中考易錯(cuò)題圓+壓軸

【知識(shí)梳理】

一、圓的有關(guān)概念

1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)

（1）圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形.

（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長

的弦.

（3）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

（4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

（5）圓周角：頂點(diǎn)在圓匕并H.兩i力都與陰還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.

（6）弦心距：圓心到弦的距離.

2.注意（1）經(jīng)過圓心的直線是該圓的對(duì)稱軸，故圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條；

（2）3點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過1點(diǎn)或2點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè).

（3）任意三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即該三角形的外接圓.

二、垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的

垂線，構(gòu)造直角三角形.

2.推論

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

三、圓心角、弧、弦的關(guān)系

1.定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.圓心角、弧和弦之間的等量

關(guān)系必須在同圓等式中才成立.

2.推論

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其

余各組曷都分別相等.

四、圓周角定理及其推論

1.定理

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

2.推論

(1)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

(2)直徑所對(duì)的圓周角是直角.

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓

心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩

銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.

五、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為〃.

(l)dv/g點(diǎn)在內(nèi)：

(2)d=y>點(diǎn)在。。上：

(3)辦一=點(diǎn)在。0外.

判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可.

2.直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系相離相切相交

圖形CW

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)

數(shù)量關(guān)系d>rd-rd<r

由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計(jì)算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情

況.

六、切線的性質(zhì)與判定

1.切線的性質(zhì)(1)切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑.

(3)切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

利用切線的性質(zhì)解決問題時(shí)，通常連過切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題.

2.切線的判定

（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）.

（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

（3）經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線判定常用的證明方法：

①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；

②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑.

七、三角形與圓

1.三角形的外接圓相關(guān)概念

經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形

叫做圓的內(nèi)接三角形.

外心是三角形三條乖育平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

2.三角形的內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角

形叫做圓的外切三角形.

內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等.

???20=360°-(180°-2a),

/.p=a+90°,

???。是8c的中點(diǎn)，DEIBC,

JOE是線段8C的垂直平分線，

:,BE=CE,NBED=/CED,ZEDC=9()a

'：ZBCA=ZEDC+ZCED,

/.p=90°+/CED,

：.ZCED=a,

：.ZCED=ZOBA=a,

J。、A、E、8四點(diǎn)共圓,

：,ZEBO+ZEAG=\SO0,

???NERA+NOZM+NE4G=180",

，Y+a=180°；

另解：

???EO平分BC,

:?NEBC=/ECB,

VZECG=ZACG=90°,

：.ZECB+Z13CG=^,

NCGA+NEAG=90°,

ZCBA=ZCGA,NBCG=NBAG=a,

AZECB+a=90°,NCB4+NE4G=90°,

???NEC8+a+NC84+NE4G=180°,

/.ZEBC+ZCBA+ZEAG-a=180°,

ZEBA-tZEAG+a=1805,

即Y+a=18°°，

(2)當(dāng)y=135°時(shí)，此時(shí)圖形如圖所示,

Aa=45°,p=135°,

???NBO4=90°,ZBCE=45°,

由（1）可知：5A、E、8四點(diǎn)共圓,

AZBEC=90°,

VAABE的面積為△ABC的面積的4倍,

,??AE

AC

?CE

AC

設(shè)CE=3xrAC=Xi

由（1）可知：BC=2CD=6,

VZBCE=45°,

:.CE=BE=3x,

???由勾股定理可知:(3%)2+(3x)2=62,

%=亞.

:.BE=CE=3近AC=?,

：,AE=AC+CE=4^J2,

在RtZ\48E中，

由勾股定理可知：AB2=(3、歷)2+(4訛)2

:,AB=5貶,

???/840=45°,

，NAO8=90°,

在R【Z\A03中，設(shè)半徑為〃

由勾股定理可知：AB2=2r,

Ar=5,

???O。半徑的長為5.

A

FGO

【，點(diǎn):評(píng)】本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分線的性質(zhì)

等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

2.如圖I,△A8C為。。的內(nèi)接三角形，4。為。0的直徑，與BC相交于點(diǎn)F,DE為

OO的切線，交AC的延長線于石

(1)求證：NE=N3：

(2)如圖2,若NCFD=3NDAE,求證：AC=BC,

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)4作AG_LBC于點(diǎn)G,AG的延長線交于點(diǎn)H,

點(diǎn)，為的中點(diǎn)若CE=1,求/G的長.

