三角形（三）

一.選擇題（共1小題）

1.如圖，在△A8C中，AB=AC=S,BC=5,線段A8的垂直平分線交A8于點E,交AC于點D,則4

8QC的周長為（）

A

A.21B.14C.13D.9

二.解答題（共18小題）

2.（2025?黑龍江）已知：如圖，△ABC中，AB=AC,設(shè)N84C=a,點。是直線BC上一動點，連接A。，

將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a至AE,連接DE、BE,過點E作EF1BC,交直線BC于點F.探究如

下：

（1）若a=60°時，

如圖①，點。在。延長線上時，易證：BF=DF+BC；

如圖②，點。在BC延長線上時，試探究線段8尸、。尸、4c之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論，

并說明理由.

（2）若a=120°,點D在C8延長線上時，如圖③，猜想線段BF、OF、BC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請直接寫出結(jié)論，不需要證明.

3.（2025?陜西）如圖，點。是△/WC的邊8C延長線上一點，BD=AB,DE//AB,DE=BC.求證：BE

=AC

DE

4.（2025?湖北）如圖，AB=AD,AC平分NB43.求證：ZB=ZD.

5.（2025?河北）如圖，四邊形ABC。的對角線AC,8。相交于點E,AC=AD,NAC8=NADB,點尸在

ED上,ZBAF=ZEAD.

（1）求證：△ABC空△4H）；

（2）若BE=FE,求證：AC1I3D.

6.（2025?山西）綜合與探究

問題情境：如圖1，在△ABC紙片中，點。在邊A8上，AD>BD.沿過點。的直線折疊該

紙片，使04的對應(yīng)線段。*與AC平行，且折痕與邊8c交于點￡,得到△Q*E,然后展平.

猜想證明：（1）判斷四邊形4D8E的形狀，并說明理由；

拓展延伸：（2）如圖2,繼續(xù)沿過點。的直線折疊該紙片，使點A的對應(yīng)點/V落在射線。力上，且

折痕與邊AC交于點F,然后展平.連接A'七交邊4c于點G,連接A'F.

①若4。=28。，判斷。E與AE的位置關(guān)系，并說明理由；

②若NC=90°,A8=15,8c=9,當AA'尸G是以A'尸為腰的等腰三角形時，請直接寫出A'產(chǎn)的

長.

AA

3x-y=5①

7.（2025?新疆）（1）解方程組:

%+y=3②.

(2)如圖，AO=8C,NDAB=NCBA,求證：AC=BD.

8.（2025?福建）如圖，點E,尸分別在AB,A。的延長線上，NCBE=/CDF,ZACB=ZACD.求證:

AB=AD.

9.（2025?福建）如圖，△ABC是等邊三角形，D是4△的中點，CE1BC,垂足為C,E歹是由CD沿CE

方向平移得到的.已知E尸過點A,BE交CD于點、G.

（I）求NOCE的大小;

（2）求證：4CEG是等邊三角形.

10.（2025?蘇州）兩個智能機那人在如圖所示的RlAABC區(qū)域工作，N4BC=90°,A8=40〃?，BC=30M,

直線8。為生產(chǎn)流水線，且8Z）平分△ABC的面積（即。為AC中點）.機器人甲從點A出發(fā)，沿A-8

的方向以q（/〃/〃而）的速度勻速運動，其所在位置用點P表示，機器人乙從點8出發(fā)，沿B~C~D

的方向以V2Mnin）的速度勻速運動，其所在位置用點。表示.兩個機器人同時出發(fā)，設(shè)機器人運動

B.越來越小

C.先增又后減小

（2）當NCMN=30°時，求ZsCMN的面積.

13.（2025?云南）如圖，人8與CQ相交于點O,AC=BD,NC=NO.

求證：△AOC94BOD.

14.（2025?內(nèi)江）如圖，點B、尸、C、E在同一條直線上，AC=DF,NA=N。，AB//DE.

（1）求證：△ABC/ADEF；

（2）若8尸=4,FC=3,求8E的長.

15.（2025?連云港）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊BC長2小，面積為15層.

（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設(shè)計一個正方形桌面，請說明哪個正方形面積較大；

（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設(shè)計一個長方形桌面.請分別求出圖3、圖4中長方形的面積），

（，/）與OE的長工（陽）之間的函數(shù)表達式，并分別求出面積的最大值.

