園錐曲線(10類核心考點(diǎn)精講精練)

I、,考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

拋物線的定義、拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位

2024年秋考7、20題

置關(guān)系

2024年春考8、20題

雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式，直線與圓錐曲線綜合問題

與曲線方程有關(guān)的新定義，拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線綜合應(yīng)

2023秋考16、20題

用

2023春考20題

離心率的求法、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)、育線與橢圓的綜合

雙曲線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓方程的求解、橢圓中最值與范

2022秋考2、20題圍等問題

2022春考11、20題雙曲線的性質(zhì)，直線與橢圓綜合、涉及橢圓方程求解、直線交點(diǎn)求解、基

本不等式的應(yīng)用

直線斜率的定義與計(jì)算、拋物線的定義等知識(shí)，平面向軟與圓錐曲線綜合

2021年秋考11、20題

題、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用

2021年春考11、19題

橢圓的定義和性質(zhì)，雙曲線的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用

2020年秋考10、20題橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線與圓的定義和方程、直線與員的方程、雙

2020年春考15、20題曲線的方程聯(lián)立

軌跡方程的求法與判斷，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的求法、拋物線、直線方程等知識(shí)

2.備考策略

1.橢圓定義的應(yīng)用技巧

(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角影的周長、面積及求弦長、最值和離心率等.

(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.

2.根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法

(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的枕跡滿足桶圓的定義.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定楠圓中的凡兒當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢

圓的方程為少2=](心0,心0,加工亦與橢圓“：+】：=1(〃*0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為產(chǎn)+丁

(Tb2<r+〃？力+小

=\(a>b>Q,與橢圓1(心疣>0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為或):+￡=%*(),

crb~a1b~a2b2

A>0).

3.求橢圓離心率或其范圍的方法

(1)直接求出明c,利用離心率公式e=c求解.

a

(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=1一?求解.

a2

(3)溝造a,。的方程.可以不求出明。的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.

4.與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法

(1)利用教形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等民.

5.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線,確定242/,或2g從而求出。2,b2

⑵將定系數(shù)法：”先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為￡一)：="2工0),與

nrn-

雙曲線*：一｝=1(〃>0,6>。)有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為:一y=i(-^</i<z)2)：與雙曲線￡—一=

a1b-a2+Ab2a-b-

1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為=“掙0).

6.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法.

(2)痔定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位/不確定時(shí)，分情況討論.

7.解決圓錐曲線“中點(diǎn)弦”問題的思路

(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線電圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，曰根與系數(shù)的

關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.

(2)點(diǎn)差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為43,巾)，Bg,也)，將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲

線的方程，并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和直線48的斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計(jì)算

量.

8.圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法

(I)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

9.圓錐曲線中最值的求法

(1),1何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.

(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，

求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

10.求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的宓本思路

(I)杷直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要

對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組，這個(gè)方程組的

解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所迂的定點(diǎn).

(2)由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)—泗=AQ—xo),則直線必過定點(diǎn)(xo,yo)；若

得到了直線方程的斜截式歹=去+〃］，則直線必過定點(diǎn)(0,膽).

11.曲錦曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值.

(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求

得.

(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.

12.存在性問題的解題策略

存在性的問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.

(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論.

(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.

(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.

1fL考點(diǎn)梳理?

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)R，B的距離的和等于賞數(shù)(大于尸產(chǎn)2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的

焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

注意：(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)"滿足|"~|+|朋八|=常數(shù)＞/正2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓：

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A/滿足|八折||+|時(shí)尸2|=常數(shù)=|戶戶2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A7的軌跡為以H，尸2為兩端點(diǎn)的線段；

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)"滿足+k常數(shù)＜尸三|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存在.

2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

或

圖形(h■

BSOMBTX

[+[=13方>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程*=13*0)

范圍—aSxSaJj—「WyWZ?-—WxW(且一aWpWa

41（一4（））,42（&（）），力|（（）,-。），/2（（），。），

頂點(diǎn)

「1(0,-b),8M0,一](一〃,0),私(〃.0)

軸長短軸長為四,長軸長為%

住占「一一c、0）,B（c、0）尸1(0,~~c),B(0,C)

焦距|FIF2|=2C

對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸,對(duì)稱中心：原點(diǎn)

離心率e=C(0<e<l)

a

a,b,c的關(guān)系。2=一+一

3.雙曲線的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)a,B的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于1nBI）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)

定點(diǎn)叫做雙曲線的盤點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

注意：（1）若將“小于1KBi”改為“等于陰尸2|”，其余條件不變，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以B，凡為端點(diǎn)的兩

條射線（包括端點(diǎn)）；若將其改為“大于|BB|"，其余條件不變，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.

