202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之概率（三）

一,選擇題（共7小題）

1.（2021?新高考I）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每

次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2"，

丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

2.（2021?甲卷）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個。不相鄰的概率為（）

1224

A.—B.-C.一D.一

3535

3.（2021?新高考H）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,。2）,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.。越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中結(jié)果落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

7

4.（2021?乙卷）在區(qū)間（0,1）與（I,2）中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的概率為（）

4

72392

A.-B.—C.—D.-

932329

5.（2021?甲卷）將3個I和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

在區(qū)間（（），隨機(jī)取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于:的概率為（）

6.（2021?乙卷）

3211

A.-B.-C.-D.—

4336

7.（2021?全國）3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為（）

1

C.-D.

56

二,填空題（共7小題）

8.（2022?上海）為了檢測學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類I項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨

機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測，則每一類都被抽到的概率為.

9.（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字I,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記

所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則P（f=2）=E（?）

10.（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率

為;己知第一次抽到的是4,則第二次抽取A的概率

為.

II.（2022?甲卷）從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率

為.

12.（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方

53

獲勝，否則本次平局.己知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為二和1且每次活動中甲、乙猜對與

否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝向概率為;3次活

動中，甲至少獲勝2次的概率為.

13.（2021?浙江）袋中有4個紅球，m個黃球，〃個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為?，若取

出的兩個球都是紅球的概率為:，一紅一黃的概率為:，則m-n=______,E（?）

63

*

14.（2021?上海）己知花博會有四個不同的場館A,B,C,。，甲、乙兩人每人選2個去參觀，則他們的

選擇中，恰有一個館相同的概率為1

三.解答題（共6小題）

15.（2022?甲卷）甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0

分，沒有平局.三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率

分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

16.（2022?全國）甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運(yùn)動員獲勝，并結(jié)束比

21

賽.設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，每局比賽甲贏的概率為I乙贏的概率為I

33

（1）求中獲勝的概率；

（2）設(shè)X為結(jié)束比賽所需要的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

17,（2022?北京）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50,〃以上（含

9.50/7/）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成

績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：機(jī)）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23：

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

（I）估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（H）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望石X；

（III）在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

18.（2021?新高考I）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有4,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在

兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另

一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回

答正確得20分，否則得。分：3類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答人類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的

概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答4類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.（2021?新高考II）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)

過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且

有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P（X=/）=pj（i=0,1,2,3）.

（I）已知po=O.4,pi=0.3,22=0.2,戶=0.1,求E（X）：

（II）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，［）是關(guān)于X的方程：/X）+piX+pu2+p3F=X

的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E（X）W1時，〃=1,當(dāng)E（X）>1時，〃V1；

（III）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義.

20.（2021?北京）在核酸檢測中，“〃合1”混采核酸檢測是指：先將2個人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢

測，如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束；

如果這人個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進(jìn)行1次檢測，得到每人的檢

測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.

（I）將這100人隨機(jī)分成10組,每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

（i）如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)：

1

（?）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為X.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)

11

202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之概率（三）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號1234567

答案BCDBCBC

一.選擇題（共7小題）

1.（2021?新高考I）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字I,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每

次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2"，

丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8"，「表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【考點(diǎn)】由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】分別列出甲、乙、丙、r可能的情況，然后根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷即可.

【解答】解：由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,

兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,

P（甲）』「（乙）”-（丙"嬴=彰尸（丁"忌』

A：P（甲丙）=0*P（甲）P（丙），

B：P（甲?。?親=。（甲）P（丁），

C：P（乙丙）=+羊P（乙）P（丙），

D：P（丙?。?0KP（丙）P（丁），

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，屬于中檔題.

2.（2021?甲卷）將4個1和2個。隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式.

【專題】定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】分別計算出4個1和2個0隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個0不相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的

概率公式求解即可.

