13.2與三角形有關(guān)的線段

題型一構(gòu)成三角形的條件

-，題型二確定第三邊的取值范圍

-題型三三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

-基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題題型四三角形的穩(wěn)定性及四邊形的不穩(wěn)定性

T

與三角形有關(guān)的線段題型五三角形中線的有關(guān)應(yīng)用

T

題型六一:角形角平分線的定及

T

題型七畫三角形的高

能力提升題

A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題

題型一構(gòu)成三角形的條件

1.在下列長度的三條線段中，能組成三角形的是()

A.1,2,3B.3,8,4

C.10,6,5D.2,4,2

2.下列長度的三條線段能組成三角形的是)

A.4,4,10B.6,8,10C.5,6,11D.3,4,8

3.下列長度的三條線段能組成三角形的是)

A.6,6,6B.6,6,12C.6,7,14D.5,6,11

4.下列各組數(shù)中，不可能是一個三角形三邊長的是)

A.3,4,5B.5,6,6C.5,7,12D.4,4,5

題型二確定第三邊的取值范圍

1.已知三角形三邊長分別為2,9,x,則x的取值范圍

2.已知V/WC的三條邊長為2,x-l,7,則X的取值范圍是,

3.如圖，在VA3C中，A8=9,AC=1,。為8C中點(diǎn)，則線段A。的取值范圍是

4.若小htc為三角形的三邊長，且小〃滿足+2『=0,則第三邊的取值范圍是.

題型三三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

1.為三角形三邊長，化簡卜+〃+4-\a-b-c\-\a-b+c\-\a+b-c\的結(jié)果是.

2.已知實(shí)數(shù)x,丁滿足卜-3|+廬7=0,則以x,y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是.

3.已知等腰三角形的兩邊長分別為4和10,則這個等腰三角形的周長為.

4.用一根長13cm的細(xì)鐵絲圍成一個三角形，其中三邊的長（單位：cm）分別為整數(shù)4、/八c,且a>h>c,

則。最大可取.

題型四三角形的穩(wěn)定性及四邊形的不穩(wěn)定性

1.如圖，這是黃河上某大橋的一部分，大橋上的鋼架結(jié)構(gòu)采用三角形的形狀,這其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（）

A.兩點(diǎn)之間線段最短B.三角形具有穩(wěn)定性

C.垂線段最短D.三角形兩邊之和大于第三邊

2.如圖，墻上置物架的底側(cè)一般會各設(shè)計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構(gòu)成三角形，這是利用三角

形的（）

A.全等性B.美觀性C.不穩(wěn)定性D.穩(wěn)定性

3.下列生活實(shí)物圖形中，不是運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性的是（）

4.下列生活實(shí)物中，沒有用到三角形的穩(wěn)定性的是（）

太陽能熱水器B.徽活動衣架

三腳架籃球架

題型五三角形中線的有關(guān)應(yīng)用

I.如圖，CM是VABC的中線，BC=8cm,若-8CM的周長比zMCM的周長大2cm,則AC的長為()

C.5cmD.6cm

2.如圖，在V4BC中，D,E,F分別是BC,AD,照的中點(diǎn).MEF(陰影部分)的面積是4,則V4BC

C.16D.32

3.如圖，在VABC中，AEJ.BC于點(diǎn)E,AO為邊上的中線，OF為△A3。中AA邊上的中線.已知A8=5,

AC=3,VABC的面積為6.

(1)△A3。與.、AS的周長之差為；

(2)ZXAB。的面積為；

(3)△A。/的面積為.

4.如圖，在VABC中，C￡是AA邊上的中線，BC=4DC,4。與CE交于點(diǎn)立若VA8C的面積等于16.

A.AO是一ME的角平分線B.ED是,.E8C的角平分線

C.。石是ADC的中線D.80是的角平分線

3.如圖，CD,CE,C/分別是VA4C的高、角平分線、中線，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.sACF=SBCFB.NACE=L/ACB

C.AB=2BED.CD工BE

4.如圖，已知4CB=600,CM平分N4CB,則N8CM=()

A.15°B.30°C.45°D.120°

5.如圖所示，AQ是VABC的角平分線，AE是△ABO的角平分線.若N84C=80。，則NE4。的身數(shù)是（）

6.如圖，在V4AC中，/ABC與/AC8的平分線交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作DE〃RC,分別交AB、AC于點(diǎn)。、

E.若A8=9,AC=6,則VAOE的周長為.