圖1

圖3

16.(2025?遂寧)如圖，在四邊形ABCO中，AB//CD,E,尸在對角線8。上，BE=EF=FD,且A尸

?CEYCD.

(1)求證：IXNBF出△3E;

(2)連結(jié)AE,CF,若NAB/)=30°,請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

17.(2025?南充)如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE,AC=AD,ZBAD=ZEAC.

(1)求證：XABCmXAED.

(2)求證：ZBCD=ZEDC.

18.(2025?瀘州)如圖，AB,CZ)是的直徑，過點C的直線與過點A的切線交于點E,與84的延長

線交于點F，且班=EC,連接OE交4B于點G.

（1）求證：￡廠是。。的切線;

1

(2)若Ar=10,sinF=求EG的長.

19.（2025?自貢）如圖,NABE=/BAF,CE=CF.求證：AE=BF.

三角形（三）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共1小題）

題號1

答案C

一.選擇題（共1小題）

1.如圖，在△A4C中，A8=AC=8,BC=5,線段A3的垂直平分線交A4于點E,交AC于點。，則^

BQC的周長為（）

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】線段、舛、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形：推理能力.

【答案】C

【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出8。=從。，得到△8DC的周長=3C+AC=13.

【解答】解：???QE垂直平分線段人依

：.BD=AD,

AABDC的周長=8C+OB+CD=BC+AO+CO=8C+AC=8+5=13.

故選：C.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)推出

BD=AD.

二.解答題（共18小題）

2.（2025?黑龍江）已知：如圖，ZXABC中，AB=AC,設(shè)/B4C=a,點。是直線上一動點，連接A。，

將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a至AE,連接DE、BE,過點E作EF1.BC,交直線BC于點F.探究如

下：

(1)若a=6O°時,

如圖①，點。在延長線上時，易證：BF=DF+BC；

如圖②，點。在8c延長線上時，試探究線段DF、4c之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論，

并說明理由.

(2)若a=120。，點。在CB延長線上時，如圖③，猜想線段BF、。尸、8C之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請直接寫出結(jié)論，不需要證明.

【考點】三角形綜合題.

【專題】幾何綜合題；壓軸題.

【答案】(I)①證明見解析；②(2)3BF=DF+BC,理由見解析.

【分析】(1)①由AB=AC,NBAC=a=60°,得到△ABC是等邊三角形，從而得到44BC=NBC4

=/ACB=60°,進而推出NB4E=NC4。，因此可證明△ABE也△ACO(SAS),得至ljBE=C。，/ABE

=NACD=60°,求得NEB/=60°,因此8E=2BF,由CD=8D+BC=B產(chǎn)即可得至U結(jié)論8/

=DF+BC；

②由AB=AC,ZBAC=a=60°,得到△ABC是等邊三角形，從而乙48。=/8。4=60°,進而推出

ZBAE=ZCAD,因此可證明△AAEgZXAC。(S4S),得到4￡=CD,N/WE=NACQ=120°,求得N

BEF=NABE-NABC=6U°，因此8石=28產(chǎn)，由CD=BD-BC=BF+DF-BC,即可得到結(jié)論8b=。產(chǎn)

-BC；

（2）同（1）思路即可求解.