（2）若將絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.

（3）若將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段a后的垂直平分線.

4.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

v?r~

標(biāo)準(zhǔn)方程--\=1(?>0,Z?0)=\(a>0,b>0)

a2b2a2b~

圖形

隹占

八、、，》、、a(—c、0),BGO)B(0,-c),B(0,c)

焦距IBBI=2c

范圍xE—a或xWa,yWR

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo):1；對(duì)稱中心：MA

性質(zhì)

頂點(diǎn)小（一q、0）,力2（q.O）力d0,—a),-2(0,a)

實(shí)軸：線段由出，長：2a；虛軸：線段氏生,長：獨(dú),實(shí)半軸長：

軸

a,虛半軸長:b

b,a

漸近線y=±x

Cl

離心率+8)

a

a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

5.拋物線的概念

把平面內(nèi)與?個(gè)定點(diǎn)廠和一條定直線/(/不經(jīng)過點(diǎn)Q的距離相笠的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的

焦點(diǎn),直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注意：定點(diǎn)尸不在定直線/上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)尸垂直于直線/的一條直線.

6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y>2=-2px(p>0)X?=2〃FS>0)x2=—2py^p>0)

必%

圖形旅張銖

范圍x20,y￡RxWO,y￡Rv>0,x￡RyWO,x￡R

HT(o--3

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線方程X=-2X=2y=-2y=2

對(duì)稱軸X軸y軸

頂點(diǎn)

離心率e=l

7.直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去武或外，得到關(guān)于式或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交

妗/二0；直線與圓錐曲線相切o/三0；直線與圓錐曲線相離O/40.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

②與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

8.弦長公式

已知4(占，/),例不，及),直線的斜率為碼W0),

則網(wǎng)=(XLX2)2+(yi—及A

=1+尸,一X2|

—1+爐(Xl+%2)2-4X1X2>

或[4司=1+\\y\—yi\

1

1+S+P2)2—%必.

產(chǎn)

知識(shí)講解

考點(diǎn)一.橢圓的幾何特征

典例引領(lǐng)

1.（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知府圓C的焦點(diǎn)大、石都在x軸上，。為橢圓。上一點(diǎn)，△代入的周長為

6,且|尸月|,|百八|尸鳥|成等差數(shù)列，則橢惻。的標(biāo)準(zhǔn)方程為一44=1

【分析】由題意得1M|+|P乃|+附工|=6,|/7"+|次|=2|6乙|,利用橢圓的定義即可求解.

【解答】解：?.?橢圓。的焦點(diǎn)片、片都在x軸上，Q為橢圓C上一點(diǎn)，△尸石鳥的周長為6,

二.設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十與=1（。>〃>0）,且|產(chǎn)甲+1勿"+WE|=6,

CTb一

又|可|,小月|,|尸&|成等差數(shù)列，

.?.|%|十|所卜2|下巴|,

則16月|=2,|歷|+|尸?|=4,

/.2c=2,2。=4,

:.a=2,c=1,

b=\ja2—c2=yfi?

則橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+±=i.

43

故答案為：￡.+Z=i,

43

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

2.（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xQy中，四邊形"CQ滿足力814力，CB1CD,

22

BABC+2DADC=0,若點(diǎn)、A,C分別為橢圓氏?+白=l（b>0）的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)8在橢圓E上，點(diǎn)。

不在橢圓E上，則橢圓E的焦距為二

【分析】由C81C?？傻昧?，B,C,。四點(diǎn)共圓，再由題設(shè)求出圓心，表示出圓的方程，將

（0力）代入橢圓及圓的方程，求出川，即可得出答案.

