易錯易混淆集訓：實數(shù)（4類熱點易錯題型講練）

考點導航

目錄

【易錯一對無理數(shù)的概念理解不透徹或對實數(shù)的分類不清楚致錯】..............................1

【易錯二易混淆〃與右的平方根】.........................................................2

【易錯三求二次根式有意義時未考慮清楚致錯】...............................................3

【易錯四忽略二次根式有意義的隱含條件或對"=時理解不透徹致錯】......................3

典型例題

【易錯一對無理數(shù)的概念理解不透徹或對實數(shù)的分類不清楚致惜】

例題：在實數(shù)-3,0,近，p/荷，0.1313313331…中，其中無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式訓練】

1.下列6個實數(shù)V12&、唬（、-￡、3中，無理數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

2.在下列數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)（）

79萬

兀,―,-6，病5，3.1415,,5.1717717771...

76

A.3個B.4個C.5個O.6個

22

3.下列各數(shù)3.14、±7225>3兀、-不、歷、O.3O3OOO3OOOO3…（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增力口2）,

無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.IB.2C.3D.4

4.在實數(shù)0,而,立，-3y,1.020020002,加，一"中，無理數(shù)有個.

5.下列各數(shù)3.14,囪，1.212212221...,2-兀,-2020,四中，無理數(shù)的個數(shù)有個.

6.把下列各數(shù)的序號分別填入相應的集合內(nèi)：①-日，②應，③1-4,④。，⑤-血？，⑥工行，

⑦⑧0.13030030（X）3...（相鄰的兩個3之間依次多I個0）,⑨0.23,⑩3.14

⑴整數(shù)集合：｛...）

（2）分數(shù)集合：｛...）

⑶無理數(shù)集合：｛...）

7.把下列各數(shù)填在相應的大括號內(nèi).

0,-2,6-歷，0.12,一株，&y,冬1.21212121…,0.1010010001…（每相鄰兩個1之

間依次多1個0）,7*

有理數(shù)：｛-I;

無理數(shù)：（…｝;

正數(shù)：｛…｝;

整數(shù)一??）;

非負數(shù)：｛?-＞：

分數(shù)：｛…｝.

【易錯二易混淆。與右的平方根】

例題：聆的值等于；商的算術平方根為.

【變式訓練】

1.下列說法錯誤的是（）

A.-4沒有算術平方根B.J記的平方根是±4

C.0的平方根是它本身D.764=8

2.々的平方根是_______：疝的算術平方根是______；3的算術平方根是

49

3.耐7的算術平方根是；E的平方根是.

4.化簡求值：①而=；②，（-3『=:③商的平方根=.

5.戶產(chǎn)的算術平方根是；辰的平方根是.

6.后的平方根是,卜;j的算術平方根是.

【易錯三求二次根式有意義時未考慮清楚致錯】

例題：已知二次根式疝立有意義，請寫出一個符合條件的整數(shù)。的值為

【變式訓練】

1.若VFTT在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

2.要使二次根式有意義，則x應滿足的條件是.

3.若代數(shù)式反萬在實數(shù)范闈由有意義，則x的取值范闈是.

4.在代數(shù)式中，，〃的取值范圍是.

5.已知y=l+Jl-2x+j2x-l,則2x+3y=.

6.已知y=、x-2+J2-X+5,WJ—=.

1x

7.已知小人為實數(shù)，且小b滿足力-2=，TE-g"^-5,則.

［易錯四忽略二次根式有意義的隱含條件或對必=時理解不透徹致錯】

例題：已知。〉（），/?>（）?化簡：J2a汨=.

【變式訓練】

1.若〃<0,b>0,則化簡的結果是.

2.已知他工0且。<〃，化簡二次根式口耳的結果是.

3.當2vav3時，化簡：|?-2|-7（?-3）2=.

4.已知一化簡：\/in2-2//J+1+12in+2|=.

5.實數(shù)4,b,C在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，則化簡V7+J（a+E）2_|方_°|=

1I11.

ab0c

6.，〃、〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡：77-（而），_｛（〃-〃"的結果是.