【解答】（1）①證明：??飛8=八。，ZBAC=a=60°,

???△A8C是等邊三角形，

AZABC=ZBCA=ZACB=60a,

VZBAC=ZE4D=a=60°,

ZBAC+ZBAD=NE4O+NB4O,即NBAE=NCA。,

，在△ABE和△ACO中，

(AB=AC

\z-BAE=/.CAD,

(AE=AD

/.^ABE^/XACD(SAS),

:?BE=CD,N4BE=NACQ=60°,

AZE^F=180o-ZABE-Z^fiC=180°-60°-60°=60°，

VEF15C,

npDC

:.在RtABEF中，BE=—。=2BF,

cos乙EBF=cos6m0°

VCD=BD+BC=BF+DF+BC,CD=BE=2BF,

：.2BF=BF+DF+BC,

:?BF=DF+BC：

②解：BF=DF-BC,理由如下.：

'：A8=AC,Z^AC=a=60°,

???△ABC是等邊三角形，

???/ABC=NBCA=60°,

/.ZACD=180°-ZBCA=120°,

'：4ZBAC=ZEAD=a=60°,

/.ABAC-ZEAC=ZEAD-/EAC,即ZBAE=ZCAD,

?,.在和△AC。中，

(AB=AC

\z-BAE=Z.CAD,

(/IE=AD

A/XABE^^ACD(SAS),

???BE=CD,ZABE=ZACD=\20°,

：.ZEBF=ZABE-ZABC=\20c>-60°=60°,

?:EF2BC,

RFDp

?.?在為△螃中，BE=訴謝=訴喬=2BF,

'：CD=BD-BC=BF+DF-BC,CD=BE=2BF,

：?2BF=BF+DF-BC,

:?BF=DF-BC；

(2)解：?.?AB=AC,NBAC=a=120°,

1

二/ABC=ZBCA=7(180°-ZF/1C)=30°,

VZBz4C=ZEAD=a=120°,

/.ABAC-ZBAD=ZEAD-/BAD,即ZDAC=ZEAB,

???在和△4CQ中，

AB=AC

乙BAE=Z-CADr

AE=AD

：.^ABE^/^ACD(SAS),

：.BE=CD,ZABE=ZACD=30°

AAEBC=ZEBA+ZABC=300+30°=60°,

?:EF1BC,

RtA13EF中，

BFBF

BDEC=COS￡BEF=^^=O2BDCF,

?:CD=BC-BD=DF-BF+BC,CD=BE=2BF,

：?2BF=DF+BC-BF,

：,3BF=DF+BC.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，綜合運

用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?陜西)如圖，點。是△ABC的邊8C延長線上一點，BD=AB,DE//AB,DE=BC.求證：BE

【考點】全等二角形的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線：圖形的全等；推理能力.

【答案】證明見解答.

【分析】由。E〃AB,得NO=NA8C,而8O=A8,DE=BC,即可根據(jù)“SAS”證明△BQEg△ABC,

則BE=AC.

【解答】證明：???點。是8c延長線上一點，DE//AB,

：,ZD=ZABC,

在aBO七和△ABC中，

BD=AB

Z.D=乙ABC,

DE=BC

：3DE必ABC(SAS),

：.BE=AC.

【點評】此題重點考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導出NO=/A8C,進而證

明△BDEgAABC是解題的關(guān)鍵.

4.(2025?湖北)如圖，AI3=AD,AC平分NBA。.求證：NB=ND.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】證明見解答.

【分析】由4C平分/孫。，得N8AC=ND4C,AB=AD,AC=AC,即可根據(jù)“SAS”證明△A4C

0△AOC,則NA=NO.

【解答】證明：???AC平分/朋。，

：.ZBAC=ZDAC,

在△ABC和△AOC中，

(AB=AD

\ARAC=ADAC,

(AC=AC

：.(SAS),

:?NB=ND.

【點評】此題重點考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導出/B4C=NZMC,進

而證明△ABCg^AOC是解題的關(guān)鍵.

5.(2025?河北)如圖，四邊形ABCZ)的對角線AC,8。相交于點E,AC=AD,N4C8=NAD8,點尸在

ED上,ZBAF=ZEAD.

(1)求證：△ABC且△AH)；

(2)若BE=FE,求證：AC1BD.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】（1）證明見解答；

（2）證明見解答.

【分析】（1）由AC,BO相交于點區(qū)NACB=NADB,點尸在EO上，得NACB=N4OF,由NBA尸

=ZEAD,推導出N84C=/小。，而AC=AD,即可根據(jù)“ASA”證明△ABCg/XAFO；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得AB=AF,而BE=FE，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得4C_L8。.

【解答】證明：（1）VAC,8D相交于點E,NAC8=NAOB,點尸在EO上，

/.ZACB=ZADF,

〈NBAF=NEAD,

：.ZBAF-ZCAF=ZEAD-/C4尸，

，NR4C=NMO,

在△ABC和△AFQ中，

（ZBAC=^FAD

]AC=AD，

U/1CF=Z.ADF

:.XABgXAFD（ASA）.

（2）由（1）得

：.AB=AF,

,:BE=FE,

J.ACVBF,即AC_L8。.

【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”等知識，推導出N8AC=

ZFAD,進而證明是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?山西）綜合與探究

問題情境：如圖I，在△45C紙片中，點。在邊上，AD>BD.沿過點。的直線折疊該

紙片，使。8的對應(yīng)線段。8,與8C平行，且折痕與邊BC交于點E,得到△OB'E,然后展平.

