命題與證明

一.選擇題（共1小題）

1.（2025?成都）下列命題中，假命題是（）

A.矩形的對角線相等

B.菱形的對角線互相垂直

C.正方形的對角線相等且互相垂直

D.平行四邊形的對角線相等

二.填空題（共4小題）

2.（2025?長沙）衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾?青少年邁開人生第一步就要走正道，要嚴

格遵守國家法律法規(guī).同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守數(shù)學(xué)中的基本法則.例如：下面命題的推

理過程所得出的錯誤結(jié)論就是由于不遵守數(shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的.

命題：如果a,b,c為實數(shù)，且滿足〃+）=-（?.那么2=1.

推理過程如下：

第一步：根據(jù)上述命題條件有。+方=-。；①

第二步：根據(jù)七年級學(xué)過的整式運算法則有。=2〃-a,b=2b-b,c=2c-c：②

第三步：把②代入①，可得（2a-a）+（2b-b）=-（2c-c）；③

第四步：把③兩邊利用移頂、去括號法則、加法交換律等，變形可得2（a+〃+c）=（a+Hc）；④

第五步：把④兩邊同時除以（〃+〃+（?）,得2=1.⑤

請你判斷上述推理過程中，第步是錯誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則.

3.（2025?北京）能說明命題“若。2>4/，則〃>2/尸是假命題的一組實數(shù)小〃的值為。=,

b=.

4.（2025?煙臺）如圖，在菱形ABCQ中，/843=60°,對角線4C=6o〃.點M從點A出發(fā)，沿4C方

向以的速度向點C運動，同時，點N從點C出發(fā)，沿CO方向以百cm/s的速度向點。運動，當

一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接AN,0M交于點P.在此過程中，點。的運動路徑長為

B

5.（2025?遂寧）綜合與實踐-硬幣滾動中的數(shù)學(xué)

將兩枚半徑為，?的硬幣放在桌面上，固定白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動

的路徑如圖1；將三枚半徑均為，?的硬幣連貫的放在桌面上，固定兩枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾

動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖2；現(xiàn)將四枚半徑均為「的硬幣按圖3、圖4擺放在桌面上，

固定三枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，則在圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路

徑長的比值為______________________

命題與證明

參考答案與試題解析

一.選擇題（共1小題）

題號1

答案D

一.選擇題（共1小題）

1.（2025?成都）下列命題中，假命題是（）

A.矩形的對角線相等

B.菱形的對角線互相垂直

C.正方形的對角線相等且互相垂直

D.平行四邊形的對角線相等

【考點】命題與定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】由平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，即可判斷.

【解答】解：4、B、C中的命題是真命題，故A、B、C不符合題意；

。、平行四邊形的對角線也相平分，不一定相等，故。符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查命題與定理，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握以

上知識點是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

2.（2025?長沙）衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾?青少年邁開人生第一步就要走正道，要嚴

格遵守國家法律法規(guī).同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守數(shù)學(xué)中的基本法則.例如：下面命題的推

理過程所得出的錯誤結(jié)論就是由于不遵守數(shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的.

命題：如果a,b,c為實數(shù)，且滿足〃+》=-c.那么2=1.

推理過程如下：

第一步：根據(jù)上述命題條件有〃+人=-c；①

第二步：根據(jù)七年級學(xué)過的整式運算法則有4=2〃-a,b=2b-b,c=2c-c,②

第三步：把②代入①，可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)；③

第四步：把③兩邊利用移項、去括號法則、加法交換律等，變形可得2(a+〃+c)=(a+Hc)；④

第五步：把④兩邊同時除以(a+b+c),得2=1.⑤

請你判斷上述推理過程中，第⑤步是錯誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則.

【考點】推理與論證；實數(shù)的運算；整式的混合運算；等式的性質(zhì)；一次函數(shù)的應(yīng)用；命題與定理.

【專題】推理填空題.

【答案】⑤.

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，逐步分析即可.

【解答】解：???等式兩邊同時乘或除以同一個不為。的整式，或是等式左右兩邊同時乘方，等式仍然成

立.

?，.對于等式2(q+b+c)=(〃+/?+(?),

當a+h+c=O時，該等式恒成立，

當4+O+cWO,兩邊同時除以得2=1,

'：a+b=-c,

:.a+b+c=O,

???上述推理過程中，第⑤步是錯誤的；

故答案為：⑤.

【點評】本題考杳了等式的性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論即可.

3.(2025?北京)能說明命題“若/>4層，則〃>2〃”是假命題的一組實數(shù)小〃的值為〃=-3,b

=1(答案不唯一)?

【考點】命題與定理.

【專題】實數(shù)；數(shù)感.

【答案】-3,I(答案不唯一).

【分析】根據(jù)舉反例的方法找到。，〃滿足。2>4廬，但是不滿足。>2〃即可.

【解答】解：當4=-3,/)=1時，〃2>4/，但是。<2〃，

故答案為：-3,1(答案不唯一).

【點評】本題主要考查了命題與定理的知識，掌握判斷一個自題是假命題的時候可以舉出反例是解題的

關(guān)鍵.

4.(2025?煙臺)如圖，在菱形A8CQ中，Z/MD=60°,對角線4C=6a〃.點/從點A出發(fā)，沿AC方

向以"加S的速度向點C運動，同時，點N從點C出發(fā)，沿C。方向以通切而的速度向點。運動，當

一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接AN,OM交于點P.在此過程中，點。的運動路徑長為

2V37T

cm.

