工-〃)+皿，“),易知。工0,

所以直線4的方程為,y=-J："\(X-a)+1n*),

ln(l+aj2

.a(l+a)ln(l+a)"(1+a)

…2'22(")-

(1+a)In(1+G)In3(1+?)

=2-2(")=(l+a)5(l+a)

W-％ln'(l+%(l+a)hi(l+a)ln2(l+a)+-(l+?)2

2(1+〃)2-

i>n2(l+?)

1----------------2-2

二iJ"?二:且2，|=-]+~；―由“)知，當(dāng)x>°時(shí)，^(x)e(0,-],所以

ln-(l+a)1+g(〃)l+g《)e

(l+4

/(。)W(0,-T],

e

Ue2a-Xj-,r,e"-1

所以----!~^efr^—,1).

x2-e~+1

21.(1)(67)或(7,6)

(2)不能，理由見(jiàn)解析

(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)新定義即可得解：

(2)假設(shè)(3,2)與(4,4)能同時(shí)在C中,導(dǎo)出矛盾,從而得出(3,2)與(4,4)不能同時(shí)在Z■中的

答案第13頁(yè)，共15頁(yè)

結(jié)論；

(3)假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)我列，通過(guò)構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論.

【詳解】(1)根據(jù)題目定義可知，或卜廣

l>'.+i=X±4M=%±3

若第一項(xiàng)為(3,3),顯然％=