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文檔簡介
專題05判定三角形全等的三大基本思路
目錄
A題型建模?專項突破
題型一、已知兩邊對應(yīng)相等解題思路...............................................................1
題型二、已知兩角對應(yīng)相等解題思路...............................................................2
題型三、已知一邊一角對應(yīng)相等解題思路...........................................................3
B綜合攻堅?能力躍升
題型建模?專項突破
題型一、已知兩邊對應(yīng)相等解題思路
條件:已知兩邊對應(yīng)相等;
解題思路:①找夾角對應(yīng)相等,利用SAS證全等;
②找第三邊對應(yīng)相等,利用SSS證全等.
I.如圖所示,A、D、B、E四點在同一條直線上,若AD=BE,AC=DF,BC=EF,
求證:
(2)ZE+ZCBE=180°.
2.如圖,點旦反C,尸在一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
⑴如圖(1),求證:/4=ZD:
(2)如圖(2),44=70。,/8=40。,死平分/。正交4。于點6,求NCG廠的度數(shù).
3.如圖,在四邊形/WC。中,AB=AD,BC=DC,石為4c上的一點
求證:
⑴AC平分/D4A:
(2)BE=DE
4.已知:如圖,點E,/在線段5c上,BF=CE,AB=DC,AE=DF.
(1)求證:AABE沿ADCF;
(2)若NAE8=40。,求乙40尸的度數(shù).
題型二、已知兩角對應(yīng)相等解題思路
條件:已知兩角對應(yīng)相等;
解題思路:①找夾邊對應(yīng)相等,利用ASA證全等;
②朋E夾邊的邊對應(yīng)相等,利用AAS證全等.
5.如圖,04=00,皿閆3C,BF=CE,求證:AB=DC.
6.如圖,Z4=ZD,ZB=ZE,AF=CD.
⑴求證:4ABCgADEF;
⑵若NA=30。,NE=75。,求/Bb的度數(shù).
7.如圖,已知AC=4DNA=N8NE=/F.
(1)證明:AADFABCE:
(2)若NA=4()。,NE=20。,求N1的度數(shù).
8.如圖,在VABC與“無尸中,AB=DE,AC//DF,NA=ND,AC與DE交于點0;
(1)求證:BE=CF.
(2)若N8=65。,N/=40。,求/AOE的度數(shù).
題型三、已知一邊一角對應(yīng)相等解題思路
(1)條件:有一邊和該邊的對角對應(yīng)相等;
解題思路:找另一角對應(yīng)相等,利用AAS證全等.
(2)條件:有一邊和改邊的領(lǐng)角對應(yīng)相等;
解題思路:①找夾該角的另一邊對應(yīng)相等,利用S4S證全等;
②找另一角對應(yīng)相等,利用44s或454證全等.
9.如圖,已知NC=NO8A=90。,BC=EB,DE//BC,求證:AC=DB.
C
10.如圖,在四邊形48co中,AD//BC,N1=N2,AB=EC.
⑴“Q-OQ
(2)ZB=ZC.
2.已知:如圖,8EJ.C。于E尸為上一點,DF交BE、BC于A、F,BE=DE,BC=DA.
⑴求證:ABEC烏mAE;
⑵若AA=3,C/)=ll,求AE.
3.如圖,V4BC中,尸為A8上一點,。為8C延長線上一點,且PA=CQ,過點P作PM_LAC于點M,
過點。作QN_LAC交AC的延長線于點N,且PM=QN,連接戶Q交AC邊于。.
(1)求證:△APM四△CQN:
(2)若AC=8,求線段0M的長度.
4.如圖,AB=DC,AC=DB.
⑴求證:△AB8ADCB;
(2)若NA=90。,ZDBC=35°,求/ABO的度數(shù).
5.如圖,在VA/3C中,N84C=90。,點七是。。延長線上一點,D為BC下方一點,連接OE,DE=AB過
點、D作DF上DE交BE于點、F,且FB=CE.
(1)求證:ZACB=/DFE;
(2)連接A。交BC于點G,若AG=5,求AO的長.
6.如圖,AB=AC,A13J.AC,AD=AE,AEA.AD,B,C,E三點在同一條直線上.
(1)求證:0cJ_BE;
(2)探究/CAE與NCDE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論,并說明理由.
7.如圖,在VA3C和VAOE中,AB=AD,AC=AE.BC=DEt延長4c分別交邊A。、DE于點F、G.
(1)求證:/B=ZD;
(2)若NC4E=49。,求4GD的度數(shù).
8.如圖,在VA3C中,ZACB=90°,AD.3七分別是NC48、NC84的平分線,AD.BE交于點、P,過
點P作尸/_LAO交8C的延長線于點尸、交AC于點G.
(2)AG、BD、A8之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請說明理由.