【解答】解:由題意得力（0,力），C（O,-b）,設(shè)6（再,I）,D（X2,y2）,連接50,如圖所示:

vABLAD,CB1CD,

.\A,B,C,。在以3。為直徑的圓河上，^ZABC+ZADC=TT,

又原點(diǎn)。為圓”的弦力。的中點(diǎn)，則圓心在/C的垂直平分線上，即在x軸上，則必+%=0，

又而?就+2萬5?反=0,WiJ|R3||BC|cosZ45C+2|/5^||DC|cosZ4DC=0,

?/NABC+Z.ADC=兀，：.cosZ.ABC+cos/.ADC=0,

/.（||||-21ZM||DCI）-cosZADC=0,

當(dāng)cos//。CwO時(shí)，，貝ij|瓦3||耳亍|一2|次||反|=0,

若cosN/lQC=（）時(shí)，則四邊形4?CQ為矩形，則點(diǎn)。也在橢圓E上，與點(diǎn)。不在橢圓￡上矛盾,

■■^BC=2SMDC,:.xt=-2x2,故圓M的圓心坐標(biāo)為（：,0）,

圓M的方程為（x-爭2+「=Q;+y2,

將（0向代入得從=；x：+j，3

又工+￡=1，解得/=4,

8b~

故橢圓E的焦距為2限-力=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

即時(shí)檢測

3.（2024?虹口區(qū)模擬）已知農(nóng)歷每月的第/+1天（（F29/WN）的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為

二1，其中，?為常數(shù)，根據(jù)以上信息，下列說法中正確的有（)

①農(nóng)歷每月第d（lW/V0,dG八廣）天和第30-4天的月相外邊緣形狀相同;

②月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為2〃；

③月相外邊緣的高心率第8天時(shí)取最大值；

④農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間(等,1)內(nèi).

A.①③B.(2X4)C.?@D.(3X4)

【分析】對(duì)于①，取特值法驗(yàn)證即可；對(duì)于②，求出a，c,根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大為a+c,

利用三角函數(shù)的有界性即可判斷；對(duì)于③，求出離心率，轉(zhuǎn)化為求|sin(|^f)|的最大值，即可判斷；對(duì)于④,

農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣對(duì)應(yīng)的“[6,8],求函數(shù)|sin(1^力的范圍即可判斷.

【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)d=i時(shí).，，=o,月相外邊緣形狀為：H

4廣+4廣=

第29天，即/=28,月相外邊緣形狀為：-------------+二=1,顯然不同，故①錯(cuò)誤；

r2co?(—x28)廠

29

對(duì)于②，“=r,c=J’2-r2cos2(^t)=r\sin(^r)|,

所以月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為：a+c=r+r\sin—t\^.r,

29

當(dāng)當(dāng)=巴，即f=*￡N,故的誤；

2924

對(duì)于③，e=-=|sin(—01，當(dāng)/=7或22,即第8天或第23天離心率最大，故③正確；

a29

對(duì)于④，農(nóng)歷初六至初八，穴六九

32929292

所以￥<|sin(|^/)|<l,故④正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)文化背景下的橢圓問題，屬中檔題.

22

4.(2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬)已知片，鳥分別為橢圓0：二+；；=1(。>/)>0)的左、右焦點(diǎn)，過百的直線與

CTD

。交于P,。兩點(diǎn)，若|巴"=2|,因管=3|冗。|,則C的離心率是一等_.

【分析】根據(jù)橢圓定義，|。月|，|桃|，1061，|。居|都用”表示，由85/。6瑞=一8$/9乙,構(gòu)造齊

次式即可求解.

【解答】解：依題得|P￡|十|P3卜2°,IQFI+I0瑪1=2"又|「耳|=2|-8|=3|￡。|,

42〃414

則\PF'l\=-a,\PF2\=—,\QFi\=^,\QF2\=-at

則cos/Q石用二—cosNP"6,

(2c)2(2c)2+4.)2—《4)2

則-------99_------------33

4=4

2-2c--a2-2c--a

93

nn216,1962A216,4,

即12。?+—a-------a'=-4c~-----a~+—a~

272799

則16c2=,則e2=—

273

即e邛.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

考點(diǎn)二.直線與橢圓的綜合

典例引領(lǐng)

5.（2024?徐匯區(qū)模擬）已知橢圓C:?+?=l,4、4分別為橢圓。的左、右頂點(diǎn)，片、巴分別為左、

右焦點(diǎn)，直線/交橢圓。于M、N兩點(diǎn)（/不過點(diǎn)4）?