題型七畫三角形的高

1.如圖，將三角形紙片ABC按下面四種方式折疊，則AO是V/3C的高的是（）

2.畫VA3C的邊A8上的高，下列畫法中,

3.如圖，VA8C的邊8C上的高是（）

A.線段AFB,線段4DC.線段MD.線段跖

B能力提升題

I.如圖，在VABC中,A。是高，跖是角平分線，它們相交于點(diǎn)F,NZMC=58。，ZC=72°,求ND4C和

4/73的度數(shù).

ZBCD=30°,乙4C7?=8O。，CO是邊A3上的高，4E是NCA8的平分線，求ZAEB

的度數(shù).

3.如圖,在VA3C中,AD±BC,BE±AC,BC=4cm,AC=5cm,求AO：4E的值.

有一條高線相等的兩個三角形稱為等而三角形.

例如：如圖(1).在VABC和.4?在中,AD和AD分別是8V和？C邊上的高線,且AO=A〃，則VABC

和.AA'C是等高三角形.

【性質(zhì)探究】

如圖(I),用Su，S.A”分別表示VA5C和A'3'C的面積.

則SA。，

-AD=A[>

:.SABC.SA，B，C=BC：B'C'.

【性質(zhì)應(yīng)用】

（1）如圖②，。是VA4c的邊3c上的一點(diǎn).若皮）=3,DC=4,則SABD：SA℃=；

（2）皿圖③，在V/WC中，。，E分別是4c'和A3邊上的點(diǎn).若跳；：43=1：2,CD：BC=I：3,S,既=1，求VBEC

和CDE的面積.

參考答案與試題解析

13.2與三角形有關(guān)的線段

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題

題型一構(gòu)成三角形的條件

I.（24-25八年級上?山東濱州?期口）在下列長度的三條線段中，能組成三角形的是（）

A.1,2,3B.3,8,4

C.10,6,5D.2,4,2

【答案】C

【分析】本題主要考杳了構(gòu)成三角形的條件，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第

三邊，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：A、?.?1+2=3,

??.長為1,2,3的三條線段不能組成三角形，不符合題意;

B、???3+4<8,

,長為3,8,4的三條線段不能組成三角形，不符合題意：

C、???5+6>10,

，長為5,6,10的三條線段能組成三角形，符合題意；

D、?.?2+2=4,

???長為2,4,2的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

故選:C.

2.（24-25八年級上?廣東汕頭?期口）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.4,4,10B.6,8,10C.5,6,IID.3,4,8

【答案】B

【分析】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三

邊，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：A、?.?4+4<10,

???長為4,4,10的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

B、???6+8>10,

???長為6,8,10的三條線段能組成三角形，符合題意；

C、???5+6=11,

.?.長為5,6,11的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

D、v3+4<8,

長為3,4,8的三條線段不能組成三角形，不符合題意：

故選:B.

3.（24-25八年級上?北京?期中）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.6,6,6B.6,6,12C.6,7,14D.5,6,11

【答案】A

【分析】本題考查的是三角形的三邊的關(guān)系，掌握“三角形的三邊關(guān)系判斷三條線段能否構(gòu)成三角形”是解本

題的關(guān)鍵.本題判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，只需要確定較短的兩線段之和是否大于最長的線段即可，大

于則能，小于則不能，根據(jù)原理逐一分析即可得到答案.

【詳解】解：A、Q6+6>6,以6,6,6為邊能組成三角形，故A符合題意；

B、6+6=12,以6,6,12為邊不能組成三角形，故B不符合題意；

C、Q6+7V14,以6,7,14為邊不能組成三角形，故C不符合題意；

D.-.5+6=11,以5,6,11為邊不能組成三角形，故D不符合題意；

故選:A.

4.（24-25八年級上?浙江金華?期天）下列各組數(shù)中，不可能是一個三角形三邊長的是（）

A.3,4,5B.5,6,6C.5,7,12D.4,4,5

【答案】C

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答.

【詳解】解：A、3+4>5,能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B、5+6>6,能構(gòu)成三角形，不符合題意：

C、5+7=12,不能構(gòu)成三角形，符合題意；

D、4+4>5,能構(gòu)成三角形，不符合題意；

故選：C

題型二確定第三邊的取值范圍

1.（23-24八年級上.四川南充?開學(xué)考試）已知三角形三邊長分別為2,9,x,則x的取值范圍—.