9.小強在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動試驗后,對其作了進一步的探究:在一個支架的橫桿點0處用一
根細(xì)繩懸掛一個小球,小球可以自由擺動,如圖,4表示小球靜止時的位置,當(dāng)小強用發(fā)聲物體靠近小球時,
小球從A擺到8位置,此時過點8作⑺_LO4于點。,當(dāng)小球擺到。位置時,過點。作CE_LQ4于點E,
測得OC=20cm,8Z)=OE=9cm(圖中的點A氏。C在同一平面內(nèi)).
⑴猜想此時04與OC的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求AE的長.
10.如圖①,AB=CD,AD=BC.。為AC中點,過0點的直線分別與40、BC相交于點”、N.
⑴那么N1與N2有什么關(guān)系?AM、CN有什么關(guān)系?請說明理由.
(2)若將過0點的直線旋轉(zhuǎn)至圖②③的情況時,其他條件不變,那么①中的關(guān)系還成立嗎?請說明理由.
11.已知。是四邊形A8CO內(nèi)一點,且04=8,()B=OC,^AOD=ZBOC.
圖1圖2
(D皿圖1,連接AC,BD,求證:AC=BD;
(2)如圖2,七是CO的中點,連接0E,若AB=2OE,求證:4。。+/30。=180。;
⑶在(2)條件下,求證:VAO8的面積等于的面積.
12.在VA8C中,AB=AC,ZBAC=90%點。是直線8c上一點(不與8、C重合),以AO為一邊在4。
的右側(cè)作VAOE,使AO=A£,4DAE=NBAC,連接CE.
(1)皿圖1,AACE嗎?請說明理由;
⑵在(1)的結(jié)論下,試求:/BCE的度數(shù):
⑶設(shè)/切C=a,4BCE=0,如圖2,當(dāng)點。在線段8c上移動,則明夕之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明
理由.
圖1圖2備用圖
(1)請問A£、4。有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?試證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,連接A。、BE,取AZ)的中點F,連接Q并延長交于點兒試證明:
?FC=^BE,
?FCLBE.
14.如圖,在V4BC中,BD,CE分別是AC邊,48邊上的高,B。與CE相交于點尸,且EB=EC,連
接QE.
(1)試說明:ZABD=ZACE;
(2)試求N£OC的度數(shù);
(3)若點”是CE的中點,則BD-CD=mDF,試求用的值.
專題05判定三角形全等的三大基本思路
目錄
A題型建模?專項突破
題型一、已知兩邊對應(yīng)相等解題思路...............................................................1
題型二、已知兩角對應(yīng)相等解題思路...............................................................2
題型三、已知一邊一角對應(yīng)相等解題思路...........................................................3
B綜合攻堅?能力躍升
題型建模?專項突破
題型一、已知兩邊對應(yīng)相等解題思路
條件:已知兩邊對應(yīng)相等;
解題思路:①找夾角對應(yīng)相等,利用SAS證全等;
②我第三邊對應(yīng)相等,利用SSS證全等.
1.如圖所示,A、D、B、E四點在同一條直線上,若AD=BE,AC=DF,BC=EF,
求證:
(1)△ABC=△DE尸;
(2)ZE+ZCBE=180°.
【答案】(I)證明見解析
⑵證明見解析
【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合(SSS)、等式的性質(zhì)1
【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)1,全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點,熟練掌握全等三角形的判定與
性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)由="推出.=£>£,利用SSS即可得出結(jié)論;
(2)由(1)可得:AABCWADEF,因而可得NCGA=NF£D=NE,由A、。、B、E四點在同條直
線上可得NC84+NC8E=NA8E=180。,于是得證.
【詳解】(1)證明:???AO=8E,
:.AD+DB=BE+DB,
即:AB=DE,
在V48c和ADEF中,
AB=DE
AC=DF,
BC=EF
\AABC%DEF(SSS);
(2)證明:由(1)可得:△ABC0△£>£/,
:.NCBA=/FED=/E,
?M、。、B、E四點在同一條直線上,
NCBA+NCBE=ZABE=180°,
/.+ZCB£=180°.
2.如圖,點及旦C/在一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
⑴如圖(1),求證:
(2)如圖(2),乙4=70。,NB=40。,FG平分/DFE交AC于點G,求NCGr的度數(shù).
【答案】(I)見詳解
(2)35°
【知識點】角平分線的有關(guān)計算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SSS綜合(SSS)
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),角平分線和外角關(guān)系,掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解
題的關(guān)鍵.
(1)利用SSS證明兒尸即可求證;
(2)利用全等三角形的性質(zhì)、角平分線和外角關(guān)系即可求解.
