一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)

電考點(diǎn)先知

知識(shí)考點(diǎn)

1.求一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)2.利用交點(diǎn)比較函數(shù)大小

一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)

3.利用交點(diǎn)解決部分面積問題

篁題型精析

知識(shí)點(diǎn)一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)

一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題

求函數(shù)產(chǎn)日+加與函數(shù)嚴(yán)加+取+C交點(diǎn)的方法是：聯(lián)立構(gòu)造一元二次方程

若A>0時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一_______交點(diǎn).

若A=0時(shí)兩個(gè)函數(shù)有_—__交__點(diǎn)（相切）.

若AV）時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一交占.

題型一求一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)

例1求函數(shù)y=『-3.i+1與函數(shù)y=-2.v+3的交點(diǎn)坐標(biāo).

例2若函數(shù)），=-』+入+1與函數(shù)），=3'-2〃?有兩個(gè)交點(diǎn)，求〃?的取值范圍.

o

變1J求函數(shù)1y=-入，2+犬+2與函數(shù)丁=23+^的交點(diǎn)坐標(biāo).

變2若函數(shù)y=2--4+，〃與函數(shù)y=x-l有交點(diǎn),求/〃的取值范圍.

題型二利用交點(diǎn)解決問題

類型一利用交點(diǎn)比較函數(shù)大小

例1如圖，拋物線尸小+區(qū)與直線ym〃相交于點(diǎn),4(-3,-6),伏1,-2),則關(guān)于X的不等式

CLX2+bx>"LY+〃的解集為

例2如圖，直線y=履+。與拋物線)，=/+法+c交于8(6,〃)兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式

的解集是

變1如圖，一次函數(shù)y=依+〃(狂。)與二次函數(shù)%=加+辰+。(〃。0)的圖象相交于A(-l,5)、8(9,2)

兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式如+〃式奴2+力x+c的解集為

變2如圖，直線產(chǎn)依+〃與拋物線)，=?+法+c交于A(Tm),/5,〃)兩點(diǎn)，則關(guān)于K的不等式

加^(8-攵八+0力的解集是

類型二利用交點(diǎn)解決面積問題

在解決某些二次函數(shù)的面積問題時(shí)，如“面積相等”、“面積最大”等問題時(shí)，我們可以利用直線的平行

來解決這類問題.

|例1|若函數(shù)y=——4x+3與=1-1相較于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是二次函數(shù)位于MN下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

則當(dāng)兇WV面積最大時(shí)，求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】以MN為底，“底定高最大”則面積最大，所以當(dāng)尸到MN的距離最大時(shí)，三角形的面積最大.

【解答】如圖所示，做一條與一次函數(shù)平行的直線，平移該直線，使得直線與二次困數(shù)相切，切點(diǎn)為P,

此時(shí)三角形的面積最大.

例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線冬以一。(〃工0)與x軸交于點(diǎn)人(/，0),點(diǎn)4(3,

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；[)，=/一21-3]

(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q,使AAQC的周長最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；[Q(L-2)]

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)尸是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)aAQC和△AQP面積相等時(shí)，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的

坐標(biāo).

變1如圖，直線y=-％+3與X軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)、,拋物線y=--+Z?x+c與y軸交于點(diǎn)C

（0,4）,與x軸正半軸交于點(diǎn)。（4,0）,設(shè)M是點(diǎn)C,。間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為

（1）求拋物線的解析式；-』+3x+4]

（2）當(dāng)〃?為何值時(shí)，△M48面積S取得最大值？請(qǐng)說明理由.

【分析】以MN為底，“底定高最大”則面積最大，所以當(dāng)M到Ab的距離最大時(shí)，三角形的面積最大.

【解答】如圖所示，做一條與一次函數(shù)平行的直線，平移該直線，使得直線與二次函數(shù)相切，切點(diǎn)為M,

此時(shí)三角形的面積最大.

變2在例1中，若點(diǎn)尸在MN上方運(yùn)動(dòng)，且滿足SAMN=SAWN，求。點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】以"N為底，“同底等高”則面積相等，所以當(dāng)F到MN的距離與。到的距離相等時(shí)，兩

個(gè)三角形的面積相等.