猜想證明：（1）判斷四邊形BD8E的形狀，并說明理由；

拓展延伸：（2）如圖2,繼續(xù)沿過點。的直線折登該紙片，使點A的對應(yīng)點A'落在射線。8'上，且

折痕與邊AC交于點凡然后展平.連接A'E交邊AC于點G,連接A'F.

①若AQ=2BD判斷。E與］E的位置關(guān)系，并說明理由：

②若NC=90°,"=15,BC=9,當△/!'是以/VF為腰的等腰三角形時，請直接寫出A'〃的

長.

【專題】圖形的相似：推理能力.

【答案】（1）四邊形8O8E是菱形，理由見解析；

165

⑵①Q(mào)ELTE,理由見解析：②A尸的長為5或

O/

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得80=8。，BE=B'E,ZB'DE=ZBDE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

=ZBED,進而得到由等角對等邊推出8￡>=8E,從而證明8E=8O=8O=8E,即

可四邊形BDB宏是菱形;

,

（2）①由（1）推出BD=BD=BEf由折疊的性質(zhì)得到AD=A'D,結(jié)合已知可得AD=2B,D=2B，E,

進而推出y。=4斤=夕￡得到N1=N2,N3=N4,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出N2+N3=90",

即可得到DE與A'E的位置關(guān)系；

②分XKFG是以AF為腰A'G為底的等腰三角形和△A，F(xiàn)G是以A尸為腰FG為底的等腰三角形兩種情

況討論，如圖，延長A下交AB于點”，設(shè)4C,4。交點為例，利用三角形相似的性質(zhì)建立方程求解即

可.

【解答】解：（1）四邊形BQ8E是菱形，理由如下：

由折疊的性質(zhì)可得8。=8。，BE=B'E,NBDE=NBDE,

:?/B'DE=NBED,

:"BDE=NBED,

：?BD=BE,

:?BE=BD=B、D=B'E,

???四邊形4Q9E是菱形；

（2）①2EJLAE理由如下:

由（1）知四邊形BOBE是菱形，

：,BD=BE=BD,

由折疊的性質(zhì)得到AO=AD,

\'AD=2BD,

/.A'D=2BD=2BD=2B'E,

:?B'D=A'B'=B'E,

AZ1=Z2,N3=N4,

VZ1+Z2+Z3+Z4=I8O°,

/.Z2+Z3=90°,

???OE_LAE；

②?.?NC=90°,A8=15,BC=9,

：,AC=>JAB2-BC2=12,

當△WFG是以HP為腰/TG為底的等腰三角形時，如圖，延長A/交A8于點”，設(shè)AC,AT）交點為

M,則FG=AF,

/.ZC=90°,A'D//BC,

/.ZAMD=ZC=90°，

???NAMA'=9()0,

由折疊的性質(zhì)得40=47),ZADF=ZA'DF,AF=A'F,

/.AADF^A/A'DF(SAS),

，/A=NOA'F,

?/ZAFH=ZATG,

/.ZAHF=ZAMA'=90°,

'：NA=N4,

，XAFHsXNBC,

.AFHFAH

"AB~BC~AC

:.HF：AH：AF=BC：AC：A3=3：4：5,

:/A=N/J/V”，AF=A'b\NA””=NAA7〃，

「?△A”/烏△4'M尸(AAS),

：,HF=FM,AH=A'M,

設(shè)“尸=BW=3x,AH=A'M=^x,AF=A'F=5x,

：,AM=AF+FM=Sx,

*：A'D//BC,

，△AMQS/XACA,

AMAD,8xAD

---=,即——=,

ACAB1215

?"/)=10x,

：.BE=BD=AB-AD=\5-IC'x,

：.CE=BC-BE=\Ox-6,

\,FG=A,F=5x,

：.MG=FG-FM=2x,

/.CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12?10x,

?：A'D//BC,

???△/VMGS/\ECG,

AIMMG

CE~CG

4x2x

"10x-6—12-lOx

解得：x=l,

：.A'F=5x=5；

當△AAG是以AT為腰PG為底的等腰三角形時，如圖，則AA=AG,

同理得”廣：AH：AF=BC：AC：A8=3：4：5,HF=FM,A”=A'M,AF=A'F,

設(shè)H/=bM=3y,A〃=A'M=4y,AF=A'F=5y,

：.AM=AF+FM=Sy,

*：A'D//BC,

：.△AMQS/XACB,

,AMAD8y__AD_

?■=9K|J=

ACAB1215

：,AD=\Oy,

：.BE=BD=AB-AD=\5-Wy,

：.CE=BC-BE=\Oy-6,

VAATG是以AF為腰FG為底的等腰三角形，A'MIAC,

/.GM=FM=3y,

:.FG=GM+FM=6y,

：,CG=AC-AF-FG=\2-11>',

*：A'D//BC,

???△A'MGS"CG,

.A>M__竺

??