【詳解】(1)證明:??.BE=CF,
BE+EC=CF+EC,
即BC=EF,
在VA8C和5)即中,
AB=DE
AC=DF,
BC=EF
乙AB8&DEF(SSS),
ZA=ZD;
(2)解:???ZA=70。,ZB=40°?ZA+ZB+ZACB=180°,
ZAC£?=180°-ZA-=180°-70°-40°=70°,
由(I)知△AACgZkO歷,
ZDFE=ZACB=70。,
;FG平分NDFE,
/.ZGFC=-ZDFC=35°,
2
???NGFC+Z.CGF=ZACB,
ZCGF=ZACB-Z.GFC=70°-35°=35°.
3.如圖,在四邊形ABC。中,AB=AD,BC=DC,石為AC上的一點
求證:
⑴AC平分ND4小
(2)BE=DE
【答案】(1)見解析
⑵見解析
【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合(SSS)、全等的性質(zhì)和S4S綜合(S4S)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的定義.
(1)利用SSS證明則〃4E=NBAE,即可得出結(jié)論;
(2)利用SAS證明△ADE0△/1%:,則BE=DE.
【詳解】(1)證明:在VA8C和△AOC中,
AB=AD
<AC=ACf
BC=DC
/.Z\ABC^AA£)C(SSS),
.?.NDAE=NBAE,
??AC平分ND48;
(2)在VADE和中,
AB=AD
NBAE=ZDAE,
AE=AE
.?.△AOE均A阻SAS),
:.BE=DE.
4.已知:如圖,點E,尸在線段8。上,BF=CE,AB=DC,AE=DF.
(1)求證;&ABE9ADCF、
(2)若NAEB=40。,求40〃的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)80°
【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合(SSS)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),理解全等三角形的判定和性質(zhì)是解答關(guān)鍵.
(1)由BF=CE,利用線段的和差得到跳:=CF,由SSS證明兩個三角形全等即可;
(2)由(1)可知AAb笈0△ZX#,由全等三.角形的性質(zhì)得到ZA=N/)"C=40。,然后利用角的和差來
求解.
【詳解】(1)證明:???8/=CE,
:.BE=CF.
在班:和中
BE=CF
AB=DC
AE-DF
:AABE^&DCF(SSS).
(2)解:?.公ABE出ADCF,
:.ZAEB=ZDFC=40°,
ZAOF=ZAEB+ZDFC=8Q°.
題型二、己知兩角對應(yīng)相等解題思路
條件:已知兩角對應(yīng)相等;
解題思路:①找夾邊對應(yīng)相等,利用ASA證全等;
②找^夾邊的邊對應(yīng)相等,利用AAS證全等.
5.如圖,乙4=4£>,乙B=cC,BF=CE,求證:AB=DC.
【答案】證明見解析.
【解析】
【分析】
利用A4S證明即可得到結(jié)論.
【詳解】
證明:?:BF=CE
..BF+EF=CE+EF,
即:BE=CF,
在“BE和△DC”中(NB=NC,
BE=CF
^AABE^ADCF(AAS),
..AB=DC.
【點睛】
此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì),熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,NA=N£>,ZB=N£,AF=CD.
⑴求證:LABC沿ADEF;
⑵若NA=30。,NE=75。,求的度數(shù).
【答案】⑴證明見解析
(2)105。
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、用ASA(A4S)證明三角形全等(ASA或者A4S)
【分析】此題主要考查了三角形全等的判定,三角形外角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判
定定理.
(1)根據(jù)AAS判定△A4C9ADEF即可;
(2)根據(jù)題意可得N8=NE=75。,在VABC中根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出.
【詳解】(1)證明:-AF=CD.
.-.AF-CF=CD-CF,
:.AC=DF,
???在VA8C和&DEF中,
Z=ND
<NB=NE,
AC=DF
:.△ABC^ADEF(AAS).
(2)解::△ABC94DEF,
?."=ZE,
vZE=75°,
??."=NE=75。,
vZA=30°,/8CE是VABC的外角,
/.ZBCF=ZA+ZB=105°.
7.如圖,已知AC=3DZA=NB,NE=NF.
(1)證明:AADF%BCE;
⑵若乙4=40。,NE=20。,求N1的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)60°
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、用ASA(AAS)證明三角形全等(A5A或者4AS)
【分析】此題考查全等三角形的判定及三角形外角的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明尸絲△8CE.
(1)根據(jù)AAS證明△AOb與△bCE全等即可;
(2)利用三角形外角的性質(zhì)解答即可.
【詳解】(1):AC=BD,
..AC-CD=BU-CD,
?:AD=BC,
在△A"'和△3CE中,
NF=NE
-ZA=ZB,
AD=BC
.?.△ADF^ABCE(AAS);
(2)?.?N8=ZA=40。,ZF=20°,
二N1=N8+NE=40。+20°=60°.
8.如圖,在V/WC與△/)£/中,AB=DE,AC//DFfNA=ND,AC與OE交于點。;
(1)求證:BE=CF.
⑵若N8=65。,Nb=40。,求-4OE的度數(shù).
