2024?2025學(xué)年安徽省黃山市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.直線y=-2的傾斜角為（）

A.JB.0C；D.一今

2.已知空間向量五=（1,3,-2）,石=（成2,m+1）分別是平面出/7的法向量，月.a_L￡,則m的值為（）

A.-6B.-4C.4D.6

3.已知等差數(shù)列｛斯｝中，。3=1，公差d=T，則。2與。6的等比中項(xiàng)是（）

A.3C.噂D.士亭

乙乙4

4.已知m,〃是方程/+/6x-2=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)P（m,〃）與圓C：%2+y2=8的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在圓內(nèi)B.點(diǎn)P在圓上C.點(diǎn)P在圓外D.無(wú)法確定

5.如圖，在止方體力8。。-4叢6。1中，平面4氏。1與平面Z18CD的夾角的止切值為（）

A.V^

B.1

=2

D./3

6.已知點(diǎn)P是拋物線y=上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)4（i,o）,貝UP到點(diǎn)力的距離與P到3軸的距離之和的最小值為（）

A.V^-1B.1C.C-lD.牛

7.定義：對(duì)任意nWN*,都有時(shí)+4+1=c（。為常數(shù)），稱數(shù)列｛4｝為“等和”數(shù)列.設(shè)“等和”數(shù)列｛%｝的首

項(xiàng)為由,直線收-3+/0+2=0（代外過定點(diǎn)「僅1，。2），則國(guó)學(xué)0n=（）

A.2025B.2562C.3036D.3037

8.已知橢圓C：各，=1（。＞0）的左右焦點(diǎn)分別為三,尸2,點(diǎn)4在C上，點(diǎn)9在y軸上，用_L用，耳？=

一,用，則C的離心率為（）

A.?B.暫C.1D.1

o5/J

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知實(shí)數(shù)x,y滿足圓的方程（x—l）2+y2=q,則（）

第1頁(yè)，共18頁(yè)

A.圓心(一1,0),半徑為gBx的最大值為?

C.，/%2+(y-1)2的最大值為+|D.x-V的最大值為,

1()?平行六面體4BC0—41當(dāng)。1。1的底面4BCD是正方形，AAY=AB=1,"遇8==60。，ACQ

BD=O,4ign8]Di=。「則下列說法正確的是()

A.AC1=\f5B.西=^AB-^AD+標(biāo)

C.四邊形4的面積為，ID.若前二日方+：西一福，則點(diǎn)M在平面昂80。1內(nèi)

11.數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為sn,若數(shù)列｛冊(cè)｝的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列：…曰,…，

則下列結(jié)論正確的是()

A.Q23=；

B.若a”>a〃+i?則k一”。；2九WN*

aaaaf

C.數(shù)列的,?2+3?4+5+6。7+。8+。9+。10，…的前幾項(xiàng)和為G='詈，，N*

D.若存在正整數(shù)匕使又<10,Sk+1>10,則郁=y

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為6=2n2—lln+9,則｛。力中最小項(xiàng)的值為____.

13.已知正方體481cmi的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是44]的中，點(diǎn);，則點(diǎn)?到直線DE的距離為____.

14.設(shè)直線〃丫=依+號(hào)與圓C：，+y2=i交于A,B兩點(diǎn),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k,在y軸上存在定點(diǎn)。(0,t),

使得44DB的平分線在y軸上，貝亞的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體力BCD中，M,N分別是8C,40的中點(diǎn)，設(shè)匯=而，b=AC,c=AD.

(1)求麗(用瓦石7表示)；

(2)求直線AM和CN夾角的正弦值.A

C

第2頁(yè)，共18頁(yè)

16.(本小題15分)

已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線過點(diǎn)P(2,4).

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程;

(2)過點(diǎn)P作直線，交拋物線于另一個(gè)交點(diǎn)Q(Q在第四象限)，設(shè)直線OP,PQ的斜率分別為的，心，若的+2k2=

0,求AOPQ的面積.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐。一A8co中，PD1平面AD1CD,AB/jCD,AB=2,AD=CD=PD=4,M為PC

中點(diǎn).