CECG

?4y=3y

**10y-6—12-lly'

解得：”=符，

尸=5尸~

165

綜上，4F的長為5或旬.

【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性

質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，合理作出輔助線，構(gòu)造三角形全等，結(jié)合分類討論的思想

是解題的關(guān)鍵.

3%-y=5(1)

7.（2025?新疆）（I）解方程組:

x+y=3

(2)如圖，AD=BC,ZDAB=ZCBA,求證：AC=BD.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用：三角形；圖形的全等；幾何直觀：運算能力；推理能力.

【答案】（1）

（2）證明見解答過程.

【分析】（1）對于方程組［3“一'：5①+②得以=8,由此解出K=2,再將x=2代入②解出y

即可得出該方程組的解：

（2）根據(jù)AQ=8C,ND4/3=NCZM,及A8是公用邊可依據(jù)“SAS"判定和△口〃全等，然后

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】⑴解:儼?,

{x+y=3（2）

①+②，得：4A=8,

解得：x=2,

把x=2代入②，得：2+y=3,

解得：y=L

???原方程組的解為：后二*

（2）證明：在△D48和△CBA中，

AD=BC

乙DAB=乙CBA,

AB=BA

(SAS),

：,I3D=AC,BPAC=BD.

【點評】此題主要考杳解二元一次方程組，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握解二元一次方程組，全

等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

8.(2025?福建)如圖，點E,尸分別在AB,A。的延長線上，NCBE=NCDF,ZACB=ZACD.求證:

AB=AD.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】證明見解答.

【分析】由NCBE=NCQF,推導出NABC=/AQC,而/ACB=NAC。，AC=AC,即可根據(jù)“/L4S”

證明△A8C出△AQC,則A8=AQ.

【解答】證明：???NC4￡=NCQP,

A1800-ZC?￡=180°-NCDF,

?.?/4區(qū)。=1800-NCBE,Z4DC=J80°-ZCDF,

：.ZABC=ZADC,

在△ABC和△AOC中，

(ZABC=^ADC

\/.ACB=Z-ACD，

UC=AC

：,^ABC^￡\ADC(AAS),

：.AB=AD.

【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，推導出N4BC=NAQC,進而證明△4BCgZ\4OC是

解題的關(guān)鍵.

9.(2025?福建)如圖，ZVIBC是等邊三角形，。是A8的中點，CE上BC,垂足為C,E尸是由。。沿CE

方向平移得到的.已知￡尸過點A,BE交CD于點G.

(1)求NQCE的大??；

（2）求證：aCEG是等邊三角形.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì).

【專題】三角形：圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱：推理能力.

【答案】（1）60°；

（2）見解析.

【分析】（I）等邊三角形的性質(zhì)推出NOC3=30°,垂直，得到NBCE=90°,角的和差關(guān)系求出/

DCE的大小即可；

（2）平移得到CO〃EF,進而得到NE4C=NOC4=30°,角的和差關(guān)系推出NE4C=NECA,進而得

至ljAE=CE,N4EC=I20°,根據(jù)推出BE垂直平分AC,進而得到NGEC==60。，

推出NGEC=ZGCE=NEGC,進而得到△CEG是等邊三角形即可.

【解答】（1）解：=△ABC是等邊三角形，

/.ZACB=60°.

??,。是A3的中點，

ZDCB=ZDCA=|ZACB=1x60°=30。.

AZBCE=90°,

/DCE=NBCE-NOC8=60°.

（2）證明：由平移可知：CD〃EF、

???NE4C=NQC4=30°,

又???/￡：6=/8?！辏?NAC8=30°,

：.ZEAC=ZECA,

:,AE=CE,ZAEC=\2^,

又?；AB=CB,

垂直平分AC,

11

AZGEC=^ZAEC=1x120°=60°,

由（1）知，NGCE=60°,

/.ZEGC=60°,

，ZGEC=ZGCE=ZEGC,

ACEG是等邊三角形.