【分析】(I)連接B。，杈據(jù)圓周角定理得到N48D=90°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NADE=

90°,等量代換即可證明；

(2)連接OB、OC,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明NC84=NCA8,

根據(jù)等腰三角形的判定定理解答；

(3)作0M_L4C于M,DNLBC于N,連接CO,根據(jù)垂徑定理得到3M=MC,根據(jù)正切

的定義得到AG=5GH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】(1)證明：如圖I,連接BD,

〈AD為OO的直徑，

???NABO=90°,即NABC+NC8Q=90°,

??泡。為。。的直徑，。七為0。的切線，

???NAOE=90°,即NO4E+NE=90°,

?:/CBD=/DAE,

:?NE=NB；

(2)證明：如圖2,連接。8、0C,

■:NCFD=3/DAE,NCFD=NACF+NDAE,

ZACF=2ZDAE,

*：OA=OC,

???NOAC=NOCA,

???ZOAC=ZOCA=ZOCB,

?：OB=OC,

:?NOBC=NOCB,

：.N()BC=NOAC,

?：OA=OB,

，NOBA=NOAB,

.\ZCBA=ZCAB,

：,AC=BC；

(3)如圖3,作。M_L8C于M,DNIBC于N,連接CO,

?：OM1BC,

：.BM=CM,

*：AG//OM//DN,OA=OD,

:?GM=MN,

,:GH〃DN,BH=HD,

:.BG=GN,

設(shè)MG=MN=(i,貝ijBG=GN=2a,

?**CG=4。，BC=6a,

由(2)得，AC=BC=()a,

:?AG=｛式2弋G?=2小^

tanZB4G=—

AG5

?:NHBG=NBAG,

.HG-V5

??■~~-9

BG5

：,AG=5GHf

?:DN=2GH,

???AG〃OM

.GF=AG=_5

**FNDN工

同理可得，AC=^CD,CD=^CE,

:.CB=CA=5,

.??GN=LC=§,

33

???GF=&N=空.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的是圓的知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)定理、勾股定理、

銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在RdABC中，NACB=90°,以斜邊A8為直徑作00,以直角邊AC為底邊向

右側(cè)作等腰△ACQ,使AB=4O=CQ,連接。。交AC于點(diǎn)￡

（1）求證：OO〃8C；

（2）若tanNA8C=2,求證：OA與。0相切：

（3）在（2）條件下，連接3。交于于點(diǎn)R連接ER若BC=2,求EF的長.

【分析】（1）連接0C,證△40。注△COO,推出點(diǎn)E為人C的中點(diǎn)，￡LDEA.AC,推出OE

是△ABC的中位線，即可推出結(jié)論；

（2）設(shè)8C=a,由NA8C的正切值為2,可推出AC的長，利用勾股定理求出A8的長，得

到A。，CO的長，在△AO。中利用勾股定理的逆定理證出△A。。為直角三角形，可得出結(jié)

論；

（3）分別證△AFOS/\BA。，XAEDs△on。,推出。F?BO=AZZOD*DE=AD2,進(jìn)一

步證明由的長可逐步求出A&AD,OD,ED,BD,04的長，最后

利用相似三角形對(duì)■應(yīng)邊的比求出EP的長.

【解答】解：（1）如圖I，連接OC,

TAB為。。的直徑，

：.AO=CO,

又"：AD=CD,OD=OD,

???△A0。絲△CO。（SSS）,

:.ZADE=NCDE,即DE為NADC的平分線

又???△ACO是等腰三角形

，點(diǎn)E為4C的中點(diǎn)，RDELAC,

又???點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，

???0E是△ABC的中位線，

：.OE//BC,

即OD//BC,

（2）在RtZkABC中,

*：lanZABC=—=2,

BC

?,?設(shè)BC=m則4c=方，

：.AD=AB=YAC?+BC『倔'

???。石是△4HC的中位線，

???0E=LC=L,AE=CE=^AC=atAO=BO=^AB=^<i,

22222

在RtZ\A￡。中，0￡=五口2加2=2小

在△40。中，AO2+AD2=（立a）2+（事G2=殂二

24

OE)r=(OE+DE)2=(L/+2a)2=^.a2,

24

：.Ab2+AD1=OD2,

???△AO。為直角三角形，

???NOAD=90°,

與OO相切；

(3)如圖2,連接AF,

???/W為0O的直徑，

，NA尸B=90°,

AZAFD=90°,

J/AFD=/BAD,

XV4ADF=/BDA,

：,XAFDsXBM

，更=幽，即DF?BD=A0,

ADBD

又???NA￡O=NOAO=90‘，ZADE=ZODAt

???△AEQS/XOA。，

.?.他=邁，即OD?DE=AD?,

ODAD

:.DF?BD=OD?DE,即正=典,

CDBD

又'：/EDF=NBDO,

:AEDFSNDO,

?EF_DE

OBBD

??.EF=PE'°B,

BD

?:BC=2,

：.AB=AD=2^fOD=5,EO=4,8。=2傷，。8=加,

EF=

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理，三角函數(shù)，勾股定理及其逆定理，三角形相似的多次

運(yùn)用等，本題綜合性非常強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是要牢固掌握并能靈活運(yùn)用三角形相似的判定與性

質(zhì).