(1)求證：BM〃平面24D；

(2)求三棱錐P-的外接球的體積;

(3)線段產(chǎn)力上(不含端點(diǎn))是否存在點(diǎn)N,使得ON與平面M8D所成角為例若存在，確定N點(diǎn)的位置；若不存

在,請(qǐng)說明理由.

18.(本小題17分)

已知雙曲線C：5一4=1(。>0)>0)的離心率為祟A(yù),8分別為其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)(3/21)在C上.P

為直線x=2上的動(dòng)點(diǎn)，P4與雙心線C的另一交點(diǎn)為M,PB與雙曲線C的另一交點(diǎn)為N.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)證明：直線MN過定點(diǎn).

19.(本小題17分)

在信息論中，燧(即￡廠。py)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息燧、信源焰、平均自信

息置.1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的烯，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滴.而正是信息端

的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥

克斯韋妖理論被推翻.對(duì)于正整數(shù)九，定義"的信息焰"5)=-(XM%=L0<at<U=

1,2,…,九).

第3頁(yè)，共18頁(yè)

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：???直線y=-2為平行于x軸的直線，

???直線y=-2的傾斜角為0.

故選:B.

根據(jù)直線方程和傾斜角定義求解.

本題考查直線方程和傾斜角定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由空間向量五=(1,3,—2),石=51,2,6+1)分別是平面%/?的法向量，月

可得五1b,即五?b=0,

即lxm+3x2+(-2)x(ni+l)=0,

解得m=4.

故選：C.

根據(jù)本方=0即可計(jì)算.

本題考查兩個(gè)平面垂直的充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：等差數(shù)列｛斯｝中，a3=l,公差d=]

1QC

則&=5'怒=。3+3d=1+5=5，

所以Q2a6=3，

所以02與。6的等比中項(xiàng)為±\!a2a6=±~Y-

故選：D.

根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列求出敢與。6,進(jìn)而求出其等比中項(xiàng).

本題主要考行了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，因?yàn)楦?，〃是方程?五工一2=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

則有加+n=—遍，變形可得：TH2+n2=(ni+n)2-2mn=6-2x(-2)=10>8.

\mn=—2

所以點(diǎn)P(m,n)在圓C：x2+y2=8夕卜.

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故選：c.

先由根與系數(shù)的關(guān)系找到m，n所滿足的條件，再判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：如圖，以。為原點(diǎn)，以ZM，DC,ODi所在的直線分別為x,y,z軸，建立D-％yz,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,因此。(0,0,0),4(1,0,0),0(0,0,1),

因此西=(0,0,1),麗=(0,1,1),西=(-1,0,1),

因?yàn)镈Di1平面力BCD,

因此平面4BCD的一個(gè)法向量為西=(0,0,1)，

設(shè)平面的法向量為沅=(%y,z),

隹變？"z=。，令』

[m-ADX=-%4-z=0

因此y=-l,z=1,因此沅=(L-1,1)為平面AB】。】的一個(gè)法向量，

設(shè)平面力歷小與平面4BC。的夾角為仇

cose=|cos＜沆，西＞|=看繇=而上布=捻=等'

因?yàn)?。為銳角，因此sinS=V1-cos20=J1一(a)2==-^=苧，

因此tand=衛(wèi)*=y/~2,

cosG

因此平面工叢。1與平面ABC。的夾角的正切值為，2.

以。為原點(diǎn)，以。4DC,所在的直線分別為居y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

本題考查空間向量法求解二面角及兩平面的夾角，屬于中檔題.

6.【答案】A

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【解析】解.：已知點(diǎn)P是拋物線y=;％2上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)力(i,o),

拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程為%2=4y,焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為y=-l,

設(shè)P到x軸的距離為d,過點(diǎn)P作PN1準(zhǔn)線y=-1于點(diǎn)N,

由拋物線焦半徑公式可得|PN|=|PM|,d=\PM\-1,

則|P川+d=|P4|+|PM|-12MM|-l,當(dāng)且僅當(dāng)P,A,M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

其中|4M|=V#+12=VI，所以P到點(diǎn)力的距離與P到％軸的距離之和最小值為逅一1.

