2026高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講20.導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合性壓軸

含答案20.導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問題研究

一.基本原理

1.將看g（〃）作為新數(shù)列｛%｝的前〃項和S“，求出對應(yīng)的項％,則不等式即可看成是

￡>,〉汽4的形式，可以通過證明項的大小關(guān)系（即來得到和的大小關(guān)系

J=l1=1

2.由函數(shù)不等式生成數(shù)列不等式

(1)In兒,X-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號；ln(l+x)?x,當(dāng)且僅當(dāng)x=O時取等號.設(shè)a,=-,

n

則即皿竺進(jìn)一步可得in5+l)—ln〃<L.對1ns從"=1

In)nnnnnn

到〃進(jìn)行累加，有In2—In1+In3—In2+?,+ln(z?+1)—In/?<1H—卜4—，即

2n

ln(77+l)<1+—+??+—

2n

in(IAMI1

(2)若為=F，則1+77cz7T.因為ln(1+幻<x,當(dāng)工=”時，

〃k=\'k)gkk

對k從i到〃求和即得該不等式.

Ik）k

2x11?2

ln(l+x)>——/>(),令工=7,可得In1進(jìn)而

2+xy/nI

1

In—>.通過累加可得ln(/z+1)>

n，〃+2

U4-1_2_1xI

(4)設(shè)〃“=——貝Ij￡ln—J—>Zv；~~.因為ln(I+x)>；；-----，工>(),令x=7,

〃+1￡k仁2(2+1)2+xk

(1\j11網(wǎng)k+1n\

則In1+->-^=-->——，對k從1到〃求和可得丁〉ZkT

Ik)2+12八12U+1)￡k￡2伏+1)

I

3.迭代放縮

（1）.如果</（%），那么%"v/Qz）〈…尸（%）,這樣的話，經(jīng)過了迭代，我們

就能得到一個通項的估計.

所以，使用迭代放縮的關(guān)鍵是找到相鄰兩項之間的一個不等關(guān)系，而這也是這類題目的難

點，題干可能往往需要通過函數(shù)關(guān)系來生成迭代.

(2).在下面的例1與例2中，我們看到了這樣的一個放縮模式:

考慮函數(shù)/3)="?lnx+/+以+8〃?/()),通過選擇合適的系數(shù)，做到如下遞推關(guān)系：

《必用m二〃*"+可+〃>+，’①,并且讓%>1或者讓％取到一個明顯

%

的下界

然后為了構(gòu)造出迭代關(guān)系，我們選擇放縮lnx<g(x),放縮的依據(jù)就是為了讓①式中的常

數(shù)項，.被抵消，這樣就可得到，

%="+可+網(wǎng)+〃,?勺+份=一一〃)的迭代不等式.比如綿陽一

4,

診是之前的福建質(zhì)檢是當(dāng)x>l時,

3

ln-v<^(x-l),都是這個目的.

二.典例分析

例1.(2022年新高考2卷)已知函數(shù)/。)二刀*-/.

(1)當(dāng)。=1時，討論/(.v)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時，求。的取值范圍；

(3)設(shè)〃d證明：j1+/'+...++.

\T+1V22+2yjn2+n

解析：(3)設(shè)為=：,設(shè)"的前〃項和為5”，則5.=/〃(〃+1),當(dāng)〃22時，

7H24-口

=S—S,—/〃(〃+1)-Inn—In---,要想證明/T—1+...?<-/>/〃(〃4-1),

〃VI2+1V22+2

即證明/?L即證明‘；"一〃>/〃歸,卻證明回耳,加！Ltl

y]n2+n〃+nVnV〃+ln

令/=〃wN*,.」=>1,構(gòu)造函數(shù)=

/.^'(/)=1+-^--y=-——=11)9'(/)>0在,€(1,+00)上恒成立，:.夕(1)>3(1)=0,

，一;>2"(/>1),愣一恁>吟

在〃eM恒成立,

/1>/〃竺eN,)恒成立，〃=1時，—>ln2①，〃=2時，——>ln-@f

“(”+1)〃\7VF7TVFT22

4

〃=3時,>/〃一③,n=n—\[n>1,nGN*)時,

3&L1)2+(〃_])，I

eV),把所有不等式都相加，

?二—/+―/-+...4—.->ln(n+1)