【答案】⑴見解析
(2)105°
【知識點】兩宜線平行同位角相等、三角形的外角的定義及性質(zhì)、用ASA(AAS)證明三角形全等(ASA或
者A4S)
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì),運用平行線的性質(zhì)得N/=NAC8,再根據(jù)“角角邊〃的方
法判定"放*△力£7"A4S),理解并掌握全等三角形判定方法,及性質(zhì)是解題的美鍵.
(1)根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得//=N4C4,在AAAC和△£)所中,運用“角角邊"可證
^AB^DEF(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證;
(2)根據(jù)(1)中全的三角形的性質(zhì)可得4。8=//=40。,/8=/£>防=65。,在△(%陀中根據(jù)角的外角和
性質(zhì)即可求解.
【詳解】(1)證明:尸,
?"F=ZACB,
在公48c和△£>,中,
ZA=ZD
ZACB=NF,
AB=DE
.,.△ABCgdDEF(AAS),
:.BC=EF,
:.BC-EC=EF-EC,
即8E=b:
(2)解:AABC^DEF,ZB=65°,ZF=40°,
ZACB=ZF=40°,ZB=ZDEF=65°,
ZAOE=ZACB+/DEF=105°.
題型三、已知一邊一角對應(yīng)相等解題思路
(1)條件:有一邊和該邊的對角對應(yīng)相等;
解題思路:找另一角對應(yīng)相等,利用44S證全等.
(2)條件:有一邊和改邊的領(lǐng)角對應(yīng)相等;
解題思路:①找夾該角的另一邊對應(yīng)相等,利用S4s證全等;
②找另一角對應(yīng)相等,利用4As或AS4證全等.
9.如圖,已知NC=NO4A=90。,BC=EB,DE//BC>求證:AC=DB.
【答案】見解析
【分析】證明△A804OEB(ASA)即可.
【詳解】證明:???OE〃8C,
:.ZABC=4DEB.
在“8C和△。匹8中,
/ABC=NDEB、
,BC-EB,
ZC=ZDBE=90°,
.,.△AB82EB(ASA).
:.AC=DB.
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì),熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵.
10.如圖,在四邊形A8c。中,AD//BC,Z1=Z2,AB=EC.
AD
(1)求證:AAB*皿B;
⑵若Nl=20。,ZADB=25。,求4)EC的度數(shù).
【答案】(I)證明見解析
(2)45°
【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形的外角的定義及性質(zhì)、用ASA(A4S)證明三角形全等(ASA
或者A4S)
【分析】(1)由AO〃8C,得ZADB=NCBE,再根據(jù)"AAS"可證明AA瓦汪△EC8;
(2)由4O〃8C,得/。8C=ZAOB=25。,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出答案;
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題
的關(guān)鍵.
【詳解】(1)證明:;A力〃8C,
??.ZADB=NCBE,
在△ABO和△KCB中,
NADB=/CBE
?4=N2,
AB=EC
.?.△.ABZ)^AECB(AAS);
(2)-AD//BC,
:.NDBC=ZADB=25°,
??N2=N1=2O。,ZDBC=25。,
NDEC=ZDBC+Z2=25°+20°=45°.
11.如圖,N1=N2,NC=NBDE,AE=BE,點D在邊AC上,人E與加>相交于點O;
⑴求證:△AEC^ABED;
(2)若N2=40。,求Z4ZX)的度數(shù).
【答案】⑴見解析
⑵40。
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、用ASA(A4S)證明三角形全等(4SA或者A4S)
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),三角形的外角性質(zhì):
(1)由"AAS"可證△AEC四△8E。;
(2)由NC=NB£花,根據(jù)三角形的外角性質(zhì),即可求NA。。的度數(shù).
熟練運用全等三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵.
【詳解】(1)證明:???N1=N2,
???Z14-ZA£D=N2+ZAED,
:.ZAEC=/BED,
在△4EC和中,
/AEC=NBED
<NC=NBDE,
AE=BE
.?.△AEC'BED(AAS);
(2)解::NC=NBDE,Z4D£=ZC+Z1,Z1=Z2=4O°,
ZADO+NBDE=NC+N1,
.-,ZA£>O=Zl=40o.
12.如圖,在VA8C和所中,點E在8c邊上,ZC=ZF,AC=AF,NCA*=NBAE,所與4c交于點
G.
⑴試說明:△ABCdAEF;
(2)若N8=55。,ZC=20°,求NE4C的度數(shù).
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、用ASA(A4S)證明三角形全等(ASA或者44S)、全等的性質(zhì)和4s4
(MS)綜合(ASA或者A4S)、等邊對等角
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等知識點,
熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)根據(jù)等式的性質(zhì)得44C=ZE4F,再利用ASA即可證明結(jié)論:
(2)由三角形內(nèi)角和定理可得N8AC=105。,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得A8=A£,再根據(jù)等腰三角形的
性質(zhì)可得4=NAE8=55。,最后三角形內(nèi)角和以及角的和差即可解答.