【答案】7<x<ll

【分析】根據(jù)三角形存在的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，解答即可.

本題考查了三角形的存在，熟練掌握三角形的存在性條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?三角形三邊長分別為2,9.x,

:.7<v<l1,

故答案為：7<r<l1.

2.（24-25八年級上?廣東中山?期中）已知V4BC的三條邊長為2,A-1,7,則x的取值范圍是.

【答案】6Vx<10

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，解不等式組，根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之

差小于第三邊列出不等式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，得出7-2vx-lv7+2,解不等式組即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，7-2<x-l<7+2,

解得：6<x<10.

故答案為：6<x<10.

3.（23-24八年級上?重慶銅梁?期中）如圖，在VAAC中，A8=9,AC=7,D為BC中點(diǎn),則線段A。的取

值范圍是_________

【答案】\<AD<S

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小

于第三邊“，延長AO至點(diǎn)E,使AD=DE,連接BE,通過證明△ACDgZ\EBO,得出4C=8E=7,再根

據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系，得出9-7<AE<9+7,即可求解.

【詳解】解：延長AO至點(diǎn)E，使連接班:，

?：D為BC中點(diǎn),

..CD-BD,

在,46和△EB。中，

AD=DE

4ADC=4EDB,

CD=BD

??△ACD會/\EBD,

AAC=RE=7,

-.AB=9,

???9-7<AE<9+7,BP2<AE<16,

1<AD<8,

故答案為：1<AD<8.

4.（22-23八年級上?吉林白城?期中）若a,b,c為三角形的三邊長，且m》滿足G5+S-2『=0,則第

三邊的取值范圍是

【答案】Kc<5/5>ol

【分析】由+2『=0可得。=3,b=2,再利用三角形的三邊關(guān)系可得答案.

【詳解】解：?.?&^+（〃-2）2=0,

二。一3二0,8-2=0,

二a=3,/?=2>

?:a，b,c為三角形的三邊長，

Kc<5.

故答案為：IW.

【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的非負(fù)性，偶次方的非負(fù)性的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系的理解，利用非

負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解。=3,〃=2是解本題的關(guān)鍵.

題型三三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

I.（24-25八年級上?內(nèi)蒙古通遼?期末）。也c為三角形三邊長，化簡

\a+b+c\-\a-b-c\-\a-b+c\-|a+A-c|的結(jié)果是—.

【答案】0

【分析】本題主要考查了簡單的三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用，能夠利用其性質(zhì)求解一些簡單的計算問題.根

據(jù)三角形的三邊關(guān)系去絕對值，田兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，進(jìn)而再化簡即可.

【詳解】解：解：因?yàn)樾?c是三角形的三邊長，

所以a+Z?+c>0,a-b-c<0,a-b+c>0,a+b—c>0?

\a+b+c\-\a-h-c\-\a-b+c\-\a+b-c\,

=a+b+c+a-b-c-a+b—c-a-b^c,

=0.

故答案為：0.

2.（24-25八年級上?河南安陽?期口）已知實(shí)數(shù)工，>滿足卜-3|十55=0,則以4丁的值為兩邊長的等

腰三角形的周長是.

【答案】17

【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義、構(gòu)成三角形的條件、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)

知識是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到X-3=0,>，-7=0則x=3,>'=7,再分腰長為3和7兩種情況，根據(jù)構(gòu)成三角形的

條件驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形，最后根據(jù)三角形周長計算公式求解即可.

【詳解】解：???|X-3|+J7：5=O，

.?.k-3|=Jy_7=0,

A=3>y=7,

當(dāng)腰長為3時，則該等腰三角形的三邊長為3,3,7,

???3+3<7,

此時不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

當(dāng)腰長為7時，則該等腰三角形的三邊長為3,7,7,

???3+7>7,

此時能構(gòu)成三角形，符合題意，

???該等腰三角形的周長為：17.

故答案為17.

3.（24-25八年級上?江蘇揚(yáng)州?期天）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和10,則這個等腰三角形的周長

為?

【答案】24

【分析】本題考查了等腰三:角形的定義，三角新三邊數(shù)量關(guān)系，掌握等腰三角形的定義，分類討論是關(guān)鍵.