【解答】解：6個空位選2兩個放0,剩余4個放1,故總的排放方法有服=15種，

利用插空法，4個1有5個位置可以放0,故排放方法有鬣=10種，

102

所以所求概率為妾=

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，排列組合的應(yīng)用，對于不相鄰問題，一般會運(yùn)用插空法

進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2021?新高考II)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,。2),則下列結(jié)論中不正確的是()

A.。越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大

B.該物理量在一次測顯中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中結(jié)果落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維：運(yùn)算求解..

【答案】D

【分析】利用正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)以及曲線所表示的意義對?四個選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

【解答】解：因?yàn)槟澄锢砹康臏y量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,。2),

所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對稱，且方差。2越小，則分布越集中，

對于A,。越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，

故選項(xiàng)4正確；

對于從測量結(jié)果大于10的概率為0.5,故選項(xiàng)B正確；

對于C，由于概率分布關(guān)于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)C

正確；

對于。，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的區(qū)域大于(10,10.3)分布

在在附近的區(qū)域,

故測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率大于落在(10,10.3)內(nèi)的概率，故選項(xiàng)。錯誤.

故選：。.

【點(diǎn)評】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)以及曲線所表示的意義，解題的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布曲線的對

稱性，屬于基礎(chǔ)題.

7

4.（2021?乙卷）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于二的概率為（）

4

72392

A.-B.——C.——D.—

932329

【考點(diǎn)】幾何概型.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】B

i<y<2,可得三角形的面積，結(jié)合兒何概型即可得出結(jié)論.

0<%<1

1339

-X-X-=

【解答】解:由題意可得可行域:可得三角形的面枳=244

i<y<2,32

x+y>7

9_23

1-32=32,

故選：B.

y

2

1

1

0x

【點(diǎn)評】本題考查了線性規(guī)劃知識、三角形的面積、幾何概型、對立事件的概率計算公式，考查了推理

能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2021?甲卷）將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.（）.8

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】先計算出3個1和2個0隨機(jī)排成一行，2個0相鄰的概率，再利用對立事件概率之和等于1,

即可求解.

【解答】解：將兩個0捆綁在一起，進(jìn)行插空，故共有用種方法，

故2個0不相鄰的概率P=1-4=0.6.

愈

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查古典概型計算公式，排列組合公式在古典概型計算中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?乙卷）在區(qū)間（0,i）隨機(jī)取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于工的概率為（）

23

3211

A.-B.-C.一D.一

4336

【考點(diǎn)】幾何概型.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】B

11

【分析】我們分別計算出區(qū)間（0,-）和（0,-）的長度，代入幾何概型概率計算公式，即可得到答

23

案.

【解答】解：由于試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為：-0=母

構(gòu)成該事件的區(qū)域長度為:-0=

33

1I

所以取到的數(shù)小于三的概率P=；=71

32

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查幾何概型的概率計算，其中根據(jù)己知條件計算出基本事件總數(shù)對應(yīng)的幾何量的大

小，和滿足條件的幾何量的大小是解答本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)邈.

7.（2021?全國）3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為（）

1111

A.-B.-C."D.-

2456

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】利用排列知識求得基本事件總數(shù)，再求出兩端都不是女同學(xué)的事件數(shù)，然后利用古典概型概率

計算公式求解.

【解答】解：3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，排法總數(shù)N=

其中兩端都不是女同學(xué)的排法種數(shù)為用用，

則其中兩端都不是女同學(xué)的概率為P=粵="

屋5

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

二.填空題（共7小題）

8.（2022?上海）為了檢測學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨

機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測，則每一類都被抽到的概率為1.

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】

【分析】由題意，利用古典概率的計算公式，計算求得結(jié)果.

【解答】解：從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測,

則每一類都被抽到的方法共有盤?C卜廢+弓?Ca以種,

而所有的抽取方法共有仁種,

故每一類都被抽到的概率為之生筆上運(yùn)30_3

C870-7’

故答案為：

【點(diǎn)評】本題主要考查古典概率及其計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記

[612

所抽取卡片上數(shù)字的最小值為講則尸（《=2）=",E（?）=".