故詵：A.

由拋物線焦半徑公式可得d=|PM|-l,\PA\+d=\PA\+\PM\-1>\AM\-1,當(dāng)且僅當(dāng)尸，A,M三點(diǎn)

共線時(shí)，等號(hào)成立，從而求出距離之和的最小值.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：由直線入一(丫+4)+2=0(4€/?)變形得：

k(x—1)—y+2=0(Zc€/?),當(dāng)X-1.時(shí)，y—2,

所以直線過定點(diǎn)P(l,2),

而直線kx-(y+k)+2=0(kGR)過定點(diǎn)尸(即,。2)，

"J"得Q]=1，t?2=2,

由數(shù)列｛%｝為“等和”數(shù)列，

可得冊(cè)+%+[=%+。2=1+2=3,

且數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為2,

所以Qn=%+。2+。3+04a2023+。2024+a2025

=(%+?2)+(a3+。4)+…+(a2023+a2024)+。2025

=3x竽+1=3037.

故選:D.

第8頁(yè)，共18頁(yè)

首先由直線過定點(diǎn)求出力,Q2的值，再根據(jù)等和數(shù)列性質(zhì)求解即可.

本題考查數(shù)列的新定義和數(shù)列的求和，以及直線恒過定點(diǎn)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)橢圓的焦距為2c,秋工0，%)，8(0/1),則FI(-GO),F2(C,0),

所以取=(X。-Gy。)，F(xiàn)^B=(-c,yi)?

又廣24二一百七〃,則｛2'解得｛2'即4(嚴(yán),—5力)，

(%=一§力(yo=-3y1

此時(shí)而f=(機(jī)一,]),用=仁力)，

因?yàn)樵趂1F\B,所以92一|y2=0,解得%=4c2,

又點(diǎn)4(黑一，1)在橢圓上,所以舞■+第=1，

因?yàn)楸?82,所以翳+第=1,

又3=必一R,即哮竺+竺骼竺=1,解得5=$

所以e=J1一5=??

故選:B.

先設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量關(guān)系以及橢圓的定義和性質(zhì)來求解離心率.

本題主要考查求橢圓的離心率，居于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)兒(“-1)2+y=/表示圓心為(1,0),半徑為;的圓，力選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)干選項(xiàng)B,(%-I)2=1-y2<|=>-1<x-1<解得長(zhǎng)工存，即％的最大值為,，8選項(xiàng)正確：

對(duì)于選項(xiàng)C,J/+(y-表示圓上點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(0,1)的距離,圓心(1,0)到定點(diǎn)(0,1)的距離為d=

V(1-0)2+(0-1)2=72,圓上點(diǎn)(”)到定點(diǎn)(0,1)的距離的最大值為d+r=/2+g,C選項(xiàng)正確：

對(duì)于選項(xiàng)。，由(％-I)2+y2=#尋V=1-(x-I)2,代入％-y?得％-y2=x-[i-(x-l)2]=x2-x+

1“，3

2-X-2f

??唯數(shù)/。)二d一x+W在4幣上單調(diào)遞增，...x-y2的最大值為/(,)=]—,+'=3D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

第9頁(yè)，共18頁(yè)

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷圓心與半徑知A錯(cuò)誤；用y表示％并利用產(chǎn)＞0可求得”的范圍判斷8：將+（y-1）2

轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，利用幾何意義進(jìn)行求解可判斷C；利用圓的方程將％-產(chǎn)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù),

再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值判斷以

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，是中檔題.

10.【答案】ACD

【脩析】【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積與空間向量的垂直關(guān)系，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，空間向量的線性運(yùn)算，空間

向量共面定理，屬于中檔題.

直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷小B、C、C的結(jié)論.

【解答】

解：平行六面體力8。。一4816。1的底面左8。。是正方形，AAX=AB=1,^A｝AB=Z.AXAD=60°,ACd

BD=0,ACnBi以=。1,

因?yàn)槭?AB+AD+標(biāo)，

所以宿2=（AB+AD+引產(chǎn)

,―?2-,—?2■■?2，-'—?’一??”■???”??1???

