線性代數(shù)（慕課版）第1講齊次線性方程組(1)第4章

線性方程組01引例02齊次線性方程組解的性質(zhì)03齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)本講內(nèi)容01

引例31章7講??例1求解方程組解系數(shù)行列式根據(jù)克萊姆法則知方程組有唯一解.01

引例4故01

引例5討論三條直線能否交于一點(diǎn)，就是解方程組就是解方程組求兩平面的交點(diǎn)，01

引例6方程組的一般形式方程組的矩陣形式系數(shù)矩陣齊次線性方程組01

引例7引進(jìn)向量01

引例8方程組的向量形式01引例02齊次線性方程組解的性質(zhì)03齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)本講內(nèi)容02

齊次線性方程組解的性質(zhì)10為AX=0的解，稱為零解；若非零向量是AX=0的解，稱為非零解；??性質(zhì)4.1

證??性質(zhì)4.2若ξ是解向量，則kξ也是解向量.證01引例02齊次線性方程組解的性質(zhì)03齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)本講內(nèi)容03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)12若齊次線性方程組AX=0的有限個(gè)解ξ1,

ξ2,···,ξs.(i)ξ1,

ξ2,···,ξs線性無關(guān)；(ii)方程組的任一解都可由ξ1,

ξ2,···,ξs線性表示，則稱ξ1,

ξ2,···,ξs是AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.??定義4.103

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)13設(shè)向量組為向量組的一個(gè)部分組，且滿足：(1)線性無關(guān)；(2)向量組

中任一向量均可由線性表示，則稱向量組為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.??定義3.603

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)14行最簡(jiǎn)形定理2.1則A可經(jīng)過一系列初等行變換化為引例設(shè)m×n矩陣A的秩為r，且A中左上角的r階的子式不為零，03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)15行階梯形與行最簡(jiǎn)形矩陣的特點(diǎn)對(duì)矩陣A僅作行變換可得行階梯形和行最簡(jiǎn)形.①全為0的行在矩陣的最下方；②每個(gè)非零行呈縮進(jìn)排列；③每個(gè)階梯的高度只有一行.①為行階梯形；②每個(gè)非零行的第1個(gè)非零元素是1，且這些1所在列的其它元素皆為0.1.行階梯形的特點(diǎn)2.行最簡(jiǎn)形矩陣的特點(diǎn)03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)16設(shè)A是m×n矩陣，則齊次線性方程??定理4.1組AX=0的基礎(chǔ)解系存在，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為n-r.A經(jīng)過初等行變換可化為證03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)1703

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)18令03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)19解得03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)20可以證明這n-r個(gè)向量構(gòu)成基礎(chǔ)解系.1.ξ1,

ξ2,···,ξn-r是解向量；2.ξ1,

ξ2,···,ξn-r線性無關(guān)；這n-r個(gè)向量中后n-r個(gè)分量構(gòu)成一個(gè)n-r階單位矩陣；3.AX=0的任一解ξ可由ξ1,

ξ2,···,ξn-r線性表示.

03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)21事實(shí)上，設(shè)是AX=0的任一解，唯一確定方程組的一個(gè)解得，令，且ξ0與ξ后n-r個(gè)分量相同，根據(jù)自由未知量的一組確定值則ξ0是AX=0的解向量，故03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)22??定理4.1且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為n-r.設(shè)A是m×n矩陣，則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系存在，推論1設(shè)齊次線性方程組AX=0，其中A是m×n矩陣.(i)當(dāng)r(A)=n時(shí)，方程組有唯一零解；(ii)當(dāng)r(A)=r<n時(shí)，方程組有無窮多解，其通解為其中ξ1,

ξ2,···,ξn-r為基礎(chǔ)解系.零解的充要條件是|A|=0.推論2n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組AX=0有非03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)23齊次線性方程組AX=0僅有零解的充要條件是??例2因此A的列向量組線性無關(guān).(A)系數(shù)矩陣A的行向量組線性無關(guān)(B)系數(shù)矩陣A的列向量組線性無關(guān)(C)系數(shù)矩陣A的行向量組線性相關(guān)(D)系數(shù)矩陣A的列向量組線性相關(guān)解齊次線性方程組AX=0僅有零解，相當(dāng)于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，為A的列向量組.其中03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)24??例3求方程組的解：解03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)25c為任意常數(shù).同解方程組為基礎(chǔ)解系為，通解為，r(A)=2<n=303

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)26對(duì)系數(shù)矩陣A做初等行變換化為行最簡(jiǎn)形求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解：??例4解03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)27同解方程組為自由未知量取x3,x4，令得基礎(chǔ)解系為，故該方程組的通解為.其中，c1,c2為任意常數(shù).故r(A)=2<n=4.03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)28對(duì)系數(shù)矩陣A做初等行變換化為行最簡(jiǎn)形求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解：??例5解103

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)29同解方程組為自由未知量取x2,x5，令得基礎(chǔ)解系為故該方程組的通解為.其中，c1,c2為任意常數(shù).2故r(A)=3<n=5.03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)30對(duì)系數(shù)矩陣A做初等行變換化為行最簡(jiǎn)形求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解：??例6解303

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)314上述矩陣對(duì)應(yīng)的方程組：自由未知量取x2,x4,x5，令故r(A)=2<n=5.03

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1