Vl2+1\I22+2yln2+n

所以原不等式—=+/=+...+,I+

Vl2+1V22+2

例2.(江蘇省南通市2025屆高三二模)已知函數(shù)〃eN*.

X

(1)證明："X)有唯一零點；

(2)記/(X)的零點為4.

(i)數(shù)列｛對｝中是否存在連續(xù)三項按某順序構(gòu)成等比數(shù)列，并說明理由；

(ii)證明：2l\/n+l-1)<X—-----；---?

'7勺42

解析：(1)當(dāng)x<0時，/(-t)>0,所以/(x)在(F,0)上無零點，因為r(x)=ei+￡>0,

所以〃x)在(0,+動上單調(diào)遞增，所以/“)在(0,+8)上至多一個零點，當(dāng)〃=1時，“X)有

唯一零點1.當(dāng)〃22時，因為“1)=1-“v0,/(/t)=e<-,-l>e-l>0,所以函數(shù)〃“有

唯一零點，得證，

(2)(i)由(1)知，e^-'=—,且可>0,兩邊取自然對數(shù)，得為+ln%=ln〃+l,①

所以4+i+ln4+i=ln(〃+l)+l,兩式相減，得4任1-q,+ln%-lna“=ln->0,所以

4“+lna“”>4+ln%.因為函數(shù))，-x+lnx在(0,+a)上單調(diào)遞增，所以所以數(shù)列

｛《,｝單調(diào)遞增.假設(shè)數(shù)列｛4｝中存在4”，J，聯(lián)成等比數(shù)列，則乙1=冊“2，

所以21呻向=*”+1114/2.由①式得，lnt7w=lnw+代入上式，得

21n(/n+l)-2attl+l=\nm-altl+\n(m+2)-限,

24+「(品+?”+2)=E.②因為例>0,所以為向一(知+勺+2)&2a,向一2瘋?cè)?。，

"［1；(陽：］+)2)、

又%需2廣”〃：黑；?>血=0,所以方程②無解.所以數(shù)列｛q｝中不存在連續(xù)三項

按某順序構(gòu)成等比數(shù)列.

(ii)先證明：x>0時，x-1>lnr,③設(shè)g(x)=x-l-lax,則g［x)=^—,

所以當(dāng)XG(0，l)時，g'(x)〈o.g(x)單調(diào)遞減：當(dāng)工€(1.+功時,g(x)單調(diào)遞增.

所以x(x)?g(l)=。，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立.由③式知，ln〃=qt+lnq「1221叫，

3

IA1

2x-l<(),.'.r(x)>0,則/(x)在0,3上單調(diào)遞增,當(dāng)上Ix〉l時，x-140,

(2J2

2一整0,.?/(“WO,則〃x)在pl上單調(diào)遞減，

,(11133

???/(x)max=77=ln7+7-7+4/=7-In2,解得。=2.所以實數(shù)“值為2.

(2)(i)由(1)知，/(X)=lnx+x2-3x4-2,

lna“+Y+l

所以2q4出=Inan+a；-34+2+3勺一1，即an+}

,、Inai

Qq+122q,,???《川之『n+1,

’3”

4

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明4“>1,(〃之2,〃6z),當(dāng)〃=2時，

],n~

生之署+1=飛$+1>1，假設(shè)〃二&伏之2,&wZ)時，命題成立，則4>1,

3

、Ina,,,

當(dāng)〃=Z+1時，有％7之#+1>1成立，所以上述命題對〃之2,〃sZ,均有q>1成立.