--------------1—1----------±-------->

n0fn

7.（1）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式而彳-叫-（。+行）的值.

—I_^1____I_?-!_____

-1aO1b23

（2）如果指的小數(shù)部分為“，曲的整數(shù)部分為〃，求。+力-衣的值.

個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】此題主要考查了無理數(shù)的定義，根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可；熟知無理數(shù)的常見形式是關鍵.

【詳解】解：根據(jù)無理數(shù)的定義可知："，O.131331333L..是無理數(shù)；

故選：B.

【變式訓練】

1.（23-24九年級下?湖南邵陽?階段練習）下列6個實數(shù)?2血蕊卜：、3中，無理數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】此題主要考查了頻數(shù)的定義，正確確定無理數(shù)是解題關鍵.

根據(jù)無理數(shù)的定義得到個數(shù)，進而得出頻數(shù).

【詳解】解：我=2,

回無理數(shù)有6,2及,￡共3個，故頻數(shù)為3,

2

故選：B.

2.（23-24七年級下?云南昭通?期末）在下列數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)（）

不，-叢,四百，3.1415,,5.1717717771...

76

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】B

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的定義，無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理

解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)

是無理數(shù).由此即可判定選擇項.

【詳解】解：0</343=7,是有理數(shù)，

團在江，—,一有，^/343,3.1415,,5.1717717771…中，n,一百，,5.1717717771...是無理數(shù)，

766

共4個.

故選:B.

3.（23-24八年級上?吉林長春?期末）下列各數(shù)3.14、±7f25.3兀、.身、0.303000300003...（相

鄰兩個3之間（）的個數(shù)逐次增加2）,無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題考查無理數(shù)的判斷.熟記相關定義是解題的關鍵；

無理數(shù)，也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，常見的無理數(shù)有：含有1T的最簡式子，開不盡方的數(shù)，特殊結溝的數(shù)（如：

0.3030030003…，相連兩個3之間的0個數(shù)逐漸增加一個），由此即可求解.

【詳解】解：±Vl25=±|,

故在實數(shù)3.14、±VZ253-半、歷、0.303000300003...［相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）中，

無理數(shù)有3小后、0.303000300003...（相鄰兩個3之間。的個數(shù)逐次增加2）,共3個.

故選:C.

4.（23-24七年級下?重慶?期中）在實數(shù)0,而,立，-3工，1.020020（X）2,洱，一乃中，無理數(shù)有______個.

27

【答案】4

【分析】此題主要考查了無理數(shù)的定義，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此即可求得答案.解題的關鍵是明

確初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：冗,2萬等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.101（X）10001...,等有這樣規(guī)律的數(shù).

【詳解】解：后，且，/，一乃是無限不循環(huán)小數(shù)，它們是無理數(shù)，共4個：

2

。是整數(shù)，-3義是分數(shù)，1.02002002是有限小數(shù)，它們不是無理數(shù)；

故答案為:4.

5.（23-24七年級下?北京豐臺?期中）下列各數(shù)3.14,^9,1.212212221...,2-乃，-2020,蘇中，無

理數(shù)的個數(shù)有個.

【答案】3

【分析】本題主要考查無理數(shù)的定義，根據(jù)無理數(shù)的定義（無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)）判斷即可，關鍵

在于了解無理數(shù)即為無限不循環(huán)小數(shù).

【詳解】①各數(shù)3.14,如=3,1.212212221……，2-乃，-2020,正中，無理數(shù)有1.212212221……,

2-乃，近，

回無理數(shù)的個數(shù)是3個.

故答案為：3.

6.（23-24七年級下?河南安陽?期中）把下列各數(shù)的序號分別填入相應的集合內(nèi)：①-巳，②啦，③1-4，

④0,⑤一向⑥1-125,⑦一（，⑧0（相鄰的兩個3之間依次多1個0）,⑨0.23,

⑩3.14

⑴整數(shù)集合：（）

⑵分數(shù)集合；（）

⑶無理數(shù)集合：（)

【答案】⑴③④⑥

⑵①⑨⑩

（3）②⑤⑦⑧

【分析】本題考查了有理數(shù)、實數(shù)和無理數(shù)的分類，熟練掌握無理數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)的分類是解題的關鍵.