4.如圖，矩形/WCO中，AO=10,C￡>=15,￡是邊CD上一點(diǎn)，且?！?5,P是射線AO

上一動(dòng)點(diǎn)，過A,P,￡三點(diǎn)的。0交直線A8于點(diǎn)F,連結(jié)PE,EF,PF,設(shè)

（1）當(dāng)x=5時(shí)，求A尸的長.

（2）在點(diǎn)尸的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中.

①tanNPFE的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的變化范圍；

②當(dāng)矩形ABCO恰好有2個(gè)頂點(diǎn)落在。0上時(shí)，求x的值.

（3）若點(diǎn)A,〃關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，連結(jié)CH.當(dāng)△CEH是等腰三角形時(shí)，求出所

有符合條件的工的值.（直接寫出答案即可）

【分析】（1）如圖1中，連接AE.由△AOESZ\/?EP,推出典=鯉，求出PF,再利用勾

PEPF

股定理即可解決問題;

(2)①由圓周角定理可知，NPFE=NDAE,推出【an/尸rE=lan/D4〃=器即可解決問

題；

②分三種情形畫出圖形分別求解即可解決問題；

(3)分四種情形畫出圖形分別求解即可.

:?PE=5版,

22=5

在Rt/VIDE中，^=7AD+DE^

VZPAF=9(r,

???夕尸是。0的直徑，

：.ZPEF=^ADE=9Q0,

?：NDAE=/PFE,

/.△ADE^AFEP,

.DE=AE

"PEW

.5_5V5

FF'

：?PF=5屈,

在Rt△以“中，AF=^pF2_pA2=15；

(2)①tan/PFE的值不變.

理由：如圖1中，*：ZPFE=ZDAE,

:.tanZPre=tanZ。"=邁=-1；

AD2

此時(shí)777=10.

VtanZPFE=X

2

:.PE=5近,

APD=7PE2-DE2=5.

,\x=PA=5.

如圖4中當(dāng)O。經(jīng)過AC時(shí)，作FM±DC交DC的延長線于M.

圖4

根據(jù)對(duì)稱性可知，DE=CM=BF=5,

在RtAEFM中，EF=5yi52+102=5V13?

；?PE=LEF=

22

????=7PE2-DE2=V，

???X=AO-夕。=包

2

綜上所述，x=1()或5或下■時(shí)，矩形ABCD恰好有2個(gè)頂點(diǎn)落在。0上

2

(3)如圖5中，當(dāng)EC=C"=IO時(shí)，作m_LC。交。C的延長線于/.

■:叢PDESAEIF,

???PD?_D,E

EIIF

.\E/=20-2x,

：,CI=20-2x-IO=lO-lv,

在RtZXC/〃中，1。2=(10-2.r)2+(10-x)2

解得x=2或10(舍棄).

如圖6中當(dāng)EC=E”=10時(shí)，，

22=

在RLE"中'AH=7AE+EH7(5V5)2+102=15J

易知PF=AH=i5,

,:PE：EF：PF=\：2：娓,

PE=3疵,

在RtZXPDE中，加夕=的5-25=2的,

：.x=PA=AD-PD=10-2班；

如圖7中當(dāng)時(shí)，延長"7交CO于M,則KM=CM=B"=5,

■:/XPDEs叢EMF，

.PD=DE

.?血FM，

.PD_5

??''一■-'9

510

??.PO=2

2

??.x=10■區(qū)=匹

22

如圖8中，當(dāng)￡〃=￡。時(shí)，連接F”，PH,延長CZ）交產(chǎn)”于M.

圖8

'：/\PDES4EMF,

.PD=DE

??前FM，

???x~10，—_—59

EM10

：.EM=2x-2O,

在RtZ\EHM中，1（）2=（x-10）2+（20-2x）2

解得：x=10+2%或10-275（舍棄），

綜上所述，滿足條件的A-的值為2或10?2注或工或10+2泥.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角

函數(shù)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的首先思考問題，屬

于中考?jí)狠S題.

5.如圖，在R/X4BC中，ZC=90°,人。平分。交8C于點(diǎn)。，。為AB上一點(diǎn).經(jīng)

過點(diǎn)A,D兩點(diǎn)的。0分別交AB,AC于點(diǎn)F、E,

（1）求證：8c是。。的切線；

（2）已知AQ=2立，試求A8?AE的值；

<3）在（2）的條件下，若,6=30°,求圖中陰影部分的面積，（結(jié)果保留”和根號(hào)）

【分析】（1）連接OC，先證。。與AC平行，證得NOD8=90°,根據(jù)切線的判定即可證

明8c是。。的切線；

(2)連接尸。，ED,FE,先證△人尸。s△人QC,得到人?AC=A02=i2,再證△?1正

ABC,即可得到八3?4七=4/”。=12；

(3)連接OE,FD,過點(diǎn)。作。H_LAE于點(diǎn)兒先在RtZLAFQ中求出直徑A尸的長，再證

明aAOE是等邊三角形，求出△AOE的高，用扇形O4E的面積減去的面積即可.