根據(jù)等腰三角形的定義分類討論即可.

【詳解】解：等腰三角形的兩邊長分別為4和10,

當(dāng)腰長是4,底邊長為10時，

???4+4<10,

???不能構(gòu)成等腰三角形；

當(dāng)腰長是10,底邊長是4時，

-/10-4<10<10+4,

二符合等腰三角形的定義，

???這個等腰三角形的周長為4+10+10=24,

故答案為：24.

4.（24-25八年級上?全國?期中）月一根長1女m的細(xì)鐵絲圍成一個三角形，其中三邊的長（單位：cm）分

別為整數(shù)〃、/八C，且。則“最大可取—.

【答案】6

【分析】本題主要考查學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的理解及運(yùn)用能力.根據(jù)三角形的周長=13cm和三角形的三

邊美系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???細(xì)鐵絲的長度為13cm,即三角形的周長為13cm,

?：a>b>c,

“是這個三角形最長的邊，

由三角形三邊的關(guān)系，得〃+。>。，而〃+c=13-a,

二13-。>a,

解得，a<6.5,

??,a、b、c為整數(shù)，

??a最大可取6.

故答案為：6.

題型四三角形的穩(wěn)定性及四力形的不穩(wěn)定性

1.（24-25八年級上?遼寧鞍山?期口）如圖，這是黃河上某大橋的一部分，大橋上的鋼架結(jié)構(gòu)采用三角形的

形狀，這其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（）

A.兩點(diǎn)之間線段最短B.三角形具有穩(wěn)定性

C.垂線段最短D.三角形兩邊之和大于第三邊

【答案】B

【分析】本題主要考查三角形的稔定性，理解圖示，掌握三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，這其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是三角形具有穩(wěn)定性，

故選：B.

2.（24-25八年級上?廣東廣州?期7）如圖，墻上置物架的底側(cè)一般會各設(shè)計一根斜桿，與水平和豎直方向

的支架構(gòu)成三角形，這是利用三角形的（）

B.美觀性C.不穩(wěn)定性D.穩(wěn)定性

【答案】D

【分析】本題主要考查了二:角形具有穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：墻上置物架的底側(cè)一般會各設(shè)計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構(gòu)成三角形，這是利用

三角形的穩(wěn)定性,

故選:D.

3.（24-25八年級上?福建廈門?期口）下列生活實(shí)物圖形中，不是運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性的是（）

D.

拉桿

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)

定性解答即可.

【詳解】解：由題意得，A、B、C三個選項(xiàng)中的圖形都運(yùn)用了三角形的穩(wěn)定性.D選項(xiàng)中的圖形具有伸縮

功能，不運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性,

故選：D.

4.（22-23八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）下列生活實(shí)物中，沒有用到三角形的穩(wěn)定性的是（）

A.太陽能熱水器B.1，［,活動衣架

D.籃球架

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、太陽能熱水器的支架是三角形，具有三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；

B、活動衣架是四邊形，不具有三角形的穩(wěn)定性，符合題意；

C、三腳架是三角形，具有三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；

D、籃球架是三角形，具有三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性.熟練掌握三角形的穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵.

題型五三角形中線的有關(guān)應(yīng)用

1.（23-24八年級上.廣東廣州.期末）如圖，CM是VA3c的中線，BC=8cm,若.8CM的周長比△ACM的

周長大2cm,則AC的長為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形的中線的定義，根據(jù)中線的定義得出6M=AM,根據(jù)ACM的周長比

△ACM的周長大2cm,得由AC-?M+CM-（AC+AM+CA/）=2cm,則3C-AC-2cm,即可求解.

【詳解】解：???CM是VA8C的中線，

=AM，

v.BCM的周長比/XACM的周長大2cm,

BC+BM+CM-[AC+AM+CM)=2cm,

則BC-AC=2cm,

vBC=8cm，

AC=6cm，

故選：D.

2.（24-25八年級上?遼寧盤錦?期末）如圖，在VABC中，E,“分別是BC,AD,晅的中點(diǎn).MEF

（陽影部分）的面枳是4,則VA8C的面積為（）

C

C.16D.32

【答案】C

【分析】本題考查了二角形的面積的求法，關(guān)鍵是找出二角形面積之間的關(guān)系.