（1）若。為橢圓c上（除耳、4外）任意一點(diǎn)，求直線24和。力2的斜率之積：

（2）若N￡=2RM,求直線/的方程：

（3）若直線M兒與直線N4的斜率分別是K、k2,且尢&=-彳，求證：直線/過定點(diǎn).

【分析】（I）根據(jù)題意可得左、右頂點(diǎn)分別為4（-2,0）,4（2,0）,設(shè)點(diǎn)0（%,為）（/工±2）,再計(jì)算跖4孑%,

即可得出答案.

（2）設(shè)“（』，/），Ng,%）,由麗=2耳法，得（一1一勺，一刈）=2（玉+1,兇），得|再=-：-2$,代

舊二-2%

入橢圓的方程，聯(lián)立今+今=1,解得項(xiàng)，y,由點(diǎn)斜式，即可得出答案.

（3）設(shè)時(shí)（、3,為），Ng,J、）,可知直線/的斜率不為0,設(shè)其方程為x=〃少+工2）,聯(lián)立橢圓的方程.

9

由韋達(dá)定理可得力+居，%治，rtik}k2=--,解得即可得Hl答案.

【解答】解：（1）在橢圓C:二+5=1中左、右頂點(diǎn)分別為4（-2,0）,4（2,0）,

43'

設(shè)點(diǎn)QC%，%)(.％±±2),

義23（唱

%必3

則%%2

x22

o+2/_2x0-4x0-44

(2)設(shè)A/(X],M),N(X2,y2),

由已知可得￡（-1,0）,則麗=（一1一/，—為），耳必=區(qū)+1,乂）,

由//=2兄M,得（一1一工2，-y2）=2（xi+1,必）,

化簡啾

代號(hào)A可得安叢孚T

_7

-4

聯(lián)立上+2L=i,解得

43+逑

必

8

所以由麗=2耳升，得直線/過點(diǎn)耳（-1,0）,N（-g,

.375

土---R

所以直線/的斜率為,8=±X1,

2

44-H）

所以直線的方程為y=+1).

（3）證明：設(shè)A/Cq，必），N（x「y4）,可知直線/的斜率不為0,設(shè)其方程為％=/2）,

x=my+1

聯(lián)立x2y2?得(3〃/+4)V+6〃?卬+35-12=0,

一+--=1

43

由2\=36w2?-4(3川+4)(3/-12)>0,得/<3m2+4,

由韋達(dá)定理可得必+乂=-4匕，出居=土二|，

3m~+43m+4

因?yàn)榻??=—，

所以工一

/一2X4-24

化為4乃居+9(小為+1—2)(〃必+/-2)=0,

所以(4+9m2)x3/\-12+9m(t-2)(--^-)+9(r-2)2=0,

3ur+43m~+4

,一八zp.(4+9ni2)(/+2)18w2/r、.

由/一2/0,得^-----二---------；——+3(-2)=0,

3"+43m-+4

化簡得16/-16=(),解得/=1,

所以直線MN的方程為》=毆+1；恒過定點(diǎn)(1,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握向量共線的坐標(biāo)表示，弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公

式等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

6.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓=1的左，右焦點(diǎn)分別為月，

%設(shè)P是第一象限內(nèi)「上的一點(diǎn)，PR、”的延長線分別交「于點(diǎn)°、Q2.

(1)求△。耳&的周長；

(2)求△/￥；&面積的取值范圍;

【分析】(1)由題意，根據(jù)題目所給信息以及橢圓的定義進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)出直線00?的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及三角形面積公式再進(jìn)行求解即

可；

(3)設(shè)直線￡尸，名尸的方程和點(diǎn)。的坐標(biāo)，將兩直線方程分別與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)0、

3的坐標(biāo)，再代入三角形面積公式中進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(1)因?yàn)闄E圓廠的左右焦點(diǎn)分別為片，區(qū)，且尸，Q2為橢圓上的點(diǎn)，

所以|尸耳|十|%|=|。2耳1+1。2/1=2。，

可得△尸0日的周長為4a.