-3S-7

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

……1612

【答案】營虧

【分析】根據(jù)組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機(jī)變量的均值定義即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可得：？的取值可為1,2,3,4,

又P<?=1）=4=i

C77

_」C：+C溫_16

P(f=2)=—舄—二京'

成3

PG=3)=滑希，

￡1_1

P?=4)=c尸，

,廠八、一I316,3-112

??￡(《)=1x7+2X35+3oX35+4X35=T*

1612

故答案為：—:—

OO/

【點(diǎn)評】本題考查組合數(shù)公式，占典概型的概率公式，離散型隨機(jī)變量的均值定義，屬基礎(chǔ)題.

10.（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到人的概率為-7

-Z2T

已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為

【考點(diǎn)】條件概率.

【專題】計期題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】六3

【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一

次抽到人的條件下，第二次抽到人的概率.

【解答】解：由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為第二次抽到4的事件為C,

42141

則P（BC）=壹、蟒=亳,P⑻=袤=各

???P9B）=喘嚀詰

故答案為：言M

【點(diǎn)評】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

II.（2022?甲卷）從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為三.

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】2

*JD

【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計算“從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個”的取法，分析其中“4個點(diǎn)

在同一個平面”的情況，由古典概型公式計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，有或=70種取法，

若這4個點(diǎn)在同一個平面，有底面2個和側(cè)面4個、對角面6個，一共有12種情況,

則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率尸=踩=￡；

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查古典概型的計算，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方

53

獲勝，否則本次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為二和二，且每次活動中甲、乙猜對與

65

1

否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為1；3次活動中，甲至少獲

7

勝2次的概率為F.

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

17

【答案】力—.

327

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式求出一次活動中，甲獲勝的概率，再利用直接法求出3次活動

中，甲至少獲勝2次的概率.

【解答】解：???一次活動中，甲獲勝的概率為&X（1-1）=|,

???3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為（畀+或x（32x（1-1）=%

17

故答案為：-：—.

【點(diǎn)評】本題主要考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式，至少問題等基礎(chǔ)知識，是中檔題.

13.（2021?浙江）袋中有4個紅球，加個黃球，〃個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為"若取

118

出的兩個球都是紅球的概率為「一紅一黃的概率為W，則〃L〃=!,E熊）=.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)取出的兩個球都是紅球的概率為3—紅一黃的概率為；，得到關(guān)于機(jī)，〃的方程，然后求

出〃?，〃的值，得到〃?-〃的值：先確定。的可能取值，求出相應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解

即可.

21八

【解答】解：由題意，P麓=2）=牛r—=卷=磊,

^m+n+4

乂一紅一黃的概率為=2=9，

cm+n+43"

所以鬣i+n+4=36,G%=3,

解得〃?=3,〃=2,故〃？-〃=1；

由題意，￡的可能取值為0,1,2,

所以P（『0）=3=黑=卷

夕汽=1）==36=18^

P(L2)=.=擊

所以E(1)=0x6+1x揩+2x磊=*

故答案為；1；1

【點(diǎn)評】本題考查了古典概型的概率，組合數(shù)公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變

量期望，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2021?上海）已知花博會有四個不同的場館A,B,C,。，甲、乙兩人每人選2個去參觀，則他們的

選擇中，恰有一個館相同的概率為g.

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式.

【專題】定義法：概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計算即可.

【解答】解：甲選2個去參觀，有量=6種，乙選2個去參觀，有廢=6種，共有6X6=36種,

若甲乙恰有一個館相同，則選確定相同的館有屐=4種，

然后從剩余3個館中選2個進(jìn)行排列，有掰=6種，共有4X6=24種，

則對應(yīng)概率片寡=|，

故答案為：|.