【考點】軌跡；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形.

…田、2V37T

【答案】——.

【分析】如圖，連接3。交AC于J.求解ND4c=30°=ZDCA,AJ=CJ=3,DJ=BJ=AJ-tan30°

=V3,AD=AB=BD=2V3=CD,設(shè)運動時間為/,則AM=1,CN=V3t,證明△AOMs^CAN,可得

NAPQ=180°-30°=150°,作等邊三角形AOO,以。為圓心，0。為半徑作圓，取點K,連接AK,

DK,證明。在上，且在弧人。上，再利用弧長公式計算即可.

【解答】解：如圖，：在菱形ABC。中，/84。=60°,對角線AC=6c〃?，連接BO交AC于J,

,ND4c=30°=ZDCA,AJ=C/=3,

QJ=R/=AJ?ian30°=y/3AD=AB=BD=24=CD,

△AOMSZ\G4N,

???ZADM=/CAN,

AZAPM=ZDAP+ZADM=ZDAP+ZCAN=30°，

AZAPD=180°-30°=150°,

作等邊三角形人。0，以。為圓心，0。為半徑作圓，取點K,連接4K,DK,

：,OA=OD=AD=2V3,ZAOD=60°,ZAKD=1x60°=30°,

???NAKQ+/4PQ=180°,

，產(chǎn)在OO上，且在弧HD上,

60TTX2\^3267r

??.在此過程中，點P的運動路徑長為

3

2技7

故答案為:

3

【點評】本題考查的是菱形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的確定，三角函數(shù)的應(yīng)用，弧長的計算，證

明產(chǎn)在O。上，且在弧人。上是解本題的關(guān)鍵.

5.（2025?遂寧）綜合與實踐-硬幣滾動中的數(shù)學(xué)

將兩枚半徑為，?的硬幣放在桌面上，固定白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動

的路徑如圖1：將三枚半徑均為，?的硬幣連貫的放在桌面上，固定兩枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾

動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖2：現(xiàn)將四枚半徑均為「的硬幣按圖3、圖4擺放在桌面上，

固定三枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，則在圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路

徑長的比值為芋?

9

【考點】軌跡：直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力.

【答案琮.

【分析】先理解題意，把深色硬幣的圓心移動路徑都畫出來，根據(jù)三邊都等于2r,證明八4所是等邊

三角形，同理得出其他三角形都是等邊三角形，再求出每條弧長，再加起來得出圖3與圖4這兩種情形

中深色硬幣的圓心移動路徑長，再進行求解，即可作答.

【解答】解：依題意，AE=EF=AF=2r,

則AAEF是等邊三角形；

則/4月/=//1/石=60°,

同理得△CM、4BFG、ZXOFG是等邊三角形，

則ZBFG=ZBGF=ZFGD=ZGFD=ZCEF=ZEFC=60°,

AZAFB=\S0°-60°-60°=/CFD,

.AT-(360°-60°-60°)xn-x2r_8nr前—(360°-60°-60°)X7rx2r_8nr

??AC_1803_~3~fbU~1803—~3~f

?AP-(180°-60°-60°)X7rx2r_2nr而—(180°-60°-60°)X7rx2r_2nr

??”=1803=~fCU=1803=~f

2nrQnr4nr16nr2071T

:.——x2+——x2=——+-------=---------；

33333

依題意，AE=EF=AF=2r,

???△AM是等邊三角形;

則NAEFU/A/EM/用￡=60°,

同理得△CAB、AAEB.是等邊三角形,

(360°—60?！?0°—60。)又滅＞2廠

則而==2nr,

180°

(360°—60°—60°—60°)XTTX2r

CD==2zrr,

180°

(360。-60°-60°-60°)X7rx2r

CF=180°=2nr,

則2nrX3=6iTr,

20nr

r12071rI。

則----+6nr=-------=——

36nr9

故答案為：警.

9

【點評】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，

又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算

加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、暴的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三

角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘力，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運

算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

2.整式的混合運算

（1）有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順

序相似.

（2）“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，

此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來.

3.等式的性質(zhì)

（1）等式的性質(zhì)

性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式：

性質(zhì)2、等式兩邊乘同?個數(shù)或除以?個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

（2）利用等式的性質(zhì)解方程

利用等式的性質(zhì)對方程進行變形，使方程的形式向工的形式轉(zhuǎn)化.

應(yīng)用時要注意把握兩關(guān)：

①怎樣變形；

②依據(jù)哪一條，變形時只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的.

4.一次函數(shù)的應(yīng)用

1、分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要

符合實際.

2、函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件

尋求可以反映實際問題的函數(shù).

3、概括整合

（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用.

（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵.

5.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（I）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性

質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形乂是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性

質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的

直角三角形、連接三邊中點可?以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.

（3）等邊三角形判定最發(fā)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°

的角判定.

6.平行四邊形的性質(zhì)

（I）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線；平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

7.菱形的性質(zhì)

<1）菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱釉，分別是兩條對角線所在直線.

（2）菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式:.

②菱形面積成（〃、是兩條對角線的長度）

8.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線;

對稱中心是兩條對角線的交點.

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

9.正方形的性質(zhì)

（I）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸灼稱圖形，有四條對稱

軸,

10,直線與圓的位