2%

(ii)當(dāng)〃=1時，3|1-4=112成立,當(dāng)〃之2時，令W=mx+l,則“(%)=,

XX

當(dāng)0<“<1時，夕。)〉0,當(dāng)戈>1時，d(x)<0,所以0(司在(0,1)上單調(diào)遞增，在

(i,+oo)上單調(diào)遞減，則0(%)</(1)=1,所以

lna+a；+l1f1+In11//\\1+?！眂ii-11

即黃F<5'又由

2a,2a:2[[n)n)2

⑴知〃“>1,則4川一1<為”一1),，3加一4|=3](《-1)+(〃2-1)+1+(〃“-1)]

，r=l

1J

<3(a-l)|1+-+4+L+-LH=3xlx-21=2|1-—|,Q—>0,

2n

[J4222-')\31IT)2”

2

gp3^|l-?f.|<2,得證.

例5.(福建省2024屆高三質(zhì)檢)對于函數(shù)f(x),若實數(shù)。滿足“％)=.%,則稱與為。%)的

不動點.已知。20,且/。)=jnx+ad+i-的不動點的集合為A.以minM和max”分別

表示集合M中的最小元素和最大元素.

5

(1)若a=0,求A的元素個數(shù)及maxA；

(2)當(dāng)A恰有一個元素時，。的取值集合記為兒

⑴求B;

f(a)4

(ii)^a=minBf數(shù)列伍”}滿足4=2,=-,集合C“={Z|q--,〃eN".

a

nI￡=13,

4

求證：maxQ=~?

解析：(1)當(dāng)。=0時，其定義域為(0,+。).由=x得;Inx-x+l=0.

設(shè),式工)=3瓜丫一“十1，貝1J/(X)=E，當(dāng)尤仁(0，￡；時，/(x)>0；當(dāng)十8卜J,

/(6<0；所以g(x)在［。，￡|單調(diào)遞增；在(；，+8；單調(diào)遞減，注意到屋1)=0,所以g(x)

在；,日恰有一個零點工=1,且⑴=0,又杰-2)=-e-2<0,所以

g(e-2)g(g)<0,所以g(x)在(0,5恰有一個零點小，即/(x)在攝+8)恰有一個不動點

x=l,在恰有一個不動點.3%,所以A={%［},所以A的元素個數(shù)為2,又因為7<1,

所以maxA=1.

(2)(i)當(dāng)。=0時，由(1)知，A有兩個元素,不符合題意;當(dāng)"0時，/(”=3時+加+1-，，

其定義域為(。,+a),由/(X)=x得'nx+ad-x+1-。=0.設(shè)〃(x)=gInr+or?一3+1一〃，

xe(O,+a?),貝|j〃(x)=J_+2ax-1=-2A+1,F(x)=4ar-2x+l,貝||△=4一16a,

2?x2aA

①當(dāng)a二;時，△工0,廠(%)30"(刈30,所以/心)在(0,4^)單調(diào)遞增，又刈1)—0,所以〃(“)

在(。，+8)恰有一個零點x=l,即“力在(。，+8)恰有一個不動點x=l,符合題意；

②當(dāng)0<〃<；,A>0,故F(x)恰有兩個零點大,9(內(nèi)<七).又因為

F(0)=l>0,F(l)=4tz-l<0,所以0<玉<1<^，當(dāng)4￡(0,芭)時，F(xiàn)(x)>0,//(x)>0；當(dāng)

㈤時,F(x)<0,/?,(x)<0；當(dāng)xe(w，+e)時，尸(x)>0,/(x)>0；所以力(力在(。,二)

單調(diào)遞增，在(%/2)單調(diào)遞減，在(巧,也)單調(diào)遞增；注意到人(1)=。，所以aW在(不工2)

恰有一個零點x=l,且力(％)>〃⑴=0,/?(王)</91)=0,又x->0時，h［x)^-oot所以〃(x)

在(0出)恰有一個零點與，從而了(“至少有兩個不動點，不符合題意；所以〃的取值范圍

為［；,十:|,即集合8=「1+J|?