即4a=4及，

則的周長為4及；

(2)不妨設(shè)直線P02的方程為x=〃?y+l，P(x0,%),Q2(X2,%)，(/>0，%>o)，

x=my+I

f,消去x并整理得（加+2）/+2w一1=0,

由韋達(dá)I定理得%,+%=-一也彳,必?y=一一T—，

2

m~4-2w+2

所以?為_乃仁-------3-Z，

°2V〃/+2m2+2\m2+2（m2+2）2

不妨令/=一二（0（昌），

m~+22

此時(shí)I，。一為

當(dāng)且僅當(dāng)/=L,即〃?=0時(shí)等號(hào)成立，

2

所以S/加、=；|66||九-必1=:'2?|.%-％1=1歹0一為1^2,

22

則也PFQ面積的取值范圍為((),、5卜

(3)不妨設(shè)直線片。的方程為y=」」(x+l),。區(qū)，乂),

仆+1

j,=—（x+l）

聯(lián)立（/+,消去y并整理得（2/+3）/+4媼1-3片-4%=0,

—+v2=l

2-

由韋達(dá)定理得x滔=-3”1/

2%+3

則「一1^，乂二年1(一季+D=一4

即*一辭'一晶)'

當(dāng)X°H1時(shí)，直線E尸的方程為y="^(x-l),

x°T

y=^-（x-\）

,%T

聯(lián)立2

消去y并整理得（一2.%+3）x-4y1x-3x；+4x0=0,

?=i

2,

同理得0,（出二

2x0-32x0-3

所以S'PFO—S..=-x2?（—y）一,x2"（-必）

Apa2

??Iv2A**2Vl2、///2、/I，

No%

=%-%=-+182

2.%+32x0-3V^o

當(dāng)且僅當(dāng)小=乎,穌=半時(shí)，等號(hào)成立，

J1V/

若產(chǎn)用_1,工軸時(shí)，易知尸（1,*）,必=一條,必=一孝,

N□十ce8,五、2五

此時(shí)—SJEG-y2=--~（--）=-?

綜上，5%孰-2歷0的最大值為半?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

即時(shí)檢測

7.（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「5+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為￡、

工，設(shè)P是第一象限內(nèi)「上的一點(diǎn)，PF、、”的延長線分別交「于點(diǎn)2、Q2.

（1）求△尸片02的周長；

（2）求△尸60面積的取值范圍;

（3）設(shè)/八弓分別為△尸￡。2、△尸后。的內(nèi)切圓半徑，求的最大值.

【分析1（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解；

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值的取信范闈，然后確定三角形面積

的取值范圍即可；

（3）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理利用等面積法得到內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，據(jù)此得到G的

表達(dá)式，然后利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：（1）???丹，6為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且尸，。［為橢圓上的點(diǎn)，

F

:.PK+PF1=02G+Q11=2。，從而得到aPQ2F］的周長為40.

由題意，得4a=4及，即△尸￡4的周長為4拉.

(2)由題意可設(shè)過P2的直線方程為x=my+l,P(x0,y0)?Q式x2,y2)(.r0>0,為>0),

聯(lián)立,消去x得(w?+2)/+2叩一1=0,

[x+2y~=2

2m1

則miIv?+=-----：-----.-v,=-----：-----,

g.i,L2ni4I~88~

所?以r（門）2-+k「

令""F），

則|%-%|二麻萬啟份（當(dāng)/=；時(shí)等號(hào)成立，即機(jī)=0時(shí)）,

所以凡寸；|陽J，°f|=，2.|%f|=Mf|鵬

故面積的取值范圍為（0z￡].

（3）設(shè)。區(qū)，必），直線片尸的方程為y=?-（x+l）,

-%+1

將其代入橢圓「的方程可得三十二-T（X+1）2=1,

2（.%+1）

整理"J"得(2x°+3)x~+4VQX—3xj—4.VQ=0，

則得演=一當(dāng)，乂=得(一當(dāng)+1)=-Jo

2x0+32x0+3x0+12x0+32x0+3

故小一既'-?。?