根據(jù)三角形的面積公式得到，三角形的中線將三角形分為面積相等的兩部分，據(jù)此解答即可.

【洋解】解：???/是昭中點(diǎn),

:.SRCF—2SCFF=2x4=8,

???E是A。中點(diǎn),

?.?0cABD-一4，。qHE/)，Jq.ACD一乙。q.CED，

???SAHD+^ACD=2(SBED+S.CED)

=2SRFC

=16?

S'MBC=16,

故選：C.

3.（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，在VAGC中，A石_L8C于點(diǎn)石，AO為6c邊上的中線，DF為AABD

中A8邊上的中線.已知A8=5,AC=3,VA8C的面積為6.

（1）△A3。與，ACZ）的周長之差為

（2）△A8D的面積為

（3）△AOF的面積為

A

【答案】231.5

【分析】本題考查三角形的面積及三角形的中線性質(zhì)，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)三角形的中線的定義，得到=再根據(jù)三角形周長的公式，代入化簡，即可求得答案；

（2）根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)，中線4）將V48c的面積平分，可得到據(jù)此即可求解；

（3）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，得到中線。尸將△ABO的面積平分，進(jìn)而得到SmF=gS"",據(jù)此即可得到

答案.

【詳解】解：⑴???4。為邊上的中線，

:.BD=CD,

?,CMD-CA8=（A5+M+AD）-（4C+CD+A￡））=AB-AC=5-3=2，

.??△A8O與，A8的周長之差為2.

故答案為：2；

（2）???AO為BC邊上的中線，

.：BD=些.

2

???S?畋=gs人毗=gx6=3,

故答案為：3；

（3）為邊上的中線，

:.AF=---.

2

?凡"=3$4fiD=2X3=L5-

故答案為：1.5.

4.（24-25八年級上?安徽合肥?期中）如圖，在VA8C中，。石是48邊上的中線，BC=4DC,AD與CE交

于點(diǎn)F,若VA8C的面積等于16.

(1)AAOC的面積為；

(2)設(shè)△AEF的面積為機(jī)，△Q/7C的面積為〃，則小+〃=.

【答案】4y/5.6

【分析】本題考查了三角形中線的意義，三角形面積的性質(zhì)，解方程，熟練掌握中線的意義是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)4c邊上的高為幾根據(jù)題意，得S.c=；8cM=16,SVAM=：OC助，結(jié)合3C=4OC得

&?x=3乂5":前，代入計算即可.

(2)根據(jù)CE是A8邊上的中線，VA3C的面積等于16,得到必改?二'取=；凡限=8,結(jié)合△/1所的囿

積為如ADFC的面積為〃，得到4-〃=8-m即〃?=〃+4,連接BF,根據(jù)BC=4DC,得到SDFB=3sDFC=3〃，

根據(jù)CE是48邊上的中線，SA"S叱=八十4,繼而得到4〃+〃+4=8,得到〃、，代入解答即可.

【詳解】(1)解：設(shè)BC邊上的高為幾根據(jù)題意，得SA8C=；8C?/?=16,

S\：ADC=/DC或,

?：BC=4DC,

?,$”=3；8。前=$16=4,

故答案為：4.

(2)解：根據(jù)CE是A8邊上的中線，VA8C的面積等于16,得到工人用=*夕京=；$同必=8,

乂△入￡廠的面積為加，△OR7的面積為〃，得到4一〃=8-m即〃?=〃+4,

如圖，連接WL根據(jù)8c=47X7,

又CE是A5邊上的中線,SA防=S的=〃+4,

故4〃+〃+4=8,

解得〃=]4,

故"i+〃=2x—+4=二

55

故4答―案為、，：三28.

5.（24-25八年級上?河南信陽?階段練習(xí)）如圖，AO是VABC的中線，跖是△A3。的中線，已知Sw=2cm2,

則7ABC的面枳是cm2.

--g---

【答案】8

【分析】本題主要考查三角形的中線把三角形面積平分的性質(zhì).由于A。是VA4C的中線，那么△從鳥。和

.ACD的面積相等，又因?yàn)镸是△A8O的中線，由此得到和.刀的面積相等，而S"『2cm2,由

此即可求出NABC的面積.

【詳解】解：???4。是V4BC的中線，

???BE是△48。的中線,

2

而SABE=2cm,

2

，S/tOk-=4x2=8cm.