L4)1_4J

2

(ii)由(i)知，8=：,+8］，所以4=min8=L，此時，f(x)=^-in.x+^-x+^-t

4)47244

6

1IQ

h(x)=-liiv+-x2-A+-,由(i)知，〃(x)在(O,+8)單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)X>1時，/2(%)>/2(1)=0,所以/(x)>x,即叢。>1,

X

故若則21,因此，若存在正整數(shù)N使得叫Y1,則外從而叫2G，

重復(fù)這一過程有限次后可得64，與q=2矛盾，從而，下面我們先證明

當(dāng)x〉l8^,liiv<-|(x-l)，S^(^)=ln.r-^x+-|,xw(l,y),所以G<x)=，-'='^vO,

所以G(x)在(1,+8)單調(diào)遞減，所以G(x)<G⑴=0,即當(dāng)X>1時，lar<|(x-l),

I1,3

從而當(dāng)x>l時，〈lnx+_JX,從而/g+d"+4]/WYI\?即

24444----------------------

x4

-1—,故/”_1<以4_1),即％T"一1),由于為>1,

x4an44

所以??+1-1>0,故|，*-1|<(|勺-1|,故〃22時，

-U<《MT-U<…<擊14T=/7，

""[1一"An"1、4zl

所以皿￡川,2|4-1區(qū)￡布=-T=一/卜屋故maxC“=1?

1-4

(ii)解法二：同解法一可得，W〃GN*,4>1,下面我們先證明當(dāng)工>1時，huYx-l.

設(shè)G(x)=hur+1,則當(dāng)x>l時，G,(x)=--\=—<0所以G(x)在(1,+8)單調(diào)遞減，

XXf

/、11

所以G(x)<G⑴=0,即huc-l,從而當(dāng)x>l時，^lnx<l(x-l)<^(x-l),

工且1112311--lrtv+—x2+—.f(x)1,\

于是5山+丁+77<不2一不，從而2——4——H即n不一一

故^^一1<；(凡一1),即/一1<；(4一1),由于%所以勺-1>0嗎「1>0,

"n

故也+iT|<扣“一小故五之2時，-1|<加—-1|v/“_2-U<…<擊?一1|=

““1---/、

所以\/〃七1<,為4-1區(qū)==；故maxC.q.

4-1hl4]。'一，。。

4

例6.(2017年浙江汨知數(shù)列｛玉｝滿足：內(nèi)=1,乙=3+卜(1+1乂〃6%.),證明：當(dāng)〃W“

時，

⑴°<入3<%

7

YX

(2)

(3)

解析：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：x?>0.當(dāng)〃=1時，x,=l>0.假設(shè)〃=k時，七>0,那么

〃=%+1時，若kiK0,貝1」0<玉=玉+|+皿1+%+])<0,矛盾，故看+]>0.因此/>0(〃eV),

所以Qj+皿1+3)>%,因此0v/"v4(〃eV).

(2)由%=%+|+111(1+工+|)得，-4A?+14-2xn=x；H-2xMf,+(AW+1+2)ln(l+xn>1).記函

數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)ln(l+x)(x>0),f\x)=+ln(l+x)>0(x>0),函數(shù)/(x)在

x+\

[0,轉(zhuǎn))上遞增，所以/(x)N/(0)=0,因此。-Zz-i+ZHna+f)=/(%”(),故

2x“.fW牛(f).

Irr

(3)因為<二x“u+ln(l+x向)4x向+與+I=2X用，所以勺之產(chǎn)，由七±1之2七4一x“，得

32%2，'所以x.2k2，%2，改兌-2~

綜上，擊"冗工白"ScN.)。

三.習(xí)題演練

1.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個重要的不動點定理，它可以應(yīng)用到有限

8

維空間，并且是構(gòu)成一般不動點定理的基石.簡單地講，就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)

y=fM，xeD,若存在毛e。，使得/&)=%,則稱/是函數(shù)y=/(x)的不動點.已知

函數(shù)/(%)=31nx+ai2-61+2.