【點(diǎn)評】本題主要考查概率的計算，利用古典概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

三.解答題（共6小題）

15.（2022?甲卷）甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0

分，沒有平局.三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)H中獲勝的概率

分別為0.5,0,4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可以求出甲學(xué)校獲勝2場或者3場的概率，可以得到甲學(xué)

校獲得冠軍的概率：乙學(xué)校的總得分X的值可取0,10,20,30,分別求出X取上述值時的概率，可得

分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(I)甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,可以得到兩個學(xué)校每場比賽獲

勝的概率如下表：

第一場比賽第二場比賽第三場比賽

甲學(xué)校獲勝概率0.50.4().8

乙學(xué)校獲勝概率0.50.60.2

甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，

①甲學(xué)校3場全勝，概率為：Pi=0.5X0.4X0.8=0.16,

②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為:P2=0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.8=0.44,

所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：P=P+P2=().6；

(2)乙學(xué)校的總得分X的可能取值為：0,10,20,30,其概率分別為：

P(X=0)=0.5X0.4X0.8=0.16,

P(X=10)=0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.8=0.44,

P(X=20)=0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.2=0.34,

P(X=30)=0.5X0.6X0.2=0.06,

則X的分布列為：

X0102030

P0.160.440.340.06

X的期望石X=0Xo.16+10x0.44+20X0.34+30X0.06=13.

【點(diǎn)評】本題考杳隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算，難變不大.

16.（2022?全國）甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行五局三勝制的乒乓球比賽，先嬴得3局的運(yùn)動員獲脛，并結(jié)束比

21

賽.設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，每局比賽甲贏的概率為不乙贏的概率為】

（1）求甲獲勝的概率；

（2）設(shè)X為結(jié)束比賽所需要的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運(yùn)算求解.

64

【答案】⑴

ol

107

（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為二.

27

【分析】（1）由題意分別求得三局、四局、五局比賽甲獲勝的概率，然后相加可得甲獲勝的概率；

（2）由題意可知X的取值為3,4,5,計算相應(yīng)的概率值可得分布列，進(jìn)一步計算數(shù)學(xué)期望即可.

8

【解答】解；（1）由已知可得，比賽三局且甲獲勝的概率為R27

228

XX-=

比賽四局且甲獲勝的概率為P2=3

27

比賽五局且甲獲勝的概率為P3=以弓＞X（l-1）2x|=i1.

所以甲獲勝的概率為P=「1+22+「3=捺+5+券=黑.

（2）隨機(jī)變量X的取值為3,4,5,

則P（X=3）=（|）3+（》3=1,

P（X=4）=或（|）2XgX凈+C對）2x|xg=9+5=另

P（X=5）=扇|）2X（）2=g,

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X345

P（X）112A

32727

則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=3x《+4x券+5乂捺=辭.

【點(diǎn)評】本題主要考查事件的獨(dú)立性，離散型隨機(jī)變量及其分布列，分布列的均值的計算等知識，屬于

基礎(chǔ)題.

17.（2022?北京）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50,〃以上（含

9.50〃?）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成

績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：〃?）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.4（）,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

（I）估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（II）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望EX；

（III）在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】（1）；

7

（II）-.

（III）丙獲得冠軍的概率估計值最大.

【分析】（I）用頻率估計概率，即可求出甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率.

（II）分別求出甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率，X的所有可能取值為0,1,2,

3,結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，再利用期望公式即可求出EX.

（HI）丙奪冠概率估計值最大，因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績，比賽一次，丙獲得9.85的

111

概率為:，甲獲得9.80的概率為第，乙獲得9.78的概率為:，并且丙的最高成績是所有成績中最高的,

4106

比賽次數(shù)越多，對丙越有利，所以丙冠軍的概率估計值最大.