（1）根據(jù)整數(shù)的定義作答即可；

（2）根據(jù)分數(shù)的定義作答即可；

（3）根據(jù)無理數(shù)的定義作答即可.

【詳解】（1）解：③1-4=1-2=-1是整數(shù)，④。是整數(shù)，⑥?^=-5是整數(shù)，

整數(shù)集合：③④⑥

故答案為：③④⑥

（2）①-巳是分數(shù)，⑨0.23是分數(shù)，⑩3.14是分數(shù)?

分數(shù)集合：①⑨⑩

故答案為：①⑨⑩

（3）②啦是無理數(shù)，⑤-質(zhì)是無理數(shù)，⑦是無理數(shù)，⑧O.13O3（X）3（X）（）3...（相鄰的兩個3之間依次

4

多I個0）是無理數(shù)，無理數(shù)集合

故答案為：②⑤⑦⑧

7.（23-24八年級上?全國?單元測試）把下列各數(shù)填在相應的大括號內(nèi).

0,-2,一后，0.I2,一需，&y,乎，1.21212121...,0.101001（X）01…（每相鄰兩個1之

間依次多1個0）,

4

有理數(shù)：{一…};

無理數(shù)：{一…};

正數(shù)：{一…};

整數(shù)：{一…};

非負數(shù)：{—…};

分數(shù)：{—…}.

【答案】見解析

【分析】本題考杳的是實數(shù)的概念和分類，掌握實數(shù)的分類方法是解題的關鍵.根據(jù)實數(shù)的概念和分類解

答.

【詳解】解：0.12=0.01，74=2

有理數(shù)：｛0,-2,0.12,,",弓，1.21212121…，…｝;

無理數(shù)：（6,-用，—,0.101001（X）01…（每相鄰兩個1之間依次多1個0）,；

24

正數(shù)：｛G，0.F,衣，彳，手，1.21212⑵…，（）.101（X）10（X）l…（每相鄰兩個I之間依次多1個（）），:

…｝;

整數(shù)：｛0,-2,C,…｝;

非負數(shù)：｛0,50.12,4,y,§1.212⑵21...,0.1010010001…（每相鄰兩個1之間依次多1個0）,

匕..｝；

4

分數(shù)：｛(If,-移，y,1.2121212b..,…｝.

【易錯二易混淆。與右的平方根】

例題：（23-24八年級上?四川眉山開學考試）舊的值等于；痼的算術平方根為—

3

【答案】43

4

【分析】此題考查算術平方根，利用算術平方根的定義求解即可.

【詳解】解：后=；，庖=9的算術平方根為3；

3

故答案為:，3.

4

【變式訓練】

1.（23-24七年級下?河北唐山?期中）下列說法錯誤的是（）

A.-4沒有算術平方根B.J話的平方根是±4

C.0的平方根是它本身D.764=8

【答案】B

【分析】本題考查平方根和算術平方根，根據(jù)平方根和算術平方根的定義，進行判斷即可.

【洋解】解：4-4沒有算術平方根，原說法正確，不符合題意；

3、標=4的平方根是±2,原說法錯誤，符合題意；

c、0的平方根是它本身，原說法正確，不符合題意；

。、764=8,原說法正確,不符合題意；

故選B.

2.（23-24七年級下?四川廣安?階段練習）今25的平方根是_____；庖的算術平方根是______；3的算術平方

49

根是______

【答案】3也

【分析】此題考查了平方根和算術平方根的計算，根據(jù)平方根和算術平方根的概念求解即可.

【詳解】含25的平方根是±51；

J奸=9的算術平方根是3；

3的算術平方根是G.

故答案為：±亍；3；6.

3.（2024七年級下?上海?專題練習）而豕的算術平方根是一；屋的平方根是

【答案】6±715

【分析】本題考查平方根與算術平方根，熟練掌握其定義是解題的關鍵.根據(jù)算術平方根及平方根的定義

即可求得答案.