當(dāng)％工1時(shí)，直線凡。的方程為y=」-a-l),

/T

2

將其代入橢圓方程并整理可得(-2x0+3)x-4y^x-3片+4/=0,

同理，可得。式件二，丁三),

2.%-32x0-3

因?yàn)槠潆H。，=；x4j2，i，SjB0,=；x4j2q,

ccc_c—x2"(一招)—x2?(~Vi)

臼il,J尸_■?_2明0%PFa_-玉石。_2_2_______

明“'2=R—R=—亞—=*

_另-%_及/y。%X2瓜0丫0_2五_2&_1

2

2及42x0+32x0-3X0+18JV&十皿2卜。18ytl3

No/V.彳丁

當(dāng)且僅當(dāng)/=竽/。=*時(shí).，等號(hào)成立.

軸時(shí)，易知產(chǎn)（1,乎），M=一條，%=-*'

414721

此時(shí)a一G二-------X-----------=-

4105

綜上，的最大值為

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用，橢圓中的范圍問題，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中

檔題.

y2

8.（2024?松江區(qū)二模）如圖，橢圓廠:+/=］的上、下焦點(diǎn)分別為片、F?,過上焦點(diǎn)片與p軸垂直的直

2

線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、。分別在直線MN與橢圓「上.

（1）求線段MN的長；

（2）若線段。。的中點(diǎn)在x軸上，求△入夕。的面積:

（3）是否存在以尼。、gP為鄰邊的矩形工?！?。，使得點(diǎn)E在桶圓「上？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)

。的縱坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）根據(jù)已知求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得的長；

（2）求出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，由三角形面積公式求解即可；

（3）假設(shè)存在以乙。，工〃為鄰邊的矩形巴包0,使得點(diǎn)E在橢圓「上，顯然人設(shè)P（x,，1）,。區(qū)，

必），利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由。，七在橢圓「上及E?E0=（）,可得方程組，從而可

求得點(diǎn)。的縱坐標(biāo).

【解答】解：（1）依題意得：『0,1）,由6N1歹軸，得：yN=\t

代入橢圓方程得：5二辛,

所以線段MV的長為&.....4分

（2）顯然匕,=1,線段尸。的中點(diǎn)在x軸上，則均=-1,即QE_Ly軸,

；+君=1,%=±4.....8分

所以S外/>0=g|》0岡五|工l=；x乎x2=李?...10分

(3)假設(shè)存在以鳥Q,鳥。為鄰邊的矩形吊尸EQ,使得點(diǎn)￡在橢圓「上，顯然片((),-1),設(shè)尸(小，1),。(陽，

必)，

則用尸=(3,2),用。=(再，%+1)，

因?yàn)樗倪呅硒B尸￡0是矩形，一定為平行四邊形，所以/+至=庫，

代人計(jì)算得E(x0+%,必+2),

由題意知。，E在橢圓「上及月”硬=(),

5+28+1)=0Vi=-2(^+1)?

代入，得莊+x；=i即豈+./=i②12分

22

2

("：2)+c%+xj=l2

+Xo+X；+2,"=1(3)

將①?代入③并化簡得，xj=2(^+1),

再結(jié)合①，得X；=-xox,,即％=0或.%=-X].

若％=0,則必=T；...14分

-X：+2(乂+1)=0

若見=-王，則聯(lián)立①@,得標(biāo),

方+M=1

消去X,得y；+4凹+2=0,解得必=一2土垃，

由于一心寸1二/^，故必=-2+8.....17分

綜上，存在滿足題意的0點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為-1或-2+夜......18分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

考點(diǎn)三.橢圓與平面向量

典例引領(lǐng)

2

9.（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知直線/與橢圓「，點(diǎn)耳，鳥分別為橢圓r：/+/=i的左右焦點(diǎn)，直線

片Ml/,gNl/,垂足分別為點(diǎn)M,N,那么“直線/與橢圓T相切”是“|而卜|可|=1"的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

【分析】根據(jù)題意可知￡（-1,0），6（1,0），設(shè)直線/的方程為），=h+〃，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，△=（），

充分與必要條件的概念，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可知耳（-1,0）,6（1,0）,

設(shè)直線/的方程為y=去+〃？，即h-y+〃7=0,

12VPTiVFTI8+1

/.m2-k2=±(k2+1),解得m2=2k2+\；

U=rOC+

聯(lián)立］,,,可得（2二+11+4A，〃X+2〃L-2=0,

k+2y~=2

若直線/與橢圓「相切，則△=16昭〃?2-他公+］）（2*-2）=0,

解得川=2公+］,

二.“直線/與橢圓「相切”是麗|?|加|=1"的充分必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的兒何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，充分與必要條件的概念，屬中檔題.