【解答】(1)證明：如圖1,連接。C,

?「AO平分NB4C,

：,ZOAD=^CAD,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZODA=ZCAD,

J.OD//AC,

VZC=90",

；?NODB=90°,

：.OD±BC,

???8C是。。的切線；

(2)解：如圖2,連接FQ,ED,FE,

由題意知，A”為。。的直徑,

/.ZADF=ZC=ZAEF=90°,

由(1)知，ZFAD=ZDAC,

J△A/7)s/\AOC,

.AF=AD

**ADAC，

V^D=2V3?

：.AF9AC=AD2=\2,

VZC=ZAEF=9()°,

：.FE//BC,

:、△AFESMBC,

???AF?_AE,

ABAC

?"B?4E=AEC=12；

(3)解：如圖3,連接OE,FD,過點(diǎn)。作O”_LAE于點(diǎn)”,

AZBAC=90o-30°=60°,

/.ZFAD=ZDAC=^ZBAC=30Q,

2

在Rlz^A/7/)中，AD-2V5，

???AF=2V^x2!叵=4,

3

*：ZBAC=60°,OA=OE,

???△AO￡為等邊三角形，

/.ZAOE=ZOAH=6(f,OA=OE=AE=1AF=2,

2

在Rh^40〃中,

0H-2X4=立，

2

陽影=5明形。AE-S^OAE

2

=60nx2_lX2X

3602

吟-限

O

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，扇形的面積公式等，解題

的關(guān)鍵是對(duì)圓的相關(guān)性質(zhì)要非常熟練.

6.如圖，4B是OO的直徑，弦COJ_AB,NC4B=3O°

（1）求證：△AC。是等邊三角形.

（2）若點(diǎn)E是菽的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)C作垂足為F,若CF=2,求線段。尸

的長；

（3）若。。的半徑為4,點(diǎn)Q是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線A8上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞

點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)P,求線段產(chǎn)。的最小值.

【分析】（1）利用垂徑定理的推論證明48垂直平分。C,得到AD=AC,再證明ND4C=

60°即可推出△ACO是等邊三角形；

（2）連接。C,OE,先證明/0。尸=90°,再求出半徑OC的長，在RtZXOCr中通過勾股

定理即可求出的長；

（3）先判斷點(diǎn)尸的軌跡是直線DB,過點(diǎn)Q作QPUDB于點(diǎn)P",則。產(chǎn)的值最小,連接

DQ,再求出。。的長度，在RlZXQD/中，求出。尸'的值即可.

【解答】（1）證明：如圖1,

A

設(shè)Ab與DC交點(diǎn)、為H,

〈AB是OO的直徑，CDLAB,

：,DH=CH,DB=3?茴=菽，

.\AD=AC,NCA8=ND44=30°,

，NOAC=NC4B+ND人8=60°,

???△4CO是等邊三角形；

(2)解：如圖2,連接。C,OE,

A

F

???△4CO是等邊三角形，

：.AD=DC=AC,

/.Z4OC=-lx360°=120°,

3

???OA=OC,

，NO4C=NOCA=30°,

，N，OC=60°,

???石為菽中點(diǎn)，

A^=CE>

AZEOC=ZEO4=-LX120°=60°,

2

???NE4C=LNEOC=30°，

2

在RlZXAC尸中，CF=2,

/.AC=4,ZACF=60°,

???ZOCF=ZOCA+ZACF=90°,

，OC=AC=4,

:.CH=LDC=2,

2

在RtZ\O”C中，ZHOC=60°,ZOCH=30°,

0C=2X?立=

33

在RtZ\OC/中，

OF=7OC2+CF2=

（3）解：如圖3,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)產(chǎn)的軌跡為直線。從過點(diǎn)。作。產(chǎn)_1_。3于點(diǎn)P”,

則QP'的值最小,

連接DQ,

???Q為4c中點(diǎn)，

???AQ=CQ=X4C,ZADQ=ZCDQ=1-ZADC=3O0，

22

：.ZOCH=30°,

在RlAOC"中，OC=4,

???HC=4X退=2加，

2

:.DC=4立,

在RtZ^OCQ中，ZDCQ=60Q,

:?DQ=4^X?=6,

2

在RtZXQOP”中，NQ。/=90°-NADQ=60°,

:?QP"=6大巨=3E

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理等圓的有關(guān)性質(zhì)，還考查了勾股定理等，解題的關(guān)鍵是能夠判

斷P'的軌跡是直線。8,然后根垂線段最短求解.