【解答】

變3在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)產(chǎn)av2(?>0)的圖象向右平移I個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單

位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，。4=1,經(jīng)過點(diǎn)人的一次

函數(shù))，=行+力(女工0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，△48。的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；[y=gx2-x-|]ly=^x+|j

(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

羔課后強(qiáng)化

1.如圖，二次函數(shù)凹=/+兒+。與一次函數(shù)刈=爾+〃的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，則不等式/+6+0<〃a+〃

的解為.

2.如圖，二次函數(shù)嚴(yán)（x+2）2+,〃的圖象與），軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)8在拋物線上，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸

對(duì)稱，已知一次函數(shù)產(chǎn)丘+〃的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（-L0）及點(diǎn)B.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)3的坐標(biāo).

（2）根據(jù)圖象，寫出滿足（.葉2）2+帆力履+/,的/的取值范圍.

（1）求點(diǎn)A,B，。的坐標(biāo):

（2）N是拋物線上異于點(diǎn)C的動(dòng)點(diǎn),若的面積與AC4B的面積相等，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

4.如圖，已知拋物線W與)，軸交于點(diǎn)M(0,3),頂點(diǎn)為A(2,-l),與x軸交于A,C兩點(diǎn)(8在C左側(cè)).

(1)求拋物線IV對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)4和C的坐標(biāo)；

(2)連接MB和MC.在大軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得APMC與&W3C的面積相等？若存在,

求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5.如圖，直線)，=L+c與工軸交亍點(diǎn)B(4,0),與)，軸交于點(diǎn)C,拋物線尸Lz+Zu+c經(jīng)過點(diǎn)8,C,與

軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)尸是直線6c下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACP4面積最大時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

6.如圖所示，拋物線y=-Y+2x+3的圖象與工軸交于A,B兩點(diǎn),與)，軸交于點(diǎn)C,連結(jié)AC.

(1)求拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)在直線3c上方的拋物線上有一點(diǎn)使得四邊形/WMC的面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形

面積的最大值.

7.如圖，拋物線y=aP+8+c經(jīng)過4-1,0)、8(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與3c相

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在?點(diǎn)。.使AQP8與AEP8的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在,

說明理由.

8.如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0,3）,與x軸交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)坐標(biāo)。（1,4）,連接4C交對(duì)稱軸于

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，位于直線8c的上方（點(diǎn)?與8,C不重合），過尸作y軸的平行

線交8c于尸點(diǎn)；

①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為“，當(dāng)四邊形OEm是平行四邊形時(shí)，求，〃的值；[〃?=2]

②在①的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得△QBC的面積與AP6C的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

魏.8一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)

號(hào)考點(diǎn)先知

知識(shí)考點(diǎn)

1.求一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)2.利用交點(diǎn)比較函數(shù)大小

一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)

3.利用交點(diǎn)解決部分面積問題

貧題型精析

知識(shí)點(diǎn)一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)

一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題

求函數(shù)嚴(yán)質(zhì)+機(jī)與函數(shù)嚴(yán)加+bx+c交點(diǎn)的方法是：聯(lián)立構(gòu)造一元二次方程

若A>0時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一交占.

若A=0時(shí)兩個(gè)函數(shù)有_—__交__點(diǎn)（相切）.

若A〈0時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一交占.

題型一求一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)

例1求函數(shù)y=f-3x+1與函數(shù)y=-2x+3的交點(diǎn)坐標(biāo).

例2若函數(shù)尸-』+X+1與函數(shù)），=3x-2〃?有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.

9

克工J求函數(shù)），=-/+丹2與函數(shù)），=2x+\的交點(diǎn)坐標(biāo).

變2若函數(shù)｝，=2/一］+〃］與函數(shù)），=x-1直交點(diǎn)，求〃?的取值范圍.

題型二利用交點(diǎn)解決問題

類型一利用交點(diǎn)比較函數(shù)大小

例1如圖，拋物線y=a/+法與直線y=，n+〃相交于點(diǎn)4(-3,-6),3(1,-2),則關(guān)

【分析】根據(jù)A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和函數(shù)的圖象得出不等式的解集即可.

【詳解】拋物線)，=〃,+縱與直線丁二，"丫+〃相交于點(diǎn),

關(guān)于％的不等式or?+bx>mx+n的解集為-3vxv1,

故答案為：-3<x<l.