【詳解】解：而豕=3,其算術平方根為G；

7225-15,其平方根是土后；

故答案為：G；±>/\5.

4.（23-24七年級下?湖北武漢?階段練習）化簡求值①標=；②4萬或______；③質(zhì)的平方根

【答案】43±3

【分析】此題考查平方根和算術平方根，根據(jù)平方根和算術平方根的意義進行準確計算即可.

【詳解】解：①JT不=4.

②7^7=3，

③回庖=9

0a的平方根的平方根=±囪=±3,

故答案為：4,3,±3

5.（23-24九年級下?山東淄博?階段練習）戶了的算術平方根是一；辰的平方根是一.

【答案】±5

【分析】本題主要考查了平方根和算術平方根的定義，Q7,先計算出得數(shù)，再根據(jù)算術平方根的定義

求解；先計算3芯，再根據(jù)平方根的定義可直接求解.

【詳解】解：必了=百=3

3的算式平方根為石；

7625=25,25的平方根為±5.

故答案為：瓜,±5.

6.（23?24八年級上?貴州黔東南?階段練習）檻的平方根是b;J的算術平方根是—.

【答案】土:2I~

32

【分析】本題考查平方根和算術平方根的定義，掌握定義即可解題，解題時注意先化簡再解，避免出現(xiàn)失

誤.

【詳解】解：?.?舊=《，?的平方根為±2=±1,

j的算術平方根為、口=，，

I2）44丫42

故答案為：士.2，1

【易錯三求二次根式有意義時未考慮清楚致錯】

例題：（23-24八年級下?山東濟寧?期中）已知二次根式，二二有意義，請寫出一個符合條件的整數(shù)〃的值

為.

【答案】3（答案不唯一，滿足且為整數(shù)即可）

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)即可解答.

【詳解】解：要使二次根式AATA有意義，則。一220,

0?>2,

團符合條件的整數(shù)。的值可為3.

故答案為：3

【變式訓練】

1.（2023?云南昆明?一模）若收釘在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】x>-l

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大F或等于0是解題

的關鍵.根據(jù)二次根式有意義的條件，列出不等式，解不等式即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：x+l>0,

AX>-1，

故答案為：x>-\.

2.（2024?湖南長沙?模擬預測）要使二次根式有意義，則入.應滿足的條件是.

【答案】x<4

【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解決問題的關鍵.根

據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0,就可以求解.

【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義得：4-x>0,

解得：X44.

故答案為：4.

3.（2024?江蘇常州,模擬預測）若代數(shù)式^/^二T在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

【答案】x>l

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0.

先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可.

【詳解】解：回氐二T在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

/.3x-l>0,

解得：

故答案為：

4.（22-23八年級下?山東濱州?期中）在代數(shù)式W3二，〃中，加的取值范圍是—.

【答案】m<-3

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件.根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答

案.

【詳解】解：?.?一3-〃720,

/.m<-3,

故答案為：〃zK-3.

5.（23-24八年級下?廣東惠州?階段練習）已知y=l+二I,則2x+3y=.

【答案】4

【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.根據(jù)題意

求出X、V的值即可得到答案.

fl-2x>0

【詳解】解：由題意得：\八，

2x-l>0

A<-

解得；2，

x>-

2

I

A=—,

2

故2x+3y=2x[+3xl=4.

故答案為：4.

6.（22-23八年級下?山東濟寧?階段練習）已知），=X/T^+JT7+5,則工=

x

【答案】￡

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意得x=2即可求解.

【詳解】解：由題意得：x-2>0,2-x>0,

解得：x=2,

(3y=5

x2

故答案為：!

7.（23-24八年級下?浙江寧波?開學考試）已知?！睘閷崝?shù)，且，"滿足狂2=而立-3耳與-5,則/=

【答案】1/0.125

O

【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及到二次根式有意義的條件.根據(jù)二次根式有意義的條件得出。，〃值,

代人所求代數(shù)式求值即可得到結論.