7.如圖，直線￡尸與。。相切于點(diǎn)C,點(diǎn)4為。0上異7點(diǎn)。的一動(dòng)點(diǎn)，。。的半徑為4,

ABLEF于點(diǎn)B,設(shè)NACF=a(0°

(1)若a=45°,求證：四邊形0C8A為正方形;

(2)若4048=1,求4c的長;

(3)當(dāng)AC-4A取最大值時(shí)，求a的度數(shù).

【分析】（1）連接A。，CO,可先證四邊形OCBA是矩形，再證其為正方形;

（2）連接C。并延長，交。。于。，連接A。，證4c與△CA8相似，利用相似三角形

對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求出AC的長;

（3）利用第（2）間的相似，可用函數(shù)的思想求最大值，再通過解直角三角形等即可求出a

的度數(shù).

VZ4CF=a=45°,ABLEF,

一?△ABC是等腰直角三角形,

與。0相切于C,

，NOC8=90°,

AZOCA=45°,

*：OA=OC,

???△CMC是等腰直角三角形，

；.NOCB=NCBA=NCOA=90°,

???四邊形OCBA是矩形，

VOA=OC,

，矩形OCBA是正方形；

(2)如圖2,連接。。并延長，交0。于Q,功接4Q,

D

A

ECBF

圖2

〈AD為O。的直徑，

，NOAC=90°,

AZZXZDCA=90°,

*：ZDCA+ZACB=90°,

：.ZD=ZACB,

乂???NOAC=NA8C=9(T,

:.2DC'sXCXB,

.DC=CA

ACAB

設(shè)AC=a,貝ijAB=。-1,

???。。的半徑為4,

.??C3=8,

???■8'—IaI,

aa-l

解得，〃i=4+2沈，02=4-2沈，

，AC=4+2加或4-272：

（3）由（2）知，區(qū)=叁，

ACAB

則區(qū)=W_,

aAB

,*,AB=^cr,

8

：.AC-AB=a-

8

=-—（4-4）2+2,

8

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)”=4時(shí)，AC-AB取最大值2,

如圖3,當(dāng)/1C=/VC=4時(shí)，人8=2,連接0A,Q/V,

圖3

則△ACO與△ACO是等邊三角形，

/.ZA'CO=ZACO=60°,

在R5C3中，AC=4,A8=2,

/.ZACB=30°,

/.4'CB=150°,

：.a的度數(shù)為30°或150°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)，用函數(shù)思想求最大值等，解題關(guān)

鍵是要會(huì)靈活運(yùn)用函數(shù)思想求極值.

8.如圖，A8是。。的直徑，弦。"LA8于"，G為。。上一點(diǎn)，連接AG交CO于K,在

CO的延長線上取一點(diǎn)七，使EG=EK,EG的延長線交A/3的延長線于凡

(1)求證：E/是。。的切線；

(2)連接。G,若〃比'時(shí).

①求證：LKGDsAKEG；

②若cosC=9,AK=Jij,求8戶的長.

5

【分析】(1)連接0G,由EG=EK知NKGE=/GKE=NAKH,結(jié)合OA=OG知N0G4

=ZOAG,根據(jù)CO_LA8得NAKH+NOAG=90°,從而得出NKGE+NOGA=90°,據(jù)此

即可得證；

(2)①由AC〃Er知NE=NC=NAGQ,結(jié)合NOKG=NCKE即可證得△KGQS^KGE；

②連接OG,由.SC二2設(shè)?！?4比AC=5匕可得A”=3女，CK=AC=5k,HK=CK-CH

5

=k.利用得即可知CH-4,八。一5,AH=3,再設(shè)OO半徑為R,

由。I+CH=OC2可求得R冬，根據(jù)cosC二cos/GOF粵T?知OFT"從而得出答

b5OF24

案.

【解答】解：(1)如圖，連接OG.

?；EG=EK,

???/KGE=/GKE=/AKH,

又OA=OG,

：,ZOGA=ZOAG,

，N人K〃+NOAG=90°,

.\ZKGE+ZOGA=90°,

???EF是。。的切線.

(2)@'：AC//EF,

：,ZE=ZC,

又NC=NAGD,

：.ZE=ZAGD,

乂4DKG=NCKE,

:?△KGDs^KGE；

②連接OG,

?cosC二金A/f=VTo?

5

設(shè)。。式4?騫=k,

:?CH=4k,AC=5k,則4”=3k

?：KE=GE,AC//EF,

：,CK=AC=5k,

：,HK=CK-CH=k.