=AB+AD+A44-2AB-AD+2AD-AA1+2AB-AAX=5；

故|而7|="；故力正確；

對(duì)干8：因?yàn)槲?兩+^7=京+；前=京+9（同一說）=一＜而+；而+踞

NLa乙乙

=京+3前=引+百（而一而）=一：萬(wàn)+3同+京，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)辂?西=前?引=（同一而）?硒*

=AD?AAi—而?AA[=1x1xcos60°—1x1xcos60°=0,

所以四邊形為矩形，其面積S=B/x80=1=故C正確；

對(duì)于。：因?yàn)椴?日而+[西一函，由于曰+J-1=1,所以M,0,01，4四點(diǎn)共面，即M在平面當(dāng)80。1

內(nèi)，故。正確.

故選:ACD.

11.【答案】ABC

【解析】解：由｛時(shí)｝的規(guī)律可知，分母為n,7122且《￡川*的有（八—1）項(xiàng)，

所以分母為2,3,4,5,6,7的共1+2+3+4+5+6=21項(xiàng)，

可得從第22項(xiàng)起到第28項(xiàng)，分母為8,則。23=%故4正確；

第10頁(yè)，共18頁(yè)

根據(jù)｛Q）J的特征可知，分母為九，71N2且九CN*時(shí),｛%｝遞增，

只有分母為九的最后一項(xiàng)大于分母為5+1）的第一項(xiàng)，

由可得k=1+2+3+…+九=nEN*,故8正確；

瓦=。1，b2=a2+a3f匕3=。4+。5+。6，%=。7+。8+。9+Q10，…，

,..1.2,,nn（n+l）n

%=°咤+]+。咤+2+…+。咤=市+,+…+市=^TJ=E'

所以應(yīng)｝為首項(xiàng)為瓦二4=；，公差為抽等差數(shù)列，

所以｛%｝的前n項(xiàng)和為7\=1n+與9x1=中,nWN\故C正確；

0選項(xiàng)，由C可知，75=學(xué)=7.5,又竽=15,

4L

即｛斯｝的前15項(xiàng)和為7.5<10,

76=罕=10.5,又竽=21,

即｛斯｝的前21項(xiàng)和為10.5>10,

其中。21=故｛斯｝的前20項(xiàng)和為10.5-|<10,

Sk<10,Sk+1>10,所以k=20,則。20=母故。錯(cuò)誤.

故選:ABC.

A選項(xiàng)，根據(jù)規(guī)律得到?3=；：8選項(xiàng)，分母為九的最后一項(xiàng)大于分母為（n+1）的第一項(xiàng)，故k=1+2+3+

??-+n=羋111,n￡N*,B正確；C選項(xiàng)，計(jì)算出b”=a（n-i）n+a（n-i）n+…+an（n+i）=從而得到｛"｝

為等差數(shù)列，求和得到。正確；。選項(xiàng)，在C基礎(chǔ)上，得到｛即｝的前20項(xiàng)和為10.510,前21項(xiàng)和為

10.5>10,確定k=20,a20=]錯(cuò)誤.

本題考查數(shù)列的求和，注意分析數(shù)列的概率，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算

能力，屬丁中檔題.

12.【答案】-6

【解析】解:由%=2（/一學(xué)九）+9=2（九一學(xué)）2一會(huì)

當(dāng)?shù)?2時(shí)，畋=8-22+9=-5,當(dāng)九=3時(shí)，a3=18-33+9=-6,

所以｛%J中最小項(xiàng)的值為-6.

故答案為：—6.

第11頁(yè)，共18頁(yè)

由通項(xiàng)公式得%=25一半，nEN",根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最小項(xiàng)的值.

本題主要考查了數(shù)列的函數(shù)特性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】繆

【解析】解：以D為原點(diǎn)，以。4DC,0D]所在的直線分別為%,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,0,l),

所以麗=(2,2,0),DE=(2,0,1),

則|麗|=2/1，\DE\=x<5?DBDE=4,

設(shè)點(diǎn)B到直線DE的距離為d,

所以d=J|而|2—(鬻)2=呼.