【點評】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知

識點是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?蘇州）兩個智能機器人在如圖所示的RtZXABC區(qū)域工作,NA8C=90°,A3=40m,BC=30m,

直線8。為生產(chǎn)流水線，且8Z）平分△ABC的面積（即。為AC中點）.機器人甲從點A出發(fā)，沿A-8

的方向以也（〃?/〃"〃）的速度勻速運動，其所在位置用點P表示，機器人乙從點8出發(fā)，沿8-C-O

的方向以V2On/min）的速度勻速運動，其所在位置用點Q表示.兩個機器人同時出發(fā)，設(shè)機器人運動

的時間為/（陽加），記點尸到8。的距離（即垂線段的長）為由（〃?），力、。到8。的距離（即垂

線段Q。'的長）為心（加）.當機器人乙到達終點時，兩個機器人立即同時停止運動，此時,力=7.5/"di

與t的部分對應(yīng)數(shù)值如表（/|</2）：

t(min)0t25.5

d2(in)016160

（1）機器人乙運動的路線長為加；

（2）求，271的值；

（3）當機器人甲、乙到生產(chǎn)流水線3。的距離相等（即d|=d2）時，求/的值.

【考點】勾股定理的應(yīng)用；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【答案】（1）55；（2）￡：（3）1=,或=普.

【分析】（1）利用勾股定理求解即可;

(2)利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得BD=CD=AD=25,得到NA3O=N84C,ZDBC=ZC,

,24

推出sin/4BO=sinNB4C=SsinZDBC=sinC=1，分當點。在BC上和點。在C。上時，兩種

情況討論，分別求得，1=2,3=系據(jù)此求解即可；

(3)根據(jù)題意求得力=24-33分當點Q在上和點。在CO上時兩種情況討論，列式一元一次方

程方程，求解即可.

【解答】解：(1)VZA^C=90°,A8=40/〃，3C=30〃?，

：.AC=V3024-402=50/〃，

??,￡＞為AC中點，

：.CD=^AC=25機，

???8C+CO=30+25=55〃?，

???機器人乙運動的路線長為55〃?，

故答案為:55；

(2)根據(jù)題意，得火=器=10,

:△ABC中，NA8C=90°,。為AC中點，

：,BD=CD=AD=25,

:./ABD=/BAC,/DBC=/C,

4

，sinNABD=sinNBAC=53,sinZDBC=sinC=看

當點Q在BC上時，d2=BQ-sin乙DBC=10tx^=83

A8n=16,解得。=2,

當點。在CQ上時，作垂足為“(如圖)，

■:/CDB=NADH,

24

：.sinZCDB=s\nZADH=會

：,d2=QD-sinz.CDB=(55-10t)x條=等一等t,

26448

解得。=等.

,,2311

￡2—1=/-29=/；

(3)當，=5.5時，力=7.5,

PP17q

此時,BP=的前=丁=125

：.AP=AB-BP=40-12.5=27.5,

AP27.5「

=舒=6,

3

X-

.?&=BP-sinZ-ABD=(40-5t)524—3t,

當點Q在8C上時，由力=必，得24-3/=8f,

解得”魯

當點。在CO上時，由力=必，得24-3￡=等一等3

解得￡=普,

?*_24才*_48

??t=五或e=五.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意、,找出所求問題需要的條件.

11.(2025?蘇州)如圖,。是線段/W的中點，NA=NECB,CD//BE.

(1)求證；△D4。冬△EC。；

(2)連接DE,若48=16,求OE的長.

DA______________

AB

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；幾何直觀；推理能力.

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)8.

【分析】(1)根據(jù)CD//BE得NOCA=N5,根據(jù)點C是線段AB的中點得AC=CB=由此可依

據(jù)“ASA”判定△D4C和△EC6全等，

⑵根據(jù)A8=16得根據(jù)全等三角形性質(zhì)得CO=3E,再根據(jù)CQ〃B￡得四邊形

BCOE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出。石的長.

【解答】(1)證明：:CD〃郎,

：.ZDCA=ZB,

???點C是線段A8的中點，

1

：.AC=CB=^AB,

在4c和中，

(ZA=ZECB

]AC=CB，

QDC4=Z.B

.?.△DACqAECB(ASA)；

(2)解：VAB=16,

?"。=。3=梟8=8,

由(1)可知：△DA84ECR,

:?CD=BE,

又,：CD"BE,

???四邊形8CDE是平行四邊形.