在RtA4”K中，根據(jù)勾股定理得A”2+"K2=AK2,即(3k)2+k2=(V10)2,

解得左=1,

：.CH=4,AC=5,則4H=3,

設(shè)OO半徑為R,在RtZXOC〃中，OC=R,OH=R-3k,CH=4k,

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,即(R-3)2+42=/e2,

在RtZ\°G〃中，CQSC二COS/GOFU^，

bUr

???03

524

??腳二0「現(xiàn)￥也義

Dr

24624

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，圓周

角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及切線的判定等知識(shí)點(diǎn).

9.如圖，在RlZ\A8C中，ZC=90°,AC=\6cm,AB=20cm,動(dòng)點(diǎn)。由點(diǎn)。向點(diǎn)A以每

秒1c?陽速度在邊AC上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E由點(diǎn)C向點(diǎn)B以每秒曳〃［速度在邊8C上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)

3

。，點(diǎn)E從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)，秒（r>0）,聯(lián)結(jié)

（1）求證：/XDCEs4BCA.

（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)。、C、E三點(diǎn)的圓為OP.

①當(dāng)與邊A/3相切時(shí)，求/的值.

②在點(diǎn)。、點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，若。尸與i力AB交干點(diǎn)F、G（點(diǎn)/在點(diǎn)G左側(cè)），聯(lián)結(jié)CP

并延長C尸交邊4B于點(diǎn)M,當(dāng)△PFM與相似時(shí)，求，的值.

備用圖

【分析】（1）根據(jù)題意用/表示出CD、CE,根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例、夾角相等的兩個(gè)三角形

相似證明；

（2）①連結(jié)CP并延長C尸交AB于點(diǎn)〃，根據(jù)切線的性質(zhì)、正弦的定義求出C”、DE,再

根據(jù)正弦的定義求出CQ,根據(jù)題意求出八

②分尸“△QC￡和△?石兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，1\

算即可.

【解答】（1）證明：由題意得：CD=t,CE=4,

3

22=12,

由勾股定理得，^=7AB-AC

4_

型=工,CE=Zi=_L,

CBAC7TI2,

?CD.CEXZC=ZC,

CBAC

:.ADCESABCA；

(2)①連結(jié)CP并延長CP交AB于點(diǎn)〃,

VZACB=90a,

???OE是。P的直徑，即P為?！曛悬c(diǎn),

：,CP=DP=PE=^DE,

2

ZPCE=/PEC,

'：△DCES&BCA,

:?NCDE=NB,

VZCDE+ZCED=90°,

???NB+NHCB=90°,HPCHLAB,

???CP與邊AB相切,

，點(diǎn)，為切點(diǎn)，CH為OP的直徑,

???sinA=01=里

CAAB

?CH=12

"1620J

解得，CH=毀,

5

，。石=里

5

…3啜嚕即置嚼

5

解得，co=m

25

...tz_-1--4--4-；

25

②由題意得，0V9/WI2,即0V/W9,

3

VCD=t,CE=&,

3

一?D￡=7CD2+CE2=導(dǎo)

由①得，CM=尊.,CP=^DE=h,CMVAB,

526

??.2”=壁-±3PF=CP=3,NPM尸=90°，

566

5__48_^

當(dāng)△FMPs^oCEH寸，更=磔，即~1一=50,

DECE"十A+

33

解得，，=絲；

5

旦t485+

公工1t

當(dāng)△PMA'S^OCE時(shí)，更=更，即-^―__

DECD反十t

3

解得，，=箜；

5

???綜上所述：當(dāng)△尸尸M與△C7)E相似時(shí).，=逐?或/=箜.

55

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的是相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理

和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，OO是△ABC的外接圓，為。0的直徑，過點(diǎn)C作N8CO=/B4C交48的

延長線于點(diǎn)。，過點(diǎn)O作直徑E/〃BC,交4C于點(diǎn)G.

(1)求證：。。是OO的切線：

(2)若。。的半徑為2,ZBCD=30°；

①連接AE、DE,求證：四邊形ACQE是菱形;

②當(dāng)點(diǎn)P是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求PF+PG的最小值.

【分析】(1)連接OC,由A8是CO的直徑知NH4C+/44C=90°,由0C=04知/A8c

=NOCB,根據(jù)NBCO=NC48得NOCB+NBCD=90°,據(jù)此可得答案；

(2)①連接AE、ED、BE,先證△OCB,AOEB是等邊三角形得BC=OB=BE,再證Rt

AABC^RtAABE,△DB3ADBE得AC=CD=AE=DE,據(jù)此可得答案；

②作尸關(guān)于直線"的對(duì)稱點(diǎn)H,〃在。。上，連接GH交AB于點(diǎn)、P,此時(shí)線段G〃最短，

則PF+PG最小，連接OH,過，作，UE凡先由F與〃關(guān)于直線AB對(duì)稱知NGO"=12?！?

ZHOE=60°,再求得0G=OAcos60°=1,0/=0"ccs600=1,”/=加，

根據(jù)勾股定理可得答案.