例2如圖,直線y=h+〃與拋物線)，=公2+瓜+。交于4—2,5),8(6,〃)兩點(diǎn)，則關(guān)于x

的不等式〃<加+(〃-k)"c的解集是.

【分析】根據(jù)題意得出當(dāng)心+〃<公2+版+c時(shí)，則"vav's-AA+c,進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象

得出x的取值范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意得出當(dāng)依+〃<奴2+版+。時(shí)，則力<加+(。-5+0,

則從圖象看，關(guān)于x的不等式〃<火2+(〃一2口+。的解集為-2<K<6,

故答案為：—2vxv6.

變1如圖，一次函數(shù)y="+〃(攵^0)與二次函數(shù))，2=cW+加+c(a±0)的圖象相交于

【分析】由求關(guān)于x的不等式心?+〃+c?的解集，即求一次函數(shù)乂=去+〃(攵/0)的

圖象在二次函數(shù)），2=加+云+?1￥0）的圖象下方時(shí)（包括交點(diǎn)），%的取值范圍，再結(jié)合圖

象即可得解.

【詳解】解：團(tuán)求關(guān)于X的不等式米+〃石奴2+法+°的解集，即求一次函數(shù)）］=6+〃（女工0）

的圖象在二次函數(shù)%=加+法+。（。/0）的圖象下方時(shí)（包括交點(diǎn)），x的取值范圍，

又團(tuán)結(jié)合圖象可知當(dāng)14一1和xN9時(shí)，一次函數(shù)y=6+〃（人工0）的圖象在二次函數(shù)

%=0^+云+4。#0）的圖象下方，

回關(guān)于工的不等式履+/?￡.，+瓜+。的解集為工<一1或xz9.

故答案為：x<-lsgx>9.

|變2|如圖,直線尸質(zhì)+力與拋物線），=爾+法+,交于A（T/〃），8（5,〃）兩點(diǎn)，則關(guān)

于x的不等式以2+g-k）x+c>"的解集是.

【分析】根據(jù)圖象可得點(diǎn)A右側(cè)與點(diǎn)8左側(cè)拋物線在直線上方，進(jìn)而求解.

【詳解】解：整理不等式?*+（/7—&）x+c>力，可得ax?+匕i+c>依+力，

回直線y=h+h與拋物線y=ax~+bx+c交于A（-l,m），B（5,〃）兩點(diǎn)，

0ax2+公+c>履+力的角翠集為-1<x<5,

故答案為：—1<x<5.

類型二利用交點(diǎn)解決面積問題

在解決某些二次函數(shù)的面積問題時(shí)，如“面積相等”、“面積最大”等問題時(shí)，我們可以利用直線的平行

來解決這類問題.

例1若函數(shù)y=/一4x+3與曠=工-1相較于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是二次函數(shù)位于MN下方

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

則當(dāng)APMN面積最大時(shí)，求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】以MN為底，“底定高最大”則面積最大，所以當(dāng)尸到MN的距離最大時(shí)，三角形的面積最大.

【解答】如圖所示，做一條與一次函數(shù)平行的直線，平移該直線，使得直線與二次函數(shù)相切，切點(diǎn)為P,

此時(shí)三角形的面積最大.

例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線），=.12+/?1+。（〃工（））與x軸交于點(diǎn)八

（-1,（））,點(diǎn)8（3,0）,與1y軸交于點(diǎn)C（0,-3）.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：[），=『—2x-3]

（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)。，使4人。。的周長最小，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；12（1,-2）J

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)AAQC和aAQr面積相等時(shí)，請(qǐng)求

出所有點(diǎn)尸的

坐標(biāo).

變1如圖，直線y=-x+3與X軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，拋物線〉，=-/+笈+。與

y軸交于點(diǎn)C（0,4）,與4軸正半軸交于點(diǎn)D（4,0）,設(shè)M是點(diǎn)C,。間拋物線上的一點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式；[），=一/+31+4]

（2）當(dāng)，〃為何值M，ZxMAB面積S取得最人值？請(qǐng)說明理由.

【分析】以MN為底，“底定高最大”則面積最大，所以當(dāng)M到的距離最大時(shí)，三角形的面積最大.

【解答】如圖所示，做一條與一次函數(shù)平行的直線，平移該直線，使得直線與二次函數(shù)相切，切點(diǎn)為例,

此時(shí)三角形的面積最大.