3

⑴若函數(shù)g(x)=/*)+7x-；只有一個不動點，求實數(shù)。的取值范圍;

37嬰」+1.證明：對任意的〃eN?,

(2)當(dāng)。=彳時，數(shù)列｛為｝滿足：%

2

|47,-1|+|?2-1|+-+|^-1|<-.

即/(x)+6x--1=0,即方程31nx+ax：2+3=0有唯一

【詳解】(1)原題等價于g(x)-x=O,

解，顯然x>0,從而a=_3(ln；+l)有唯一解,令1，(力_3(1二+1),則

3口3(1門+川_3(21nx+l)當(dāng)Ow

小)=一不時,i/(x)<0,當(dāng)x>~^=時,K(K)〉0,

XX

所以.同在(0,五)上單調(diào)遞減，在(遍,+8)上單調(diào)遞增，所以1，(耳面=丫

注意到V-=0,當(dāng)人趨于。時，v(x)趨于正無窮，當(dāng)1趨于正無窮時，v(x)趨于0,從而

?1'

今lnx+^x2+1-lnx1^4兀*,1

+2-inx——

X2

〃?力=----->1)W(x)=——-'(￥>,),

2廣2廣

x2-l

令叫_lnx_g,(x>1)，則叫(％)=x_』>O,(x>l),所以町(力在(l,+oo)單

X

調(diào)遞增，從而〃?i(x)=gxJlnx-g>"Ml)=O,(x>l),這表明

1,1

—X2-In.v----

ni(x)=--------

l)2x

9

所以〃M)在(1,+8)單調(diào)遞增,

.13

II芯lnx+—x2+一

從而加(力=-----Z----2-1>"?(I)=0,(x〉1)，

因為％>1,所以生-l>0,即出>1，依次類推可得4>1嗎>L

所以例>l,〃cN"；

3o33

31nci4—%—H---6%+6a“Inu—a；4—

第二步：…2，'2，_2"2,

設(shè)〃(%)=11］］一^%2+看(1>1),則〃，(力=，—3%='^^-<0,(1>1),

所以〃(力在(1,+8)單調(diào)遞減,

從而〃(x)<〃(l)=O,

.323

Inci——ci+—

因為4>1，所以4_=2J2<0，即。用<4,,

2att

3.

所以?！?1V4“=-,neNr,

乙

,1，r3

】na“+”-2a“+Q

第三步：…2%W?3+3

人m"―之

令G)=￡1)2，gy

(2x-l)^lnx+^x2-2A+^I

A(X-1)-+x-24-

叫(力一：lx

2/

(x-1)3+(2x-l)^lnx+^x2-2x+^

，("1)’

2X2(X-1)2

設(shè)Mx)=lnx+#-2x+g,(x>l),貝1卜；(力='+'一2=('一』>O,(x>l)，

XX

所以乙(同在(1,+8)單調(diào)遞增，

從而4(力>4⑴=0,

當(dāng)X〉］時，2x~^x—\y>0,(x—1)+(2A,-Q^lnx+—A-2—2x+—>0,

所以當(dāng)X>1時，/'(x)>。,

所以/(x)在(1,+8)單調(diào)遞增,

10

因為《44=*neN,當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時等號成立,

皿凡+:疝一2氏+不

所以生二--------L-------------L<

死一12凡(?！?1)3一121

2

所以MT+ET+??+|4-1|二（4-i）+3-1）+??+（??-1）

1

12-2

+-+<--

433-

-

4

2.已知函數(shù)f(x)=ln(l+x),g(x)=ax+x.