：?DE=BC=8.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的

判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

12.(2025?江西)圖1是一種靠墻玻璃淋浴房，其俯視示意圖如圖2所示，AE與。E兩處是墻，AB與CD

兩處是固定的玻璃隔板，BC處是門框，測得A8=8C=CO=60cm,ZABC=ZBCD=135c,MN處是

一扇推拉門，推動推拉門時，兩端點M，N分別在8C,CD對應(yīng)的軌道上滑動.當點N與點。重合時，

推拉門與門框完全閉合；當點N滑動到限位點P處時，推拉門推至最大，此時測得NCNM=6°.

(1)在推拉門從閉合到推至最大的過程中，

①NCMN的最小值為3度，Q大值為39度；

②△CMN面積的變化情況是.

A.越來越大

B.越來越小

C.先增又后減小

(2)當NCMN=30°時，求△CMN的面積.

E

【考點】三角形綜合題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識.

【答案】(1)①0,39；②C；

(2)(450V3-450)cm2.

【分析】(1)①根據(jù)臨界點運用已知條件以及三角形內(nèi)角和定理即可解答；

②由特殊情況分析：點N與點C重合時，5=0,過沒有點〃的限制，點N與點。重合時，5=0,即可

解答；

(2)當NCMN=30°時，NG=2MN=30,由勾股定理可得MG=30V5,再根據(jù)等腰直角三角形的性

質(zhì)可得CG=NG=30,則MC=30^—30,最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

【解答】解：(1)①當點N與點。重合時，推拉門與門框完全閉合，此時NCMN有最小值0。，

當點N滑動到限位點P處時，推拉門推至最大，/CNM=6：則此時NCMN有最大值，

'：4CNM=6°,NBC7)=135°,

???/CMN=180°-6°-135c=39°,即NCMN有最大值為39°,

故答案為：0,39；

②由特殊情況分析：點N與點。重合時，S=0,

過沒有點P的限制，點N與點。重合時，5=0,

???ACMN面積的變化情況是先增大后減小.

故答案為：C.

(2)過N作NGJ_BC于G,如圖，

E

：.MG=y/MN2-NG2=3()75,

?:ZNCG=45°,

:?CG=NG=33

：.MC=MG-CG=30V3-30,

:?SACM后gCM?NG=三x(3(心—30)X30=(45073-450)cnr.

【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、含30度直角三角形

的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知以點，正確求得△CMN的函數(shù)解析式成為解題的關(guān)鍵.

13.(2025?云南)如圖，A/L與CQ相交于點O,AC=8Q,ZC=ZD.

求證：△AOC92BOD.

【專題】三角形；圖形的全等：幾何直觀；推理能力.

【答案】見解答.

【分析】根據(jù)己知條件AC=B。，ZC=ZD,結(jié)合NAOC=N8O。，利用“A4S”求解即可.

【解答】解：在△4OC和△40。中，

NC=NDl已知)

乙AOC=LBOD(對頂角相等),

AC=BD(已知)

???△AO0Z\8。。(AAS).

【點評】本題主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題

目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找

一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰

邊.

14.(2025?內(nèi)江)如圖，點從尸、C、石在同一條直線上，AC=DF,N4=N。，AB//DE.

(1)求證：AABC/ADEF；

(2)若BF=4,FC=3,求EE的長.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；圖形的全等；幾何直觀；推理能力.

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)11.

【分析】(1)根據(jù)AB〃OE得NA=NE,由此可依據(jù)“AAS”判定△A8C和全等;

(2)根據(jù)△A/3C和全等得8C=￡F,進而得/好=七。=4,由此即可得出/法的長.

【解答】(1)證明：???AB〃。已

：?/B=NE,

在△48。和AOE尸中，

(ZB=

}Z.A=Z.D?

Uc=DF

:.XABCW4DEF(A4S)；

(2)解：由(1)可知：△ABgADEF,

:?BC=EF,

：.BF+CF=EC+CF,

:?BF=EC,

*：BF=4,FC=3,

：.EC=4,

：.BE=BF+FC+EC=4+3+4=\1.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，平

行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

15.（2025?連云港）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊BC長2加，面積為15/.

（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設(shè)計一個正方形桌面，請說明哪個正方形面積較大；

（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設(shè)計一個長方形桌面.請分別求出圖3、圖4中長方形的面積），

（,/）與QE的氏％（〃?）之間的函數(shù)表達式，并分別求出面積的最大值.

圖1

圖3

【考點】三角形綜合題.

【專題】代數(shù)綜合題.