故答案為：8.

6.（22-23八年級上?安徽合肥?期中）如圖，在VA8C中AC=2BC,8C邊上的中線AO把VA8C

的周長分成70和50兩部分，求AC和AB的長.

c

【答案】AC=56,A8=36

【分析】先根據(jù)AC=2BC和三角形的中線列出方程求解，分類討論①AC+CO=70,②47+8=50,

注意答案是否滿足條件，即是否滿足題目給出的條件、是否滿足三角形三邊的關(guān)系.

【詳解】解：設(shè)8D=CD=x,則AC=28C=4x,

BC邊.上的中線A。把NABC的周長分成70和50兩部分，AB>BC,

①當(dāng)AC+CD=70,AB+8D=50時，

4x+x=70,

解得：x=14,

/.AC=4x=4xl4=56,

BD=CD=]4,

/.AB=50-BD=50-14=36,

:.AB=36>BC=2S,滿足條件

8C+AB=36+28=64>AC=56,滿足三邊關(guān)系，

AC=56,AB=36；

②當(dāng)AC+C￡)=50,AB+比)=7()時，

4x+x=50，

解得：x=10,

/.AC=4x=4xl0=40,

.-.BD=CD=10,

A3=70-8。=70-1()=60,

?.AC+BC=a)=AB,

二?不滿足三角形的三邊關(guān)系，

「?不合題意，舍去，

/.AC=56?AB=36.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)和三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，列出方程.

題型六三角形角平分線的定義

1.（23-24八年級上?廣東廣州?期口）如圖，在VA8C中，4力是高，AE是角平分線，AF是中線.則下列

結(jié)論錯誤的是（）

A.BF=CFB./BAE=NEAC

C.ZC+ZC4D=90°D.=

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷.

本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵.

【詳解】?.?川是VA8C的中線，

??.BF=CF,A說法正確，不符合題意；

???AE是角平分線，

.5AE=/CAE,B說法正確，不符合題意；

AD是局?

.?.NAT>C=90°,

.-.ZC+ZC4￡>=90°,C說法正確，不符合題意；

vBEhEC,

：?SABE=SAEC，D說法錯誤，符合題意.

故選：D.

2.（24-25八年級上?全國?單元測試）如圖，ABC的中線A。、角平分線座交于點(diǎn)。，則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.A。是一人4￡的角平分線B.￡。是,瓦?C的角平分線

C.。石是.ADC的中線D.80是的角平分線

【答案】D

【分析】本題主要考查角平分定義和中線的定義，根據(jù)題意得/48￡=N￡8C,BD=CB,逐項(xiàng)判斷即可判

定8。是二ABD的角平分線.

【詳解】解：A?.?一ABC的角平分線A。、中線4E相交于點(diǎn)0,

：.ZABE=NEBC,BD=CB,

在中，N3AO不一定等于NC4。，

???A。不一定是VIBE的角平分線，A錯誤；

8;/。石8不一定等于/?！?。，那么EO不一定是EBC的角平分線，B錯誤；

C在.AOC中，AEwCE,￡>E不■定是，A￡>C的中線，C錯誤；

D；ZABE=NEBC,

."。是”加>的角平分線，D正確；

故選：D.

3.（23-24八年級上?云南昆明?期天）如圖，CD,CE,CF分別是VA4C的高、角平分線、中線，則下列

A.SACF=SBaB.NACE=；NACB

C.AB=2BED.CD!BE

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形高，中線，角平分線的定義，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形高,

中線，角平分線的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：「C/是VA8C的中線，

；?AF=BF,

??.S.AFC=；AFCD=；BFCD=SBFC，A選項(xiàng)正確，不符合題意；

???CE是VABC的角平分線，、

：.ZACE=-ZACB,B選項(xiàng)正確，不符合題意；

???。產(chǎn)是VA8C的中線，

:AB=2BF手2BE,C選項(xiàng)錯誤，符合題意：

???CD是VABC的高，

..CD上BE,D選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選D.

4.（23-24九年級上?福建廈門?階段練習(xí)）如圖，已知NAC8=60。，CM平分/AC4,則N3CM=（）

A.15°B.30°C.45°D.120°

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義求解即可.

【詳解】解：???NAC8=60。，CM平分NACB,

:.Z.BCM=-ZACB=-x60°=30°.