【詳解】(1)證明:?.NC4尸=/%£,
ZC4F+ZEAC=ZLBAE4-ZE4C,U\]ZBAC=ZEAF,
在V48C和△AEF'中,
ZC=ZF,AC=AF,ZBAC=ZEAF,
.?.△A8CWE尸(ASA);
(2)解:vZB=55°,ZC=20°,
ABAC=180°-55°-20°=l05°,
?:△ABC94AEF,
-AB=AE,
.-.ZB=Z4£B=55°,
:.NBAE=1800-ZB-ZAEB=70°,
/.ZEAC=ZBAC-NBAE=105°-70°=35°.
綜合攻堅?能力躍升
一、解答題
1.如圖,在48,AC上各取一點£,。,使=連接8。,CE相交于點O,連接AO,Z1=Z2.求
(2)ZB=ZC.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】(1)利用公共邊,結(jié)合SAS證明即可.
(2)利用ASA證明△8Ag^C40(ASA)即可得到結(jié)論.
本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì),熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.
AE=AD
【詳解】(1)證明:v<Zl=Z2,
AO=AO
.-.△AOE^AAOD(SAS).
(2)證明:VAAO^AAOD(SAS),
?.ZAOE=ZAOD,
?:NBOE=NCOD,
??.ZAOE+/BOE=ZAOD+ZCOD,
:.ZAOB=ZAOC,
Z1=Z2
v>40=AO,
/AOB=NAOC
.?.△AO四△AOC(ASA),
??.NB=NC.
2.已知:如圖,BE工CD于E,F為BC上一點、,DF交BE、BC于A、F,BE=DE,BC=DA.
(1)求證:ABEC'DAE;
⑵若八8=3,CD=11,求A£.
【答案】(1)證明見解析
(2)AE=4
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì),掌握其判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(I)根據(jù)垂吏可得N8EC=NDE4=90。,在Rt^CE和RLD4E中,運用“斜邊直角邊”的方法即可求證;
(2)根據(jù)△BCE辮△ZME,BE=DE,得到CE+AE+A8=CE+OE=C£>=11,由4E=;(CZ)-48)=4即
可求解.
【詳解】(1)證明:???/?£j_a),
??.NBEC=NDEA=90。,
在RSBCE和RtgAE中,
BC=DA
BE=DE'
:.RtABCE且RtADAE(HL);
(2)解:???△8CE”A4E,BE=DE,
.-.CE+AE+AB=CE+DE=CD=[i,
..2AE+AB=CD,即2AE+3=11,
.-.AE=^(CD-AB)=4.
3.如圖,V4BC中,。為AB上一點,。為8c延長線上一點,且尸A=CQ,過點。作PM_LAC于點M,
過點。作QNJ.4C交AC的延長線于點N,且PM=QN,連接P。交AC邊于O.
(1)求證:AAPM名ACQN;
(2)若AC=8,求線段DM的長度.
【答案】(1)見解析
(2)4
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì).熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)由“HL”可證RSAPM烏RtrQN;
(2)先由(1)可知4W=CN,證△PZWgAQON,從而由三角形全等的性質(zhì)可得DW=ZW,然后由線段
的和差即可得QM=,AC=4.
2
【詳解】(1)證明:.PM±AC,QNIAC,
??.與△CQN都是直角三角形,
???在RtA/4尸M與RIACQN中,
PA=QC
PM=QN'
RtAAPM^RtACe7V(HL);
⑵解:由(1)知RsAPMgRsCQN(HL),
:.AM=CN,
vP/WlAC,QN±AC,
:./PMD=NQND=90。,
在△?£)“與△QDN中,
ZPMD=NQND
NPDM=NQDN,
PM=QN
.?.△PDM*QDN(\AS),
DM=DN,
:.AC=AM+DM+CD=CN+CD+DM=DN+DM=2DM,
:.DM=-AC=4.
2
4.如圖,AB=DC,AC=DB.
⑴求證:△ABC^ADCB;
(2)若NA=90。,NDBC=35。,求N/WO的度數(shù).
【答案】(1)見解析
(2)20°
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì):
(1)根據(jù)SSS進行判定即可;
(2)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等,得到NACB=NCB。,三角形的內(nèi)角和定理求出N4BC的度數(shù),利用
角的和差關(guān)系,求出的度數(shù)即可.
【詳解】(1)證明:VA8C和△0C8中
AB=CD
AC=BD,
BC=BC
??.△ABCdDCB;
(2)由(1)知:△AB8LDCB,
.?ZC8=NCBO=35。,
ZABC=180。-NA-NAC3=55。,
ZABD=ZABC-ZCBD=55°-35°=20°.