(1)當(dāng)x>-l時，/W<^(x),求實數(shù)”的取值范圍；

(2)已知〃eN",證明：sin--+sin--++sin-!-<ln2.

n+\n+22n

解析：(1)綜上所述，。20.

(2)證明：當(dāng)4=0時，由(1)可得ln(x+l)?x,則InxWx-l，可得In一1，即-ln.v<--l,

-XTX

即1門21一白4>1),令;=1一5所以，x=￡，所以，In吉之;，即lnf-ln(-l)N；(/>1),

所以，一■—Mln(〃+A)—ln(〃+A-l),左《{0,1,2,?,〃},令g(x)=x-sinx(x>0),貝！|

n+k

^*(x)=l-cosx>0,且g'(i)不恒為零，所以，函數(shù)g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增，故

g(x)>g(O)=。，貝1人足大<1(X>0),所以，sin——<—■—<\n(n+k)-\n(n+k-\),

kG{0,1,2,㈤，所以，sin—!—+sin—!—++sin—

n+\〃+22〃

<[^ln(/?+1)-In+[in(〃+2)-In(〃+1)]++[in(2〃)一In(2〃-1)]

21.導(dǎo)數(shù)與幾何背景的結(jié)合

一.新題速遞

例1.(2024年四川省預(yù)賽汜知/為正實數(shù),若曲線)，="'與橢圓C：9+y2=i交于A、

乙

B兩個不同的點,求證:直線AB的斜率k<—.

2

解析：設(shè)A(x，y),I(蒼,丹),其中王.注意到對數(shù)不等式：若〃，“()，〃"，則

rxv,Xz

a-ba+bei-ete+e

-----------<------取…=十。.

In67-Inb2x,-x,2

11

r(er'-er2);(er'+eX2)

二yf=<=上手..?/+%>2上①將會+y；=1和

須一馬X]-x22

半+￡=1相減，得(七+/，"占)+(y+七)(y-%)=°，?.?%+毛=-2々(y+%)

2222

②.再將當(dāng)+y：=l和，+￡=1相加，得五產(chǎn)+），：+￡=2③.注意至上工產(chǎn)々時，

由>2百七知百;&）（3："）,結(jié)合①②③知:

”X：+4;v2.v2、G+()1+%)[4/(X+(x+必『

11

乙—r>|十))：—>4P+2P,

2-04242

A

.?.2/+/_1<0=(2公-1)(公+1)<0,解得攵<一.

2

在這里用到了指數(shù)均值不等式，它是很多導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線綜合問題的秘密武器，下面給出

詳細(xì)介紹：

記"eX1-ex'*

1.指數(shù)均值不等式.若為則e2<----------

x2-X12

證明：（方法L雙變量消元直接證明）

XX

土”10M-0司上至e\-2-1

欲證e2<-—―,兩邊同除以產(chǎn)，即證e2<----------即證

%一巧玉一%

-一電丁|一亞

（x,-x2）^即證〒一0”一叼+1>0

令大一芍=/（，v0）即證不等式/_/+1〉°當(dāng)/<0時恒成立.

設(shè)。⑺=/_/+1，???"。）=/+”.1-e1=（；+[/_/=_/卜2_（；+：

而一>」+1,即/一（f+]]>0,???武（7）〈（），???4/）在（―,o）上是減函數(shù)，又

2\2/

0（0）=0???。。）>0恒成立，得證.