變2在例I中，若點(diǎn)夕在MN上方運(yùn)動(dòng)，且滿足&8例=5"歷“，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】以MN為底，“同底等高”則面積相等，所以當(dāng)P到的距離與。到MN的距離相等時(shí)，兩

個(gè)三角形的面積相等.

【解答】

變3在平面直角坐標(biāo)系中，將二次困數(shù)產(chǎn)加（〃>0）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向

下平移2個(gè)單位，得到如織所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)4、B（點(diǎn)4在點(diǎn)B的左

側(cè)），OA=\,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)（AWO）的圖象與），軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋

物線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，△A3。的面積為5.

（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；[y=-x2-x-^][y=lx+-]

22-22

（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)

E的坐標(biāo).

力課后強(qiáng)化

1.如圖，二次函數(shù)M=爐-法+C與一次函數(shù)必=”次+〃的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，則不等式

X2+Z?X+C</?LV+fl的解為.

【答案】-l<x<3

【分析】根據(jù)圖象可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由圖象可得：=Hx2+bx+c<tnx+nW，則有—l<x<3；

故答案為—I<xv3.

2.如圖，二次函數(shù)產(chǎn)（x+2）2+,〃的圖象與），軸交于點(diǎn)c,點(diǎn)B在拋物線上，且與點(diǎn)C關(guān)于

拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，已如一次函數(shù)廠辰+〃的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（-1,0）

及點(diǎn)、B.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）根據(jù)圖象，寫出滿足（/+2）2+小2履+力的x的取值范圍.

【解題思路】（1）將點(diǎn)4（-1,0）代入解析式求出機(jī)，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)

C關(guān)于），軸對(duì)稱求點(diǎn)8坐標(biāo).

（2）根據(jù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)求解.

【解答過程】解：（1）將（7,0）代入），=（x+2）2+〃?得0=1+〃?，

解得m=-1,

Ay=（x+2）2-I,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

???點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,3）.

???點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為直線x=-2,

???點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4,3）.

（2）???點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)3坐標(biāo)（-4,3）,

由圖象可知，（x+2）2+加2米+〃時(shí)，了忘?4或工2?1.

3.如圖，拋物線），=士/一（工一3與戈軸交于4,B兩點(diǎn),與），軸交于點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)A,B,。的坐標(biāo):

（2）N是拋物線上異于點(diǎn)C的動(dòng)點(diǎn)，若A/V48的面積與ACAB的面積相等，求點(diǎn)N的坐

標(biāo).

【分析】（1）令x=0,求出C點(diǎn)坐標(biāo)，令），=0,求出B、A點(diǎn)坐標(biāo);

（2）由題意可知N點(diǎn)到大軸的距離為3,由此求N點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【解答】解：（1）令x=0,則y=-3,

-.C（0,-3），

令y=0,則-士x-3=0,

'84

解得x=4或x=-2,

/.4(-2,0),4(4,0)；

(2)C(0,-3),

:.OC=3,

AMW的面積與\CAB的面積相等，

.?.N點(diǎn)到x軸的距離為3,

.?.川點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3)或(1+如，3)或(1一如，3).

4.如圖，已知拋物線W與y釉交于點(diǎn)"(0,3),頂點(diǎn)為A(2,-l),與x軸交于8,。兩

點(diǎn)(8在C左側(cè)).

(1)求拋物線卬對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)“和。的坐標(biāo)；

(2)連接MB和MC.在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)使得APMC與AM8C的面

積相等？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為(2,-1),可把拋物線解析式設(shè)為)，=再把

點(diǎn)M(0,3)代入解析式，求出〃即可得到拋物線W解析式：再令y=0,解方程即可求出4,

C坐標(biāo)；

(2)連接PM交x軸與O,設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(w,nr-4in+3),直線PM的解析時(shí)為)，=履-〃，

然后用待定系數(shù)法求出尸M的解析式，再求出點(diǎn)。坐標(biāo)，從而求出CO=3+上，再根據(jù)

〃1-4

SMLSWML列出關(guān)于用的方程，解方程求出，〃的值即可?