S.如圖,在VAAC中,7RAC=^°,點E是QC延長線上一點,/)為A6下方一點,連接£)E,£)E=46過
點D作DFLDE交BE于點、F,且FB=CE.
(2)連接4。交BC于點G,若AG=5,求AO的長.
【答案】(1)見解析
⑵AD=10.
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì).
(1)先求得BC=EF,再根據(jù)HL證明AOEF段“IBC,即可得到NAC8=;
(2)由ADEF%ABC,推出N8=NE,再利用AAS證明AAG必“>GE,據(jù)此計算即可求解.
【詳解】(1)證明:???DF_LDE,
.-.ZFDE=90°,
;FB=CE,
:.FB+FC=CE+FC,
?.BC=EF,
?:ZBAC=90°,DE=AB,
:.△DEFgAABC(HL),
:ZACB=3FE;
(2)證明:由(1)得ADEF%ABC,
???"=ZE,
:ZAGB=ZDGE,DE=AB,
:.AAG四△DGE(AAS),
:.DG=AG=5,
.-.AD=DG+AG=\0.
6.如圖,A4=AC,AB1AC,AD=AE,AE±AD,B,C,石三點在同一條直線上.
⑴求證:DC1BE,
(2)探究NC4E與NCDE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論,并說明理由.
【答案】(1)見解析;
(2)/C4K=NCOE,理由見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),垂直的定義,熟練掌握全等三角
形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)依據(jù)SAS即可證明△AB£^AAC。,得到NATQ=NA£B,根據(jù)八字形結(jié)論得到
^ADC+ZDAE-ZAEB+ZDCE,得到NDCE-ND4E-90。,維而得證:
(2)先證明ZACQ=45。,得到NAED=NACD,再利用八字形結(jié)論得到NAE£>+NCZ)E=NAC0+NC4E,
繼而得到ZC4E=4CDE
【詳解】(1)?.?48_LAC,AE±ADf
:.NBAC=/DAE,
'.ZBAC+ZCAE=ZDAE+ZCAE,
:./BAE=Z.CAD,
在A/IBE與zMC。中,
AB=AC
</BAE=NCAD
AE=AD
.■.△ABE^AACD(SAS)
:.ZADC^ZAEB
又?/ZADC+Z.DAE=ZAEB+ZDCE,
:.NDCE=ZDAE=90P
DC上BE
(2)4CAE=NCDE,理由如下:
AB=ACtAB1AC.
:.ZACB=45°
又YDC1.BE,
ZACD=90°-ZACB=45°
X.-.-AD=AE,AE±AD
ZAED=45°
:.ZAED=ZACD
又?,?ZAED+NCDE=ZACD+ZCAE,
.\ZCAE=ZCDE
7.如圖,在V/WC和V4)E中,AB=AD,AC=AE,BC=DE,延長8c分別交邊A。、DE于點F、G.
⑴求證:ZB=ZD;
(2)若NC4E=49。,求N“GD的度數(shù).
【答案】(1)見解析
(2)49°
【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是
解題的關(guān)鍵.
(1)運用SSS證明ZXA8C即可得證:
(2)利用三角形的內(nèi)角和定理,等量代換計算即可.
【詳解】(1)證明:-AB=AD,AC=AE,BC=DE,
'ZB=ZD.
⑵解:???△ABCWZVlOE,
..ZCAB=ZEAD,
.?.NZM4=NC4£=49。.
??"=N£>,4)FG=4BFA,
:"BGD=/DAB=49。.
8.如圖,在VA8C中,ZACB=90°,AD.BE分別是NCA8、NC84的平分線,AD.BE交于點、P,過
點P作P/,_LA£>交4C的延長線于點?、交AC于點G.
⑴求證:Z\ABgZ\FBP;
(2)AG、BD、A8之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請說明理由.
【答案】(1)見解析
(2)AB=AG+B£>,見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,角平分線的定義,熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理
是解題的關(guān)鍵。
(I)由角平分線的定義得到N1=N2,Z3=Z4,由垂線的性質(zhì)可得N5=/APG=90。.導(dǎo)角證明
/4=N7=/3,則可利用AAS證明AABg△EBP.
(2)由全等三角形的性質(zhì)得到=AP=FP,證明△AP82^PD(ASA),得到AG=F。,再由線段
的和差關(guān)系可得結(jié)論.
【詳解】(1)證明:?.?4)、8E分別是NC48、NC8A的平分線,
/.Zl=Z2,Z3=Z4.
AX'-PF1.AD,
4"、」------
.?./5=/4PG=90°.
又?,?25+/6+^7-180。,
.?./7=90°-46.
同理,/4=90。一/6.
.?./4=^7=/3.
在△人BP和△尸8P中,
Nl=Z2
vZ3=Z7
BP=BP
「.△A8/咨△陽P(AAS).