故答案為：誓.

以。為原點(diǎn)，以DA,DC,0。1所在的直線分別為3y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

本題考查向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】3

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

設(shè)出/8的坐標(biāo)，通過心/)+⑥0=0，以及直線與圓的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解憶的值.

【解答】

解:設(shè)4(巧,力),8(X2，丫2)(%1%240)，

由題得縱。+kpo—0,

即紅1+紇￡=0,整理得％2(%-t)+/(丫2-t)=0.

X]x2

第12頁(yè)，共18頁(yè)

又力=kx1+^,y2=kx2+^

所以、2(kxi+I-t)+%i(/c%2+I-t)=0，

xx

整理得2kX]X2+(1-t)(i+2)=。①，

xz+儼=1

得出2+1)%2+我X―J=o,

2k_8

所以/+次=一*=晶，

代人①并整理得-2k+,/ct=0,此式對(duì)任意的k都成立,

所以t=3.

故答案為：3.

15?【答案】而=-頡-林+吳

T-

【解析】(1)由M、N分別是BC、4D的中點(diǎn)，可得前=3彳秀而？=：施+gn,

所以而=AM-AN=^AD-^AB-^AC=-1a-|b+|c；

乙乙乙乙乙乙

(2)因?yàn)橛?；而+yAC=1a+1b,CN=AN-AC=^AD-AC=-b+^c,

乙乙乙乙L?L

a-b=ac=bc=lxlxcos60。=",b—\b\2=1,

乙乙乙L1i44V乙乙V乙乙

根據(jù)△48C和A/WC都是等邊三角形，可得麗|=西=J12-(1)2=^2,

設(shè)有線/M和GV的夾角為仇則cos。=黑祟=岳=-p可得s出。=V1-cos26>=jl-(-|)2=苧.

\AM\\CN\、；、j3\oJ

(1)根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可得到本題的答案;

(2)根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行求解，可求得線和CN夾角的正弦值.

本題主要考查向量的線性運(yùn)算法則、利用空間向量的夾角公式求異面直線所成角等知識(shí)，屬「中檔題.

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16.【答案】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為產(chǎn)=8x,準(zhǔn)線方程為工=-2或拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工2=y,準(zhǔn)線方程為y=-

48.

【解析1(1)根據(jù)題意，當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，設(shè)拋物線為V=2p%,p>0,

將點(diǎn)P(2,4)代入可得42=2px2,解得p=4,

此時(shí)拋物線為y=8%，準(zhǔn)線為％=-2；

當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，設(shè)為%2=2py,p>0,

將點(diǎn)P(2,4)代入可得22=2px4,解得p=

此時(shí)拋物線為d=y,準(zhǔn)線為y=-i.

綜上，拋物線為y2=8x,準(zhǔn)線為r二-2或拋物線方程為%2=y,準(zhǔn)線為y=一右

(2)根據(jù)題意，因?yàn)辄c(diǎn)Q在第四象限，所以拋物線為儼=8,準(zhǔn)線為％=-2.

畫出圖象為：

4,

由題意可知42存在，=2—0=因?yàn)?1+2k2=。，所以上2=-1.

設(shè)點(diǎn)Q(拿y0)，所以&=公=一1，解得%=4(舍去)或?yàn)?-12.

直線PQ的方程為y—4=—(x—2),即x+y—6=0.

所以4點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0).

所以△OPQ的面枳為S4OPQ=SwA+S&OQA=1x6x(4+12)=48.

(1)根據(jù)題意分開討論拋物線的開口方向，求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與準(zhǔn)線方程.

(2)首先求出右，七和直線PQ的方程，然后求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，最后根據(jù)面積公式求出AOPQ的面積即可.

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

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17.【答案】證明：若E是P。的中點(diǎn)，連接EM,AE,乂M為PC中點(diǎn)，則EM//CD,EM=^CD,

由48//CDKAB=^CD,所以力8//EM,AB=EM,

所以四邊形43ME為平行四邊形，則力E〃BM,

4Eu平面尸4D,BMC平面產(chǎn)｛D,

則BM//平面H4D；

36TT；

存在N為PA靠近P的5處或中點(diǎn)，滿足要求.