【解答】解：(1)?.?拋物線的頂點(diǎn)為A(2「1),

設(shè)拋物線W解析式為)，=<7(X-2)Y-1(4H0),

.?拋物線W與y軸交于點(diǎn)”(0,3),

〃(0-2)2-1=3,

解得A=1?

y=(x-2)2-1=x2-4x4-3,

令y=0,則f-4x+3=0,

解得%)=1>x2=3,

「.6(1,0),C(3,0);

(2)存在，理由：

連接PM交五軸與力，如圖所示:

設(shè)點(diǎn)?坐標(biāo)為“九病-4/〃+3),直線PM的解析時(shí)為)，=履+人，

把(0,3),(m,nr-4m+3)代入解析式y(tǒng)="〃得：

b=3

km+h=m2-4ni+3

解得廣L，

b=3

直線PM的解析時(shí)為y=(〃?-4)x+3,

令y=0,則x=--:-,

〃?-4

3

...0(———,0),

〃?一4

3

:.CD=3+—^—,

m-4

若S&，MC=SABMC，則38x(%-),)=5。。河,

3

/.(3+—:—)x(-nr+4〃z)=2x3,

m-4

化簡(jiǎn)得：m2—3in+2=0,

解得g=1(舍去)，/%=2,

5.如圖，直線y=+c與x軸交于點(diǎn)8(4,0),與)，軸交于點(diǎn)C,拋物線y=g/+班+。經(jīng)

過點(diǎn)8,C,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是直線3C下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACP8面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】(1)先求出點(diǎn)C(0,-2),利用待定系數(shù)法可求解；

Ia

(2)過點(diǎn)?作尸石交8C于點(diǎn)E,先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P5,—/——-2),則點(diǎn)

22a

E(a,La-2),利用面積和差關(guān)系可求解；

2

【解答】解：(1)直線y=gx+c與1軸交于點(diǎn)3(4,0),

,-.0=—x4+c>

2

/.c=-2>

/.點(diǎn)C(0,—2),

?.?拋物線y=尿經(jīng)過點(diǎn)3,C,

c=-2

-0=8+4〃+c'

b=--

?2，

c=-2

.??拋物線的解析式為：y=-x2--x-2；

-22

(2)如圖1,過點(diǎn)P作莊交AC于點(diǎn)

圖1

?拋物線y=L2-3x-2與x軸的交點(diǎn)為A、R,

22

?，,A=4,=—1,

.,.點(diǎn)A(-1,O),

設(shè)點(diǎn)P(a,—/—°a—2),則點(diǎn)E(a,—a—2)>

222

?.,四邊形ACT8面積=L(4+l)x2+'x(-,a2+2a)x4=-(a-2)2+9,

222

.?.當(dāng)a=2時(shí)，四邊形4CPK面積有最大值，

此時(shí)點(diǎn)P(2,-3)；

6.如圖所示，拋物線)，=-/+2x+3的圖象與x軸交于4,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)

(1)求拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)在直線3c上方的拋物線上有一點(diǎn)M,使得四邊形A8WC的面積最大，求點(diǎn)M的

坐標(biāo)及四邊形ABMC面積的最大值.

【分析】(1)化為頂點(diǎn)式求解即可；

(2)先求出ZVSC的面積，然后判斷出ABCM的面積最大時(shí)四邊形面積最大，求出

直線BC的解析式，設(shè)過點(diǎn)”與)，軸平行的直線與相交于點(diǎn)N,表示出MN,再表示出

ABCM的面積，然后利用二次函數(shù)的最值問題求出點(diǎn)用的橫坐標(biāo)以及的面積，最后

求解即可；

【解答】解：(1)7y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

???拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1.4)；

(2)令y=0,則x2-2x-3=0,

解得玉=-1,x2=3?

.?.點(diǎn)4-1,0),8(3,0),

令x=0,則y=-3,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

...A8=3-(T)=4,OC=3,

s^c=^ABOC=6f

:MCM的面積最大時(shí)四邊形ABMC面積最大.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

3k+b=()

則)

b=3

b=3

[k=-\

：.y=-x+3.

設(shè)過點(diǎn)M與)，軸平行的直線交BC于點(diǎn)N,

I]3,7

SgcM=￡+3X)X3=--(A---)2+--?