(2)解:AB=AG+BD,理由如下:
由(1)得△AB—MBP,
:AB=FB,AP=FP,
在“IPG和AFPD中,
N4=Z7
?:[AP=FP,
ZAPG=Z5=90°
.?.△APG也△尸QQ(ASA).
AG=FD.
FB=FD+BD,
AB=AG+BD.
9.小強在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動試驗后,對其作了進一步的探究:在一個支架的橫桿點。處用一
根細(xì)繩懸掛一個小球,小球可以自由擺動,如圖,A表示小球靜止時的位置,當(dāng)小強用發(fā)聲物體靠近小球時,
小球從A擺到8位置,此時過點6作8O_LO4于點。,當(dāng)小球擺到C位置時,過點C作CE_LO4于點E,
測得0C=20cm,BD=?!?9cm(圖中的點A區(qū)O,C在同一平面內(nèi)).
0
(1)猜想此時08與OC的位置關(guān)系,并說明理由;
⑵求AE的長.
【答案】(I)QBIOC;見解析
⑵11cm
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì).
(1)證明瓦運KOE,得出N0=NCOE,根據(jù)N8+NB0D=90。,求出N5OC=90。,即可證明結(jié)論;
(2)根據(jù)OC=20cm,得出Q4=O8=OC=20cm,根據(jù)8O=OE=9cm,求出結(jié)果即可.
【詳解】(1)解:OB工OC,理由如下:
-I3D1OAJ'D,CELOAJE,
.'.?BDO7OEC90?,
又?.根據(jù)題意得:()B=OC,BD=OE,
:.Z.B=Z.COE,
又??N8+N88=90。,
:.NCOE+NBOD=90°,
即/ROC—90。,
:OB工OC;
(2)解:???OC=20cm,
?,.OA=OB=OC=20cm,
又?.BD=OE=9cm,
=OA-OE=20-9=1l(cm),
答:AE的長為11cm.
10.如圖①,AB=CD,AD=BC.。為AC中點,過。點的直線分別與AD、8c相交于點歷、N.
N
NM
①②③
⑴那么N1與N2有什么關(guān)系?AM.C7V有什么關(guān)系?請說明理由.
(2)若將過。點的直線旋轉(zhuǎn)至圖②③的情況時,其他條件不變,那么①中的關(guān)系還成立嗎?請說明理由.
【答案】(1)N1=N2,AM=CN,AM〃CN,理由見解析
(2)在圖②③的情況時,①中的關(guān)系還成立,理由見解析
【分析】該題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)
(1)證明△ABCgACDA,得到N8C4=ND4C即NNCO=NA公。,再證△AOMg/kCON,即可得出結(jié)
論;
(1)圖②運用與(I)中,類似的方法,證明△A8C0△CD4,得到N8C4=ND4C即NNCO=NM4O,
再在AAOMg△CQV,即可得出結(jié)論;圖③,證明LABC^CDA,得至UZBCA=ND4C,再得A?!?C,
即〃用V,進而得N1=N2,再證△AOM0Z\CO/V得到AW=CN.
【詳解】(1)解:N1=N2,AM=CN.理由如下:
在VA8C與△CZI4中:AB=CD,BC=AD,AC=CA,
:AABCACDA,
/.ZBCA-ZDAC,即“CO—4t40,
又?.?。為AC中點,
..AO=CO,
在AAOM與屋工加中:ZNCO=ZMAO,ZCON=ZAOM,AO=CO,
「.△AOMRCON,
「.N1=N2,AM=CN,
:.AM//CN;
(2)解:右圖②③的情況時,①中的關(guān)系還成立.理由如下:
在圖②的情況時:在VA8C與中:AB=CD,BC=AD,AC=CA,
:AABCRCDA,
/.ZBCA=ZDAC,即Z/VCO=NM4O,
又?.?。為AC中點,
/.AO=CO,
在AAOM與ACON中:ZNCO=/MAO,ZCON=ZAOM,AO=CO,
:.△AOM9巫ON,
.-.Z1=Z2*AM=CN,
'.AM//CN,
在圖③的情況時:在VABC與中:AB=CD,BC=AD,AC=CA,
/.△ABC^ACDA,
/.ZBCA=ZmC.
.\AD//BC,即AA/〃CN;
.?./1=N2,
又TO為AC中點,
AO=CO?
在AAQM與ACON中:ZCON=ZAOM,Z1=Z2,AO=CO,
「.△AOM包CON,
:.AM=CN.
11.己知。是四邊形/WCO內(nèi)一點,且。4=OQ,OB=OC,ZAOD=NBOC.
(1)如圖I,連接AC,BD,求證:AC=BD,
(2)如圖2,E是CO的中點,連接。E,若AB=2OE,求證:NAOD+N30c=180。;
⑶在(2)條件下,求證:VA08的面積等于△C。。的面積.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是善于構(gòu)造全等并熟練掌握三
角形全等的判定與性質(zhì).