O

【解析】(1)證明：若E是PD的中點(diǎn)，連接EM,AE,又M為PC中點(diǎn)，則EM//CD，EM=』CD,

由48//CD^,AB=^CD,所以48//EM，AB=EM,

所以四邊形ABME為平行四邊形，則/E//8M,

4Eu平面PAD,BMC平面PAD,

則BM//平面PAD；

(2)由PD_L平面ABCD,即「。1平面ABD,ABu平面A8D,則PD1AB

由ICO,AB//CD，則力力。nPD=D且都在平面P4D內(nèi)，

所以48平面R40,

易知P-4BD是長(zhǎng)寬高分別為AD,PO的長(zhǎng)方體的一部分，

所以PB為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，且P-48。與該長(zhǎng)方體的外接球重合，

故PB=V42+22+42=6，

所以外接球半徑R=?=3,

則外接球的體枳為:兀朋二367T:

(3)構(gòu)建如圖示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

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則B(4,2,0),M(0,2,2),N(n,0,4-n)且0<n<4,

所以麗=(4,2,0),~DM=(0,2,2),DN=(n,0,4-〃),

若位=(x,y,z)是平面8DM的一個(gè)法向量，

則曬1亞則付更=2y+2z=°,

1DB?Dfi=4x+2y=0

取y=-2,則*=(1,-2,2),

由DN與平面M8D所成角為太

則|cos＜沆而＞1=1溫徐8-n=先

=

3xJn2+(4-n)2~?

所以(8-7。2_

“I以9("-4n+8)-1，

可得2鹿2—5九+2=0,

可得九=g或幾—2,

綜上，存在N為PA靠近P的!處或中點(diǎn)時(shí)，DN與平面M80所成角為3

O勺

(1)若E是PO的中點(diǎn)，連接EM,AE,易得四邊形ABME為平行四邊形，則4E〃8M,再由線面平行的判定證

明結(jié)論；

(2)首先注意P-48。是長(zhǎng)寬高分別為48,AD,PD的長(zhǎng)方體的一部分，再求出外接球的半徑，即可求球體

的體積：

(3)構(gòu)建合適的空間直角小標(biāo)系，標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并設(shè)N(a0,4-九)且0V九＜4,再求出。N與平面M9。的

方向向量、法向量，應(yīng)用向量法求線面角得到方程，即可得結(jié)論.

本寇考查線面平行的判定，以及兒何體體積的計(jì)算，考查向量法的應(yīng)用，屬『?中檔題.

18.【答案】y-y2=l.

9

(p).

【解析】⑴根據(jù)題意得，瞿一表=1，.=孚c2=a2+b2,

解得c?=10*a2=9?匕2=1,

因此雙曲線C為5一產(chǎn)=1.

(2)根據(jù)第一問知,雙曲線C的右頂點(diǎn)8(3,0),左頂點(diǎn)4(-3,0),

設(shè)直線％=2上的動(dòng)點(diǎn)?(2,亡)，

于是斜率即｛=直線P4為y=((%+3),

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根據(jù)y=M(x+3),化簡(jiǎn)得(25-9戶)％2-5管2%-8112-225=0,25—9t2H0,

x2-9y2=9

設(shè)燦布加，那么-3知=嗤瞪，那么皿=娑靜，.弋(間+3)=-韶+3)=昌,

因此也空靜,其)，

斜率跖8=--直線PB為y=-t(x-3),

根據(jù)｛，二9竽]；)，化簡(jiǎn)得(1一9t2)%2+54t2x-81/一9=0,1-9產(chǎn)工0,

設(shè)〃(MJN)，那么3巧V=^U，那么可得打=彳崇，

-27t2-36t

y”=-t(xN-3)=-t(4￡^-3)=鼻，

那么N(若U鼻)，

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知，若直線MN過定點(diǎn)，那么定點(diǎn)必在％軸匕

設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為Q(m,0),

3IR//7777/-27t2-36t、7777