【解答】解：(1)連接0C,

〈AB是。。的直徑，

AZACB=90°,

???N/MC+NABC=90°,

?；OC=OB,

???NABC=NOCB,

?；NBCD=NCAB,

；?NOCB+/BCD=90°,

/.OC±CD,

???C。是。。的切線；

(2)①連接AK、ED、BE,

VZBCD=30°,

???NOCB=N08C=60。，

???NC4O=NCD4=30°,

：,AC=DC,

*：EF〃BC,

：,ZAOF=ZOBC=()(y，

，NEO8=NA。產(chǎn)=60°,

\*OE=BC=OC,

???△OCB,AOEB是等邊三角形，

:.BC=OB=BE,

?.?NAC8=NA￡A=90"，AB=AB,BC=BE,

/.RtA^BC^RtA^BE(HL),

，AC=AE,ZABC=ZABE,

JZBDC=/DBE,

又?：BC=BE,BD=BD,

:?△DBgADBE(SAS),

:?DC=DE,

：,AC=CD=AE=DE,

???四邊形ACQE是菱形;

②作/關(guān)于直線A8的對(duì)稱點(diǎn)H,”在。。上，連接G“交A3于點(diǎn)P,

此時(shí)線段G”最短，則尸尸+PG最小，連接0H,過“作H/_LE兄

由①知NAOF=60°,

???”與〃關(guān)于直線48對(duì)稱,

AZAOH=ZAOF=60°,

/.ZGOZ7=I20°,NHOE=60°，

在Rl^AGO中，OA=2,

，OG=O4cos600=2X-L=1

2

在R【Z\，/O中，OH=2t

AO/=OHcos600=2X工=1,Hl=0

2

'GH=JG]2|H[2=V7，

：,PF+PG的最小值為中.

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、全等三

角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

11.如圖，4B為。。的直徑，AC,BC是O。的兩條弦，過點(diǎn)。作NBCO=NA,CD交AB

的延長線與點(diǎn)O.

(1)求證：CO是。。的切線;

(2)若ianA=W,求股的值；

4AB

(3)在(2)的條件下，若AB=7,NCED=NA+NEZ)C,求EC與E。的長.

【分析】（1）連接0C,由NA=N1=N2且N2+NOCB=90°知N1+NOC8=90°,據(jù)此

即可得證：

(2)先△4DCS2\CQ8得區(qū)=地=3,且。。2=4。?8。，設(shè)CO=4x,CA=4k,知AB

ACCD4

=5k,從而得出(4x)2=3X?(3X+5A),解之得&，BD=—k,進(jìn)而得出答案；

77

(3)由(2)得AB=7、BD=9、CD=\2,證OE是NAOC的平分線知迎=處=9,AC

CDCE3

=絲，￡C=絲，證得NA+NEDA=NOEC=45°,作。知△CQH為等腰直角三

55

角形，由BC//DH知NCO〃=Z1,據(jù)此得tanNCQH=N=1,繼而得DH=CD?&=%

4DH55

DE=42PH.

【解答】解：(1)如圖，連接OC,

?：OA=OCf

:.乙4=/2,

,/NA=N1,

AZ1=Z2,

?.?AB是。。的直徑,

/.ZACB=90a,即N2+/OCB=90°,

???N1+NOC8=90°,即NOCQ=90°,

???CO是O。的切線；

(2)VZ1=ZA,Z4DC=ZADC,

:.XADCsRCDB,

?BC=BD=2

**ACCD丁

:?C0=AD?BD,

設(shè)CQ=4x,CA=4k,

則AB=5k,

:.(4x)2=3X?(3X+5A),

解得x=Kh4。=圖k

77

45

?BD=7"=9.

**AB5kT

(3)由(2)知A8=5A=7知&=工，

5

貝l」BO=9,CQ=4x=4義嗎=4X至X_L=12,

775

???NCED=ZA+ZEDC=ZA+ZADE,

/.ZEDC=ZADE,即DE是ZADC的平分線,

.AD=AE=16=_4

*'CDCE127,

貝I」AC=7X_1=2^,

55

.Fr_28x3_12

575

???N1=N4,ZEDA=ZEDC,且NA+N1+NED4+NEOC=90°,

/.ZA+ZEDA=ZDEC=45°,

過點(diǎn)D作DH±AC交AC延長線于點(diǎn)H,

則△C。“為等腰直角三角形，

\'BC//DH,

???NCOH=N1,

/.tanZCD/7=A=￡H,

4DH

，DH=C￡>--1=12X_1=組

555

則。E=訛。，=堇返.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與

性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

12.如圖，四邊形48CD內(nèi)接于。0,對(duì)角線AC為。。的直徑，過點(diǎn)。作CE_LAC交A。

的延長線于點(diǎn)E，"為CE的中點(diǎn)，連結(jié)。從DF.