(1)由NAOO=N8OC,得NDOB=N4OC,再利用SAS證明,由全等三角形的性質(zhì)可得
出結(jié)論;
(2)延長OE到點",使ME=0E,連接CM,證明△CMEW△DQE,由全等三角形的性質(zhì)得出
4MCE=NODE,CM=0D,證明△OMC四△840,由全等三角形的性質(zhì)得出NOCM=NAO8,并能得出:
CM〃。力,則可得出結(jié)論;
=+
(3)|||(2)可知,S&CME=S△f^QE,S△OMC=S△B&O,SdCOE=SGDOE,-U^AWOC^^COE^/\DCE?即中止明
結(jié)論.
【詳解】(1)證明:VZAOD=ZBOC,
貝ljZAOD+ZAOB=ZBOC+ZAOB.
NDOB=ZAOC,
0D=0A
在乙008和△AOC中,?NDOB=NAOC,
OB=OC
.■.△DOB^A/1OC(SAS),
..AC=BD;
(2)證明:延長O£到點M,使ME=OE,連接CM,
:.CE=DE,
在△◎/£:和A/)OE中,
ME=OE
NCEM=ZDEO,
CE=DE
.,.△CMEg.DOE(SAS),
.\ZMCE=ZODE,CM=OD,
:.CM//OD,
.?.ZOCM+ZCOD=180°,
?,OA=OD,
:.CM=OA,
?;0M=20E,AB=2OE,
:.OM=AB,
在&QMC和△BAO中,
OC=OB
OM=AB,
CM=0A
.-.△OMC^ABAO(SSS),
/.NOCM=ZAOB,
£OCM+ZCOD=180°,
/.Z4OB+ZCOD=180°,
/.Z4OD+ZBOC=180°:
(3)由(2)可知,ACME與DOE,^OMC^BAO,
則S4CME=S^DOE'S/iOMC=^^BAO?
是CD的中點,
S&0E=SJ)OE,
則S&DOC~SdCQE+S^fiOE=SMOE+^CME="QWC'
"S,DOC=S/UOB.
12.在VABC中,AB=AC,NBAC=90。,點。是直線AC上一點(不與8、。重合),以AO為一邊在A。
的右側(cè)作VAOE,使AZ)=A£,/D4E=NB4C,連接CE.
圖1圖2
⑴如圖1,嗎?請說明理由;
⑵在(1)的結(jié)論下,試求:NBCE的度數(shù);
(3)設(shè)NB4C=a,4BCE"如圖2,當(dāng)點。在線段8c上移動,則。,夕之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明
理由.
【答案】(D4A瓦廷△ACE,理由見解析
(2)90°
(3)。+6=180。,理由見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識.
(1)由N84C=ND4£可得NB4D=NC4E,即可證明;
(2)由ZXAAZ注△AC七可得N8=N4CE,推出N4+NAC4=NACE+NAC4,結(jié)合N84C=90。,即可求
解;
(3)由N84C=ND4E可得NB4O=NC4E,證明△A8Z運△ACE,得到N3=NACE,則N3+乙48=廣,
即可求解.
【詳解】(1)解:△ABgAACE,理由如下:
-ZBAC=ZDAE,
NBAC—ZDAC=ZDAE-ZDAC,
即/區(qū)4O=NC4£,
在△A8D與A4CE中,
AB=AC
■NBAD=NCAE,
AD=AE
.?.△A8O%ACE(SAS);
(2)-.^ABD^^ACE,
4B=ZACE,
;"B+ZACB=ZACE+ZACB,
..ZBCE=ZB+ZACB,
乂?,?NB4C=90。,
ZB+ZACB=90°,
即/BCE=90。;
(3)a+夕=180。,
理由:-ZBAC=ZDAE,
/LBAD+ZZMC=ZEAC+ZZMC
即/兄4。=/。石.
在△/W。與△ACE中,
AB=AC
</BAD=ZCAE,
AD=AE
.?.△A8*“CE(SAS),
/.NB=ZACE,
...NB+ZACB=ZACE+ZACB=4BCE,
/.ZB+Z4CB=^,
ZI3AC+NA+4CA=180°,
.”+6=180°.
圖1圖2備用圖
(1)請問AE、8。有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?試證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,連接A。、BE,取4。的中點F,連接R2并延長交晅于點從試證明:
①FC=;BE,
②FC1BE.
【答案】(1)AE=8D,AELBD,證明見解析
(2)①證明見解析;②證明見解析
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識,較難的是題(2),通過
作輔助線,構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.
(1)AE=8Z),AE_L8D,證明:先證出△ACE/ABC。,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=8Z>ZA=NB,
再設(shè)80分別交AE,AC于點M,N,根據(jù)對頂角相
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