線性代數(shù)（慕課版）第4講相似矩陣（2）第5章矩陣的特征值與特征向量本章內(nèi)容01方陣的相似對角化（2）3n階方陣A與對角陣相似的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.??推論1如果n階方陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對角陣相似.??推論2n階方陣A可對角化的充要條件時(shí)對應(yīng)于A的每個(gè)特征值的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重?cái)?shù).即設(shè)

i是方陣A的ki重根，則A與對角陣A相似當(dāng)且僅當(dāng)??定理5.301

方陣的相似對角化(2)4已知三階方陣A的三個(gè)特征值為1,1,2,對應(yīng)的特征??例1向量為(1,2,1)T，(1,1,0)T，(2,0,-1)T問A是否與對角陣B相似，若相似，求A,B,P，使A=PBP-1.解由于所以線性無關(guān)由定理5.3知A與B相似01

方陣的相似對角化(2)(1,2,1)T，(1,1,0)T，(2,0,-1)T5令則即n階方陣A與對角陣相似的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.??定理5.301

方陣的相似對角化(2)6??例2已知與相似(1)求x和y；(2)求可逆矩陣P，使P-1AP=B.解(1)由題意知2為矩陣A的一個(gè)特征值，有再由定理5.2及性質(zhì)5.1知01

方陣的相似對角化(2)7(2)

1=-1,

2=2,

3=-2，代入分別得基礎(chǔ)解系為則P-1AP=B，其中令01

方陣的相似對角化(2)8??例3設(shè)矩陣已知A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量

=2是A的二重特征值，試求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣.解A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，

=2是A的二重特征值01

方陣的相似對角化(2)9矩陣解得01

方陣的相似對角化(2)10特征多項(xiàng)式特征值

1=

2=2,

3=6.對于特征值為

1=

2=2，解線性方程(2E-A)x=0，有同解方程組01

方陣的相似對角化(2)11對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為對于特征值為

3=6，解線性方程(6E-A)x=0，有特征向量為01

方陣的相似對角化(2)對角陣12??例4已知是矩陣的一個(gè)特征向量.(1)試確定參數(shù)a，b及特征向量

所對應(yīng)的特征值.(2)問A能否相似于對角陣？說明理由.解(1)01

方陣的相似對角化(2)13即解得(2)法1由知

=-1是A的三重特征值.01

方陣的相似對角化(2)14但秩

=-1線性無關(guān)變量只有一個(gè)，故A不能相似于對角陣.法2由01

方陣的相似對角化(2)15知

=-1是A的三重特征值.秩故A不能相似于對角陣.01

方陣的相似對角化(2)16設(shè)A為三階矩陣，已知??例5是AX=0的解.(1)求矩陣A的所有特征值和特征向量.(2)求矩陣A是否與Λ相似，若相似，求出Λ及使P-1AP=Λ的可逆矩陣P.01

方陣的相似對角化(2)17解(1)由得所以A的特征值

1=2,

2=1，且分別對應(yīng)特征向量由是AX=0的解得01

方陣的相似對角化(2)18解所以

3=0是特征值，故矩陣A的所有特征值

1=2,

2=1,

3=0，屬于特征值

1=2的所有特征值為k1α1，k1≠0；屬于特征值

2=1的所有特征值為k2α2，k2≠0；屬于特征值

3=0的所有特征值為k3α3，k3≠0；01

方陣的相似對角化(2)19(2)由于

1,

2,

3互不相等，所以矩陣A與Λ相似令則??推論1如果n階方陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對角陣相似.01

方陣的相似對角化(2)20??例601

方陣的