10.（2024?金山區(qū)二模）已知橢圓「:±+±二1的右焦點(diǎn)為廠，直線/與橢圓「交于不同的兩點(diǎn)M區(qū)，乂）、

43

N6,y2）.

（1）證明：點(diǎn)M到右焦點(diǎn)尸的距離為2-土；

2

（2）設(shè)點(diǎn)0（0,g）,當(dāng)直線/的斜率為且京與麗+新平行時(shí)，求直線/的方程；

（3）當(dāng)直線/與x軸不垂直，且AWN/的周長為4時(shí)，試判斷直線/與圓C:/+V=3的位置關(guān)系，并證明

你的結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合橢圓的方程與配方法，化簡即可得證；

（2）設(shè)直線/的方程為y=；x+八將其與橢圓方程聯(lián)立，由詼與西+麗平行，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)

表示，可得關(guān)于利的方程，解之即可;

（3）設(shè)直線/的方程為y=Ax+a,將其與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式，點(diǎn)到直線的距陽

公式，求解即可.

【解答】（1）證明：由題意知尸（1,0）,-

所以|必用=J(演-l)2+y：=Jx；_2$+]+3(1-1)=J

鋁再+4吟臼=2*

（2）解:設(shè)直線/的方程為y=；x+/〃，

二+4=1,

聯(lián)立消去y,得/+mx+m2-3=0,

y=-x+m,

由△=nr—4(m2—3)>0,得一2cm<2,

所以耳+占=一〃1，必+為=^（再+當(dāng)）+26=手

又爐=（1,—'，西+西=（再+與，必+為一】）=（一〃?，言—1），

由斯與西+麗平行，得1X（￥-1）=-』X（T〃），解得〃I=1,

22

故直線/的方程為y='x+l.

2

（3）解：直線/與圓C:/+/=3相切，證明過程如下:

設(shè)直線/的方程為曠=履+加，

V/

聯(lián)立(彳+，"一='消去y,得(3+4F)./+8公內(nèi)+4〃?2-12=0,

y=kx+m,

8km

…二一會(huì)

所以

4m2一12

XX,=-----7-.

3+45

由|M/|+|N/|+|MN|=4,

得(2—5)+(2—/)+|MN|=4,即

而|MN\=J1+小?&/+々)2-4x&=J+公.J2_4.4〃/-%

V3+4%3+4左2

所以"?＞金）』?富磊），

整理得12/+21公+9-3m2-整2m2=o,

即（3+4戶）（3公+3-加2）=o,

所以〃/=3（1+公），

因?yàn)閳A心c到直線/的距離

J1+F/+左2

故直線/與圓C相切.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握向量共線的坐標(biāo)表示，弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公

式等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

中即時(shí)檢測

、

11.（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）已知點(diǎn)耳、鳥分別為橢圓「:'+爐=1的左、右焦點(diǎn)，直線/:）=云+/與橢

圓「有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線耳A/_L/,￡N_L/,垂足分別為點(diǎn)〃、N.（1）求證：/=2公+]：

（2）求證：詢?百為定值，并求出該定值：

（3）求|司+麗|?|麗一麗|的最大值.

【分析】（1）直線與橢圓聯(lián)立后用根的判別式等于。列出方程，求出/=2公+1；

（2）利用點(diǎn)到直線距離公式得到月,八2=等工，結(jié)合石M//EN,求出

而?可=1詢1“啊I,結(jié)合第一問的結(jié)論證明出麗?冗獷為定值1：

（3）利用向量線性運(yùn)算及點(diǎn)片，E在直線/的同側(cè)得到|5必+弧1=1版1+lE河I，結(jié)合第二問得到

|而1+1百|(zhì)一|+尸1卜721fl,再用投影