212

4—、十口口，、43-依。e-ee'+e__v_e-e'e'+e_

接著證明右邊的不等式-------<—----,同樣設(shè)>x1,----------<--—等價于

x2-xl2x2-x12

X1xX2

l{e-e')<(x2-xj(—+e).令馬一芭=m(m>0),x2=xi+m,則

2k內(nèi)+'"--)<機(jī)(8兩邊同時除以得+

設(shè)〃(利)=a(1+*)—2(*—1)=〃z+me,n-2em+2,h\m)=\+{en,+me")-2d”=1

12

+〃箔"'一*=1+(加一1)，，再求廳'(刈=/+(機(jī)-1)*=6"">0(因為〃7>0),所以

〃(〃2)在(0,+8)上單調(diào)遞增.由于/(0)=1+(O—l)e°=O,因為/?〃2)在(0,+8)上單調(diào)遞

增，所以所以)在(0,+8)上單調(diào)遞增,/2(,n)>A(O)=O+O-2x(l-l)=0,即

/n(l+em)-2(e,M-l)>0,所以2(d"-1)<+，也就是以￡<巴士.

綜上，不等式e2<--得證.

x2-x12

(方法2.對數(shù)均值不等式轉(zhuǎn)化)

a-b

兩個正數(shù)。和〃的對數(shù)平均定義：必向=｛也〃_""對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾

a(a=b).

何平均的大小關(guān)系：

\[ab<L(ayh)<"十"

2

(此式記為對數(shù)平均不等式)，取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時，等號成立.

證明如下：不失一般性，可設(shè)(1)先證：瓢<L(a,b)……①

不等式①oIna-ln/?oIn—<--J—<^>2\nx<x--(其中x=>I)

b\b\ax\b

i211

構(gòu)造函數(shù)/(x)=21nx-(x-),(%>1),則r(x)=-1--=-(l—)2.

XXX~X

因為x>l時，f\x)<0,所以函數(shù)/*)在(1,+oc)上單調(diào)遞減，故/(x)v/(l)=0,從

而不等式①成立.

(2)再證：L(a,b)<^……②

乙

k皿斗11u2(a-b)a2(廠D.2(x-l)

不等式②<=>In￡7-In/?>-------<=>In—>----<=>Inx>-------

ci+bb(q+])(x+1)(7沙)

b

構(gòu)造函數(shù)g(x)=iw卷肅(0),則如)—31MM

因為1>1時，g'(X)>0,所以函數(shù)g(x)在(1,+0。)上單調(diào)遞增,

故g(x)<g(l)=0,從而不等式②成立；綜合(1)(2)知，對都有對數(shù)平均

不等式"石工■〃/)4一成立，當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時，等號成立.

設(shè)玉二lna，w=lnb,則。=e”/=e'2,將。=*代入對數(shù)均值不等式

13

/—a-b4r田/-TV空e”—泊

\/ab<---------中，可得Je'e2V--------,即Hnc~<--------

\na-\nbxx-x2xi-x2

4mv,?x,小、a-ba+beXi-eX2ex'+eXi

xX1

把。=e',b=e代入---------<-----=>--------<--------.

Ina-In/?2x]-x22

生也常—*〃+*

綜上，由對數(shù)均值不等式可得到指數(shù)均值不等式e2<-―—<.

百-x22

例2,已知函數(shù)/（力=汨（00）的圖象「與橢圓。:5+），2=1（。>1）交于48兩個不同的

點.6（。，〃。））是「上的點，「在4處的切線交x軸于點Q（q，（））,過Qi作1軸的垂線交「于

匕「在《處的切線交X軸于點。2（/，。），過。2作X軸的垂線交「于A，重復(fù)上述操作，依

次得到2（&，o），0?，°），，Q”&，0）.

⑴求4M”；

（2）記直線48的斜率為h

（i）設(shè)、設(shè)0+”仇人&+2的面積分別為NJ；,證明：k<Sn+Tni

（ii）若/=a.％,求證：k<J—.

解析：（1）由題意（⑴"儲A=r（o）=，，/（0）"，「在外處的切線方程為），=a+/；

令尸0,可得刀=-1,即4=-1.由Q（q,,0）可知2（凡,儼），「在匕處的切線方程為

），=5（x—q+l）；令產(chǎn)?？傻脁=即〃向=/-1；所以數(shù)列｛q｝是以6為首項，公

差為-1的等差數(shù)列，所以為=-〃.