2

。一2N0

4-2/0'解得"=2,

將a=2代入b=\ja-2——14-2a-3得〃=—3,

8

故答案為：：

O

[易錯四忽略二次根式有意義的隱含條件或對V7=同理解不透徹致錯】

例題：（23?24八年級下?廣西欽州?期末）已知。>0,人>0,化簡：亞壽=______.

【答案】abjlb/bay[lb

【分析]本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關鍵是掌握行=|4].根據(jù)二次根式的性質(zhì)得

42a2b3=揚.4^，然后再化簡即可.

【詳解】解：。>0,b>0,

42a汨=而.&^=ab4五:

故答案為：a6

【變式訓練】

1.（22-23八年級下?四川南充?期末）若avO,〃>0,則化簡而■的結果是

【答案】-ab\[b/-bayfb

【分析】本題考查二次根式的化簡，熟練掌握其定義及性質(zhì)是解題的關鍵.結合已知條件，根據(jù)二次根式

的性質(zhì)必=時進行化簡即可.

【詳解】解：0a<O,b>0,

回\la2b'=\la2b2b=\ab\\lb=-abxb?

故答案為：-abC.

2.（23-24九年級上?遼寧葫蘆島?開學考試）已知"工0且av-化簡二次根式口工的結果是.

【答案】-aj-ab

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡.根據(jù)題意確定a,b的取值范

圍是解題的關鍵.

由題意知，-。%>0,則a%<0,由av。，可得。<0<從然后利用二次根式的性質(zhì)進行化簡即可.

【詳解】解：由題意知，-我>o,

0a'b<0?

回a<〃，

（3。<0<6,

團\l-a3b=\[a^?\!-ab=-a>J-ab，

故答案為：一aQ—ab.

3.（23-24九年級上?全國?單元測試）當2<"3時，化簡：卜.2卜J（a-3）2=.

【答案】2a-5/-5+2ci

【分析】本題考查二次根式性質(zhì)化簡、化簡絕對值等知識，由2vav3得至IJ。-2>0,。-3<0,從而將

|〃-2|-府方■化簡即可得到答案，熟記二次根式性質(zhì)、絕對值的代數(shù)意義是解決問題的關鍵.

【詳解】解：2<a<3,

/.d-2>0,—3<0,

—2|—

=|d-2|-|?-3|

=a-2+a-3

=加一5,

故答案為：2a-5.

4.（22-23八年級下?山東泰安?期末）已知化簡：>lm12-2m+\+\2m+2\=.

【答案】m+3/3+zn

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，絕對值化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵.根據(jù)二次根

式的性質(zhì)得冊、2m+1=|加7,再根據(jù)-1<帆<1將絕對值化簡，即得答案.

【詳解】解：原式=］加一ij+l+2|

=pz-l|+2|/?z+l|,

/.77/4-1>0,

回原式=一（5一1）+2（切+1）

=-m+\+2m+2

=/?+3.

故答案為：ni+3.

5.（23?24八年級下?新疆烏魯木齊階段練習）實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，則化簡

V?++—\b-cj=.

1111>

ab0c

【答案】-a

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，實數(shù)與數(shù)軸；觀察數(shù)軸可得av〃v0<c,從而得到

a+b<0,b-c<。，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解.

【詳解】解：觀察數(shù)軸得：a<h<0<c,

團+J（a+力）

=|f|+|?+/7|-|/7-c|

=c-a-b+b-c

故答案為：一。

6.（23-24八年級下?遼寧營口?期末）小、〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡：行-（時的

結果是—.

--------11-------1----->

〃0

【答案】一2〃?

【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負、化簡二次根式，由數(shù)軸得出〃<0<〃Z,推出〃-〃7<0,再由

二次根式的性質(zhì)化簡即可得出答案.

【洋解】解：由數(shù)軸可得：n<O<m,

團〃一〃2<0,

=-n—ni+n-m

=-2m,

故答案為：-2m.

7.（22-23七年級下?重慶江津?期中）（1）實數(shù)人