【答案】（I）圖I的正方形面積較大：（2）在圖2中，y=-1（r-1）2+1,當丫=加時.長方形的面

積有最大值為5m2,在圖4中，丫=一||（%一%+1當“筋時，長方形的面積有最大值為

【分析】（1）先運用勾股定理算出KJ=7BC2+力心=2.5（m）,再運用正方形的性質(zhì)分別證明R4WE

X4on

sR^ACB，R@DECSRMABC，RjADGsR@ABC，然后代入數(shù)值化簡得==，進行計算得％=而s，

交產(chǎn)537

然后進行比較，即可作答;

(2)與(1)同理證明RfMDEsRi"CB，則長方形的面積y=DExDC=—@(無一l)2+彳結(jié)合二次函

,,39

數(shù)的圖象性質(zhì)得當X=/〃7時，長方形的面積有最大值為77n\然后證明RLSECSRLMB。，R/A4X；SR/A

4

ABC，再把數(shù)值代入長方形的面積產(chǎn)。EXQG,化簡得、二一||('-32+率結(jié)合二次函數(shù)的圖象性

質(zhì)進行作答即可.

【解答】解：⑴,:BC=2m,面積為1.5/戶,

：.AC=-^=1.5(m),

：.AB=y/BC2+AC2=2.5(m),

設(shè)正方形的邊長為xm,

???四邊形CD"是正方形,

：.DE//CF,NAOE=NC=9()，,DE=CD=x,AD=\.5-x,

?//A=NA,

RldADEsRtMCB，

DE4。

得-

C84C,-

X

2一

.5

6

-z

7kf

???四邊形GQEr是正方形，

：.DE//GF,

:?/CED=/B,ZEDC=ZA,

二?RMDECSRMABC，

DCAC3

得

DEAB~5

DC3

即一=

DE5

：,DC=^3x,

33

---X

：.AD=AC-DC=25

VZ/\=ZA,Z4GD=ZC=90°，

?*?Ri^ADGsMaABC，

得絲=王，

DAAB

x4

n印t^~3-=~f

2-5X5

解得X=瑞(771),

630

V->——,

737

???圖I的正方形面積較大；

(2)二?四邊形COE尸是長方形，

Q

：.DE//CF,ZADE=ZC=90,DE=CD=x,AD=l.5-xf

ZA=ZA,

工RLSDESR&CB，

ADAC3

得==—,

DECB4

OA_Oy

貝DC=AC-AD=^-p

44

*,?長方形的面積y=DExDC=xx--^―=^x(2—x)=——l)2+,,

3

,,渴<0,

工開口向下,

,3

當X=1〃?時，，長方形的面積有最大值為一629,

4

在圖4中，同理得RjDECSR；AABC，

,DEAB5

伴—,

DCAC3

333

：.DC=^xfDA=AC-DC=^-^xt

同理得Rt/\AOGSR/"5C，

則DG=赳44=4哲3.23

4441744

，長方形的面積y=DExZ)G=%xg(2-弓x)=-西(%-彳產(chǎn)+不,

II<0,

:.開口向下,

q3o

，當％=zm時，長方形的面積有最大值為:根之.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握

相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

16.（2025?遂寧）如圖，在四邊形48co中，AB//CD,點E,r在對角線8。上，BE=EF=FD,且AF

±AB,CE.LCD,

（1）求證：△ABF在43E\

（2）連結(jié)AE,CF,若NABD=30°,請判斷四邊形AEC尸的形狀，并說明理由.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；幾何直觀：推理能力.

【答案】（1）證明見解答過程：

（2）四邊形AECr是菱形，理由見解答過程.

【分析】（1）根據(jù)A4〃C。得//W"=NCO￡,根據(jù)。七_1_（7。得/笈4尸=/。?！?90°,再

根據(jù)4E=E產(chǎn)=/7）得8尸=?！?由此可依據(jù)“A4S”判定△ABr和ACQE全等；

（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得/。。8=/48。=30°,進而根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)及含有30°角的直

角三角形性質(zhì)得凡CE=CF=1DE,再根據(jù)4F=Q七得AE=A〃=CE=CE由此即可判

定四邊形4ECT的形狀.

【解答】（1）證明：:八8〃。0,

???NABF=NCDE,

yAFLAB,CELCD

：.ZBAF=ZDCE=9（）°,

?:BE=EF=FD,

：?BE+EF=FD+EF,

即BF=DE,

在和△COE中，

（Z