【解答】解.：（【）甲以往的10次成績中有4次獲得優(yōu)秀獎，用頻率估計概率，則甲在校運(yùn)動會鉛球比

賽中獲得優(yōu)秀獎的概率三=

105

31

（H）用頻率估計概率，則乙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為5,丙在校運(yùn)動會鉛球比

賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為:="

42

X的所有可能取值為0,1,2,3,

211Q

則P（X=。）=5X2X2=20，

c/v一、211.311,31182

P（X=I）=SX2X2+SX2X2+SX2X2=2O=S,

211,2113117

Pn(X—2)MqX5x5+qX5x5+qXjX5u

Q乙乙口乙乙J乙乙乙U

P(X=3)=2X1X1=^=^,

38727

???"X=()x而+lx而+2x而+3x^二寧

（III）由題中數(shù)據(jù)可知，乙與丙獲得優(yōu)秀獎的概率較大，均為右且內(nèi)投出過三人成績中的最大值9.85/H,

在三人中有?定優(yōu)勢,

故如果發(fā)揮較好的話內(nèi)獲得的概率估計值最大.

【點(diǎn)評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題.

18.（2021?新高考I）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,8兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在

兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另

一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回

答正確得20分，否則得。分：4類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得。分.

已知小明能正確回答人類問題的概率為0.8,能止確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的

概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答4類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）：離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計：運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100,分別求出對應(yīng)的概率即可求解分布列；

（2）由（1）可得E（x）,若小明先回答B(yǎng)類問題，記y為小明的累計得分，丫的所有可能取值為0,

80,100,分別求出對應(yīng)的概率，從而可得E（y）,比較E（X）與E（y）的大小，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100,

則P（X=0）=1-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

所以X的分布列為：

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)可知小明先回答A類問題累計得分的期望為E1X)=0X0.2+20X0.32+100X0.48=54.4,

若小明先回答8類問題，記丫為小明的累計得分，

則y的所有可能取值為o80,loo,

P(K=0)=1-0.6=04

P(r=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6X0.8=0.48,

則y的期望為E(n=0X0.4+80X0.12+100X0.48=57.6,

因?yàn)镋(F)>E(X),

所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

【點(diǎn)評】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.(2021?新高考H)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第。代，經(jīng)

過一次繁殖后為第I代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且

有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=〃(/?=(),1,2,3).

(I)已知po=O.4,“=0.3,“2=0.2,p3=0.l,求E(X)；

(II)設(shè)〃表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，〃是關(guān)于x的方程：po+pix+〃2/+p3?=x

的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)W1時，p=l,當(dāng)E(X)>1時，p<l；

(III)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】(1)1；

(II)證明：由題意可知，pO+pi+〃2+p3=I,則E(X)=/7|4-2/72+3/73,

所以/為+〃11+沖?+〃3/=為變形為p0-(1~pi)X+pZV2+p3X3=O,

所以-(0)+〃2+,3)X=0,

即po(1-X)+pzx(X-1)+p3A-(X-1)(x+1)=0,

即(x?1)[/73.r+(P2+P3)X-/X)]=0,

令f(X)=pV?+(p2+〃3)X-po,

則/⑺的對稱軸為“一喏<。,

若0Ho時,

注意到/(O)=-po<0(若po=O,則E(X)不成立，當(dāng)E(X)=1,卻有〃=1),

/(1)=2p3+p2-po=pi+2〃2+3〃3-I=E(X)-I,

若“3=0時，/(I)=E(X)-1,

當(dāng)E(X)時，/(I)<0,f(A)=0的正實(shí)根刈21,原方程的最小正實(shí)根〃=1,

當(dāng)E(X)>1Ibf,/(I)=pi+2〃2+3〃3-l>0,/(x)=0的正實(shí)根xoVl,原方程的最小正實(shí)根〃<1；

(III)當(dāng)I個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕；

當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能.

【分析】(I)利用數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可；

(H)對po+pix+p4+ps/nx進(jìn)行等量代換，然后再進(jìn)行因式分解，構(gòu)造函數(shù)/(x),由二次函數(shù)的性

質(zhì)分析證明即可：

(III)由題中〃的含義，分析〃=1和〃V1的含義即可.

【解答】(I)解：由題意，po=O.4,pi=0.3,0=0.2,p3=0.1,

故七(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X().1=1；

(II)證明：由題意可知，po+〃l+〃2+p3=1,則E(X)=pi+2p2+3〃3,

J9fW/X)