ZZZo

.?.當(dāng)工=士2時(shí)，的面積最大，最大值為?7上，

28

止匕時(shí)，y=-(-)2+2x-+3=—,

224

所以，當(dāng)點(diǎn)ME,")時(shí)，四邊形ABMC面積最大，最大值為6+幺=工.

2488

7.如圖,拋物線y=o?+瓜+c經(jīng)過A(T,O)、8(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線框交于

點(diǎn)P、與笈C相交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)”，連接P4.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使AQP8與AETO的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的

坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【分析】(1)把三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式，列式求得a,b,c的值，即求出解析式；

(2)由等底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

【解答】解：(1)把A(T0),4(3,0),C(0,3)二點(diǎn)代入拋物線解析式得:

a-b+c=0a=-\

9a+3%+c=0,解得：■b=2,

c=3c=3

二該拋物線的解析式為.y=-x2+2x+3?；

(2)存在，理由：

由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

則頂點(diǎn)尸(1,4),對(duì)稱軸為直線x=l,

/.”(1,0),

..PH=4,BH=2,

?「4(3,0),C(0,3),

直線BC解析式為y=-x+3,

.?.點(diǎn)E(l,2),

如圖，過點(diǎn)、E作EQ//BC,交拋物線于Q,此時(shí)42P5與的面枳相等,

由點(diǎn)P、3的坐標(biāo)得，直線距的表達(dá)式為：)=-26-3),

則直線QE的表達(dá)式為：.F=-2a-l)+2②，

聯(lián)立①②并整理得：V-4x+l=0,

解得：x=2±G,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2-6，26)或(2+G，-26)；

對(duì)丁直線QE,設(shè)QE交x軸丁點(diǎn)A,

令)，=-2*-1)+2=0,

解得：x=2,即點(diǎn)及(2,0),

則以=3-2=1,

取點(diǎn)R使BR=3R,過點(diǎn)R作號(hào)的平行線/,如上圖，則點(diǎn)*(4,0),

則直線/的表達(dá)式為：y=-2(x-4),

聯(lián)立y--x2+2x+3和)，=一2"—4)得：x2-4x+5=0,

則△=16-20<0,無解，

故在點(diǎn)8的右側(cè)不存在點(diǎn)Q,

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2-白，2折或(2+6，-26)：

8.如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),與x軸交于4,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)坐標(biāo)ZXJ，4)，連接

4c交對(duì)稱軸于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，位于直線5。的上方(點(diǎn)。與3,。不重合)，過P

作y軸的平行線交8C于尸點(diǎn)；

①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為〃?，當(dāng)四邊形OEQ是平行四邊形時(shí)，求利的值；[〃=2]

②在①的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得AQ8C的面積與AP8C的面積相等，若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(I)由頂點(diǎn)坐標(biāo)51,4),設(shè)頂點(diǎn)式為)，=1尸+4,利用待定系數(shù)法代值求解即

可得到答案；

(2)①當(dāng))，=0時(shí)，則-丁+2匯+3=0,得到點(diǎn)4(3,0),根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式得

到BC解析式為y=-X+3,由DE=2,設(shè)點(diǎn)P(in,-m2+2m+3),則點(diǎn)F(rn,-fn+3),得

PF=(-m2+2m+3)-(m+3)=-m2+3m，根據(jù)四邊形DEEP是平行四邊形,得到PF=DE,

利用兩點(diǎn)之間距離公式列方程求解即可得到答案；②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q、點(diǎn)〃在直線8c

的同側(cè)時(shí)，如圖所示，由四邊形力￡『尸是平行四邊形，得PD//BC,SWC=S“MC，當(dāng)點(diǎn)Q

與點(diǎn)。重合時(shí)，SABPC=S,QBC，求得點(diǎn)Q(L4)；

②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)Q在直線8。的異側(cè)時(shí)。，延長PD交)，軸于“，在OC上截取CN=C〃=2,

則N(0,l),過點(diǎn)N作8C的平行線交拋物線于點(diǎn)Q,如圖所示，DP//BC,設(shè)直線加的解

析式為y=-x+4,將。(1,4)代入y=「r+"得到直線6的解析式為y=-x+5，點(diǎn)”(0,5),

從而有C〃=2,由AC7/QN,NC=CH,得到QN與8c的距離與。尸與8C的距離相等,

從而1?優(yōu)=5岫6，根據(jù)直線QV的解析式為)，=-