（2）⑴設(shè)A（內(nèi),y）,8（%,%）,由題意對小不同時為。，不妨令x尸。且王<巧；

s,=^|Q4|,4吟以?』由⑴可知以2』二回2/=%-4川=1；

則S”=3=ge\（=5=5的.要證k<S“+7；,即證2=江楚=竺二竺<白己，即

2222Xj-x2$-x22

、*e"-e"er,+e'2.*.=…十’嗎一/小n\+in,一人。"h「

證------<---;令嗎=e',〃?2=ex3即證?;------^<—丁再令4=一（2>1）,

不一天2\nm,-\r.in22見

即證21<字，即證1nz1>迎二11.構(gòu)造函數(shù)，式力印必一絲二貝ij

尸（”=與%>°，所以g（”在（1，及）上單調(diào)遞增；即屋“?、哦?所以“得

X\X+1）1I1A/

證.即女〈S.+&

14

爭"1①

8由⑴可知，〃＜『二號

所以弘+為＞2匕因為?5,①-②得

與+￡=1②

a"

^^+律一￡=。；即（％-&）＜+占）+（）,「%）（x+yj=o,即內(nèi)十聲=一/刈,+為卜

a~a~

①+②得亨+），；+口,因為…，所以所以學(xué)京號

所以2=芷+舟￡〉（內(nèi)+4+5+%）2/午（"％）2+（）#力）2＞2川+2爐.即

a2122a2222

/〃+攵2一1＜。.當(dāng)/=4*“+]=〃（〃+1）時，有〃（〃+1*+&2_]＜0,即

（，r+1）[（〃+1*-1]＜0；所以（〃+1*T〈O,從而〃＜帚[

三.習(xí)題演練

1.（24屆深圳中學(xué)高三檢測）若曲線y=lnx+〃（a￡?）和圓O:Y+）a=，"＞（））

相交于AB兩個不同點，記直線A3的斜率為h

（1）當(dāng)r=血時，證明：a＞-\；

（2）當(dāng)r=立時，證明：k＞41.

2

解析：我們來考慮曲線和圓相切的情形，假設(shè)其相切于點尸（%,%），根據(jù)圓在P（%，）b）的

切線方程為：.7x+=/，對于曲線而言，過點PC%,%）的切線為%即

/_1

--.....—~----

y0x0r

x-xoy=xoyo-xo,故《？，代入r=\/2,解得：%）=1,%=7

+1

—=-y0

7o

又點￡在曲線y=lnx+a上,解得〃=-1要相交于兩點,故向上平移，所以此時，切

線的斜率為1.可以看到，這個題目的幾何背景就是這樣一個公切線背景.當(dāng)然，代數(shù)證明方

法較多，可見相關(guān)公眾號,

15

2.(23屆青島高三二模)已知函數(shù)/(x)=lnx,圓+()，—4=2.

(1)若b=l,寫出曲線J=/(x)與圓C的一條公切線的方程(無需證明);

(2)若曲線)，=/(力與圓C恰有三條公切線.

(i)求b的取值范圍；

(ii)證明：曲線。:與-/印上存在點丁(見〃)(〃00,〃>0),對任意x>o,

解析：(1)設(shè)收)的切線的切點為(事/叫)，???r(%)=L???切線斜率為4=八％)=；,

???切線方程為y-ln-v0=—(x-x0),即A--xoy-xo+引叫=0,當(dāng)b=1時，圓的圓心為(Q1),

半徑為及，當(dāng)f(x)的切線也是圓的切線時，叢亍詈闖=正,即

|一2%+卬闖=*(1+￡),易知風(fēng)=1是該方程的一個根，此時切線方程為工-1=。.

(2)(i)設(shè)曲線)，=/(刈與圓。公切線/的方程為產(chǎn)辰+，〃(顯然，1斜率存在)，???/與曲線

，相切，故，切點為

)=/(“r(x)==A,J