22

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的角平分線，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵.

5.（22-23七年級下?寧夏石嘴山?期末）如圖所示，AO是V48C的角平分線，AE是△A8O的角平分線.若

N朋C=8（）。，則NE4D的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)NBAC=80。，注VAAC的角平分線，得出NBAQ=；/84C=40。，根據(jù)AE是△A3。的

角平分線，即可得出/￡4。=」/84。=20。.

【詳解】解：?.?N84C=80。，八3是VABC的角平分線,

NBA。=：N8AC=40。，

2

???A石是△ABO的角平分線,

.-.ZE4D=-ZBAD=20°,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的角平分線將三角形的內(nèi)角平均分

為兩份.

6.（23-24八年級上?江蘇鹽城?期口）如圖，在VAZ?C中，/A8C與NAC8的平分線交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作

DE//BC,分別交A8、AC于點(diǎn)。、E.若48=9,AC=6,則VAOE的周長為.

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相

關(guān)知識.由N4BC與NAC8的平分線交于點(diǎn)0,可得NDBO=NCBO,NECO=NBCO,結(jié)合平行線的性

質(zhì)可推出NDBO=NDOB,NECO=NEOC,得到BD=DO,CE=EO,繼而可得VAOE的周長等TAB+AC,

即可求得答案.

【詳解】解：在VA8C中，NA8C與NAC8的平分線交于點(diǎn)0,

??.NDBO=/CBO,NECO=/BCO,

DE//BC,

￡DOB=Z.CBO,空OC=ABCO,

NDBO=NDOB,NECO=NEOC,

BD=DO,CE=EO,

???VAOE的周長為AD+DO+OE+AE=AO+8￡>+CE+AE=4B+AC=9+6=15,

故答案為：15.

題型七畫三角形的高

1.（24-25八年級上?山西晉城?期口）如圖，將三角形紙片A8C按下面四種方式折疊，則AO是VA8C的高

的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：正確理解三角形的角平分線、中線和高的定義是解決

問題的關(guān)鍵.也考查了折疊的性質(zhì).AO為三角形的高，則4。工8C.所以NAQ8=90。，然后對各選項(xiàng)進(jìn)

行判斷.

【詳解】

解：4。是VA8C的高的是

故選：D.

2.（24-25八年級上?廣西柳州?期天）畫VA8C的邊A8上的高，下列畫法中，正確的是（）

B

B.

B

D.

【答案】D

【分析】本題主要考查了畫三角形的高，根據(jù)三角形的高的定義：從三角形的?個頂點(diǎn)出發(fā)，向?qū)呉?/p>

線，頂點(diǎn)與垂足形成的線段即為三角形的高，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)三角形高的定義可知，邊A8上的高是從點(diǎn)C向A8作垂線，頂點(diǎn)C與垂足形成的線段,

即如下所示：

故選:D.

3.（24-25八年級上?云南曲靖?階段練習(xí)）如圖，VABC的邊8c上的高是（）

A.線段WB.線段BDC.線段MD.線段跖

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的高，從一個頂點(diǎn)到其對邊的垂線叫作三角形的高，據(jù)此即可求解;

【詳解】解：由三角形的高的定義可知：線段A/是的邊BC上的高，

故選：A.

4.（23-24八年級上.云南昆明?階段練習(xí)）在VA4c中，作出AC邊上的高，正確的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形的高線的定義：從三角形的?個頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間

的線段叫做三角形的高.熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的高的定義對各個圖形觀察后解答即可.

【詳解】解：根據(jù)三角形高線的定義，AC邊上的高是過點(diǎn)8向AC作垂線垂足為。，

縱觀各圖形，D選項(xiàng)符合高線的定義,

故選：D.

B能力提升題」

1.（23-24八年級上?湖北武漢?期口）如圖，在VABC中，A。是高，BE是角平分線,它們相交于點(diǎn)F,

ZBAC=5S°,NC=72。，求ND4c和N4陽的度數(shù).

【答案】ZDAC=18°,ZAFB=115°

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，高線的定義，

由高線可得NADC=90。，由三角形的內(nèi)角和可求得NABC=50。，ZDAC=18°,從而可求得ZMD=40%再

利用角平分線的定義可得乙的'=25。，再次利用三角形的內(nèi)角和即可求N