(I)求NCOE的度數(shù).

(2)求訐：是0。的切線.

(3)若tan/A3O=3時(shí)，求幽的值.

DE

【分析】(1)因?yàn)閷?duì)角線AC為。。的直徑，可得/4。。=90。，即NCOE=9()。；

(2)連接O。，證明DF=CF,可得NFOC=NR7D,因?yàn)镺D=OC,可得NOOC=NOCO,

即NODF=NOb=90°,可得。產(chǎn)是OO的切線；

(3)證明NE=NOCA=NAB。，可得tanZE=tanZDCA=tanZABD=3,設(shè)DE=x,則

CD=3x,AD=9x,在RtZXADC中，求得AC的長，即可得出幽的值.

DE

【解答】解：(1)???對(duì)角線AC為。。的直徑，

AZADC=90°,

AZCDE=180°-90°=90°；

(2)如圖，連接O。，

VZCDE=90°,產(chǎn)為C￡的中點(diǎn)，

：,DF=CF,

；?/FDC=NFCD,

*：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

/.ZFDC+ZODC=NFCD+/OCD,即/0。產(chǎn)=NOCF,

*：CEA.AC,

：.20DF=/0CF=9G°,即OO_L。尸，

???z)尸是o。的切線.

(3)VZE=900-ZECD=ZDCA=ZABD,

/.tanE=tanZDCA=tanNA8Q=3,

設(shè)OE=x,則CO=3x,AD=9x,

-AC=-J(3X)2+(9X)2=3^X*

?AC—^\l10x[—

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義.解題的關(guān)鍵是掌握

圓的切線的判定方法.

13.如圖，A4是。。的直徑，C,。為圓上位于直徑A8兩側(cè)的點(diǎn)，連接AC、AD.CD、

BD,且4OV8O.

(1)如圖1,若NC=15°,求的度數(shù)；

(2)如圖2,若BD=6,4。=3,CO平分NAOB,求C。長度；

(3)如圖3,將(2)中的CQ延長與過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)E,連接BE,設(shè)tan/ABO=x,

tanZA5E=y,用含x的代數(shù)式表示y.

c

AAA

片i…

圖1圖2圖3

【分析】(1)由題意，可得NAQ8=90°,ZB=ZC=\5°,即可得出NBA。的度數(shù)；

(2)延長。8至K,使8K=AO=3,連接8C,KC,證明△C8K名△CA。，可得CK=CZ),

NKCD=900,因?yàn)镵￡>=9,即可得出CO的長；

(3)在8。上截取DW=D4,連接AM,證明可得趣二一,設(shè)8。=.,

ABMB

則A￡>=MD=at,BM=a-ax,進(jìn)而得出y=tanNA8E=3殳■=ax

ABMBa-ax1-x

【解答】解：(1);AB是。。直徑，

???ZADB=90v

VZB=ZC=15°

AZBAD=900-N8=75°,

(2)如圖2,延長OB至K,使〃K=AO=3,連接BC,KC,

???CO平分NAOB,ZADB=90°,

：.ZCAB=ZCDB=45°,NC8A=NCD4=45°,

AZACB=9Q°,CA=CB,

VZCB/C=1800-ZDBC=ZCAD,

:?4CBKgACAD(SAS),

:?CK=CD,NK=NCO/l=45°,

ZKCD=90°,

?；BD=6,

；?KD=KB+BD=9,

ACD=-^Z1,

2

(3)如圖3,在8。上截取0M=DA,連接AM,

VZADM=90a,

/.ZAMD=ZMAD=45°,

，NAMB=135°,

???4E與O。相切于點(diǎn)A,4B為直徑,

AZBAE=90°,

：.ZBAM+ZDAE=45<>,

:ZAED+ZDAE=4OC=45°,

：.ZBAM=ZAED,

VZAMB=ZEDA=\35°,

:.XAMBSXEDA,

?捶二生

??融TT

VtanZABD=x,

設(shè)BD=a,則AD=MD=ax,

??『tanNABQ^二皿二ax二x

ABMBa-ax1-x

圖2

【*評(píng)】本題考查圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理及其推論，銳角

三角函數(shù)的定義.解決(3)問的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形進(jìn)行比的轉(zhuǎn)換.

14.如圖，已知是圓。的直徑，尸是圓0上一點(diǎn)，/BA/的平分線交。0于點(diǎn)E,交00

的切線KC于點(diǎn)C,過點(diǎn)E作EDJ_AF,交4尸的延長線于點(diǎn)。.

(1)求證：。后是。。的切線；

(2)若DE=3,CE=2,

①求區(qū)的值；

AE

②若點(diǎn)G為AE上一點(diǎn)，求0G+察